電動力學(xué) 電磁波在介質(zhì)界面上的反射和折射

1、1第四章第二節(jié)第四章第二節(jié)電磁波在介質(zhì)界面電磁波在介質(zhì)界面上的反射和折射上的反射和折射2 電磁波入射到介質(zhì)界面，發(fā)生反射和電磁波入射到介質(zhì)界面，發(fā)生反射和折射。反射和折射的規(guī)律包括兩個方面：折射。反射和折射的規(guī)律包括兩個方面：（1）入射角、反射角和折射角的關(guān)系）入射角、反射角和折射角的關(guān)系（2）入射波、反射波和折射波的振幅）入射波、反射波和折射波的振幅比和相對相位比和相對相位3下面應(yīng)用電磁場邊值關(guān)系來下面應(yīng)用電磁場邊值關(guān)系來分析反射和折射的規(guī)律。分析反射和折射的規(guī)律。 任何波動在兩個不同界面上的反射和折任何波動在兩個不同界面上的反射和折射現(xiàn)象屬于邊值問題射現(xiàn)象屬于邊值問題，它是由波動的基本，它

2、是由波動的基本物理量在邊界上的行為確定的，對電磁波物理量在邊界上的行為確定的，對電磁波來說，是由來說，是由E和和B的邊值關(guān)系確定的。因此，的邊值關(guān)系確定的。因此，研究電磁波反射、折射問題的基礎(chǔ)是電磁研究電磁波反射、折射問題的基礎(chǔ)是電磁場在兩個不同介質(zhì)界面上的邊值關(guān)系。場在兩個不同介質(zhì)界面上的邊值關(guān)系。4一般情況下一般情況下電磁場的邊電磁場的邊值關(guān)系值關(guān)系0012121212BBnDDnHHnEEn1反射和折射定律反射和折射定律 式中式中 和和 是面自由電荷、電流密度。這組是面自由電荷、電流密度。這組邊值關(guān)系是麥克斯韋方程組的積分形式應(yīng)用邊值關(guān)系是麥克斯韋方程組的積分形式應(yīng)用到邊界上的推論。在絕

3、緣介質(zhì)界面上，到邊界上的推論。在絕緣介質(zhì)界面上， =0， =0。5 因在一定頻率情形下，麥?zhǔn)戏匠探M不是完全獨立因在一定頻率情形下，麥?zhǔn)戏匠探M不是完全獨立的，由第一、二式可導(dǎo)出其他兩式。與此相應(yīng)，邊的，由第一、二式可導(dǎo)出其他兩式。與此相應(yīng)，邊值關(guān)系式也不是完全獨立的，由第一、二式可以導(dǎo)值關(guān)系式也不是完全獨立的，由第一、二式可以導(dǎo)出其他兩式。出其他兩式。001212HHnEEn因此，在討論時諧電磁波時因此，在討論時諧電磁波時, 介質(zhì)界面介質(zhì)界面上的邊值關(guān)系只需考慮以下兩式上的邊值關(guān)系只需考慮以下兩式 雖然介質(zhì)中雖然介質(zhì)中B是基本物理量，是基本物理量，但由于但由于H直接和自直接和自由電流相關(guān)由電流相

4、關(guān)，而且邊界條件也由而且邊界條件也由H表出表出，所以在研，所以在研究電磁波傳播問題時，往往用究電磁波傳播問題時，往往用H表示磁場較為方便。表示磁場較為方便。6 設(shè)介質(zhì)設(shè)介質(zhì)1和介質(zhì)和介質(zhì)2的分界面為無窮大平面，且的分界面為無窮大平面，且平面電磁波從介質(zhì)平面電磁波從介質(zhì)1入入射于界面上，在該處產(chǎn)生反射于界面上，在該處產(chǎn)生反射波和折射波。射波和折射波。設(shè)反射波和折射波也是平面波設(shè)反射波和折射波也是平面波（由下面所得結(jié)果可知這假定是正確的）。設(shè)入（由下面所得結(jié)果可知這假定是正確的）。設(shè)入射波、反射波和折射波的電場強度分別為射波、反射波和折射波的電場強度分別為E、E和和E ，波矢量分別為，波矢量分別為

5、 k、k和和k。它們的平面波表。它們的平面波表示式分別為示式分別為txkitxkitxkieEEeEEeEE 0 007應(yīng)用邊界條件時，注意介質(zhì)應(yīng)用邊界條件時，注意介質(zhì)1中的中的總場強為入射波與反射波場強的疊總場強為入射波與反射波場強的疊加，而介質(zhì)加，而介質(zhì)2中只有折射波，因此中只有折射波，因此有邊界條件有邊界條件 )(EnEEn先求波矢量方向之間的關(guān)系先求波矢量方向之間的關(guān)系8代入場表達式得代入場表達式得xk ixk ixk ieEneEeEn 0 00 此式必須對整個界面成立選界面為平面此式必須對整個界面成立選界面為平面z0，則上式應(yīng)對，則上式應(yīng)對z0和任意和任意x，y成立。因此三個成立。

6、因此三個指數(shù)因子必須在此平面上完全相等，指數(shù)因子必須在此平面上完全相等，0 zxkxkxk9由于由于x和和y是任意的，它們的系數(shù)應(yīng)各自相等是任意的，它們的系數(shù)應(yīng)各自相等 ,yyyxxxkkkkkk 如圖，取入射波矢在如圖，取入射波矢在xz平面上，有平面上，有ky=0,于于是是ky =ky=0。因此，。因此，反射波矢和折射波矢反射波矢和折射波矢都在同一平面上。都在同一平面上。10波矢量分量間的關(guān)系波矢量分量間的關(guān)系 yyyxxxkkkkkk且且 和和 在一個平面內(nèi)在一個平面內(nèi),kkk 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明證明0)(12EEnEEE1EE 2EnEEn )(xk ixk ixk

7、 ieEneEeEn 000)(在界面上在界面上 z= 0, xz= 0, x，y y 任意任意)(0)(0)(0ykxkiykxkiykxkiyxyxyxeEneEneEn EEE kkk nzyx11機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 因為任意，要使上式成立，只有因為任意，要使上式成立，只有 yx，,xxkkxxkk 同理可以證明同理可以證明 yyykkk 兩邊除以兩邊除以exp ()xyi k xk y0)()(0)()(0EneEneEnykkxkkiykkxkkiyyxxyyxx 兩邊對兩邊對x求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)0)()()(Enekkiykkxkkixxyyxx 0)()()(Enekk

8、iykkxkkixxyyxx )()(00)()(ykkxkkixxxxyyxxeEnkkEnkk 12 以以 ， 和和 分分別代表入射角，反別代表入射角，反射角和折射角，有射角和折射角，有 sin,sin,sin kkkkkkxxx 設(shè)設(shè)v1和和v2為電磁波在兩介質(zhì)中的相速，則為電磁波在兩介質(zhì)中的相速，則2 1,vkvkk 13 把波矢及它們的分把波矢及它們的分量值代入它們之間量值代入它們之間的關(guān)系式，得的關(guān)系式，得對電磁波來說對電磁波來說21 sinsin,vv 這就是說，根據(jù)麥克斯韋方程這就是說，根據(jù)麥克斯韋方程（邊界條件和平面波解），得到（邊界條件和平面波解），得到了我們熟知的反射和折

9、射定律。了我們熟知的反射和折射定律。1 v211122 sinsinn 因此因此14n21為介質(zhì)為介質(zhì)2相對于介質(zhì)相對于介質(zhì)1的折射率。的折射率。由于除鐵磁質(zhì)外，一般介質(zhì)都有由于除鐵磁質(zhì)外，一般介質(zhì)都有0，因此通?？梢哉J為，因此通常可以認為就是兩介質(zhì)的相對折就是兩介質(zhì)的相對折射率。頻率不同時，射率。頻率不同時，折射率亦不同，這是折射率亦不同，這是色散現(xiàn)象在折射問題色散現(xiàn)象在折射問題中的表現(xiàn)。中的表現(xiàn)。12 15現(xiàn)在應(yīng)用邊值關(guān)系式求入射、反現(xiàn)在應(yīng)用邊值關(guān)系式求入射、反射和折射波的振幅關(guān)系射和折射波的振幅關(guān)系 2振幅關(guān)系振幅關(guān)系 菲涅耳公式菲涅耳公式由于對每一波矢由于對每一波矢k有兩個有兩個獨立的

10、偏振波，它們在獨立的偏振波，它們在邊界上的行為不同，所邊界上的行為不同，所以需要分別討論以需要分別討論E垂直垂直于入射面和于入射面和E平行于入平行于入射面兩種情形。射面兩種情形。16 coscoscos HHH EH 21coscos EEE =0(1) E 入射面入射面邊值關(guān)系式為邊值關(guān)系式為 EEE 17 211 sinsincos2coscoscos2 EE反反射射透透射射 21 21sin)sin(coscoscoscos EE并利用折射定律得并利用折射定律得18邊值關(guān)系式為邊值關(guān)系式為 coscoscos EEE HHH （2 ）E/入射面入射面 21EEE 19并利用折射定律得并利

11、用折射定律得 tgtgEE cossinsincos2 EE反反射射透透射射20 上述公式稱為上述公式稱為菲涅耳公式菲涅耳公式，表示反射，表示反射波、折射波與入射波場強的比值波、折射波與入射波場強的比值 由這些公式看出，由這些公式看出，垂直于入射面偏垂直于入射面偏振的波與平行于入射面偏振的波的反振的波與平行于入射面偏振的波的反射和折射行為不同射和折射行為不同。如果入射波為自。如果入射波為自然光（即兩種偏振光的等量混合），然光（即兩種偏振光的等量混合），經(jīng)過反射或折射后，由于兩個偏振分經(jīng)過反射或折射后，由于兩個偏振分量的反射和折射波強度不同，因而反量的反射和折射波強度不同，因而反射波和折射波都變

12、為部分偏振光。射波和折射波都變?yōu)椴糠制窆狻?1 對于對于E/入射面，在入射面，在 + =90 的特殊情形的特殊情形下，下，E平行于入射面的分量沒有反射波平行于入射面的分量沒有反射波，因因而反射光變?yōu)榇怪庇谌肷涿嫫竦耐耆瓷涔庾優(yōu)榇怪庇谌肷涿嫫竦耐耆窆?。振光。這是光學(xué)中的布儒斯特（這是光學(xué)中的布儒斯特（Brewster）定律，這情形下的入射角為布儒斯特角。定律，這情形下的入射角為布儒斯特角。 tgtgEE cossinsincos2 EE22 菲涅爾公式同時也給出入射波、反射波菲涅爾公式同時也給出入射波、反射波和折射波的相位關(guān)系。和折射波的相位關(guān)系。在在 E 入射面情形入射面情形，

13、當(dāng)當(dāng) 2 1時時 ，因此，因此E/E為負數(shù)，即為負數(shù)，即反射波電場與入射波電場反相，這現(xiàn)象稱反射波電場與入射波電場反相，這現(xiàn)象稱為反射過程中的為反射過程中的半波損失。半波損失。 上面的推導(dǎo)結(jié)果與光學(xué)實驗上面的推導(dǎo)結(jié)果與光學(xué)實驗事實完全符合，進一步驗證了事實完全符合，進一步驗證了光的電磁理論的正確性。光的電磁理論的正確性。23 3全反射全反射 若若 1 2 ，則，則n211。當(dāng)電磁波從介質(zhì)。當(dāng)電磁波從介質(zhì)1入入射時，折射角射時，折射角 大于入射角大于入射角 。211122 sinsinn 根據(jù)根據(jù)24 變?yōu)樽優(yōu)?0 ，這時折射波沿界面掠過若，這時折射波沿界面掠過若入射角再增大，使入射角再增大，使

14、 sin n21，這時不能這時不能定義實數(shù)的折射角定義實數(shù)的折射角，因而將出現(xiàn)不同于一，因而將出現(xiàn)不同于一般反射折射的物理現(xiàn)象?，F(xiàn)在我們研究這般反射折射的物理現(xiàn)象?，F(xiàn)在我們研究這種情況下的電磁波解。種情況下的電磁波解。1221sin n當(dāng)當(dāng)25假設(shè)在假設(shè)在 sin n21情形下兩介質(zhì)中的電情形下兩介質(zhì)中的電場形式上仍然不變，邊值關(guān)系形式上仍場形式上仍然不變，邊值關(guān)系形式上仍然成立，即仍有然成立，即仍有2121 ,sinknvvkkkkkxx 在在sin n21情形下有情形下有kxk，因而，因而22122 2 sinnikkkkxz 虛數(shù)虛數(shù)26則折射波電場表示式變?yōu)閯t折射波電場表示式變?yōu)閠xk

15、izxeeEE 0 上式仍然是亥姆霍茲方程的解，因此代表在介上式仍然是亥姆霍茲方程的解，因此代表在介質(zhì)質(zhì)2中傳播的一種可能波模在上一節(jié)中我們不中傳播的一種可能波模在上一節(jié)中我們不考慮這種波，是因為當(dāng)考慮這種波，是因為當(dāng)z- 時時E ，因而，因而上式所表示的波不能在全空間中存在。上式所表示的波不能在全空間中存在。但是這但是這里所研究的折射波只存在于里所研究的折射波只存在于z0的半空間中，的半空間中，因此，上式是一種可能的解因此，上式是一種可能的解2212 sin ,nkikz 令令27上式是沿上式是沿x軸方向傳播的電磁波，它的場強沿軸方向傳播的電磁波，它的場強沿z軸方向指數(shù)衰減。因此，這種電磁波

16、只存在軸方向指數(shù)衰減。因此，這種電磁波只存在于界面附近一薄層內(nèi)，該層厚度于界面附近一薄層內(nèi)，該層厚度 -12212122121sin2sin1nnk 1為介質(zhì)為介質(zhì)1中的波長。一般來說，透入第二中的波長。一般來說，透入第二介質(zhì)中的薄層厚度與波長同數(shù)量級。介質(zhì)中的薄層厚度與波長同數(shù)量級。折射波折射波磁場強磁場強度度EnEkkB 282122 22 sinnEEkkHyxz Hz與與E”同相，但同相，但Hx與與E”有有90 相位差。相位差?？紤]考慮 E垂直入射面情況垂直入射面情況(E=Ey),1sin212222 22 niEEkkHyzx 29折射波平均能流密度折射波平均能流密度 2122 02

17、2 * sin21Re21neEHESzzyx 由此，折射波平均能流密度只有由此，折射波平均能流密度只有x分量，沿分量，沿z軸方向透入第二介質(zhì)的軸方向透入第二介質(zhì)的平均能流密度為零平均能流密度為零 0Re21 * xyzHES30本節(jié)推出的有關(guān)反射和折射的公式在本節(jié)推出的有關(guān)反射和折射的公式在 sin n21情形下形式上仍然成立。只要作對應(yīng)情形下形式上仍然成立。只要作對應(yīng)1sincos,sinsin2122 21 nikknkkzx 則由菲涅耳公式可以求出反射波和則由菲涅耳公式可以求出反射波和折射波的振幅和相位。例如在折射波的振幅和相位。例如在E垂垂直入射面情形，直入射面情形，31 ieniniEE222122212sincossincos 此式表示反射波與入射波具有相同振幅，此式表示反射波與入射波具有相同振幅，但有一定的相位差。反射波平均能流密度但有一定的相位差。反射波平均能流密度數(shù)值上和入射波平均能流密度相等，因此數(shù)值上和入射波平均能流密度相等，因此電磁能量被全部反射出去。這現(xiàn)象稱為全電磁能量被全部反射出去。這現(xiàn)象稱為全反射。