31等差數(shù)列及其求和(教師版)

1、ISO講義露趣味導(dǎo)入同學(xué)們看看左邊幾張圖片，你們可發(fā)現(xiàn)了什么有趣的現(xiàn)象？我們發(fā)現(xiàn)姚明比劉翔 高一個(gè)頭的高度，劉翔 比楊哥高一個(gè)頭的高 度，楊哥比郭敬明高一 個(gè)頭。那么他們的身 高有什么關(guān)系呢學(xué)員姓名：年級：高三輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師:授課日期2020.06.14授課時(shí)段8; 0010:00授課主題等差數(shù)列及其前N項(xiàng)和教學(xué)目標(biāo)1 .理解等差數(shù)列的概念.2 .掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3 .能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題.4 .了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：等差數(shù)列及其前 n項(xiàng)和的求法難點(diǎn)：等差數(shù)列及其前 n項(xiàng)和的綜合運(yùn)用教學(xué)

2、內(nèi)容I*知識(shí)典例、知識(shí)梳理1 .等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第 2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差 數(shù)列.符號(hào)表示為 an1an= d(n C N*, d為常數(shù)).a-b b(2)等差中項(xiàng)：數(shù)列a, A, b成等差數(shù)列的充要條件是A=a=b,其中A叫做a, b的等差中項(xiàng).2 .等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an= a1+ (n 1)d.、一 七 .n (n - 1)(a + a_n)(2)刖n項(xiàng)和公式：Sn=膽土_2d=23 .等差數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和.(1)通項(xiàng)公式的推廣：an = am + (n-m)d(

3、n, mCN*).(2)若 k+ l = m+n(k, l, m, nC N*),則 ak+ ai = am+an.2d.(3)若an的公差為d,則a2n也是等差數(shù)列，公差為(4)若bn是等差數(shù)列，則pan+qbn也是等差數(shù)歹U.數(shù)列Sm, S2mSm, S3mS2m,構(gòu)成等差數(shù)列.常用結(jié)論1 .等差數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式：當(dāng)公差 dw0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an= ai+ (n 1)d= dn + aid是關(guān)于n的一次函數(shù)，且一次項(xiàng)系數(shù)為公差d.若公差d>0,則為遞增數(shù)列，若公差d<0,則為遞減數(shù)列.列.(2)前n項(xiàng)和：當(dāng)公差 dw0時(shí)，Si = na1 +(3)單調(diào)性：

4、當(dāng)d>0時(shí)，數(shù)列an為遞增數(shù)列；當(dāng)2.記住兩個(gè)常用結(jié)論(1)關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)若項(xiàng)數(shù)為2n,則S<s-Sw=nd,S偶 an + 1右項(xiàng)數(shù)為2n1,則S偶=(n1)an, $奇=門2門,de dd = 2n2+ a1一2 n是關(guān)于n的一次函數(shù)且吊數(shù)項(xiàng)為 0.d<0時(shí)，數(shù)列an為遞減數(shù)列；當(dāng)d=0時(shí)，數(shù)列an為常數(shù)(2)兩個(gè)等差數(shù)列an, bn的前n項(xiàng)和Sn, Tn之間的關(guān)系為S2n 1 an - = T2n-1 bn考點(diǎn)1等差數(shù)列基本量的計(jì)算(師生共研)75 【例1】(1)( 一題多解)已知等差數(shù)列an中，a1 + a4 = a3+a6=5,則公差d=()1

5、A.6B- 112-1C- -61D.12(2)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若3S3=S2+S4, a1=2,則as=()B. 10C. 10D. 12(2019高考全國卷 出)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若Sio a2 0, a2 = 3a1,貝U7rS5(1)D (2)B (3)47a1 + a4 =6通解：由5a3 + a6 = _,6八 一 72a1+ 3d = ", 6得c i 52a1+ 7d= o, 6解得17 a1 = 24?故選D. 112,優(yōu)解：由等差數(shù)列的性質(zhì)知5 -71 ,a3+a6= (a +2d)+(a4+2d)= (a +a4)+4d = 6，又

6、 a1+ a4=,所以 d=一土.故選D.(2)設(shè)等差數(shù)列an的公差為3X24X3d,因?yàn)?3S3=S2+S4,所以 3(3a1 + -2-d)= 2a+d +4ai+-2-d,解得 d =因?yàn)閍1=2,所以d=3,所以as=a1+4d=2 + 4X (-3)=- 10.故選 B.解.(3)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由 a2= 3a1,即 a1 + d= 3a1,得 d = 2a1，10X 9c10a1+ d 10a1 +所以S' = 一斤一10X 92X2a15X45a1+2-d5a1 + 2-乂 2a1等差數(shù)列運(yùn)算問題的通性通法(1)等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d

7、,然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1, an, d, n, Sn,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題.1【變式一】在公差不為。的等差數(shù)列an中，4a3+aii3a5= 10,則/4=()A . 1B. 0C. 1D.【答案】C.【解析】 選 C.法一：設(shè)an的公差為 d(dw0),由 4a3+a11 3a5=10,得 4(a1+2d)+(a1+10d) 3(a1 + 4d)=10, 即 2a1 + 6d = 10,即 a1 + 3d= 5,故 a4= 5,所以 5a4= 1,故選 C.法一:設(shè)an的公差為 d

8、(dw0),因?yàn)?an=am+(n m)d,所以由 4a3 + a11 3a5= 10,得 4(a4 d)+ (a4+ 7d)1，3(a4+d) = 10,整理得 a4= 5,所以5a4=1,故選 C.法三：由等差數(shù)列的性質(zhì) ，得 2a7+3a3 3a5= 10,得 4a5+a33a5= 10,即 a5+a3=10,則 2a4=10,即 a4=5,所以5a4=1,故選C.【變式二】設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，且a2=6, a6=6, Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則()A , S4<S3B, S4=S3C. S4>S1D. S4= S1【答案】B.a1+d = 6,a1 = 一9,【解析】：

9、選B.設(shè) an的公差為d,由a2= 6, a6= 6,得解得于是S1=9,S3=3X( a1 + 5d = 6,d= 3.3X24X3一,9)+-2 X 3=- 18, S4=4X (-9)+2X3=- 18,所以 S4=S3, ?<8,故選 B.考點(diǎn)2等差數(shù)列的判定與證明(師生共研)【例1】設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2n1.數(shù)列bn滿足b=2, bn+1 2bn = 8an.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；、r 一. bn(2)證明：數(shù)列 2n為等差數(shù)列，并求bn的通項(xiàng)公式.【解析】(1)當(dāng) n=1 時(shí)，a1=S1= 211 = 1;當(dāng) n>2 時(shí)，an= Sn- Sn 1

10、 = (2n- 1)- (2n 1 - 1) = 2n.因?yàn)閍1=1適合通項(xiàng)公式 an=2-I所以an=2n L(2)證明：因?yàn)?bn+12bn = 8an,所以 bn+1-2bn=2n+2,bn+1_bn_2n-1-？n- 2.b bi 、又1，bn所以 即是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.所以 bn-= 1 + 2(n 1)= 2n 1.所以 bn=(2n 1)X 2n.等差數(shù)列的四個(gè)判定方法(1)定義法：證明對任意正整數(shù) n都有an+1 an等于同一個(gè)常數(shù).(2)等差中項(xiàng)法：證明對任意正整數(shù)n都有2an+1 = an + an + 2后，可遞推得出an+2 an+1 = an + 1 an

11、= an an 1 =an1 an2 =a2a1，根據(jù)定義彳#出數(shù)列an為等差數(shù)列.(3)通項(xiàng)公式法：得出an=pn+q后，得an+1 an=p對任意正整數(shù)n恒成立，根據(jù)定義判定數(shù)列an為等差數(shù) 列.(4)前n項(xiàng)和公式法：得出Sn=An2+Bn后，根據(jù)Sn, an的關(guān)系，得出an,再使用定義法證明數(shù)列an為等差 數(shù)列.1【例2】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn且滿足an+2Sn Sn 1 = 0(n>2), a1=-.(1)求證：Sn是等差數(shù)列.(2)求an的表達(dá)式.【解析】(1)證明：因?yàn)閍n=Sn-Sn 1(n>2),又 an= 2Sn Sn-1 ,所以 Sn 1 Sn = 2Sn

12、 Sn 1 , SnW0.11因此 T o= 2(n > 2).Sn Sn-11 11故由等差數(shù)列的定義知J是以±='=2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.SnS1 a1,11 .(2)由(1)知(n-1)d=2 + (n-1)X2=2n,Sn S1-1即Sn.2n1由于當(dāng) n> 2 時(shí)，有 an= 2Si Sn 1 =,2n n 1又因?yàn)閍1=1,不適合上式.1,2，n 1, 所以an =1 ,n>2. 2n n 1變式訓(xùn)練【變式一】已知數(shù)列an中，a1=2, an= 2-(n>2, nC N*),設(shè)bn=二(nCN*).求證：數(shù)列bn是等差數(shù)an 1an

13、 1列.【解析】- an= 2-(n>2),，an+1 = 2 .an 1'"an1an一 1bn+1 bn= 一 = = 1 ,an+1 1 an 12 1 1 an 1 an 1an1，bn是首項(xiàng)為b1= 2- = 1,公差為1的等差數(shù)列.【變式-1已知數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為Sn, a = 1, anw 0, anan+1 =入n 1,其中入為常數(shù).(1)證明：an+2an =入；(2)是否存在 力使得an 為等差數(shù)列？并說明理由.【解析】：(1)證明：由題設(shè)知 anan+1=入n 1 , an+1an+2=入n+1 1 ,兩式相減得 an+1 (an+2 an)=

14、入n+1,由于 an + 1W0,所以an+2 an =入(2)由題設(shè)知 a1 = 1, a1a2=入 1-1,可得a2= k 1.由知,a3=計(jì)1.令 2a2= a1+ a3,解得壯4.故 an+2 an= 4,由此可得a2n-1是首項(xiàng)為1 ,公差為4的等差數(shù)列，a2n 1 = 4n-3;a2n是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列，a2n=4n1.所以 an = 2n 1, an+1 an = 2,因此存在仁4,使得數(shù)列an為等差數(shù)列.考點(diǎn)3等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用(多維探究)角度一等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)的應(yīng)用【例1】(1)等差數(shù)列an中，ai+3a8+ai5= 120,則2a9aio的值是()A. 20B.

15、 22C. 24D. 8(2)一個(gè)等差數(shù)列的前 12項(xiàng)的和為354,前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和的比為32 ： 27,則該數(shù)列的公差d為.【答案】(1)C (2)5【解析】(1)因?yàn)?a +3a8 + a5=5a8=120,所以 a8= 24, 所以 2a9a1o= a1o + a8 a1o = a8 = 24.(2)設(shè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為 S奇，偶數(shù)項(xiàng)的和為S偶，等差數(shù)列的公差為 d.由已知條件，得St+S禺=354,S禺：St=32 : 27,S禺=192, 解得St= 162.又S偶一S奇=6d,192-162所以d=5角度二等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用【例2】(1)在等差

16、數(shù)列an中，a1 = - 2 018,其前n項(xiàng)和為若S22 S0 = 2,則S2 018的值等于()A . 2018B.- 2016C. 2019D.- 2017(2)已知等差數(shù)列an的前10項(xiàng)和為30,它的前30項(xiàng)和為210,則前20項(xiàng)和為()A .100B.120C.390D.540【答案】(1)A (2)A【解析】(1)由題意知，數(shù)列Sn為等差數(shù)列，其公差為1 ,所以2=彳+ (2 018 1)X 1 = 2 018 + 2 017 = - 1.所以 S2 018=- 2 018.(2)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則S10, S20-S10, S30-S20成等差數(shù)列，所以 2(S2

17、0 S10) = S10+ (S30 S20),又等差數(shù)列an的前10項(xiàng)和為30,前30項(xiàng)和為210,所以 2(S20 30) = 30+(210 S20),解得 S20= 100.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，aman=(mn)d?am-an=d(mwn),其幾何意義是點(diǎn)(n,an),(m,am)所m- n在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差.(2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，Sn為其前n項(xiàng)和，則 S2n = n(ai + a2n)=n(an + an+1)； S2n - i = (2 n 1)an；Sn是首項(xiàng)為ai,公差為|的等差數(shù)列.【變式一】(一題多解)(2020惠州模擬)

18、已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a2+a3 + a4 =15, a7 = 13,則S5=()A. 28B. 25C. 20D. 18【答案】選B.a+d + a + 2d+ a+ 3d =15,a1 = 1,【解析】通解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由已知得解得所以S5=5a1 +a1+6d=13,d = 2,5X 45X45±d=5X1 + 5X 2=25,故選 B.一 .一5 (a1 + a5)5 X 2a3.優(yōu)斛：由an是等差數(shù)列，可得a2+a4=2a3,所以a3= 5,所以S5=2=2 =25,故選B.【變式二】等差數(shù)列an與bn的前n項(xiàng)和分別為&和Tn,若1，則扁

19、等于(八37 A -B.38272839 c -D.402930【答案】選A.13 /.(a1 + a13)r 鏟矯】a7 2az a1+a13 2 Sn 3X132 37【斛析】b7=2b7=b1 + b13=,h=T13=2X 13+1=27.2 (b1+b13)【變式三】設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=9, S6=36,則27+28+29等于(A. 63B. 45C. 36D. 27答案B解析由an是等差數(shù)列，得S3, S6-S3, S9 S6為等差數(shù)列，即 2(S6 S3)=S3+(S9 S3),得到 S9-Sj = 2S6- 3S3=45,故選 B.【變式四】已知在等差數(shù)列

20、an中，a5 + a6= 4,則Iog2(2a1 a2 a0)=()10B. 20C.40D. 2+log 25【解析】因?yàn)?2a1 a2a0= 2a + a2+ + a0= 25(a5+ a6) = 25 4,所以 Iog2(2a1 a2 a10)=log225 4= 20.選 B.【父1式五】設(shè)Sn, Tn分別是等差數(shù)列an, bn的刖n項(xiàng)和，右a5= 2b5,則=()I 9B. 3C.D. 6選A.由a5 = 2b5,得k=2,所以b59 a+ a9S92T99 b+b92匿=2,故選A.【變式六】在項(xiàng)數(shù)為 2n+ 1的等差數(shù)列an中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為 165,所有偶數(shù)項(xiàng)的和為150,則

21、n等于(B. 10C.11D. 12等差數(shù)列有2n+1項(xiàng)，$奇=n+1 a+a2n+1n a2 + a2n又 a1+a2n+1 = a2 +a2n, .S n 150 10Stn+1165 11'n= 10.【變式七】已知數(shù)列an是等差數(shù)列，其前 n項(xiàng)和Sn有最大值，且a2 019??？T，則使得“0的n的最大值為(C.2 0184 035B.D.2 0194 037設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由題意知d<0, a2 018>0, a2 018+32 019<0, 所以 3 035 =4 035 a1+a4 035035a2 018>0, S4 036=4 036

22、a1+a4 0364 036a2 018+ a2 019a 2 Ta<0,所以使得Sn>0的n的最大值為4 035,故選C.考點(diǎn)4等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題（典例遷移）【例1】等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為3,已知ai=13, S3=Sii,當(dāng)Sn最大時(shí)，n的值是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】 C【解析】法一：由S3=Sii,得a4+a5+aii= 0,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可彳導(dǎo)a7+a8= 0.根據(jù)首項(xiàng)等于13可推知這個(gè)數(shù)列遞減，從而得到a7>0, a8<0,故n= 7時(shí)Si最大.法二：由 S3=Sii,可得 3ai + 3d=iiai + 55d,把 ai=

23、i3 代入，得 d = 2,故 Sn= i3nn（ni）= n2+i4n. 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，知當(dāng)n=7時(shí)Sn最大.法三：根據(jù)ai=i3, S3 = Sii,知這個(gè)數(shù)列的公差不等于零，且這個(gè)數(shù)列的和是先遞增后遞減.根據(jù)公差不為3 ii零的等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，以及二次函數(shù)圖象的對稱性，可得只有當(dāng)n=3k =7時(shí)，&取得最大值.【遷移探究】（變條件）將本例中“ai = i3, S3=Sii"改為"ai=20, Sw = Si5"，則n為何值？【解析】因?yàn)閍i=20, Sio= Si5,所以 iOXZO+W9d=i5X20+i5；i4d,所

24、以 d = 5. 223法":由 ani=20+(ni)x = 2n +與，得 ai3= 0. 333即當(dāng) nW i2 時(shí)，an>0,當(dāng) n>i4 時(shí)，an<0.所以當(dāng)n=i2或n=i3時(shí)，Sn取得最大值.葉_ on (n i)法: Sn=20n+2-|n2+Tn525 2 3 i256 n 2 + 24 .因?yàn)閚CN*,所以當(dāng)n=i2或n=i3時(shí)，S有最大值.法三： 由 Sio=Si5, 得 aii + ai2+ai3+ai4+ai5 = 0.所以 5a13=0,即 ai3= 0.所以當(dāng)n=i2或n=i3時(shí)，Sn有最大值.tn宿廚陽求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn及最值的2

25、種方法(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式 S = an2+bn,通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求 解.(2)鄰項(xiàng)變號(hào)法ami 0,當(dāng)ai>0, d<0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為 Sm;am+1 w 0am< 0,當(dāng)ai<0, d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.am+1 封 0【變式一】設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, ai>0且生=:9r,則當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n的值為()a5 iiA. 9B. i0C. iiD. i2【答案】選B.a69【斛析】 由一=77，得Sii = S9,即ai0+aii=0,根據(jù)首項(xiàng)ai&

26、gt;0可推知這個(gè)數(shù)列遞減,從而ai0>0, aii<0,故n = a5 iii0時(shí)，Sn最大.【變式二】已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若Si5>0, Si6<0,則Sn的最大值是()A. SiB. S7D. S8D. Si5【答案】選C.【解析】由等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式可得Si5=i5a8>0, Si6= 8(a8+a9)<0 ,所以as>0, a9<0,則d= a9 as<0,所 以在數(shù)列an中，當(dāng)n<9時(shí)，an>0,當(dāng)n>9時(shí)，an<0,所以當(dāng)n=8時(shí)，Sn最大，故選C.考點(diǎn)5等差數(shù)列前n項(xiàng)和綜合應(yīng)用【例

27、i】已知數(shù)列an的首項(xiàng)ai=i,前n項(xiàng)和為Sn(nC N*),且數(shù)列曾是公差為2的等差數(shù)列.(i)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn=(-i)nan,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.【解析】(i)由已知得 彳=i+ (n-i)x 2= 2n-i,所以Sn=2n2n.當(dāng) n R 2 時(shí),an= Sn Sn i = 2n2 n 2(n i)2 (n i) = 4n 3.而 ai=i = 4X i 3 滿足上式，所以 an = 4n 3, nCN .(2)由(i)可得 bn=(-i)nan=(-i)n(4n-3).當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，Tn=(- 1+5)+(-9+ 13)+ -(4n-7)+(4n-3) =

28、4X=2n；當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，n+1 為偶數(shù)，Tn=Tn+i-bn+i=2(n+1)-(4n+ 1) = - 2n+ 1.綜上,Tn =2n, n為偶數(shù),2n+ 1, n為奇數(shù).【例2】已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, nCN*,滿足a + a2=10, S5= 40.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn= |13-an|,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.【答案】an=2n + 2;當(dāng)nW5時(shí)，Tnn2+10n、當(dāng) nR6時(shí)，Tn=n2-10n+ 50.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由題意知，a1 + a2=2a+d=10,S5=5a3=40,即 a3= 8,所以 a+2d = 8,

29、a1 = 4,所以所以 an=4+(n-1) -2n+2.d=2,nW 5,n>6(2)令 cn= 13-an= 11- 2n,11-2n, bn= |Cn|= |11 2n|2n- 11 ,設(shè)數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和為Qn,則Qn=n2+10n.當(dāng) nW5時(shí)，Tn=b + b2+3 + bn= Qn = n2+10n.當(dāng) n>6 時(shí)，Tn= b1 + b2 + + bn= C1 + C2 + + C5 (C6 + C7 + + Cn) = Qn+ 2Q5= n2_ 10n + 2( 52+ 10X 5)= n2-10n+50.*1強(qiáng)化練習(xí)»:1.（一題多解）（2019高考全國

30、卷I）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S4=0, a5=5,則（）A. an=2n5B. an=3n 101 o -C.Sn=2n8nD.Sn=2n2n【答案】選A.【解析】：法一：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,-.4X3 . ,cS4 = 0,4a+ c d=0,a1 = - 3,因?yàn)樗怎盟?an=a1 + (n 1)d = 3+ 2(n 1) = 2n 5, Sn= na1 +a5 = 5,d= 2,a1+4d=5,n (n 1)2d= n2 4n.故選 A.法二：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,八 c4X3cS4= 0,4ai+d= 0ai = 3因?yàn)樗?2，解得a5 = 5,d =

31、2.ai + 4d=5,選項(xiàng) A, ai = 2X 1 5= 3;選項(xiàng) B, ai = 3X1-10=- 7,排除 B；選項(xiàng) C, Si = 2-8=- 6,排除 C;,一13選項(xiàng)D, Si = 2 2 = 7排除D.故選A.2.（一題多解）（2020沈陽質(zhì)量監(jiān)測）在等差數(shù)列an中，若Sn為前n項(xiàng)和，2a7 = a8 + 5,則Sii的值是（）B.11C. 50D.60【答案】選A.【解析】：通解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由題意可得2（ai + 6d）=ai + 7d+5,得ai+5d=5,則Sii= 11ai,iix 10, 為、片 A十 -2d= 11(ai+ 5d)= iix 5=55

32、,故選 A.優(yōu)解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d,由 2a7=a8+5,得 2(a6+d)= a6 + 2d+5,得 a6=5,所以 Sii= 11a6= 55, 故選A.3.（一題多解）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a4+a5=24,%=48,則an的公差為（）B.D.C.【答案】選C.【解析】：法一：等差數(shù)列an中,S6 =(ai + a6) x 6= 48,則 ai + a6= 16= a2+a5,又 a4+a5=24,所以 a4-a2 = 2d=24-16=8,得 d = 4,故選 C.法二：由已知條件和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前2ai+7d=24,n項(xiàng)和公式可列方程組，得 6X56a1+

33、 2d = 48,2ai + 7d=24,ai = 2,即解得故選C.2ai + 5d=16,d=4,4. （2020長沙市統(tǒng)一模擬考試）九章算術(shù)是我國古代第一部數(shù)學(xué)專著，全書收集了 其中一個(gè)問題為“現(xiàn)有一根九節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面四節(jié)容積之和為246個(gè)問題及其解法，3升，下面三節(jié)的容積之和為4升，求中間兩節(jié)的容積各為多少？”該問題中的第2節(jié)，第3節(jié)，第8節(jié)竹子的容積之和為（）A.B.【答案】選A.109 HLD-兩升ai + a2 + a3 + a4 = 3【解析】：自上而下依次設(shè)各節(jié)竹子的容積分別為ai, a2,，a9,依題意有，因?yàn)閍2+a3a7 + a8+ a9=

34、 43, 4 17 = ai+a4, a7+a9=2a8, 故 a2+a3+a8=三+不=不-.選 A.2 3 65.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Si,若am= 4,Sm= 0,Sm+ 2= 14(m>2,且mCN*),則a2 017的值為()B. 4 028C. 5 037D. 3 019【答案】選B.【解析】：由題意得am= a1+ ( m 1) d = 4, m(m1) Sm= ma1 +2 d = 0,Sm+2- Sm= am+1 + am+2= 2a+ (m + m+1) d=14,a1 = 4,斛得 m = 5, 所以 an= 4+(n 1)X2=2n 6, d=2,所以 a2

35、 017=2x2 017 6= 4 028.故選 B.6.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,若a6=2a3,則三=S5【解析】：S111 ,、2 (a1+a11)5八，、2 (a1 + a5)11a6 22-=T5a35 .17 .在等差數(shù)列an中，公差d =，刖100項(xiàng)的和S100= 45,則a1 + a3+a5+ a99 =【答案】10【解析】：因?yàn)镾100= 2(a1 + a100)= 45,所以92a1 + a100= a nta +a99=a1 +a00 d =c, 則a + a3+a5+ a991055050=2"(a1 + a99)= 22 X5=10.8 .在單調(diào)遞增的等

36、差數(shù)列an中，若a3=1,3a2a4=4,貝U a1=4【解析】：由題知，a2+a4=2a3=2,又因?yàn)閍2a4=4,數(shù)列an單調(diào)遞增，所以a2=2, a4=2.所以公差d =21 , =2.所以 a1=a2d=0.9.已知等差數(shù)列an的前三項(xiàng)的和為一9,前三項(xiàng)白積為一15.(1)求等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若an為遞增數(shù)列，求數(shù)列| an|的前n項(xiàng)和Sn.【解析】：(1)設(shè)公差為d,則依題意得a2=- 3,則ai = 3d, a3=3+d,得 d2=4, d= ±2,所以(一3d)( 3)(3+ d)=- 15,所以 an= 2n+1 或 an= 2n 7.(2)由題意得an

37、= 2n7,所以 |an|=7-2n, n<32n 7, n>4nW3時(shí),Sn= 一 (a1 + a2 + + an)=5+ ( 7 2n)n= 6n n2;n>4時(shí)，Sn= 一 a1 一 a2 a3+ a4+ an= 2(a+ a2+ a3) + (a + a2 + + an)= 18 6n+ n2.一 n2+ 6n, nW 3綜上，數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Sn=2n2-6n+ 18, n>410.已知等差數(shù)列an的公差d>0.設(shè)an的前n項(xiàng)和為Sn, a = 1, S2 - S3= 36.(1)求 d 及 Sn；(2)求 m, k(m, kC N*)的值，使得

38、am+am+am+2+ + am+k= 65.【解析】：(1)由題意知(2a1 + d)(3a1+3d) = 36,將a= 1代入上式解得d=2或d= 5.因?yàn)閐>0,所以d= 2.從而 an=2n- 1, Sn=n2(nCN*).(2)由得 am+ am+1 + am+2+ + am+k= (2m+ k 1)(k+ 1),所以(2m+k 1)(k+ 1) = 65. 由 m, kC N*知 2m+ k 1 >k+1>1 ,2m+k-1= 13, k+ 1 = 5,即所求m的值為5,m= 5, 解得k= 4.k的值為4.綜合題組練1.等差數(shù)列an中,電是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)，則

39、該常數(shù)的可能值的集合為()a2 nA. 1B. 1,21C. 2_八1,D.0, 2, 1【答案】選B.【解析】3a1 +(n 1) d a1一d + nda1 + (2n1) d a1一d+2nd'an1an右 a1 = d,則a2n=2；右 a1*0，d=0,則a2n=1.因?yàn)?a1 = d ”所以a；,。，所以該常數(shù)的可能值的集合為1,1.2. (2020晉冀魯豫名校期末聯(lián)考)我國南北朝時(shí)期的著作張邱建算經(jīng)有這樣一個(gè)問題：今有十等人，每等 一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中間三人未到者， 亦依等次更給，問各得金幾何？則據(jù)你對數(shù)學(xué)史

40、的研究與數(shù)學(xué)問題的理解可知，兩人所得金相差數(shù)額絕對值的最 小值是()1匕AW【答案】選C.【解析】：設(shè)第n個(gè)人得金an斤，由題意可知an是等差數(shù)列，設(shè)公差為d,a1 + a2+ a3= 3a1 + 3d= 4,a7+ a8+ a9+ a1o= 4a1+ 30d= 3,37 a1=26'解得d =78'則兩個(gè)人所得金相差數(shù)額絕對值的最小值是：7斤.故選C.783,若數(shù)列 an是正項(xiàng)數(shù)列,且 «1+京+，0n= n2+n,則a1 + a2+ - + ann【答案】2n2+2n【解析】：當(dāng) n= 1 時(shí)，a1=2? a1=4,又a1+40+n2+n ，所以當(dāng) n>2 時(shí)，y1+Qa2+.+ ；an-1 = (n1)2+(n1)=n2n ，一得、an=2n,即 an=4n2,所以an=4n=4n,所以物+母+詈=(4+4n) n o2n2+ 2n.24.若an是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1>0 ,a2016+a2。17>0,a2。