導數(shù)與微積分

1、導數(shù)與微積分導函數(shù)導函數(shù)的概念涉及： 的對于區(qū)間( , )上任意點處都可導，貝 在各點的導數(shù)也隨 x的變化而變化，因而也是自變量 x 的函數(shù)，該函數(shù)被稱為 的導函數(shù)，記作 。一、基本函數(shù)的導函數(shù)C'=0(C 為常數(shù) )(xAn)'=n"(n-1) (n Q)(sinx)'=cosx(cosx)'=-sinx(ex)'=ex(ax)'=(ax)* Inalog(a,x)' = 1/(x*lna)Inx'= 1/x、和差積商函數(shù)的導函數(shù)f(x) + g(x)' = f'(x) + g'(x)f(x)

2、- g(x)' = f'(x) - g'(x)f(x)g(x)' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)f(x)/g(x)' = f'(x)g(x) - f(x)g'(x) / g(x)A2三、復合函數(shù)的導函數(shù)設 y=u(t)，t=v(x) ，則 y'(x) = u'(t)v'(x) = u'v(x) v'(x)例：y =護2, t = sinx ，貝U y'(x) = 2t * cosx = 2sinx*cosx = sin2x般定義設函數(shù)在點的某個鄰域內有定義，當

3、自變量在處取得增量(點仍在該鄰域內)時, 相應地函數(shù)取得增量；如果與之比當時的極限存在，貝y稱函數(shù)在點處可導，并稱這個極限為函數(shù)在點處的導數(shù)，記為，即鄰域也可記作，或。數(shù)學分析的定義以 a 為中心的任何開區(qū)間稱為點a 的鄰域，記作 U(a)的左S鄰域，把幵區(qū)間(a，a+S)稱為a的右S鄰域。設s是任一正數(shù)，則在幵區(qū)間(a- S, a+s)就是點a的一個鄰域，這個鄰域稱為點的S鄰域，記作U(a, S )，即U(a, S )=x|a- S <x<a+ S 。點a稱為這鄰域的中心，S稱為這鄰域的半徑。a的S鄰域去掉中心a后，稱為點a的去心S鄰域，有時把幵區(qū)間(a- S，a)稱為拓撲學的定

4、義設 A 是拓撲空間 (X,T )的一個子集，點x A。如果存在集合U,滿足U是幵集，即t，點x U,U是A的子集，則稱點x是A的一個內點，并稱A是點x的一個鄰域若 A 是開(閉)集，則稱為開(閉)鄰域?？蓪гO y=f(x) 是一個單變量函數(shù)， 如果 y 在 x=x0 處存在導數(shù) y'=f'(x), 則稱 y 在 x=x0處可導。如果一個函數(shù)在 x0 處可導，那么它一定在 x0 處是連續(xù)函數(shù)若將一點擴展成函數(shù) f(x) 在其定義域包含的某開區(qū)間 I 內每一個點， 那么函數(shù) f(x) 在 開區(qū)間內可導，這時對于內每一個確定的值，都對應著 f(x) 的一個確定的導數(shù)，如此一來 每一

5、個導數(shù)就構成了一個新的函數(shù)， 這個函數(shù)稱作原函數(shù) f(x) 的導函數(shù)，記作： y' 、或者。原函數(shù)已知函數(shù) f(x) 是一個定義在某區(qū)間的函數(shù)， 如果存在函數(shù) F(x) ，使得在該區(qū)間內的任一點都有dF(x)二f(x)dx則在該區(qū)間內就稱函數(shù) F(x)為函數(shù)f(x)的原函數(shù)。例：sinx是COSX的原函數(shù)。關于原函數(shù)的問題函數(shù)f(x)滿足什么條件是，才保證其原函數(shù)一定存在呢？這個問題我們以后來解決。若其存在原函數(shù)，那么原函數(shù)一共有多少個呢?我們可以明顯的看出來：若函數(shù) F(x)為函數(shù)f(x)的原函數(shù),即：F'(x)=f(x)則函數(shù)族F(x)+C(C為任一個常數(shù))中的任一個函數(shù)一

6、定是f(x)的原函數(shù),故：若函數(shù)f(x)有原函數(shù)，那末其原函數(shù)為無窮多個如果定義在(a,b )上的函數(shù)F (x )和f (x)滿足條件：對每一 x ( a,b ), F'( x)=f (x)則稱F (x)為f (x)的一個原函數(shù)。例如，x3是3x2的一個原函數(shù)，易知，x3 + 1和x3 + 2也都是3x2的原函數(shù)。因此，一個函數(shù)如果有一個原函數(shù)， 就有許許多多原函 數(shù)，原函數(shù)概念是為解決求導和微分的逆運算而提出來的，例如：已知作直線運動的物體 在任一時刻t的速度為v = v(t),要求它的運動規(guī)律，就是求v = v(t)的原函數(shù)。原函數(shù)的存在問題是微積分學的基本理論問題，當f(x)為連

7、續(xù)函數(shù)時，其原函數(shù)一定存在。幾何意義和力學意義設f(x)在a,b上連續(xù)，則由曲線y=f(x),x軸及直線x=a,x=x圍成的曲邊梯形的面積函 數(shù)(指代數(shù)和一一x軸上方取正號,下方取負號)是f(x)的一個原函數(shù).若x為時間變量,f(x) 為直線運動的物體的速度函數(shù)，則f(x)的原函數(shù)就是路程函數(shù).導函數(shù)的定義表達式為:值得注意的是，導數(shù)是一個數(shù)，是指函數(shù)f(x)在點xO處導函數(shù)的函數(shù)值。但通常也可 以說導函數(shù)為導數(shù)，其區(qū)別僅在于一個點還是連續(xù)的點。幾何意義如右圖所示，設P0為曲線上的一個定點，P為曲線上的一個動點。當 P沿曲線逐漸趨向于點P0時，并且割線PPO的極限位置POT存在，則稱POT為曲

8、線在P0處的切線。若曲線為一函數(shù)y二f(x)的圖像，那么割線PPO的斜率為:當P0處的切線POT,即PPO的極限位置存在時，此時，則POT的斜率tan a為:上式與一般定義中的導數(shù)定義是完全相同，則f'(xO) = tan a,故導數(shù)的幾何意義即曲線 y = f(x) 在點 PO(xO,f(xO) 處切線的斜率。函數(shù)可導的條件如果一個函數(shù)的定義域為全體實數(shù)，即函數(shù)在上都有定義，那么該函數(shù)是不是在定義 域上處處可導呢？答案是否定的。函數(shù)在定義域中一點可導需要一定的條件是:函數(shù)在該 點的左右兩側導數(shù)都存在且相等。這實際上是按照極限存在的一個充要條件(極限存在， 它的左右極限存在且相等)推導

9、而來:上式中，后兩個式子可以定義為函數(shù)在 xO 處的左右導數(shù): 極值extremum:數(shù)學函數(shù)的一種穩(wěn)定值，即一個極大值或一個極小值，極值點只能在函數(shù) 不可導的點或導數(shù)為零的點中取得。extreme value :在給定的時期內 , 或該時期的一定月份或季節(jié)內觀測到的氣候要素 的最高值或最低值。如果這個時期是整個有觀測資料的時期 , 這個極值就是絕對極值 極限 在高等數(shù)學中，極限是一個重要的概念。極限可分為數(shù)列極限和函數(shù)極限，分別定義如下。首先介紹劉徽的 "割圓術 ", 設有一半徑為 1 的圓，在只知道直邊形的面積計算方法的情A1,再作內接正十二況下，要計算其面積。為此，他

10、先作圓的內接正六邊形，其面積記為 邊形，其面積記為A2,內接二十四邊形的面積記為 A3,如此將邊數(shù)加倍，當n無限增大時,An 無 限 接 近 于 圓 面 積 ， 他 計 算 到3072=6*2 的 9 次 方 邊 形 ， 利 用 不 等 式An+1<A<An+2(An+1)-An(n=1 ，2，3)得到圓周率 =3927/1250 約等于 3.1416數(shù)列極限：定義：設 |Xn| 為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a對于任意給定的正數(shù)£ （不論它多么?。?，總存在正整數(shù)N,使得當n>N時，不等式|Xn - a|<£都成立，那么就稱常數(shù)a是數(shù)列|Xn|的極限，或稱數(shù)

11、列|Xn|收斂于a。記為lim Xn = a或 Xn a ( ni oo數(shù)列極限的性質：1. 唯一性：若數(shù)列的極限存在，則極限值是唯一的；2. 有界性：如果一個數(shù)列收斂（有極限） ，那么這個數(shù)列有界。但是，如果一個數(shù)列有 界，這個數(shù)列未必收斂。3.保號性：如果一個數(shù)列xn收斂于a，且a>0 （或a<0），那么存在正整數(shù) N,當n>N時，都有xn>0（或xn<0）。4. 改變數(shù)列的有限項，不改變數(shù)列的極限。幾個常用數(shù)列的極限：an=c 常數(shù)列 極限為 can=1/n 極限為 0an二xn絕對值x小于1極限為0函數(shù)極限的專業(yè)定義 :設函數(shù)f（x）在點X。的某一去心鄰域

12、內有定義，如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)£ （無論它多么小），總存在正數(shù)S ，使得當x滿足不等式0v|x-x。|< S時，對應的函數(shù)值 f（x） 都滿足不等式：|f(x)-A|<£那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當xf x。時的極限。函數(shù)極限的通俗定義：1、設函數(shù)y=f(x)在(a,+ 8)內有定義，如果當xf +X時，函數(shù)f(x)無限接近一個確定的常數(shù)A,則稱A為當x趨于+8時函數(shù)f(x)的極限。記作lim f(x) = A，xf +8。2、設函數(shù)y=f(x)在點a左右近旁都有定義，當x無限趨近a時(記作xf a)，函數(shù)值無限接近一個確定的常數(shù) A,則稱A為當

13、x無限趨近a時函數(shù)f(x)的極限。記作lim f(x)=A ,xfa。函數(shù)的左右極限：1:如果當x從點x=x0的左側(即x x0)無限趨近于xO時，函數(shù)f(x)無限趨近于常數(shù) a, 就說 a 是函數(shù) f(x) 在點 x0 處的左極限,記作 xfx0-limf(x)=a.2:如果當x從點x=xO右側(即x>xO)無限趨近于點xO時，函數(shù)f(x)無限趨近于常數(shù) a, 就說 a 是函數(shù) f(x) 在點 xO 處的右極限，記作 xfxO+limf(x)=a.注：若一個函數(shù)在x (0) 上的左右極限不同則此函數(shù)在 x (0) 上不存在極限注:一個函數(shù)是否在 x(O) 處存在極限，與它在 x=x(O

14、) 處是否有定義無關， 只要求 y=f(x)在 x(O) 近旁有定義即可。函數(shù)極限的性質:極限的運算法則(或稱有關公式)lim(f(x)+g(x)=limf(x)+limg(x)lim(f(x)-g(x)=limf(x)-limg(x)不等于 O )lim(f(x)*g(x)=limf(x)*limg(x)lim(f(x)/g(x)=limf(x)/limg(x) ( limg(x)lim(f(x)A n=(limf(x)An以上 limf(x) limg(x) 都存在時才成立lim(1+1/x)Ax =e無窮大與無窮小：一個數(shù)列（極限）無限趨近于 0，它就是一個無窮小數(shù)列（極限） 。無窮大數(shù)

15、列和無窮小數(shù)列成倒數(shù)。兩個重要極限：1、lim sin(x) /x = 1 , x02、lim (1 + 1 /x) U = e , x(e 2.7182818，無理數(shù))舉兩個例子說明一下、 0.999999以下一段不作證明，只助理解原因：小數(shù)的加法的第一步就是對齊數(shù)位，即要知道具體哪一位加哪一位才可操作， 下文中 0.33333 的加法使用小數(shù)點與小數(shù)點對齊并既然不可做加法，就無乘法可言3就得到1 = 0.999999 ，可就是看不可以保證以上標準，所以對于無限小數(shù)并不能做加法。了。）誰都知道1/3 = 0.333333，而兩邊同時乘以著別扭，因為左邊是一個“有限”的數(shù)，右邊是“無限”10X

16、 0.999999 一1 X 0.999999 =9=9X 0.999999 0.999999 =1、“無理數(shù)”算是什么數(shù)？我們知道，形如根號 2 這樣的數(shù)是不可能表示為兩個整數(shù)比值的樣子的，它的每一位 都只有在不停計算之后才能確定，且無窮無盡，這種沒完沒了的數(shù)，大大違背人們的思維 習慣。結合上面的一些困難，人們迫切需要一種思想方法，來界定和研究這種“沒完沒了” 的數(shù)，這就產(chǎn)生了數(shù)列極限的思想。類似的根源還在物理中(實際上，從科學發(fā)展的歷程來看，哲學才是真正的發(fā)展動力，但物理起到了無比推動作用) ，比如瞬時速度的問題。我們知道速度可以用位移差與時間差的比值表示，若時間差趨于零，則此比值就是某時

17、刻的瞬時速度，這就產(chǎn)生了一個問題：趨于無限小的時間差與位移差求比值，就是0+ 0,這有意義嗎(這個意義是指“分析”意義，因為幾何意義頗為直觀，就是該點切線斜率)？這也迫使人們去為此開發(fā)出合乎理性的解釋，極限的思想呼之欲出。真正現(xiàn)代意義上的極限定義，一般認為是由魏爾斯特拉斯給出的，他當時是一位中學數(shù)學教師，這對我們今天中學教師界而言，不能不說是意味深長的。幾個常用數(shù)列的極限an=c 常數(shù)列 極限為 can=1/n 極限為 0an二n絕對值x小于1極限為0定積分定積分的幾何意義眾所周知，微積分的兩大部分是微分與積分。微分實際上是求一個已知函數(shù)的導數(shù)，而積分是已知一個函數(shù)的導數(shù)，求原函數(shù)。所以，微分

18、與積分互為逆運算。積分的分類實際上，積分還可以分為兩部分。第一種，不定積分，也就是已知導數(shù)求原函數(shù)，而若 F(x) 的導數(shù)是 f(x)，那么F(x)+C (C是常數(shù))的導數(shù)也是 f(x) ，也就是說， 把 f(x) 積分，不一定能得到 F(x)，因為 F(x)+C 的導數(shù)也是 f(x) ，C是任意常數(shù)，所以f(x)積分的結果有無數(shù)個，是不確定的,我們一律用 F(x)+C 代替，這就稱為不定積分。這也就是說它是一組函數(shù)，而不是有限個。第二種，定積分定積分就是求函數(shù) F(X)在區(qū)間(A,B)中圖線下包圍的面積。即y=0 x=a x=b y=F(X)所包圍的面積。這個圖形稱為曲邊梯形，特例是曲邊梯形

19、。定積分的定義：設一元函數(shù) y=f(x) , 在區(qū)間( a,b )內有定義。將區(qū)間( a,b )分成 n 個小區(qū)間 (a,x0)(x0,x1)(x1,x2) (xi,b)。設 xi = xi x(i-1)，取區(qū)間 xi中曲線上任意一點記做f (E i )，做和式: 和式若記入為這些小區(qū)間中的最長者。 當入T0時，若此和式的極限存在，則稱這個和式 是函數(shù) f(x) 在區(qū)間 (a,b) 上的定積分。記做：/ _ab (f(x)dx)(a在/下方，b在/上方)其中稱a為積分下限，b為積分上限，f(x) 為被積函數(shù)，f(x)dx 為被積式，/ 為積 分號。而不是一個函之所以稱其為定積分，是因為它積分后

20、得出的值是確定的，是一個數(shù)， 數(shù)。微分元微分定義：設函數(shù)y二f(x)在x.的鄰域內有定義，x0及x0 + Ax在此區(qū)間內。如果函數(shù)的增量A y = f(x0 + A x) - f(x0)可表示為 A y二A A x + o( A x)(其中 A是不依賴于A x的常數(shù))，而0( x0)是比 x高階的無窮小，那么稱函數(shù) f(x)在點x0是可微的，且AAx稱作函數(shù)在點x0相應于自變量增量A x的微分，記作dy，即dy二A Ax。通常把自變量x的增量 Ax稱為自變量的微分，記作 dx，即dx = A X。于是函數(shù)y = f(x) 的微分又可記作 dy = f'(x)dx 。函數(shù)的微分與自變量的

21、微分之商等于該函數(shù)的導數(shù)。因此，導數(shù)也叫做微商。當自變量X改變?yōu)閄+AX時，相應地函數(shù)值由f(X)改變?yōu)閒(X+ X),如果存在一個與 X無關的常數(shù)A，使f(X+ X)-f(X)和A?AX之差關于 XO是高階無窮小量，則稱A? X是f(X)在X的微分，記為dy,并稱f(X)在X可微。可導不一定可微，可微一定可導,這時 A=f' (X)。再記 A?A X=dy,則 dy二f (X)dX。例如：d(sinX)二cosXdX。幾何意義：設 x是曲線y二f(x)上的點M的在橫坐標上的增量， y是曲線在點M對應 x在縱坐標上的增量，dy是曲線在點M的切線對應 x在縱坐標上的增量。當！ x|很小時

22、，！ y-dy|比| y|要小得多(高階無窮小)，因此在點M附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。多元微分同理，當自變量為多個時，可得出多元微分得定義。運算法則：dy=f'(x)dxd(u+v)=du+dvd(u-v)=du-dvd(uv)=du ?v+dv?ud(u/v)=(du ?v-dv ?u)/v2黎曼積分定積分的正式名稱是黎曼積分，詳見黎曼積分。用自己的話來說，就是把直角坐標系然后把某個區(qū)間 a,b 上的矩上的函數(shù)的圖象用平行于 y 軸的直線把其分割成無數(shù)個矩形， 形累加起來，所得到的就是這個函數(shù)的圖象在區(qū)間 a,b 的面積。實際上，定積分的上下限 就是區(qū)間的兩個端點 a、

23、b。黎曼積分如果函數(shù)f(X)在閉區(qū)間a,b上定義，而(P, Z )是這個閉區(qū)間的一個帶點分割，則和a (f ; p, Z )：= 2 f( Z i) Xi叫做函數(shù)f在區(qū)間a,b上對應于帶點分割(P, Z )的積分和，其中 Xi=Xi-X(i-1)存在這樣一個實數(shù)I，如果對于任何£ >0可以找到一個S >0，使對區(qū)間a,b的任何帶點分割(P, Z )，只要分化P的參數(shù)入(P)< S,就有|I- a (f ； p, Z )|< £，則稱函數(shù)f(X)在 閉區(qū)間 a,b 上黎曼可積，而 I 就成為函數(shù) f(X) 在閉區(qū)間 a,b 上的黎曼積分。我們可以看到，

24、定積分的本質是把圖象無限細分，再累加起來，而積分的本質是求一 個函數(shù)的原函數(shù)。它們看起來沒有任何的聯(lián)系，那么為什么定積分寫成積分的形式呢？ 微積分基本定理定積分與積分看起來風馬牛不相及，但是由于一個數(shù)學上重要的理論的支撐，使得它 們有了本質的密切關系。把一個圖形無限細分再累加，這似乎是不可能的事情，但是由于 這個理論，可以轉化為計算積分。這個重要理論就是大名鼎鼎的牛頓 - 萊布尼茲公式，它的 內容是：若 F'(x)=f(x)那么/ _ab(f(x) dx ) = F(a)-F(b)牛頓-萊布尼茲公式用文字表述，就是說一個定積分式的值，就是上限在原函數(shù)的值與 下限在原函數(shù)的值的差。正因為這個理論，揭示了積分與黎曼積分本質的聯(lián)系，可見其在微積分學以至更高等 的數(shù)學上的重要地位，因此，牛頓 -萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理。牛頓-萊布尼茨公式， 又稱為微積分基本定理， 其意義就在于把不定積分與定積分聯(lián)系了起來，也讓定積分的運算有了一個完善、令人滿意的方法。從幾何上看，它在切線和面積 兩個看似很不相關的概念之間建立起了聯(lián)系。下面就是該公式的證明全過程：我們知道，對黎曼 (Riemann) 可積函數(shù) f(x) 于區(qū)間 a,b 上的定積分表達為：b(上限)/ a (下限)f(x)dx現(xiàn)在我們把積分區(qū)間的上