中學(xué)初高中數(shù)學(xué)銜接教材

1、中學(xué)初高中數(shù)學(xué)銜接教材目錄引 入 乘法公式第一講 因式分解1. 1 提取公因式1. 2. 公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差）1. 3分組分解法1. 4十字相乘法（重、難點）1 5關(guān)于x的二次三項式ax2+bx+c（a #0）因式分解.第二講 函數(shù)與方程一元二次方程根的判別式根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）2 2 二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)二次函數(shù)的三種表示方式二次函數(shù)的簡單應(yīng)用第三講三角形的 “四心 ”乘法公式我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：（ 1）平方差公式(a2b)(a b) ab2；（ 2）完全平方公式（a b）2 a2 2ab我們還可以通過證明得到下列一

2、些乘法公式：b2（ 1）立方和公式(a22 b)(a2 ab b2)a3 b3；（ 2）立方差公式(a22 b)(a2 ab b2)33a b；（ 3）三數(shù)和平方公式(a222 b c)2 a2 b22c 2(ab bc ac) ；（ 4）兩數(shù)和立方公式(a332b) a 3a b233ab2 b3；（ 5）兩數(shù)差立方公式(a332b) a 3a b233ab2 b3對上面列出的五個公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明有興趣的同學(xué)可以自己去證明.例 1 計算： (x 1)(x 1)(x2 x 1)(x 2 x 1)解法一：原式 = (x2 1) (x2 1)2 x2=(x2 1)(x4 x2 1)

3、=x6 1 解法二：原式 =(x 1)(x2 x 1)(x 1)(x2 x 1)例2 已知a解：a2練 習(xí)1.填空：b233=(x 1)(x1)=x6 1 .b c 4, ab bc ac22_c (a b c) 2(ab4,bc求a2ac)b28 .c2的值.(2)(3 )1 2-a9(4 m(a1b242bc)1(2b)22 a13a)(16m2 4m (4b2 c2 ()2.選擇題：(1)若 x21一 mx2個完全平方式，則(B)(2)不論a, b為何實數(shù),(A)總是正數(shù)(C)可以是零1 2m4b22a 4b1(C) -m38的值12(D) m(B)總是負(fù)數(shù)(D)可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)第

4、一講因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求根 法及待定系數(shù)法.1.十字相乘法例1分解因式：, 一 2(1) x - 3x+ 2;(3) x2 (a b)xy aby2 ；(2) x2 + 4x 12;(4) xy 1 x y .解：(1)如圖1. 1 1,將二次項x2分解成圖中的兩個x的積，再將常數(shù)項2分解成一1與一2的乘積，而圖中的對角線上的兩個數(shù)乘積的和為一x2-3x+ 2=(x 1)(x-2).3x,就是x2-3x+ 2中的一次項，所以，有1 1圖1.2圖1.2一ay一by1.1 1中的兩個x用1來表示(如說明：今后在分解與本例類似的二

5、次三項式時，可以直接將圖圖1.12所示).(2)由圖1. 13,得x2+4x 12=(x 2)(x+ 6).(3)由圖1. 14,得22x (a b)xy aby = (x ay)(x by)(4) xy 1 x y=xy+ (x y) 1= （x1） （y+1）（如圖 1. 1 5所示）.課堂練習(xí)一、填空題： 1、把下列各式分解因式:(1) x2 5x 6 。(2) x2 5x 6 。(3) x2 5x 6 。(4) x2 5x 6 。2(5) x a 1 x a 。(6) x2 11x 18 。(7) 6x2 7x 2 。(8) 4m2 12m 9 。2(9) 5 7x 6x 。 22(1

6、0) 12x xy 6y 22、x 4x x 3 x 4 2_I r3、右 x ax b x 2 x 4 貝U a , b 二、選擇題：（每小題四個答案中只有一個是正確的）21、在多項式（1） x（5） x2A、只有（1） （2）227x 6 (2) x2 4x 3 (3) x215x 44中，有相同因式的是(B、只有(3) (4)26x 8 (4) x)7x 10C、只有(3) (5) 22、分解因式a 8abA、 a 11 a 323、 a b 8abA、 a b 10 a bC、 a b 2 a b24、若多項式x 3xD、(1)和(2) ; (3) 233b 得()B、 a 11b a

7、 3b20分解因式得()2B、 a b 510D、 a b 4a可分解為x 5 x b ,和(4) ; (3)和(5)C、a 11b a 3ba b 4a b 5則a、b的值是(D、 a 11b a 3bA、 a 10, b 225、右 x mx 10B、a 10, b 2C、a 10, b 2x a x b其中a、b為整數(shù)，則m的值為（D、a 10, b 2)3222、 a 5a b 6ab4、b4 2b2 8A、3或 9 B、3 C、9 D、3或 9三、把下列各式分解因式 21、62Pq 11 q 2p 323、2y 4y 62.提取公因式法例2分解因式:232(1) a b 5 a 5

8、b(2) x 9 3x 3x解： (1) . a2 b 5 a 5 b =a(b 5)(a 1)(2) x3 9 3x2 3x = (x3 3x2) (3x 9)=x2(x 3) 3(x 3) =(x 3)( x2 3).或3232333x 9 3x 3x = (x 3x 3x 1) 8 = (x 1)8=(x 1) 2_2_2= (x 1) 2(x 1) (x 1) 2 2 -2_=(x 3)( x 3)課堂練習(xí)：一、填空題： _2, 一. 一1、多項式6x y 2xy 4xyz中各項的公因式是 。2、mxy n y x x y ?。22223、mxy n y x x y ?。4、mxyz

9、n y z x x y z ?。5、mxyz x y z x y z ?。6 、13ab2x6 39a3b2x5 分解因式得 。27 .計算 992 99=二、判斷題：(正確的打上，錯誤的打上“x”)221、2a b 4ab 2ab a b ()2、am bm mm ab ()3223、 3x 6x15x3xx 2x 5 (), n n 1 n 14、 x x xx1 ()3:公式法例3分解因式:(D a416(2) 3x 2y解：a43x16=422y22 2(a )(4y 2=(3xa2)(42y x22_a ) (4 a )(2y)(3x 2y xa)(2 y)a)(4x y)(2x 3

10、y)課堂練習(xí)一、a2 2abb2b3的公因式是二、判斷題：(正確的打上2錯誤的打上“x”)1、2、3、4、5、五、4 2-x99a225a22 x2a0.018b216b2yb c 22 x33a 20.10.1ix 014b 25a2 x4b2yb5a3a4b4b3a4b把下列各式分解x y x yc a b c 1、2、3x23、4x24x2x2 14.分組分解法例 4(1) x2 xy 3y 3x(2) 2x2 xy y2 4x 5y 6 .2222(2) 2x xy y 4x 5y 6 =2x (y 4)x y 5y 62=2x(y 4)x (y 2)( y 3) = (2x y 2)

11、(x y 3).或 2222、2x xy y 4x 5y 6 = (2x xy y ) (4x 5y) 6=(2 x y)(x y) (4 x 5y) 6= (2x y 2)( x y 3).課堂練習(xí)：用分組分解法分解多項式(1) x2 y2 a2 b2 2ax 2by(2) a2 4ab 4b2 6a 12b 95.關(guān)于x的二次三項式ax2+bx+c(a用)的因式分解.若關(guān)于x的方程ax2 bx c 0(a 0)的兩個實數(shù)根是x1 > x2,則二次三項式ax2 bx c(a 0)就可分 解為 a(x x1)(x x2).例5把下列關(guān)于x的二次多項式分解因式：(1) x2 2x 1;(2

12、) x2 4xy 4y2 .解：(1)令 x2 2x 1=0,則解得 1x21 72, x2 2x 1= x ( 1.2) x ( 1 .2)=(x 1 V2)(x 1 揚.(2)令 x2 4xy 4y2=0, WJ解得 x ( 2 2歷 y , x1 ( 2 272)y ,x2 4xy 4y2 = x 2(1 揚 yx 2(1 &) y.練 習(xí)1 .選擇題：多項式2x2 xy 15y2的一個因式為()(A) 2x 5y (B) x 3y(C) x 3y (D) x 5y2 .分解因式：(1) x2+6x+ 8; 8a3b3;(3) x22x 1;1 .分解因式：(1) a3 1;22

13、(3) b c 2ab 2ac 2bc ；2.在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：(1) x2 5x 3 ；22(3) 3x 4xy y ；2. 23 . ABC二邊 a, b , c滿足 a b4 .分解因式：x2+ x- (a2a).(4) 4(x y 1) y(y 2x).習(xí)題1. 24424(2) 4x4 13x2 9;22(4) 3x 5xy 2y x 9y 4 .(2) x2 272x 3；222(4) (x2 2x)2 7(x2 2x) 12 .c2 ab bc ca ,試判定 ABC的形狀.第二講函數(shù)與方程一元二次方程根的判別式情境設(shè)置：可先讓學(xué)生通過具體實例探索二次方程的根的求法，如求方程

14、的根(1) x2 2x 3 0(2) X2 2x 1 0 (3) x2 2x 3 0我們知道，對于一元二次方程 ax2 + bx+ c= 0 (a為)，用配方法可以將其變形為(x2a)2,2b 4ac4a2因為(1)(2)a冷，所以，4a2>0.于是b 、b2 4acxi, 2-；當(dāng)b2-4ac>0時，方程的右端是一個正數(shù)，因此，原方程有兩個不相等的實數(shù)根2a當(dāng)b2 4ac= 0時，方程的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數(shù)根bx1 = x2 =；2a(3)當(dāng)b2 4ac<0時，方程的右端是一個負(fù)數(shù)，而方程的左邊因此，原方程沒有實數(shù)根.由此可知，一元二次方程 ax2+bx+c

15、=0 (a加)的根的情況可以由b24ac來判定，我們把b2 4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0 (a 的根的判別式，通常用符號”受表示.綜上所述，對于一元二次方程ax2+bx+c= 0 (a加)，有(1)當(dāng)A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根b b2 4acx1, 2-；2a(2)當(dāng)A= 0時，方程有兩個相等的實數(shù)根“ cbx1 = x2 =；2a(3)當(dāng)A< 0時，方程沒有實數(shù)根.例1判定下列關(guān)于x的方程的根的情況(其中a為常數(shù))，如果方程有實數(shù)根，寫出方程的實 數(shù)根.(1) x2-3x+ 3=0;(2) x2ax 1 = 0;(3) x2 ax+ (a1) = 0;(4)

16、 x2 2x+ a=0.解：(1) = A= 32 4X1M= 3<0, .方程沒有實數(shù)根.(2)該方程的根的判別式 A= a2 4X1N 1) = a2+4>0,所以方程一定有兩個不等的實數(shù)根x2a ；a2 42(3)由于該方程的根的判別式為A= a2 4 X1 x(a 1) = a2 4a+ 4= (a 2)2, 所以，當(dāng)a=2時，A= 0,所以方程有兩個相等的實數(shù)根x1 = x2 = 1 ；當(dāng)aw 2時，A 0,所以方程有兩個不相等的實數(shù)根x1 = 1, x2 = a 1.(3)由于該方程的根的判別式為A= 22-4 X1 將=4 4a = 4(1 a),所以當(dāng)A>0,

17、即4(1 a) >0,即a<1時，方程有兩個不相等的實數(shù)根x1 1. 1 a , x2 1 . 1 a ;當(dāng)A= 0,即a=1時，方程有兩個相等的實數(shù)根X1 = X2 = 1 ；當(dāng)A<0,即a>1時，方程沒有實數(shù)根.說明：在第3, 4小題中，方程的根的判別式的符號隨著 a的取值的變化而變化，于是，在解題 過程中，需要對a的取值情況進行討論，這一方法叫做分類討論.分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué) 中一個非常重要的方法，在今后的解題中會經(jīng)常地運用這一方法來解決問題.根與系數(shù)的關(guān)系(韋達定理)次方程ax2 + bx+ c= 0 (a加)有兩個實數(shù)根 稱為韋達定理.則有X1b .

18、 b2 4ac；，x22ab . b2 4ac2a又2x1x2b .b2 4ac2 ab b2 4ac b2ab b2 4ac2 a b2 4ac 2ab22b2a(b24a2b_ ； a4ac)4ac c24a a所以,次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系:如果ax2+bx+c=0 (aO)的兩根分別是x1，x2,那么x1 + x2 =,x1 x2=.這一"關(guān)系也被 aa特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2+px+ q = 0,若X1, X2是其兩根，由韋達定理可 知X1 +X2= p, X1 X2=q,即p= (X1+X2), q=X1X2,所以，方程 x2+px+ q =

19、0可化為 x2 (X1+x2)x+x1 X2 = 0,由于 X1, X2是一元二次方程 X2+pX+q =0的兩根，所以，X1 , X2也是一元二次方程X2 (X1 +X2)x+ X1 X2=0.因此有以兩個數(shù)X1, X2為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為 1)是 X2(X1+X2)X + X1 X2= 0.2例2已知萬程5x kx 6 0的一個根是2,求它的另一個根及k的值.分析：由于已知了方程的一個根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個根.但 由于我們學(xué)習(xí)了韋達定理，又可以利用韋達定理來解題，即由于已知了方程的一個根及方程的二次項 系數(shù)和常數(shù)項，于是可以利用兩根之積求出方程

20、的另一個根，再由兩根之和求出k的值.解法一：: 2是方程的一個根， 5 >22+k >2 6 = 0, k= - 7.所以，方程就為5x27x 6=0,解得X1=2, X2 =所以，方程的另一個根為一3, k的值為一7.5解法二：設(shè)方程的另一個根為X1,則2x1=6 ,X1 = 9553k -由( 一)+2 = _ ,住p k= - 7.55所以，方程的另一個根為一3, k的值為一7.5例3 已知關(guān)于x的方程x2 + 2(m2)x+m2 + 4=0有兩個實數(shù)根，并且這兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21,求m的值.分析：本題可以利用韋達定理，由實數(shù)根的平方和比兩個根的積大 21得到

21、關(guān)于m的方程，從而 解彳3m的值.但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個實數(shù)根，因此，其根的判別式 應(yīng)大于零.解：設(shè)X1, X2是方程的兩根，由韋達定理，得x1 + X2 = 2(m2), xx2 = m2+4. 2 ,2.X1 +X2 X1 X2 = 21 ,(X1 + X2)2 3 X1 X2 = 21 ,即 2(m 2)2 3(m2+4) =21,化簡，得 m2 16m17=0,解得 m= 1,或 m=17.當(dāng)m= 1時，方程為x2+6x+5 = 0, A>0,滿足題意；當(dāng) m=17 時，方程為 x2+30x+293=0, A= 3024X1 >293<0,不

22、合題意，舍去.綜上，m= 17.說明：(1)在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個實數(shù)根所對應(yīng)的m的范圍，然后再由 兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大 21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可.(1)在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達定理解題時，還要考慮到根的判別式A是否大于或大于零.因為，韋達定理成立的前提是一元二次方程有實數(shù)根.例4已知兩個數(shù)的和為4,積為一12,求這兩個數(shù).分析：我們可以設(shè)出這兩個數(shù)分別為 x, y,利用二元方程求解出這兩個數(shù).也可以利用韋達定 理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來求解.解法一：設(shè)這兩個數(shù)分別是x, y, 則 x+ y=4,xy= 12.由，得 y= 4 -x,

23、代入，得x(4 x) = 12,即x2-4x-12 = 0,. xi = - 2, x2 = 6.x 2,x26,或yi6,y22.因此，這兩個數(shù)是一2和6.解法二：由韋達定理可知，這兩個數(shù)是方程 x2-4x- 12 = 0的兩個根.解這個方程，得x1 = 2, x2 = 6.所以，這兩個數(shù)是2和6.說明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二(直接利用韋達定理來解題)要比解法一簡捷.例5 若x1和x2分別是一元二次方程2x2 + 5x 3=0的兩根.(1)求 | x1x2| 的值；11(2)求32的值；X 又2(3) x13 + x23.解：x1和x2分別是一元二次方程2x2 +5x 3 =

24、0的兩根，53 x x2二,x1x2- 22(1)(2)(3)22225.2. | x1x20=x1 + x2 2 x1x2=(x1 + x2) 4 x1x2=( 一)24 . | x1 x2|= 7 .2= 25 + 6=49,11x12x222-22 TXx2x1x25 2325(x1 x2)2 2x1x2(5)2 ( 2)Z 3(»2)2( 3)29243793 ,32.22x1 +x2=(x1 + x2)(x1x1x2+x2)= (x1+x2)(x+x2)-3x1x2=(-2)*(-5)2-3z i)=-2r說明：一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經(jīng)常會遇

25、到求這一個量的問 題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)x1和x2分別是一元二次方程 ax2+bx+ c= 0 (a0),則b b2 4acb b2 4acX ；， 飛 ；，2a2a-1b 席4ac b Vb_4ac 2Vb24ac | x1 x2| = 2a2a2a,b2 4ac 、.一|a|a|于是有下面的結(jié)論：若 xi 和 X2分別是一元二次方程 ax2+bx+c=0 (aO),則 | xix2|=(其中 A= b24ac).|a|今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上面的結(jié)論.例6若關(guān)于x的一元二次方程 x2 x+a4=0的一根大于零、另一根小于零，求實數(shù)

26、a的取值范圍.解：設(shè)x1，x2是方程的兩根，則xix2 = a 4V 0,且 A=(-1)2-4(a-4)>0.由得a< 4,17 一一 一一一由得a< - .a的取值沱圍是a<4.練 習(xí)1.選擇題：(1)方程x2 2j3kx 3k2 0的根的情況是(A)有一個實數(shù)根(C)有兩個相等的實數(shù)根(B)有兩個不相等的實數(shù)根(D)沒有實數(shù)根(2m+ 1)x+ m= 0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù) m的取值范圍是，一 1(B) m>4(D) m>- 1 ,且 mw04(2)若關(guān)于x的方程mx2 +( )1(A ) m v 4(C) mv 1,且 mw042.填空：11

27、(1)右方程x2 3x 1 = 0的兩根分力Ute x1和x2,則 =x x2(2)方程 mx2+x2m=0 (mwQ)的根的情況是 .(3)以一3和1為根的一元二次方程是 .3,已知Ja2 8a 16 |b 1| 0,當(dāng)k取何值時，方程kx2+ax+b= 0有兩個不相等的實數(shù)根4.已知方程x2 3x 1=0的兩根為x1和x2,求(x一 3)( x23)的值.習(xí)題A組1 .選擇題：(1)已知關(guān)于x的方程x2+kx2 = 0的一個根是1,則它的另一個根是()(A) 3( B) 3(C) 2(D) 2(2)下列四個說法：方程x2+2x 7 = 0的兩根之和為2,兩根之積為7;方程x22x+ 7=0

28、的兩根之和為一 2,兩根之積為7;方程3 x27 = 0的兩根之和為0,兩根之積為；3方程3 x2+2x= 0的兩根之和為一 2,兩根之積為0.其中正確說法的個數(shù)是()(A) 1 個(B) 2 個(C) 3 個(D) 4 個(3)關(guān)于x的一元二次方程 ax25x+a2+a= 0的一個根是0,則a的值是()(A) 0(B) 1(C) T(D) 0,或12 .填空：(1)方程kx2+4x1 = 0的兩根之和為一 2,則k=.(2)(3)(4)方程2x2+2x1 = 0的兩根為X1和X2,則 | X1 X2|=3 .試判定當(dāng)m取何值時，關(guān)于x的 根沒有實數(shù)根次方程m2x2 (2m+ 1) x+ 1

29、= 0有兩個不相等的實數(shù)根有兩個相等的實數(shù)4 .求一個二次方程，使它的兩根分別是方程x2 7x 1 = 0各根的相反數(shù).B組1.選擇題：若關(guān)于 X的方程X2 + (k2 - 1)+ k + 1 = 0 的兩根互為相反數(shù)，則 k的值為 ( )(B) 1(C) 1(D) 0方程2x2 x 4 = 0的兩根為a,巴則02+伊=.已知關(guān)于x的方程x2ax3a= 0的一個根是2,則它的另一個根是3 .填空：(1)若m, n是方程x2+2005x 1 =0的兩個實數(shù)根，則 m2n+mn2mn的值等于 (2)如果a, b是方程x2+x1 = 0的兩個實數(shù)根，那么代數(shù)式a3+ a2b+ab2+b3的值是4 .

30、已知關(guān)于x的方程x2kx2=0.(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)設(shè)方程的兩根為 X1和X2,如果2(X1 + X2)>X1X2,求實數(shù)k的取值范圍.4. 一"兀.二次方程(1) | X1 陽和ax2+bx+ c= 0 (aw。的兩根為 x1和 X2.求:X1 X2 .2， X13+X23.5.關(guān)于x的方程x2+4x+ m=0的兩根為Xi , X2滿足| X1 X2|= 2,求實數(shù) m的值.C組1.選擇題：(1)已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程2x2-8x+7=0的兩根，則這個直角三角形的斜邊長等于(A)(B) 3(C) 6(D) 9(2)若 X1,X2是方

31、程2x2 4x+1 = 0的兩個根，則(A)(B) 4(C) 33(D)一(3 )如果關(guān)于x的方程x2 2(1 m)x +2m2 = 0有兩實數(shù)根 a, 3則 a + 3的取值范圍為 )(A)(B)a+ 3 > 1(D) a+ 3 < 1AABC 的,那么方程cx2 + (a + b)xc+ - = 0的根的情況是4)(A)(C)2 .填空：沒有實數(shù)根有兩個相等的實數(shù)根(B)有兩個不相等的實數(shù)根(D)有兩個異號實數(shù)根若方程 x2 8x+m=。的兩根為 X1, X2,且 3x1 + 2x2=18,則 m =3 . 已知X1, X2是關(guān)于x的二次方程 4kx2- 4kx+ k+1 =

32、0的兩個實數(shù)根.3(1) 否存在頭數(shù) k,使(2x1 X2)( X1 2 X2)=成立右存在，求出 k的值；右不存在，說明理由;2(2)求使 土 至一2的值為整數(shù)的實數(shù) k的整數(shù)值;X2 X|(3)若 k= 2,立，試求 的值.X222m4 .已知關(guān)于x的方程x (m 2)x 0.4(1)求證：無論 m取什么實數(shù)時，這個方程總有兩個相異實數(shù)根；(2)若這個方程的兩個實數(shù)根 xi, x2滿足|x2|= |xi + 2,求m的值及相應(yīng)的xi, x2.5 .若關(guān)于x的方程x2+x+ a=0的一個大于1、零一根小于1,求實數(shù)a的取值范圍.2. 2二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)情境設(shè)置

33、：可先讓學(xué)生通過具體實例探索二次函數(shù)的圖象，如作圖(1) y x2 (2) y x2 (3) y x2 2x 3 教師可采用計算機繪圖軟件輔助教學(xué)問題1函數(shù)y= ax2與y= x2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系為了研究這一問題，我們可以先畫出 y=2x2, y=2x2, y= 2x2的圖象，通過這些函數(shù)圖象與函2數(shù)y=x2的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù) v= ax2與y=x2的圖象之間所存在的關(guān)系.先畫出函數(shù)y= x2, y= 2x2的圖象.先列表：x-3-2101232 x94r 10 11492x2188202818y從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應(yīng) 就可以了.再描點、連線，就分別得到

34、了函數(shù) y = x2, y = -1所示)，從圖21我們可以得到這兩個函數(shù)圖 y= 2x2的圖象可以由函數(shù)y=x2的圖象各點的縱坐 得到.同學(xué)們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)y圖象，并研究這兩個函數(shù)圖象與函數(shù) y=x2的圖象 通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論： 二次函數(shù)y= ax2(a毛)的圖象可以由 y=x2 標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍得至i.在二次函數(shù)y= ax2(a加) 決定了圖象的開口方向和在同一個坐標(biāo)系中的問題2 函數(shù)y = a(x+ h)2 + k與y = ax2的圖 關(guān)系同樣地，我們可以利用幾個特殊的函數(shù)圖象它們之間的關(guān)系.同學(xué)們可以作出函數(shù)y= 2(x的圖象(如圖2-2所示)，從函

35、數(shù)的同學(xué)我們 數(shù)y=2x2的圖象向左平移一個單位，再向上平 得到函數(shù)y=2(x+1)2+1的圖象.這兩個函數(shù)圖 一 同，位置不同”的特點.類似地，還可以通過畫函數(shù) y= 3x2, y= 象，研究它們圖象之間的相互關(guān)系.通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：y 尸 2x2xO圖yy=2(x+ 1)2+ 1/y=2(x+1) y= 2x的x2的值擴大兩倍2x2的圖象(如圖2 象之間的關(guān)系：函數(shù) 標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀?-x2, y = - 2x2 的2之間的關(guān)系.的圖象各點的縱坐 中，二次項系數(shù) a 開口的大小.象之間存在怎樣的之間的關(guān)系來研究+ 1)2+1 與 y = 2x2 不難發(fā)現(xiàn)，只要把函 移一

36、個單位，就可以 象之間具有形狀相-3(x- 1)2+ 1 的圖h決定了二次函數(shù)二次函數(shù)y=a(x + h)2+k(a電中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向;圖象的左右平移，而且 h正左移，h負(fù)右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且k正上移,k負(fù)下移” .22b 、b2)+ c 4a4a由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù) v= ax2 + bx+ c(a冷)的圖象的方法：一o . o b0 bab 2 b2 4ac a(x 丁) ,2a 4a由于 y= ax2+bx+c=a(x2+ x) + c= a(x2+ -x +所以，y= ax2+bx+c(a冷)的圖象可以看作是將函數(shù)y=

37、ax2的圖象作左右平移、上下平移得至U的, 于是，二次函數(shù)y= ax2+ bx+ c(a皿具有下列性質(zhì)：b 4ac b2b(1)當(dāng)a>0時，函數(shù)y=ax2+bx +c圖象開口向上； 頂點坐標(biāo)為( ,),對稱軸為直線 x = ；2a 4a2a2時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x= 上時，函數(shù)取最小值 y 2a2a當(dāng)xv _b時，y隨著x的增大而減?。划?dāng)x>2a4ac b24ab 4ac b2當(dāng)a<0時，函數(shù)y=ax2 + bx+c圖象開口向下；頂點坐標(biāo)為 ( ,),對稱軸為直線 x=-2a 4a2;當(dāng)x< 2時，y隨著x的增大而增大；當(dāng) 2a2ax> -b時，y隨著x的

38、增大而減??；當(dāng)x= -b時，函數(shù)取最2a2a大值y=4acb24a2a上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過圖2. 23和圖2. 24直觀地表示出來.因此，在今后解決二次函數(shù)問題時，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決問題.并畫出該函數(shù)的圖象.圖一5-1時，y隨著x交 于 點D(0, 1),過這五性質(zhì)畫函數(shù)的圖畫圖更簡便、圖例1求二次函數(shù)y=3x26x+1圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)、最大值(或最小值)并指出當(dāng)x取何值時，y隨x的增大而增大(或減小) 解：.y= 3x26x+1 = 3(x+ 1)2+4,函數(shù)圖象的開口向下；對稱軸是直線x= -1;頂點坐標(biāo)為(一1, 4);當(dāng)x= -

39、1時，函數(shù)y取最大值y= 4;當(dāng)x< 1時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x> 的增大而減??；采用描點法畫圖，選頂點 A( 1, 4),與x軸B(26 3,0)和C( 2" 3,0),與y軸的交點為33點畫出圖象(如圖2 5所示).說明：從這個例題可以看出，根據(jù)配方后得到的 象，可以直接選出關(guān)鍵點，減少了選點的盲目性，使 象更精確.函數(shù)y = ax2+ bx + c圖象作圖要領(lǐng)：(1)確定開口方向：由二次項系數(shù) a決定(2)確定對稱軸：對稱軸方程為x (3)確定圖象與x軸的交點情況，若 >0則與x軸有兩個交點，可由方程x2+bx+c=0 求出若 =0則與x軸有一個交點，可

40、由方程x2+ bx+c=0求出若 <0則與x 軸有無交點。(4)確定圖象與y軸的交點情況，令x=0得出y=c,所以交點坐標(biāo)為(0, c)(5)由以上各要素出草圖。練習(xí)：作出以下二次函數(shù)的草圖(1) y x2 x 6 (2) y x2 2x 1(3) yx2 1例2某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價x (元)與產(chǎn)品的日銷售量y (件) 之間關(guān)系如下表所示：x /元130150165y/件705035若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng) 定為多少元此時每天的銷售利潤是多少分析：由于每天的利潤=日銷售量yX銷售價x120),日銷

41、售量y又是銷售價x的一次函數(shù)，所 以，欲求每天所獲得的利潤最大值，首先需要求出每天的利潤與銷售價 x之間的函數(shù)關(guān)系，然后，再 由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤的最大值.解：由于y是x的一次函數(shù)，于是，設(shè)y=kx+ (B)將乂= 130, y=70; x=150, y= 50 代入方程，有70 130k b,50 150k b,解得 k= 1, b = 200.y= x+ 200.設(shè)每天的利潤為z (元)，則z=( x+200)(x 120)= x2+320x-24000=(x160)2+1600,當(dāng)乂= 160時，z取最大值1600.答：當(dāng)售價為160元/件時，每天的利潤最大，為1600元.例

42、3把二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像向上平移 2個單位，再向左平移4個單位，得到函數(shù)y=x2的圖像，求b, c的值.bb2解法一：y=x2+ bx+c= (x+ - )2 c 一，把它的圖像向上平移2個單位，再向左平移 4個單位，得到24b y (x 2b24)0,b2一 2的圖像，也就是函數(shù) y=x2的圖像，所以,4b2 c 一4解法二:0,解得 b= - 8, c= 14.把二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像向上平移2個單位，再向左平移 4個單位，得到函數(shù) y=x2的圖像,等價于把二次函數(shù) y=x2的圖像向下平移2個單位，再向右平移 4個單位，得到函數(shù) y=x2+bx+ c的圖像.由于把二次

43、函數(shù)y=x2的圖像向下平移2個單位，再向右平移 4個單位，得到函數(shù) y= (x- 4)2+2的圖像，即為 y = x2 8x+ 14 的圖像，函數(shù) y= x28x+14 與函數(shù) y=x2+bx+c 表示同一個函數(shù)，b=8, c= 14 .說明：本例的兩種解法都是利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來解決問題，所以，同學(xué)們要牢固掌握二次函數(shù)圖像 的變換規(guī)律.這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法一，是直接利用條件進行正向的思維來解決的，其運算量相對較 大；而解法二，則是利用逆向思維，將原來的問題等價轉(zhuǎn)化成與之等價的問題來解，具有計算量小的優(yōu)點.今后， 我們在解題時，可以根據(jù)題目的具體情況，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?/p>

44、來解決問題.例4 已知函數(shù)y=x2, 2a<a,其中a12,求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時 所對應(yīng)的自變量x的值.分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個變化的范圍，需要對a的取值進行討論.解：(1)當(dāng)a=2時，函數(shù)y=x2的圖象僅僅對應(yīng)著一個點(一2, 4),所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4,此日x= 2;(2)當(dāng)一2vav 0時，由圖2. 2一理可知，當(dāng)x=2時，函數(shù)取最大值 y = 4;當(dāng)x=a時，函數(shù)取最小值 y =a2(3)當(dāng)0QV2時，由圖2. 2 6可知，當(dāng)x=2時，函數(shù)取最大值 y=4;當(dāng)x= 0時，函數(shù)取最小值 y=0;(4)當(dāng)aR2時，由圖2. 26

45、可知，當(dāng)x=a時，函數(shù)取最大值 y=a2;當(dāng)x=0時，函數(shù)取最小值 y=0.T23圖一6說明：在本例中，利用 了分類討論的方法，對a的 所有可能情形進行討論.此 外，本例中所研究的二次函 數(shù)的自變量的取值不是取任 意的實數(shù)，而是取部分實數(shù) 來研究，在解決這一類問題 時，通常需要借助于函數(shù)圖象來直觀地解決問題.練 習(xí)1 .選擇題：(1)下列函數(shù)圖象中，頂點不在坐標(biāo)軸上的是(A) y= 2x2(B) y=2x2-4x+2(C) y= 2x2 1(D) y=2x24x(A)向左平移1個單位、 (B)向右平移2個單位、 (C)向下平移2個單位、 (D)向上平移2個單位、再向上平移 2個單位得到的 再向

46、上平移1個單位得到的 再向右平移1個單位得到的 再向右平移1個單位得到的(2)函數(shù) y= 2(x 1)2+ 2 是將函數(shù) y=2x22 .填空題(1)二次函數(shù)y= 2x2mx+n圖象的頂點坐標(biāo)為(1, 2),則m =, n=(2)已知二次函數(shù) y=x2+(m-2)x- 2m,當(dāng)m=時，函數(shù)圖象的頂點在 y軸上；當(dāng)m =時，函數(shù)圖 象的頂點在x軸上；當(dāng)m=時，函數(shù)圖象經(jīng)過原點.(3)函數(shù) y=3(x+2)2+5的圖象的開口向 ,對稱軸為 ,頂點坐標(biāo)為 ;當(dāng)x= 時，函數(shù)取最 值y=;當(dāng)x 時，y隨著x的增大而減小.3.求下列拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)、最大(小)值及 y隨x的變化情況，并

47、畫出其圖象.(1) y= x2-2x- 3;(2) y=1+6 x- x2.4,已知函數(shù)y=- x2-2x+ 3,當(dāng)自變量x在下列取值范圍內(nèi)時，分別求函數(shù)的最大值或最小值，并求當(dāng)函數(shù) 取最大(小)值時所對應(yīng)的自變量x的值：(1) x<- 2; (2) xW2; (3) 2今 wi； (4) 0<x<3二次函數(shù)的三種表示方式通過上一小節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式：1 . 一般式：y= ax2 + bx+ c(a0)；2 .頂點式：y= a(x+h)2 + k (a皿,其中頂點坐標(biāo)是(-h, k).除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來表示.為了研究

48、另一種表示方式，我們先來 研究二次函數(shù)y= ax2+bx+c(a冷)的圖象與x軸交點個數(shù).當(dāng)拋物線y= ax2+bx+ c(a冷)與x軸相交時，其函數(shù)值為零，于是有ax2+bx+ c=0.并且方程的解就是拋物線 v= ax2+bx+ c(a為)與x軸交點的橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo)為零)，于是，不難 發(fā)現(xiàn)，拋物線v= ax2+bx+ c(a用)與x軸交點個數(shù)與方程的解的個數(shù)有關(guān)，而方程的解的個數(shù)又 與方程的根的判別式 = b2 4ac有關(guān)，由此可知，拋物線y=ax2+bx+ c(a4)與x軸交點個數(shù)與根 的判別式A= b24ac存在下列關(guān)系：(1)當(dāng)A>0時，拋物線y= ax2+bx+c(a為)與x

49、軸有兩個交點；反過來，若拋物線 y=ax2+ bx + c(a毛)與x軸有兩個交點，則 A> 0也成立.(2)當(dāng)A= 0時，拋物線y=ax2+bx+c(a為)與x軸有一個交點(拋物線的頂點)；反過來，若 拋物線y= ax2+bx+ c(a4)與x軸有一個交點，則 A= 0也成立.(3)當(dāng)A< 0時，拋物線y= ax2+bx+c(a皿與x軸沒有交點；反過來，若拋物線 y=ax2+bx+ c(a為)與x軸沒有交點，則 A< 0也成立.于是，若拋物線y=ax2+bx+ c(a為)與x軸有兩個交點 A(xi, 0), B(x2, 0),則xi, x2是方程ax2 + bx+ c=0的

50、兩根，所以, bcxi +x2= , xix2二 一 , aab / , 、 c 即一 = (xi + x2), 一=xix2.aa所以，y= ax2+bx+c= a(x2 x -) a a =ax2 (xi + x2)x+xix2= a(xxi) (x x2).由上面的推導(dǎo)過程可以得到下面結(jié)論：若拋物線y=ax2+bx + c(a七)與x軸交于 A(xi, 0), B(x2, 0)兩點，則其函數(shù)關(guān)系式可以表示為 y =a(xxi) (x x2) (a 刃).這樣，也就得到了表示二次函數(shù)的第三種方法：3.交點式：y= a(xxi) (x x2) (a為)，其中xi, x2是二次函數(shù)圖象與x軸交

51、點的橫坐標(biāo).今后，在求二次函數(shù)的表達式時，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一般式、頂點式、交點 式這三種表達形式中的某一形式來解題.例1已知某二次函數(shù)的最大值為2,圖像的頂點在直線 y=x+1上，并且圖象經(jīng)過點(3, 1),求二次函數(shù)的解析式.分析：在解本例時，要充分利用題目中所給出的條件 一一最大值、頂點位置，從而可以將二次函數(shù)設(shè)成頂點式， 再由函數(shù)圖象過定點來求解出系數(shù)a.解：二次函數(shù)的最大值為 2,而最大值一定是其頂點的縱坐標(biāo), ，頂點的縱坐標(biāo)為 2.又頂點在直線y= x+ 1上，所以，2 = x+ 1,x= 1.頂點坐標(biāo)是(1,2).設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y a(x 2)2 1(a 0),二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(3, 1),1 a(3 2)2 1,解得 a=-2.2二次函數(shù)的解析式為 y 2(x 2)1 ,即y= 2x2+8x7.說明：在解題時，由最大值確定出頂點的縱坐標(biāo)，再利用頂點的位置求出頂點坐標(biāo)，然后設(shè)出二次函數(shù)的頂點式，最終解決了問題.因此，在解題時，要充分挖掘題目所給的條件，并