2020年吉林省吉林市高三第三次調(diào)研測試4月理科數(shù)學試題-含答案

1、保密2020年吉林省吉林市高三第三次調(diào)研測試理科數(shù)學本試卷共22小題，共150分，共6頁，考試時間120分鐘，考試結(jié)束后，將答題卡和試 題卷一并交回。注意事項：1 .答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，認真核對條 形碼、姓名、準考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上。2 .選擇題答案使用 2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案 的標號；非選擇題答案必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3 .請按照題號在各題的答題區(qū)域 （黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案 無效。4 .作圖可先用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5 .

2、保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮 紙刀。、選擇題:本大題共 12題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有3個是符合題目要求。1.已知集合A -1,0,1,2,B x|ylg(1則AI B2.3.4.A. 2已知復數(shù)1 A.21 C.2已知向量A.已知B. 1,0C.1D. 1,0,1z滿足1.i21.i2.3B.3B.D.12121.i21.i2m,n為兩條不重合直線,A. m / n,m,nrb在向重aC. 1方向上的投影為D.為兩個不重合平面， 下列條件中,B. m / n,m,n的充分條件5.6.C.n,m /,n /D.一個幾何體的三視

3、圖如右圖所示，則該幾何體的體積為A.C.10T83B. 3函數(shù)f (x) cos(2x7D.一32 y)的對稱軸不可能為A.B.C.n,m,n-2 f|側(cè)視圖D. x7.8.9.A.18已知數(shù)列A.1318B.18an為等比數(shù)列，若a6 a7B.1836C.D.A.1501的焦點為B.a826,C.13F1F2,點P在橢圓上，若| PF2 |135C.120cc，136 ,則a6D.2,則D.as13F1PF2的大小為90已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且滿足 f(x 4) f(x)，當x (0,2)時,2.f(x) 2x ,則 f(3)A.B.cabC. a c bD.10 .已知a (1

4、)0.2,b log102c ab,則a,b,c的大小關(guān)系是22A.2 1313B.1311 .趙爽是我國古代數(shù)學家、天文學家，大約公元222年，趙爽為周髀算經(jīng)一書作序時，介紹了勾股圓方圖”，又稱趙爽弦圖(以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的，如圖(1),類比 趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖(2)所示的圖形，它是由 6個全等的三角形與中間的一個小正六邊形組成的一個大正六邊形，設(shè) A F 2F A，若在大正六邊形中隨機取一點，則此點取自小正六邊形的概率C.2-747D. y2212. 已知F1F2分別為雙曲線C：，L 1的左、右焦點，點 P是其一條漸近線上一

5、點, a b且以F1F2為直徑的圓經(jīng)過點 P ,若 PF1F2的面積為22b2，則雙曲線的離心率為A. 3 3B. 2C. 5D. 3二、填空題：本大題共 4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13. 二項式(2 x)5的展開式中X3的系數(shù)為(用數(shù)字作答) 14. 已知兩圓相交于兩點A(a,3), B( 1,1),若兩圓圓心都在直線x y b 0上，則a b的值是15. 若點P(cos ,sin )在直線y2x上，則cos(2-)的值等于1an 且 a1 1,設(shè) f (x) ex e2 x 1 ,則44f(log2a1)f(log2a2) L Lf (log 2 a7)的值

6、等于16. 已知數(shù)列an的前n項和Sn三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17: 21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共 60分17. (12 分)在 ABC 中，角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c,若 J3a b(sin C J3cosC).(1)求角B的大??；(2)若A ,D為 ABC外一點，DB 2,CD 1,求四邊形ABDC面積的最大值 318. (12 分)在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時期，我市教育局提出“停課不停學”的口號，鼓勵學生線上學習。某校數(shù)學教師為了調(diào)查高三學生數(shù)學成績與線上學習

7、時間之間的相關(guān)關(guān)系，對高三年級隨機選取 45名學生進行跟蹤問卷， 其中每周線上學習數(shù)學時間不少于5小時的有19人，余下的人中，在檢測考試中數(shù)學平均成績不足120分的占_8 ,統(tǒng)計成績后得到如下 2 213列聯(lián)表：分數(shù)不少于120分分數(shù)不足120分合計線上學習時間不少于 5小時419線上學習時間不足 5小時合計45(1)請完成上面2 2列聯(lián)表；并判斷是否有99%的把握認為“高三學生的數(shù)學成績與學 生線上學習時間有關(guān)”；(2) (I)按照分層抽樣的方法，在上述樣本中從分數(shù)不少于120分和分數(shù)不足120分的兩組學生中抽取 9名學生，設(shè)抽到不足120分且每周線上學習時間不足 5小時的人數(shù)是 X, 求X

8、的分布列(概率用組合數(shù)算式表示) ；(n)若將頻率視為概率，從全校高三該次檢測數(shù)學成績不少于120分的學生中隨機抽取20人，求這些人中每周線上學習時間不少于5小時的人數(shù)的期望和方差.(下面的臨界值表供參考)P(K2 k。)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828n(ad bc)2 苴中n(a b)(c d)(a c)(b d)八19. (12 分) 1如圖所不，在四棱錐 P ABCD中，AB / CD , AD AB -CD, DAB 60，點 2E ,F分別為CD,AP的中點.(1)證明：PC /面 BEF ;

9、(2)若PA PD,且PA PD,面PAD 面ABCD，求二面角F BE A的余弦20. (12 分)已知傾斜角為 一的直線經(jīng)過拋物線 C : x2 2py(p 0)的焦點F ,與拋物線 C相交于 4A、B兩點，且 |AB| 8.(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)P為拋物線C上任意一點(異于頂點)，過P做傾斜角互補的兩條直線 11、12, 交拋物線C于另兩點C、D ,記拋物線C在點P的切線l的傾斜角為 ，直線CD的傾斜角 為，求證： 與互補.21. (12 分)已知函數(shù) f(x) ln x ax2 (a b 1)x b 1(a,b R).(1)若a 0 ,試討論f (x)的單調(diào)性；(2)若0 a

10、 2,b 1 ,實數(shù)Xi,X2為方程f (x) m ax2的兩不等實根，1 1 一求證：一 一 4 2a.(二)選考題：共 10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第 一題計分。22. (10 分)在直角坐標系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為 x 近8s ( 為參數(shù))，以原點o為 y sin極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為sin( ) 2 .6(1)求曲線Ci的普通方程與曲線 C2的直角坐標方程；(2)設(shè)A,B為曲線Ci上位于第一，二象限的兩個動點， 且 AOB ,射線OA,OB交 2曲線C2分別于D,C ,求 AOB面積的最小值，并求此時

11、四邊形 ABCD的面積.23. (10 分)已知a,b,c均為正實數(shù)，函數(shù).111 ,一.f(x) |x2I |x -212的最小值為1.ab 4c證明：(1) a2 b2 4c2 9；(2)1ab112bc 2acx1x2713參考答案、選擇題123456789101112BBADADCACBDB、填空題13. - 40;14. -1;15.- ;16. 75三、解答題17.解：(1) Q 73a b(sin C 33 cosC)，由正弦定理得：,3sin A sin B(sin C 、3cosC),3sin(BC) sin Bsin C . 3sin BcosC即 3cosBsinC si

12、nBsin CQsinC0,J3cosB sinB 即 tanBQ B (0,),(2)在 VBCD 中,BD 2,CD 1BC21222 21 2 cos D5 4cosD又 A ,則 VABC 3為等邊SVABC2bc2.sin 一3-3cosD又 SVBDC8分1-一BD DC2sin Dsin D ，Sabcd盛 sinD43cosD 5732sin( D10分5一時，四邊形ABCD的面積取最大值，最大值為業(yè)2. 12分418.解:(1)分數(shù)不少于120分分數(shù)不足120分合計線上學習時間不少于 5小時15419線上學習時間不足 5小時101626合計2520453 分2“245(15

13、16 10 4)2 cc cc”QK27.29 6.63525 20 19 26有99%的把握認為高三學生的數(shù)學成績與學生線上學習時間有關(guān)”-5分20(2) (I)由分層抽樣知，需要從不足120分的學生中抽取 9 4人6分45X的可能取值為0, 1,2,3,4.c4c3cLP(X 0) 汁，P(X 1) M6,P(XC20C201 34P(X8分3)C4416，P(X 4) C146C20C20(II )從全校不少于120分的學生中隨機抽取1人此人每周上線時間不少于5小時的概率為設(shè)從全校不少于120分的學生中隨機抽取 0.610 分2520人，這些人中每周線上學習時間不少于時 的 人 數(shù) 為

14、Y , 則 Y : B(20,0.6), 故E(Y) 20 0.6 12,D(Y) 20 0.6 (1 0.6) 4.8 12 分19.解“(1)證明：連接AC交BE于H,連接FHQ AB CE, HAB HCE, BHA CHAABH 且 CEHAH CH FH PPC 2 分Q FH 面 FBE,PC 面 FBEPC P面 FBE4 分(2)取 AD 中點。，連 PO , OB .由 PA PD, PO ADQ 面 PAD 面 ABCDPO 面 ABCD,又由 DAB 60, AD ABOB AD-6分依題意,uur EB uuur BFur電uu%2xo-x03y02令V。33,解得ur

15、Z0uu6/(0, .3,6)10分uruucos - ni ,n2nin22.3913因為二面角為銳角，故其余弦值為2.39八 -12 分1320.解:(1)由題意設(shè)直線 AB的方程為y令 A(x,y1)、B(x2,y2),聯(lián)立x衛(wèi) 92得y22py3pyyiy23p,根據(jù)拋物線的定義得故所求拋物線方程為AByiy2AB8,4p 8,p 2x2 4y-5分以O(shè)A,OB,OP分別為X ,Y,Z軸建立如圖所示空間直角坐標系222依題意，設(shè) P(Xo, ) , C(Xc , C) , D (Xd , D) 4442設(shè)li的方程為y 匣 k(x xo),與x2 4y聯(lián)立4消去 y 得 x2 4kx

16、4kx0 x； 0 7 分x0 xC 4k ,同理 x0 xD 4k 8 分X2 Xi1 ,1Xc xd2Xo , 直 線 CD 的 斜 率 Kcd= (Xc xd ) Xo4(X2 Xi)42io 分 1切線l的斜率Ki y x 3X0。由Ki Kcd 0,得 與 互補 12分21.解：1(1)依題意 x 0,當 a 0時，f (x) (b 1) x1 分當b 1時，f (x) 0恒成立，此時f (x)在定義域上單調(diào)遞增;3 分一-41_1當 b1 時，若 x 0, , f (x) 0;若 x, f (x) 0b 1b 1故此時f(x)的單調(diào)增、減區(qū)間分別為035 分(2)方法 1 ：由 f

17、 (x) m ax2得 in x (a 2)x 2 m 0gd) m令 g(x) in x (a 2)x 2 ,則 g(x1)依題意有l(wèi)n x1(a 2)xiIn X2 (a 2)x2,X2ln -2 - 8 分XiX21 要證一X14 2a ,只需證X2x1x2KX22(2a)XiX2(不妨設(shè)Xi X2),即證二X2X2X1x22ln X110分令AX1t(t1),g(t)2ln t1t t, Qg(t)12(-1)0,g(t)(1,）單調(diào)遞g(t)g(1)有-X14 2a12方法2：由f （x） m_ 2,ax 得 ln x(a2)x令 g(x)ln x(a 2)x 2g(x) gd)g

18、(x)當 X (0,X2(2 a)故 g(x)在(0,1 (F-）上單調(diào)遞增，在 a(2不妨設(shè)x1x2,X2，）上單調(diào)遞減,-8 1要1E X12a ,只需證X1X2X2g(x) g(10(4 2a)x2 1，易知X2(4 2a)x2 1(0,a)X2(4 2a)x2 1即證 g%) g(令 h(x) g(x)g(x) ，( x(4 2a)x 119則 h (x) g (x)4 2axi2gg(x(4 2a) x1)1 (2 a)xx(2 a)x 124(2 a) 2 a x 124 2a x 14 2ax11分(也可代入后再求導)上單調(diào)遞減,h(x)h(故對于時，總有g(shù) (x)g(x(4 2a)x 1,-1由此得2a22.解:12(1)由曲線C1的參數(shù)方程為x 、3 cosy sin為參數(shù))曲線C2的極坐標方程為sin()2 即 sin 6cos6x22消去參數(shù)得上3cos sin 一 6x 、.3y 4 0(2)依題意得C1的極坐標方程為2 2cos32 . 2sin設(shè) A( 1, ),B(3,),C(4,221sin