2020-2021中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題題庫(kù)∶初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)的綜合題及答案

1、2020-2021中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題題庫(kù)：初中數(shù)學(xué) 旋轉(zhuǎn)的綜合題及答案一、旋轉(zhuǎn)1 .在 ABC中，AB=AC, / BAC= （060 ）,將線段 BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 °得到線段BD。（圖（圖2）（1）如圖1,直接寫(xiě)出/ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如圖2, /BCE=150, /ABE=60,判斷 ABE的形狀并力口以證明;（3）在（2）的條件下，連結(jié) DE,若/DEC=45,求 的值。1【答案】（1） 30（2）見(jiàn)解析（3）3021 【解析】解：（1） 30。2（2） 4ABE為等邊三角形。證明如下：連接 AD, CD, ED,線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段BD,B

2、C=BD, / DBC=60 ;又 / ABE=60 ,1ABD 60DBE EBC 30- 且 BCD為等邊二角形。在 4ABD 與 4ACD 中，AB=AC AD=AD, BD=CD,1 ABDAACD (SSS。. BAD CAD 一2 _ _1_./BCE=150,BEC 180(30- ) 150在 ABD 和 EBC中， BEC BAD , EBCBAC1o21o2. BECABD , BC=BDBAD 。.ABDAEBC (AAS) 。 . . AB=BE .ABE為等邊三角形。(3) ./BCD=60, /BCE=150,， DCE 1506090。又 / DEC=45 , D

3、CE為等腰直角三角形。.DC=CE=BC / BCE=150, ° -(180150 )EBC 15 。1一而 EBC 30 15。/.30。2(1) AB=AC, /BAC=,180ABC 2,將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得至IJ線段BD,DBC 60 。ABD ABC DBC - 6030。22(2)由SSS證明ABDACD,由AAS證明AB44EBC即可根據(jù)有一個(gè)角等于 60的等腰三角(180150 )區(qū) , 、15 ,由(1 )2形是等邊三角形的判定得出結(jié)論。(3)通過(guò)證明 DCE為等腰直角三角形得出 EBC1,EBC 30,從21而30-15 ,解之即可。2.(探索發(fā)現(xiàn))

4、如圖， ABC是等邊三角形，點(diǎn) D為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將 ACD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到 AEF ,連接CE.小明在探索這個(gè)問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)四邊形ABCE是菱形.小明是這樣想的:I) 心I > 羲珊-4SCE(1)請(qǐng)參考小明的思路寫(xiě)出證明過(guò)程；(2)直接寫(xiě)出線段 CD, CF , AC之間的數(shù)量關(guān)系： ;(理解運(yùn)用)如圖，在 ABC中，AD BC于點(diǎn)DM ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到 AEF ,延長(zhǎng)FE與BC ,交于點(diǎn)G.(3)判斷四邊形 ADGF的形狀，并說(shuō)明理由；(拓展遷移)(4)在(3)的前提下，如圖，將 AFE沿AE折疊得到 AME ,連接MB ,若 AD 6, BD 2,求 MB

5、 的長(zhǎng).B口 C8 口C1GH口C G圖1圖2圖3【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2) CD CF AC； (3)四邊形ADGF是正方形；(4)213【解析】【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)得： 4ACE是等邊三角形，可得： AB=BC=CE=AE則四邊形 ABCE是菱形；(2)先證明 C、F、E在同一直線上，再證明 BADCAF (SAS ,則/ADB=/AFC,BD=CF 可得 AC=CF+CD(3)先根據(jù)/ADC=/ DAF=Z F=90°,證明得四邊形 ADGF是矩形，由鄰邊相等可得四邊形ADGF是正方形；(4)證明BAM0EAD (SAS ,卞據(jù)BM=DE及勾股定理可得結(jié)論.【詳解】(1)

6、證明： ABC是等邊三角形，AB BC AC.ACD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到 AEF , CAE 60 , AC AE.ACE是等邊三角形.AC AE CE.AB BC CE AE.，四邊形ABCE是菱形.(2)線段DC , CF , AC之間的數(shù)量關(guān)系： CD CF AC.(3)四邊形 ADGF是正方形.理由如下： Rt ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到 AEF , AF AD , DAF 90 .AD BC ,ADC DAF F 90 .四邊形ADGF是矩形.AF AD , 四邊形ADGF是正方形.(4)如圖，連接DE .四邊形ADGF是正方形,DG FG AD AF 6. ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)

7、針旋轉(zhuǎn)90得到 AEF ,BAD EAF , BD EF 2, EG FG EF 6 2 4. 將 AFE沿AE折疊得到 AME , MAE FAE , AF AM . BAD EAM .BAD DAM EAM DAM ,即 BAM DAE . AF AD , AM AD .AM AD在 BAM 和 EAD 中， BAM DAE ,AB AEBAM EAD SAS .1 BM DEEG2 DG242 6 2 2 13.【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形 的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊 三角形和全

8、等三角形的性質(zhì)，依據(jù)圖形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解.3.如圖所示， ABC和4ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，/ BAC=/ DAE=90°, EC的延長(zhǎng)線交BD于點(diǎn)P.(1)把4ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1, BD, CE的關(guān)系是 (選填 相等”或不相等”)；簡(jiǎn) 要說(shuō)明理由；(2)若AB=3, AD=5,把4ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)/EAC=90°時(shí)，在圖2中作出旋轉(zhuǎn)后的圖 形，PD=,簡(jiǎn)要說(shuō)明計(jì)算過(guò)程；(3)在(2)的條件下寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段PD的最小值為,最大值為.【答案】（1） BD, CE的關(guān)系是相等；（2） 5 .34或20 商；（3）1,7 1717【解析】分析：（1）依據(jù)

9、4ABC和4ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，Z BAC=Z DAE=90 ,即可 BA=CA /BAD=/ CAE, DA=EA 進(jìn)而得至U AABDAACEL,可彳導(dǎo)出 BD=CR（2）分兩種情況：依據(jù) / PDA=/ AEC, /PCD=/ ACE,可得PCgACE即可得到PD CD 一一 5 _ .一=一，進(jìn)而得至Ij PD=Z34 ；依據(jù) / ABD=/ PBE, /BAD=/ BPE=90 ,可得AE CE17 BADsbpe 即可得至I -PB ”E 進(jìn)而得出 PB=V34 , PD=BD+PB=20 J34 ; AB BD3417（3）以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，當(dāng) CE在

10、。A下方與OA相切時(shí)，PD的值最小；當(dāng)CE在在。A右上方與。A相切時(shí)，PD的值最大.在 RtPED中，PD=DE?sin PED,因此銳 角/ PED的大小直接決定了 PD的大小.分兩種情況進(jìn)行討論，即可得到旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段 PD的最小值以及最大值.詳解：（1） BD, CE的關(guān)系是相等.理由： ABC和4ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，/ BAC=Z DAE=90 ,BA=CA, / BAD=Z CAE DA=EA .ABDAACE,BD=CE故答案為相等.（2）作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，若點(diǎn) C在AD上，如圖2所示：D _ E / EAC=90 , ° ce=Jac2 ae2 734，

11、 / PDA=Z AEC, / PCD=Z ACE,.,.PCDAACE,PD CDAE CE2 .pd=V34 ；17，RABD 中，BD= Jad2 AB2 5/34，BE=AE- AB=2,3 / ABD=Z PBE, / BAD=Z BPE=90.BAABPEPB BEPB2,即 f ,AB BD3.346 解得 pb=J34,34PD=BD+PB=V34 +，34 = 334 ,34175 . 20 故答案為一64或J34 ；1717(3)如圖3所示，以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，當(dāng) CE在。A下方與OA相切時(shí)，PD 的值最??；當(dāng)CE在在。A右上方與。A相切時(shí)，PD的值最大.如圖3所

12、示，分兩種情況討論：在RtPED中，PD=DE?s植PED因此銳角/ PED的大小直接決定了 PD的大小. 當(dāng)小三角形旋轉(zhuǎn)到圖中 4ACB的位置時(shí)，在 RtACE 中， CE= . 52 32 =4,在 RtDAE 中，DE=J52 52 5V2，四邊形ACPB是正方形，PC=AB=3,PE=3+4=7,在 RtA PDE 中，PD=后FPE2 J50 49 1,即旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段 PD的最小值為1; 當(dāng)小三角形旋轉(zhuǎn)到圖中 AB'C'時(shí)，可得DP'為最大值，此時(shí)，DP'=4+3=7,即旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段 PD的最大值為7.故答案為1, 7.點(diǎn)睛：本題屬于幾何變換綜合題

13、，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、全等三 角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這 些知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用圖形的特殊位置解決最值問(wèn) 題.4.如圖1,在銳角 4ABC中，/ABC=45°,高線 AD、BE相交于點(diǎn) F.(1)判斷BF與AC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；(2)如圖2,將4ACD沿線段AD對(duì)折，點(diǎn) C落在BD上的點(diǎn) M, AM與BE相交于點(diǎn) N, 當(dāng)DE/ AM時(shí)，判斷NE與AC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.【答案】(1) BF=AC理由見(jiàn)解析；(2) NE=、AC,理由見(jiàn)解析.【解析】試題分析：(1)如圖1,證

14、明AADCABDF (AAS),可得BF=AC(2)如圖2,由折疊得：MD=DC,先根據(jù)三角形中位線的推論可得：AE=EC由線段垂直平分線的性質(zhì)得： AB=BC貝U /ABE=/ CBE 結(jié)合(1)得：BDFADM,貝U1 -/DBF=/ MAD,最后證明 /ANE=/ NAE=45 ,彳# AE=EN,所以 EN= AC.試題解析：(1) BF=AC理由是：如圖 1,AD± BC, BEX AC, ./ADB=/ AEF=90,° / ABC=45 ；.ABD是等腰直角三角形，叫. AD=BD, / AFE=Z BFD, / DAC=Z EBC在 ADC和4BDF中，DA

15、C DBFADC BDF,AD BD .ADCABDF7 (AAS), BF=AC(2) NE=1AC,理由是： 2如圖2,由折疊得： MD=DC,1. DE/AM, .AE=EC ,.BEAC, .AB=BC,/ ABE=Z CBE, J由(1)得：AADCABDF, .ADCAADM,.,.BDFAADM,/ DBF=Z MAD , / DBA=Z BAD=45 ； / DBA- / DBF=Z BAD- / MAD, 即 / ABE=Z - BANI, / ANE=Z ABE+Z BAN=2/ ABE,/ NAE=2/ NAD=2/ CBE/ ANE=Z NAE=45 ；-ae=en1E

16、N= -AC. 25.在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A (3, 0),點(diǎn)B (0, 4),把ABO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得AABO',點(diǎn)B, O旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 B； O.(1)如圖1,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90。時(shí)，求BB的長(zhǎng)；(2)如圖2,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為120°時(shí)，求點(diǎn)O'的坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，邊 OB上的一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 P；當(dāng)O'P+AP取得最小值 時(shí)，求點(diǎn)P'的坐標(biāo).(直接寫(xiě)出結(jié)果即可)【答案】(1) 5應(yīng)；(2) O' (9,空)；(3) P' (27225【解析】【分析】(1)先求出AB.利用旋轉(zhuǎn)判斷出 ABB是等腰直角三角

17、形，即可得出結(jié)論；(2)先判斷出/HAO'=60：利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AH, OH,即可得出結(jié)論；(3)先確定出直線 O'C的解析式，進(jìn)而確定出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.【詳解】(1) . A (3, 0) , B (0, 4) , .1.OA=3, OB=4, ，AB=5,由旋轉(zhuǎn)知，BA=B'A,/BAB=90 ,。. MBB'是等腰直角三角形，. BB=應(yīng) AB=5 72 ；(2)如圖 2,過(guò)點(diǎn) O'作 O'Hx 軸于 H,由旋轉(zhuǎn)知， O'A=OA=3, Z OAO'=120

18、°, / HAO'=60 Z HO'A=30 ； . AH=-AO'=-,OH=，., 3 AH=212,OH=OA+AH=-,2.O'(9,巫；22(3)由旋轉(zhuǎn)知，AP=AP,O'P+AP=O'P+AP.如圖3,作A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) C,交 y 軸于 P,O'P+AP=O'P+CP=O'C,此日O'P+AP 的值最小.點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，C(-3, 0).連接O'CO' (9,33),，直線O'C的解析式為y=22&x+典，令皿、坦,.P (0,. O'p=O

19、P=3/| ,作 P'DO'H 于 D.5 / B'O'A=Z BOA=90 ； / AO'H=30 ；/ DP'O'=30 ,3 3.O'D=- O'P= ，P'D=?3 O'D= , .DH=O'H- O'D=6/1 , O'H+P'D=-27 , . P (1010合盛)55K2圖3【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，構(gòu)造出直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.6.已知4ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，邊 AB在射線O

20、M上，且OA=6,點(diǎn)D是射線OM 上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) D不與點(diǎn)A重合時(shí)，將4ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得至ij ABC已連接DE.(1)如圖1,猜想：4CDE的形狀是 三角形.(2)請(qǐng)證明(1)中的猜想(3)設(shè) OD=m,當(dāng)6vmv10時(shí)，4BDE的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出4BDE周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 是否存在m的值，使4DEB是直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖1圖2【答案】(1)等邊；(2)詳見(jiàn)解析；(3)273+4；當(dāng)m=2或14時(shí)，以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.【解析】【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)猜想結(jié)論；(2)由

21、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到 /DCE=60°, DC=EC,即可得到結(jié)論；(3) 當(dāng)6vmv10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到 BE=AD,于是得到CadbE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DE=CD,由垂線段最短得到當(dāng)CD± AB時(shí)，4BDE的周長(zhǎng)最小，于是得到結(jié)論； 存在，分四種情況討論：a)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，D, B, E不能構(gòu)成三角形； b）當(dāng)0用<6時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到 Z ABE=60°, / BDEv60°,求得/BED=90°,根據(jù)等邊 三角形的性質(zhì)得到 /DEB=60°,求得/CEB=30

22、6;,求得OD=OA- DA=6-4=2=m；c）當(dāng)6<m< 10時(shí)，此時(shí)不存在；d）當(dāng)m>10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到 Z DBE=60 °,求得/ BDE> 60°,于是得到 m=14.【詳解】（1）等邊；（2）二將 4ACD 繞點(diǎn) C 逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 60° 得到 4BCE/ DCE=60°, DC=EC,.CDE是等邊三角形.（3） 存在，當(dāng)6vt<10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：BE=AD, Cadbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由（1）知，4CDE是等邊三角形，. DE=CD,.Ca dbe=CD+4,由垂線段

23、最短可知，當(dāng)CD）± AB時(shí)，4BDE的周長(zhǎng)最小，此時(shí)， CD=2 J3 , .BDE 的最/、周長(zhǎng)=CD+4=2 73+4；存在，分四種情況討論：a）二當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，D, B, E不能構(gòu)成三角形，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，不符合 題意；b）當(dāng) 0用<6 時(shí)，由旋轉(zhuǎn)可知， Z ABE=60 °, /BDEv 60°,，/BED=90°,由（1）可知， CDE是等邊三角形，/ DEB=60 °,/ CEB=30 °. / CEB=Z CDA,/ CDA=30 :./CAB=60；Z ACD=Z ADC=30 ； . DA=CA=4

24、, . OD=OA DA=6 - 4=2, . m=2;Cc）當(dāng) 6vmv10 時(shí)，由 Z DBE=120 °> 90°,，此時(shí)不存在；d）當(dāng)m>10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，Z DBE=60°,又由（1）知/CDE=60°,Z BDE=Z CDEnZ BDC=60 +Z BDC,而 / BDC> 0 °, . / BDE>60 °, .只能 / BDE=90 ；從 而/BCD=30°,BD=BC=4,，OD=14,，m=14.綜上所述：當(dāng) m=2或14時(shí)，以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.【點(diǎn)睛】

25、本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形周長(zhǎng)的計(jì)算，直角三角形的判 定，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.7.如圖，點(diǎn)P是正方形 ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接 PA, PB, PC.將 PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到P'CB的位置.（1）設(shè)AB的長(zhǎng)為a, PB的長(zhǎng)為b（b<a）,求 PAB旋轉(zhuǎn)到 P'CB的過(guò)程中邊 PA所掃過(guò)區(qū)域（圖中陰影部分)的面積；(2)若 PA=2, PB=4, /APB=135：求 PC 的長(zhǎng).【答案】S陰影=4(a2-b2)； (2)PC=6.【解析】試題分析：(1)依題意，將/P' CB時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。可與4PAB重合，此

26、時(shí)陰影部分面積 二扇 形BAC的面積-扇形BPP的面積，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，兩個(gè)扇形的中心角都是90。，可據(jù)此求出陰影部分的面積.(2)連接PP；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知： BP=BP；旋轉(zhuǎn)角ZPBP'=90°,則4PBP是等腰直角三 角形，/BP'C=/ BPA=135, /PP'C=/ BP'C-Z BP'P=135°-45 =90°,可推出PP'C是直角三角 形，進(jìn)而可根據(jù)勾股定理求出 PC的長(zhǎng).試題解析：(1)二,將4PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AP' CB位置，.PABAP'CB,Sa

27、pae=Sxp'cb,HS陰影=S扇形bac-S扇形bpp =斗(a2-b2);(2)連接PP,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：4AP形4CP BP.BP=BP ' ,=P' C=PA=2 PBP' =90 ° PBP是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32；又 / BP C= BPA=135,./PP' CbP'-aBP' P=1345°= 90 ；即 APP'是直角三角形.PC=L 1 +=6.考點(diǎn)：1.扇形面積的計(jì)算；2.正方形的性質(zhì)；3.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).8.在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn) A

28、 (0, 4),點(diǎn)B (-2, 0),把ABO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得4AB' Q'點(diǎn)B、。旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 B'、O'.(1)如圖，若旋轉(zhuǎn)角為60°時(shí)，求BB'的長(zhǎng)；(2)如圖，若AB/x軸，求點(diǎn)。'的坐標(biāo)；(3)如圖，若旋轉(zhuǎn)角為240°時(shí)，邊OB上的一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 P',當(dāng)O P+A取 得最小值時(shí)，求點(diǎn) P'的坐標(biāo)(直接寫(xiě)出結(jié)果即可)圖 圖VAYAg VA(2)點(diǎn)O'的坐標(biāo)為(8Z5 , 逑+4) ； ( 3)點(diǎn)P'的坐標(biāo)為(- 558 336, 55【解析】分析：(1)由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)

29、可得出 AB的長(zhǎng)度，連接BB',由旋轉(zhuǎn)可知：AB=AB', /BAB' =6 0進(jìn)而可得出4ABB為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求出BB'的長(zhǎng)；(2)過(guò)點(diǎn)O作OD，x軸，垂足為 D,交AB于點(diǎn)E,則AOEsABO,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性 質(zhì)結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可求出AE、OE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出點(diǎn) O'的坐標(biāo)；(3)作點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)A',連接AO'交x軸于點(diǎn) 巳 此時(shí)OP+AP'取最小值，過(guò) 點(diǎn)O作OF，y軸，垂足為點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)P作PMXOF,垂足為點(diǎn)M,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合解 直角三角形可求出點(diǎn) 。的坐標(biāo)，由A、A'關(guān)于x軸對(duì)

30、稱(chēng)可得出點(diǎn) A'的坐標(biāo)，利用待定系數(shù) 法即可求出直線AO'的解析式，由一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出OP的長(zhǎng)度，再在 RtAOPM中，通過(guò)解直角三角形可求出O'M、PM的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出此時(shí)點(diǎn)P'的坐標(biāo).詳解：(1) 丁點(diǎn) A(0, 4),點(diǎn) B( 2, 0) , .-.OA=4, OB=2,AB= 5/Oa2_Ob2 =2 而.在圖中，連接BB'.由旋轉(zhuǎn)可知： AB=AB', /BAB' =6 0 °， ABB為等邊三角形，. BB' AB=2 而.(2)在圖中，過(guò)點(diǎn)。作ODx軸，垂足為 D,交A

31、B于點(diǎn)E. AB7/ x 軸,O'ELx 軸,Z OEA=90 °=ZAOB.AE O'E AO' '由旋轉(zhuǎn)可知： / BAO £ BAO, AO AO=4, . AOEsABO, =，即AO BO AB延=些=3，小上述，OE=W5, .OgWl+d .點(diǎn)O,的坐標(biāo)為422.5555,85 4、5(，+4).55(3)作點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)A',連接A。'交x軸于點(diǎn) 巳 此時(shí)OP+AP'取最小值，過(guò)垂足為點(diǎn)M,如圖3所示.點(diǎn)。作OF，y軸，垂足為點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)P作PMXOF,由旋轉(zhuǎn)可知： AO'AO=4, Z O

32、AF=240 - 180 =60 °,AF=1AO，= 2OF=2/!aO，=23 2'2'點(diǎn) O,( - 26，6).點(diǎn) A (0, 4) , 點(diǎn) A' (0, - 4).設(shè)直線A。'的解析式為y=kx+b,將 A' (0, - 4)、O' ( - 2 J3 , 6)代入 y=kx+b,得:b 4kL，解得：k2、3k b 6一b5 33, 直線A。'的解析式為y=-43x-4.3當(dāng) y=0 時(shí)，有-5c x - 4=0,解得：x=-3，OP=OP 41 .5逑，點(diǎn)P （-迪，0）,在 RtAOPM 中，/MOP' =

33、60°/O'MP'=90° .,.OM=- OP? 23 25PM = 2OP I，.點(diǎn) P的坐標(biāo)為(2J3+ 撞，6+6）,即（一8、3 36、55點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)圖象及旋轉(zhuǎn)變換、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、等邊三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是：（1）利用等邊三角形的性質(zhì)找出 BB的長(zhǎng)；（2）通過(guò)解直角三角形求出 AE、OE的長(zhǎng)；（3）利用兩點(diǎn) 之間線段最短找出當(dāng) O P+AP'取得最小值時(shí)點(diǎn) P的位置.9.如圖，點(diǎn)A是x軸非負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) 點(diǎn)M繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到點(diǎn)C, 軸的

34、垂線與直線CF相交于點(diǎn)E,連接AC,（I ）當(dāng)t=2時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（n ）設(shè)ABCE的面積為S,當(dāng)點(diǎn)C在線段 自變量t的取值范圍；B坐標(biāo)為（0, 4） , M是線段AB的中點(diǎn)，將 過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為 F,過(guò)點(diǎn)B作y BC,設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為t.EF上時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出（出）當(dāng)t為何值時(shí)，BC+CAM得最小值.3【答案】(1) (1,2); (2) S=- t+8 (0Wt &8; (3)當(dāng) t=0 時(shí)，BC+ACW最小值2【解析】試題分析：(I)過(guò)M作MGLOF于G,分另1J求 OG和MG的長(zhǎng)即可；(II)如圖1,同理可求得 AG和OG的長(zhǎng)，證明AMG0CA

35、F,得：AG=CF=- t2，AF=MG=2,分別表示EC和BE的長(zhǎng)，代入面積公式可求得S與t的關(guān)系式；并求其t的取值范圍；(III)證明ABOsCAF,根據(jù)勾股定理表示 AC和BC的長(zhǎng)，計(jì)算其和，根據(jù)二次根式的 意義得出當(dāng)t=0時(shí)，值最小.試題解析：解：(I)如圖1,過(guò)M作MGLOF于G,，MG/OB,當(dāng)t=2時(shí)，OA=2.M是AB的中點(diǎn)，G是AO的中點(diǎn)，. .OG=1OA=1, MG是4AOB的中位線，2.MG = 1 OB=1 X 4=2 M (1, 2)；22(II)如圖 1,同理得：OG=AG=1t. ./BAC=90：2 / BAO+Z CAF=90 :/ CAF+ Z ACF=9

36、0 : ：. / BAO=Z ACF, / MGA=Z AFC=90 ;MA=AC,AAMGACAF, .AG=CF=1t, AF=MG=2, EC=4 - - t, BE=OF=t+2,22 .Sabcez1 EC?BE=1 (4- 1t) (t+2) =- 1t2+- t+4; 22242c 11 c 2 121,2, cc c 3,cSaabc= ?AB?AC= ? J16 t2 ? v16 t = - t2+4, 1. S=Sabec+Saabc=t+8.22242當(dāng)A與O重合，C與F重合，如圖2,此時(shí)t=0,當(dāng)C與E重合時(shí)，如圖3, AG=EF,即t=4, t=8,. S與t之間的函

37、數(shù)關(guān)系式為：S= t+8 (04W8 ；22(III)如圖 1,易得AB8 4CAF, 旭=旭=OA=2, .-5=2, CF="t,由勾股定理AC AF FC2得:ac=7aF2 CF2=22 （-02 =（4 1t2，BO JBE2 EC2 = J（t 2）2 （4 ）2=/（t2 4）, .BC+AC=（述+1）點(diǎn)睛：本題考查了幾何變換綜合題，知識(shí)點(diǎn)包括相似三角形、全等三角形、點(diǎn)的坐標(biāo)、幾 何變換(旋轉(zhuǎn))、三角形的中位線等，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解 決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.10.已知：如圖1,將兩塊全等的含 30o角的直角三角板按圖所示

38、的方式放置，/BAC=/ BiAiC=30°,點(diǎn) B, C, Bi 在同一條直線上.(1)求證：AB=2BC(2)如圖2 ,將 4ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a (0V /V 180),在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè) AB與 AiC、A1B1分別交于點(diǎn) D、E, AC與A1B1交于點(diǎn)F,當(dāng)a等于多少度時(shí)， AB與A1B1垂直？ 請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)如圖3,當(dāng)4ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至如圖所示的位置，使 AB/CB, AB與A1C 交于點(diǎn)D,試說(shuō)明A1D=CD.國(guó) 1® 2®【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于 30。時(shí)，AB與AiBi垂直.(3)理由見(jiàn)解析【解析】試題分析：由

39、等邊三角形的性質(zhì)得AB=BBi,又因?yàn)锽Bi=2BC,得出AB=2BQ(2)利用AB與A1B1垂直得/AiED=90°,則/ AiDE=90°-/Ai=60 °,根據(jù)對(duì)頂角相等得Z BDC=60 ,°由于Z B=60 ；利用三角形內(nèi)角和定理得Z AiCB=180°-Z BDC-Z B=60°,所以ZACAi=90°-Z AiCB=30°,然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得到旋轉(zhuǎn)角等于30°時(shí)，AB與A1B1垂直；(3)由于AB/ CB, Z ACB=90°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得 Z ADC=90°,在

40、RtADC中，根據(jù)含130度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CD=-AC,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 AC=AiC,所以21CD=-AiC,貝U AiD=CD.2試題解析：(1) ABB是等邊三角形；AB=BBiBBi=2BC2 .AB=2BC(2)解：當(dāng) AB 與 A® 垂直時(shí)，Z AiED=90°,3 Z Ai DE=90-Z Ai=90 -30 =60 ,Z B=60 , Z BCD=60 ,4 Z ACAi=90 -60 =30 ,即當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于 30°時(shí)，AB與AiBi垂直.(3) . AB/CB, Z AC0=9O ,Z CDB=90 ；即 CD 是 ABC 的高,

41、設(shè) BC=a , AC=b，則由(1)得 AB=2a, Aic=b ,1 1S abc BC AC AB CD , 221 1即一ab - 2a CD2 2“1, 1CD b ,即 CD=AiC, 22，AiD=CD.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等； 對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系.11.如圖 1,在 4ABC中，CA=CB /ACB=90°, D 是4ABC內(nèi)部一點(diǎn)，/ ADC=135°,將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,連接DE.(1) 依題意補(bǔ)全圖形；

42、 請(qǐng)判斷/ADC和/CDE之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫(xiě)出答案.(2)在(1)的條件下，連接 BE,過(guò)點(diǎn)C作CMLDE,請(qǐng)判斷線段 CM, AE和BE之間的 數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.(3)【解析】A(3)如圖2,在正方形 ABCD中，ABi/2,如果PD=1, / BPD=90 ,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) A到BP/ADC+/ CDE=180; (2) AE=BE+2CM) 理由解析;試題分析：(1)作CE!CD,并且線段CE是將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到的， 再連接DE即可；根據(jù)/ ADC和/ CDE是鄰補(bǔ)角，所以 / ADC+/ CDE=18 0.(2)由(1)的條件可得 A、D、E三點(diǎn)在同一條直線上

43、，再通過(guò)證明4ACgABCE,易得AE=BE+2CM(3)運(yùn)用勾股定理，可得出點(diǎn)A到BP的距離.試題解析：解：(1) 依題意補(bǔ)全圖形(如圖)； /ADC+/ CDE=180°.(2)線段CM, AE和BE之間的數(shù)量關(guān)系是 AE=BE+2CM理由如下:線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段CE,.CD=CE /DCE=90.°/ CDE=Z CED=45.°又 / ADC=135 , / ADC+Z CDE=180 ,° A、D、E三點(diǎn)在同一條直線上.，AE=AD+DE又 / ACB=90 , / ACB- / DCB=Z DCE- / DCB, 即 / A

44、CD=Z BCE又. ACmBC cd=ce .ACDABCE.AD=BE. , CD=CE / DCE=90 ； CM± DE. . DE=2CM. .AE=BE+2CM。-1(3)點(diǎn)A到BP的距離為 鼻.考點(diǎn)：作圖一旋轉(zhuǎn)變換.12.在 ABC中，AB=AC,將線段AC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)彳#到線段 CD,旋轉(zhuǎn)角為門(mén)，且 < n < 18T',連接 ad、BD.(1)如圖1,當(dāng)/BAC=100,優(yōu)=6°:時(shí)，/CBD的大小為 ;(2)如圖2,當(dāng)/BAC=100,優(yōu)=20.時(shí)，求/CBD的大?。?3)已知/BAC的大小為m (60°j ,若/ C

45、BD的大小與(2)中的結(jié)果相同，請(qǐng)直接寫(xiě)出q的大小.圖1圖2【答案】(1) 30°； (2) 30°； (3) a =120-m°, a =60或 a =240m°.【解析】試題分析：(1)由/BAC=100, AB=AC,可以確定/ABC=/ ACB=40 ,旋轉(zhuǎn)角為 % a =60° 時(shí)4ACD是等邊三角形，且 AC=AD=AB=CD知道/ BAD的度數(shù)，進(jìn)而求得 / CBD的大小.(2)由 /BAC=100, AB=AC,可以確定 Z ABC=Z ACB=40,連結(jié) DF、BF. AF=FC=AQ/ FAC=Z AFC=60 ,°

46、; / ACD=20，由/ DCB=20 案.依次證明 DC噂 FOB, DABDAF.利用角度相等可以得到答案.(3)結(jié)合(1) (2)的解題過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求得答案.試題解析：(1) 30° (2) 30°(2)如圖作等邊 AFC,連結(jié)DF、BF.AF=FC=AC / FAC=Z AFC=60 ,° Z BAC=100 , ° AB=AC,Z ABC=Z BCA=40 .° / ACD=20 ,°/ DCB=20.° ./ DCB=/FCB=20 . . AC=CD, AC=FCDC=FC ,. BC=BC 由，得 D

47、C® FOB,DB=BF, / DBC=Z FBC. / BAC=100 ,° / FAC=60, °/ BAF=40 .° / ACD=20 ； AC=CD / CAD=80 :/ DAF=20 ,°/ BAD=Z FAD=20 .° . AB=AC, AC=AF, . . AB=AF. AD=AD,，由 ，得DAB0DAF.FD=BD. . . FD=BD=FB . . / DBF=60 . ° / CBD=30(3) a =120-m°, a =60或 a =240m° .考點(diǎn)：1.全等三角形的判定

48、和性質(zhì)；2.等邊三角形的判定和性質(zhì).13.在4ABC中,AB=6,AC=BC=5各 ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 彳導(dǎo)到4ADE旋轉(zhuǎn)角為 a (0°< “V 180。)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E連接BD, BE.(1)如圖，當(dāng)a =60時(shí)，延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F. 求證：ABD是等邊三角形；求證：BF± AD, AF=DF;請(qǐng)直接寫(xiě)出BE的長(zhǎng)；(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)D作DG垂直于直線 AB,垂足為點(diǎn)G,連接CE當(dāng)/ DAG=/ ACB且線 段DG與線段AE無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BE+CE勺值.c【答案】（1） 詳見(jiàn)解析；3招-4; （2） 13.【解析】

49、試題分析：（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知 AB=AD, /BAD=60即可得證；由BA=BD EA=ED根 據(jù)中垂線性質(zhì)即可得證；分別求出BF、EF的長(zhǎng)即可得；（2）由/ ACB+/ BAC+/ ABC=180、° / DAG+/ DAE+/ BAE=180、° / DAG=/ ACR / DAE=Z BAM/ BAE=/BAC且 AE=AC 根據(jù)三線合一可得 CE1 AB、 AC=S AH=3,繼而知 CE=2CH=8BE=5,即可得答案.試題解析：（1）.一ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 60。得到AADE,.AB=AD, /BAD=60；.ABD是等邊三角形；由得4ABD是等邊三角形，.AB=BD, ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 60得到 ADE, .AC=AE BC=DE又. AC=BCEA=ED點(diǎn)B、E在AD的中垂線上,.BE是AD的中垂線，點(diǎn)F在BE的延長(zhǎng)線上，BFXAD, AF=DF; 由 知BFXAD, AF=DF, .AF=DF=3,.AE=AC=5,EF=4,在等邊三角形ABD 中,BF=AB?sinZ BAF=6BE=BF- EF=3右-4;（2）如圖所示, / DAG=Z ACB, / DAE=Z BAG, / ACB+/ BAC+Z ABC=Z DAG+Z DAE+Z ABC=180 ,又 / DAG+Z DAE+/ BAE=180 ,Z BAE=Z