專題訓(xùn)練——倒數(shù)法與分式方程題庫

1、百度文庫-讓每個(gè)人平等地提升自我11例題精講倒數(shù)法x【例1】已知:【解析】【鞏固】已知:3,1,-的值.a【解析】(a1 2£)已知x為實(shí)數(shù),【解析】【例2】【例3】(x2口 )2 x(x1)2 x1x22若1 a1(aa)2(x1)2 xa的值.則(1 |a)a(1 la)2 a1 a a2 a1,分析可得0,2 a21 a 0 a則2 a2a1 a a2 a（05山東濰坊中考）若乂2 x -2x的值.,.1 一，由x 2可知，(x x1)2 x1 2 x2 ,故x x 1本類題有一種典型錯(cuò)題,如：已知2X2X事實(shí)上：若X易得（“希望杯”試題）一一 1解析：由X/一 / X【例4】

2、（湖北黃岡市初級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽）設(shè)10 , x1Xx 則一4XX V -4 X其中1顯然不成立.【解析】0,，X 0【例5】(xX-)2X1)2設(shè)丁上一x mx 1由條件知x3X3X-3 m x已知:(Dv.x,x已知:由a242a a2"" a已知:0,因而3X63 -x m x 12x mx 13 1x -X123m 2（X的值.7x7x1 0,求0, 1 一) x3x1 一(x x1一) X2x 7x17X1X5a475a3x492二 X474二 X可知2209 ,4二 X(a的值2412的值.x12則0,a1,1 2axx1X - X2a a2550xX X1X 1 X2

3、20723m的值.12一12121【解析】x 3x 1 0,，x 0, x - 3, x J 2 9,，x =7xxx3x0,3x7x8x1x32x4x故原式例6 3241cx43x1ZZ2x1-2 x1 2713250 .1 .50（上海市高中理科實(shí)驗(yàn)班招生試題）已知:2a43xa2 232a 2xa a112求x的值.1由條件知：a - a2(a2又(a【鞏固】-2) 3x a1) 2x a931122(1 2) 3x1 2x112解得x1 510（第17屆江蘇省競(jìng)賽題已知a2 4a由已知可得4,已知a是x23x因?yàn)閍是x23x所以2a5 5a4 2a3 a2 1利用條件a23a 14 a

4、33a4 a3a30的根,0的根, 8a22 maz ma2 ma13a14 m2ma 3a一 一 2,所以aa 2a2(a20的各個(gè)變形,1、3(a 一) ma5a42 a3a1)a2 112322a 8a的值.135a8a1 / 33(a8a)1 (3a2 9a) 3對(duì)分式進(jìn)行整體降騫是解題的關(guān)鍵372(廣西競(jìng)賽題)已知：x2 x 14 _2 _x 2x 1 (x 1) 2x 1x5x(x 1)20,2xx(x2x 1x4x 22x 1)x 1 4x 2x(3x 2)5x 33x2 2x5x 35x2利用條件x2 x 1 0的各個(gè)變形，對(duì)分式進(jìn)行整體降哥是解題的關(guān)鍵已知x求的值.x 2 ,

5、a1axx 2x2 4xx 2x2 4x(a2aTa3a 111a a -aa11a a -aa.(x 2)2 4(x 2)2 42 a板塊四分式方程【例8】 下列方程中哪些是分式方程?(1) 3 x 1 x 0x 1 x 2x_9 7/x 3x 1 3 x9xL_ 2x 7=0 a為字母系數(shù) a 1 a,、11一x x 192 3x22二 2x 13 3(6) 3y 73y 1 2_a_a 3 a為字母系數(shù)x 3 x(10)3 =，x 3 x.其中分式方【例9】【解析】(西城區(qū)各校期中考試題)解關(guān)于x的方程：原方程可化為5(x 4)(x 4)96(x 4)(x 4) (x 4)( x 4)通

6、分整理為2x 16,所以x 8,經(jīng)檢驗(yàn)x963x12x 15 -7-7x 164xx 4(3x 1)(x4)(2x1)(x4)(x 4)(x4)(x4)(x4)8是原方程的解，原方程的解是x 8【解析】思路與技巧 分式方程首先應(yīng)為方程，然后還必須滿足有分母，并且分母中含有未知數(shù)程有、(10)點(diǎn)評(píng)：判斷分式方程關(guān)鍵要看分母中是否有未知數(shù)中沒有分母，是整式方程；中雖然有分母，但分母中不含未知數(shù)，所以仍為整式方程；是整式方程，分母中不含未知數(shù)；不是方程，所以也不是分式方程；不是分式方程，雖然分母中有字母a,但a不是未知數(shù)，所以仍為整式方程【鞏固】此方程是否為分式方程：x 1 21？x x【解析】為分

7、式方程，不能看化簡(jiǎn)以后的結(jié)果，因?yàn)樗幕?jiǎn)不等價(jià)，取值范圍發(fā)生變化?？傊?，只要分母、上含有未知數(shù)即為分式方程！【鞏固】此方程是否為一元一次方程：x2 2 x2 x【解析】是，這個(gè)要看化簡(jiǎn)以后的結(jié)果，它的化簡(jiǎn)是等價(jià)的。對(duì)于整式方程，要看化簡(jiǎn)以后的結(jié)果!【鞏固】解方程：(1 )2 (1 )2上匕 y 2 y 2 y 2，、一-2 2 2y【解析】將方程展開，得2 2 ()2 y 2 y 2去分母得,2(y 2)2 8 2y(y 2)整理得，4y 16 ,解得y 4經(jīng)檢驗(yàn)y 4不是原方程的增根，原方程的解是y 4解關(guān)于x的方程:經(jīng)檢驗(yàn),2mn n2(m2n)2m是原方程的解.，原方程的解為 2求x為

8、何值時(shí)，代數(shù)式2x 92的值等于 x2.2 ,解這個(gè)分式方程,13得x 士，經(jīng)檢驗(yàn),23 一 、一 .，,3x -是原方程的根.，當(dāng)x -22事，代數(shù)式29x 3-的值等于2. x【例10 解方程：一x原方程變形為:3x x2x(x 1)x(x 1)【例11】經(jīng)檢驗(yàn)，x原方程化為1是原方程的增根(x 1)(x 1).原方程無解.0 ,去分母解得xx 2 x16方程兩邊同時(shí)乘以、2得 16 x 2 =整理得x22，約去分母,24x 12=x 4x解這個(gè)整式方程，得檢驗(yàn)：把x= 2代入x= 2得 2 22 2 =0所以x= 2是原方程的增根, 點(diǎn)評(píng)：解分式議程的步驟為：去分母，化為整式方程解方程：

9、25x 7x 3x方程兩邊同時(shí)乘以原分式方程無解.解整式方程x 2檢驗(yàn)(x1)(x寫出原分式方程的解2)約去分母，得5x7 5x 7.檢驗(yàn)，當(dāng)x 1,x 2時(shí)，(x 1)(x 2) 0所以x 1,x 2是增根,，原方程的解是除了1和2的任何實(shí)數(shù)【例12】【解析】【例13】【解析】【解析】【鞏固】【解析】【例14】【解析】若分式方程 x 2 r 1移項(xiàng)，得x 232有增根，求它的增根 x 2x 1口r 1 x 13 ,即x 2x 23,x 2、一一 一0 3, 原方程的增根是x 2x 2a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程二-3 會(huì)產(chǎn)生增根、x 2 x 4x2去分母可得：2x 4 ax 3x 6 ,如果產(chǎn)生

10、增根，那么增根為 x 2或x 2 , 而增根滿足化簡(jiǎn)后的整式方程，將x 2代入可得a 4,將x 2代入可得a 6.當(dāng)a 4或a 6時(shí)，均產(chǎn)生增根.解分式方程組還有一種重要的方法，換元法，我們?cè)诔跻幌?，學(xué)習(xí)二元一次方程組的時(shí)候介紹過關(guān)于x的方程工有增根，求a的值 x 3 x 9x3方程兩邊同時(shí)乘以(x 3)(x 3)得，3(x 3) ax 4(x 3),即(a 1)x21.若方程有增根，則 x 3,把x 3代入中可得a 6,把x3代入中可得a 8,當(dāng)a6或a 8時(shí)，原方程會(huì)產(chǎn)生增根.已知關(guān)于x的方程-2鳥有增根1,求m的值.xx xxx1原方程去分母，整理得， (x1)(m5)(x1) (m 1

11、)x 0把x 1代入上面方程，解得 m 3若方程，0無解，求t的值x 2 x 2去分母，得(x 2) t(x 2)。，整理關(guān)于x的一次方程，得(t 1)x 2(t 1),t 1 02(t 1)，即t 1時(shí)，原方程無解0當(dāng)x 2或x 2時(shí)，原方程有增根，原方程無解分另I將x 2,x 2代入方程當(dāng)x 2時(shí)，無解；當(dāng)x2,解題t 0.11 一綜上，當(dāng)t 1或t 0時(shí)，方程0無解.x 2 x 2【例15】2已知解方程一巴14 x x 2,時(shí)，不會(huì)產(chǎn)生增根，求實(shí)數(shù)x 2k的取值范圍百度文庫-讓每個(gè)人平等地提升自我x 7x 122113【解析】去分母整理得：(X 2)(k k2)2_ -x 5x 2 【例

12、16 【解析】【例17 若產(chǎn)生增根，則必是 x值使(X即x1當(dāng)X2當(dāng) ki2, x22的情形2)( x 2)02時(shí)式成為0 (k k2)12無解1,k2 22 a 一2時(shí)，式成為4(k k )8 ,得:1且k2 2時(shí)，原方程不會(huì)產(chǎn)生增根閱讀并完成下列問題:1 ，,2-的解是X12, X22觀察上述方程及解，可猜想關(guān)于的方法證明這個(gè)猜想.2把關(guān)于X的方程X方程的解是進(jìn)一步猜想方程 XX2a a1c2的解是1驗(yàn)證：去分母，得2 cx1c X1- , X2c .c按方程的形式變形為1X2X1(2005年五羊杯)方程(x 1)(x 2)(x 3)x x 31 、一1；方程X2x的方程3,1 一c -的

13、解是c工變?yōu)榉匠痰男问绞莂 1m的解是 c2c 1 x c 0, cx 1 X ca,0.-,便可得方程的解為X1 a ,1X2(x 2)(x 5)1(x 5)(x 8)(x8)(x 11)方程兩邊乘3,拆項(xiàng)、化簡(jiǎn)得:x 11(“祖沖之”杯競(jìng)賽題)解方程1x 3x 212x 5x 61X23;用求出方程的解,直接寫出方程X2-工的解為3x 3 2414百度文庫-讓每個(gè)人平等地提升自我【解析】方程丁二丁土可化為: x x x 3x 2 x 5x 6 x 7x 12 211111114 x x 1 x 1 x 2 x 3 x 4 211，上，即土 / 八、x x 4 21 x x 421/故 x

14、x 421 x2 4x 21 0 ,即 x 3 x 7 0故x 3或者x 7,經(jīng)檢驗(yàn)，均是原方程的解.【例18 【解析】血固】【解析】解方程：土，上_8 口x 5 x 9 x 81原萬程可變形為：1 1x 5化簡(jiǎn)，去分母可得:x 5x 61x 911 1 x 8 x 622,一一，一一、一一x 11x 30 x 17x 72,解得x 7,經(jīng)檢驗(yàn)，x 7是原萬程的根25(x 2)(x 5) (x 6)(x 1) (x 4)(x 7) (x 8)(x 3)(x 1)(x 5)(x 3)(x 7)44(x 1)(x 5)(x (x 7)(x 3)(x 7) (x 1)(x 5)4x 16, x 4經(jīng)

15、檢驗(yàn)x4不是原方程的增根，原方程的解是x 4【例19】【解析】（五羊杯數(shù)學(xué)競(jìng)賽）解方程:5x 96 x 8 4x 19x 19 x 9 x 62x 21x 8(5即:1155一二 一；)(4 -7) (2 ；)，x 19x 9 x 6 x 81155 x 19 x 9x9x19x6x8 (x 9)(x 19)5(x 8) 5(x 6)(x 6)(x 8)101022 ._x 28x 171 x 14x 48. 22x28x 171 x 14x 48123123即：14x 123, x 123 .經(jīng)檢驗(yàn)：x 上是原方程的根.141422的上環(huán)x x 3 1 2x 4x 1角牛方程2 1 2x x

16、 2 x 2x 122_.x x 2 1 / 2x 4x 2 11-2x 2x 12x 2x 1經(jīng)檢驗(yàn)3不是原方程的增根，原方程的解是 x 3【鞏固】解方程3x22_9x 7 2x 4x 3【解析】方程x 123x 9x 73xx 11x 13x 1(2xx 122x 4x 3x 136) xx 1x3 x 1 x23x x 1x2 12x 1f 0x 10.0可化為:2x 1-2 x 14x 502-x 15 ，一5 ,經(jīng)檢驗(yàn),4是原方程的解.講解此題之前，可以先講如何使用多項(xiàng)式除法或逐步滿足法將分式2.x bx c拆分成兩個(gè)式子之和的形式.0.(1)【例20 解方程組:y 3J 0.(2)

17、 y 3此題是分式方程組，可采用去分母的方法將方程組轉(zhuǎn)化為整式方程組來解.去分母：將方程兩邊同乘以 xy,得:將方程兩邊同乘以 x 4 y 3得：4 y 5x【例21 整理方程：xy 3x xy 4 y 3x 12xy 3x xy 4y 3x 12 0，6x 4y 12(4)5x，原萬程組化為：6x解方程組：得:把x 12代入，'55124y12154y4y12150.(3)12.(4)124y 0代入原方程組檢驗(yàn)適合，原方程組的解為y 15（臨沂市數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）解方程:2x 12、幾 x 3 x 2設(shè)a ,b ,則原方程可化為:解之得,0或者ab 1,x 2 x 30或者1x史，或x5

18、5 ,經(jīng)檢驗(yàn)，均是原方程的解.【鞏固】【解析】解方程組6y3y12310把方程組的每一個(gè)方程去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程組，將得到二元二次方程組，目前我們還不會(huì)解這類方程組若認(rèn)真觀察這個(gè)方程組得特點(diǎn)，則原方程組可寫成16 - y13- y12 一 1 1 , 一， ,只需把-,-分別看作1x y10是一個(gè)整體，則利用換元法就可以轉(zhuǎn)化為二元一次方程組求解11設(shè)一 m, - n .x y則原方程組可化為解這個(gè)方程組，得6m8m6n1231011120x20x 20.，即111y 3030y303nmnx經(jīng)檢驗(yàn)y20 、,.是原方程組的解.30【例22】【解析】解方程組按常規(guī)想法將兩個(gè)分式方程去分母后變形

19、為整式方程組，去解即按例高次方程，目前我們還不會(huì)解.叫整體代換）去解這個(gè)方程組.設(shè) x y m, x y則原方程組變形為3n2n方法去解此方程組，會(huì)出現(xiàn)因此觀察特點(diǎn)，特別是反復(fù)出現(xiàn)的字母形式，再利用換元思想（或32化簡(jiǎn)整理方程組：將方程兩邊同乘以6,得/2m 18n1將方程兩邊同乘以、， 2m原方程組化為m2得：m 4n 618n1(3)4n 6(4)解方程組：-X21- n 2，一 1 1把n -代入(4)m 4 -22 m 4m 4x y 41 即 11n 一2 x y 2再解方程組：+得x 34(5)2.(6)將x 3代入得y 1x 3經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程組的解.y 1點(diǎn)評(píng)：1、換元法是初中

20、數(shù)學(xué)中要掌握的一種重要的數(shù)學(xué)方法,尤其是換元法在各類的解方程中的運(yùn)用，更為重要.它可以通過換元手段，使復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單，疑難問題變得容易，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知 識(shí)的同時(shí)，一定要掌握一些典型的數(shù)學(xué)方法.這種換元的方法將來在初三還會(huì)專門學(xué)習(xí).2、“換元”是求原方程未知數(shù)的值的一種手段， 不是目的.目的是求原來未知數(shù) （如x,y） 以當(dāng)求得輔助未知數(shù)（如 m, n）的值以后，一定要把原來未知數(shù)（ x,y）的值求出來.的值.所【例23】3、由以上兩個(gè)例題可以看出，把分式方程組轉(zhuǎn)化為整式方程組，可以用去分母的方法, 元法.究竟用哪種方法合適，要具體問題具體分析.1. .、一一. x 1（第7屆華羅庚邀請(qǐng)賽）解

21、方程組：12x我們也可選設(shè)26y 3_12y 11、，b,則原方程組化為2y 1“單位 1 ?。ǖ诎藢妹绹?guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）110x1 a216y291x 10x4534 ,即382y 1-0 x 10x 69也可以用換344 ,解得38設(shè)x21t 16故x210x 45 t ,則原方程可化為:1二一0,解之得,t t 2410x 456x 130 xx2 10x3或x3913t ,點(diǎn)評(píng)：1t 8164 t卜面提供一種更好的換元的解法，設(shè)10x 37則原方程可化為:t 8 t 32,故t 32t然后可得,2x 10x392t 2t 64 t 32故 x 3 x 130 x 3或 x 13.【變式

22、】【解析】(泰州市數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)解方程:2設(shè)x 8 y,則原方程化為:111(11x y 2x y y 13x11-2 I I -2 IZx 2x 8 x 13x 8整理可得，y2 49x2 ,故y 7x2若 y 7x,貝U x 7x/ 8 0, x 1 x 82若 y 7x,貝U x 7x 8 0 , x 1 x 8經(jīng)檢驗(yàn)，上述四個(gè)值均是原方程的解.【例24】解方程x2 L 3(x 1) 4 0/xx11 2【解析】設(shè)x y ,則原方程可化為(x -)2 xx13(x -)20,x2即y 3y 2 0 ,解方程得：y 1佻21當(dāng)w 1時(shí)，有x 1,即x2 x 1 0 ,此方程五實(shí)數(shù)根 x1 一

23、 2. 一當(dāng)y2 2時(shí)，有x 2 ,即x 2x 1 0 ,解得：x 1 x經(jīng)檢驗(yàn)，x 1是原方程的根，原方程的根式 x 1.【補(bǔ)充】(湖北孝感市競(jìng)賽題)解方程x 漢 1 x2 1 43 x2 13 x 1【解析】設(shè)Vx t ,則x t3 ,原方程可化為:42t 1 t 17t 1 t 12-t t 2 0解之得，t 1或者t 2故x 1 (舍)或x 8.分式方程應(yīng)用【例25】已知關(guān)于x的方程 上 2 上一有一個(gè)正數(shù)解，求 m的取值范圍x 3 x 3【解析】原方程兩邊都乘(x 3),約去分母得，x 2(x 3)m ,所以x 6 m,因?yàn)樵匠逃薪?，所? m不能為增根，即 m 3,又因?yàn)榉匠痰慕?/p>

24、事正數(shù)，所以所以當(dāng)m 6,且m 3時(shí)方程有一個(gè)正數(shù)解【鞏固】當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程 上_x_x 2 x 3【解析】去分母得5x m 3,解得x,令x5一x-一的解為負(fù)數(shù)?(x 2)(x 3)m 3 c 0,5解得m 3當(dāng)m 3時(shí)原方程的解是負(fù)數(shù)已知關(guān)于x的方程-x-x 3旦有一個(gè)正整數(shù)解，求x 3m的取值范圍.x 2(x 3) m.方程有一個(gè)正整數(shù)解，6m 0且6 m是整數(shù) .m 6且m是整數(shù)的整數(shù)時(shí),原方程有一個(gè)正整數(shù)解【例26 關(guān)于x的方程2m的解也是不等式組4122(x由1 .六2 m 去分母得x 4 x(xx 42) 2m ,解得x【例27 由題意知x解不等式組綜上可知,1 x c

25、x 22得x 2,即2(x 3) x 8m的取值范圍是1x 2關(guān)于x的兩個(gè)方程x2 x 24,且 m 02萬程x x 2 0的解為xi1,x2 2 ,共同的解是x 13)二一有一個(gè)解相同，則 x a一、1x 2不是方程x 2的一個(gè)解，求m的取值范圍.8的解百度文庫-讓每個(gè)人平等地提升自我刖3g 課后練習(xí)531已知:的值.【解析】9,即(a-)29,練習(xí)2.已知的值.練習(xí)3.1 2 (x 一)4x2x19x2219x2x4x 14,19x2192x319x22x1917193311練習(xí)4.解方程5xx2 x 62x 5x x 127x 10x 6x 8【解析】 這個(gè)分式方程的各分母都是多項(xiàng)式,應(yīng)先分解因式確定最簡(jiǎn)公分母，從而轉(zhuǎn)化為整式方程來解答原方程可變形為:7x 10x 2 x 45x2x 5I x 2 x 3 x x 12方程兩邊都乘以、x 2 x 3 x 4,得 5x x 4 2x 5 x 2 7x 10 x 3整理，得 40x40x 1檢驗(yàn)，當(dāng)x1時(shí)x2x3x4 0.1是原方程得根.原方程的解是x 1 .練習(xí)5.解方程人工孚一1x 2 x 4【解析】?jī)蛇叾汲艘詘 2 x