打印一份離散型隨機(jī)變量典型題

1、離散型隨機(jī)變量典型題1.有3張形狀、大小、質(zhì)量完全相同的卡片，在各張卡片上分別標(biāo)上0、1、2o現(xiàn)從這3張卡片中任意抽出一張，讀出其標(biāo)號x，然后把這張卡片放回去，再抽一張，其標(biāo)號為xy o (1)求的分布列；(2)2.解：(1) 可能取的值為且 P( 0)5，P(9所求的分布列為:0511(01)2(11)20、1)1、2、4o(2 1)2(本題滿分14分)甲與乙兩人擲硬幣,2)4)(11 分)(4(2分)(6 分)(8 分)(14 分)甲用一枚硬幣擲 3次，記正面朝上的次為E;乙用這枚硬幣擲2次，記正面朝上的次為n(1) 分別求E和n的期望;(2) 規(guī)定；若E >n，則甲獲勝，若E vn

2、,貝U乙獲勝，分別求出甲和乙獲勝的概率解E的可能取值為0, 1, 2, 3則E的分布列為E0123P13318888則EE0 8n的可能取值為n012P14121410,1,2|的分布列為概率為0.92.（1）求該題被乙獨(dú)立解出的概率;（2）求解出該題的人數(shù) 的數(shù)學(xué)期望和方差.解：（1）記甲、乙分別解出此題的事件記為 A B.設(shè)甲獨(dú)立解出此題的概率為Pi,乙為P2. （2 分）則 P (A) =P=0.6,P(B)=P 2P(AB) 1 p(A B) 1(1 P)(1 P2)PP2PP20.920.6P20.6P20.92則 0.4P20.32即 P20.8（7分）(2)P(0) P(A)P(

3、B)0.4 0.20.08P(1)P(A) P(B) P(A) P(B) 0.6 0.20.4 0.80.44P(2)P(A) P(B)0.6 0.80.48的概率分布為:012P0.080.440.48E 0 0.081 0.442 0.480.440.961.42 2 2D (0 1.4)0.08(11.4)0.44(21.4)0.480.1568 0.07040.17280.4或利用 D E( 2) (E )22.36 1.960.4(12分)4. 口袋里裝有大小相同的卡片八張，其中三張標(biāo)有數(shù)字1,三張標(biāo)有數(shù)字2,二張標(biāo)有數(shù)字3,第一次從口袋里任里任意抽取一張，放回口袋里后第二次再任意抽

4、取一張，記第一次與第二次取到卡片上數(shù)字之和為為何值時，其發(fā)生的概率最大？說明理由;(n)求隨機(jī)變量的期望E 。解(I )依題意，隨機(jī)變量的取值是2、3、4、5、62分因?yàn)?P ( =2) =3282964P ( =3)=2 32V1864所以,當(dāng) =4時,3 282-；P (642 3 21282644647分其發(fā)生的概率P ( =4)辺最大8分64 E =2643184145146 A 1512分5. (本小題滿分12分)A有一只放有x個紅球，y個白球，z個黃球的箱子(X、y、z>0,且X y z 6 )，B有一只放有3個紅球，2個白球，1個黃球的箱子，兩人各自從自己的箱子中任取一球比

5、顏色，規(guī)定同色時為A勝，異色時為B勝.(1)用X、y、z表示B勝的概率;(2)當(dāng)A如何調(diào)整箱子中球時，才能使自己獲勝的概率最大?解：(1)顯然A勝與B勝為對立事件，A勝分為三個基本事件:A :“ A B均取紅球”:A: “A、B均取白球”：A: “A、B均取黃球”.P(Ai)6 2,P(A2)P(A)P(Ai) P(A2)y 1z 1i 3, pg 6 6P(A3)636P(B) 13x 2y z36(2)由(1)知 P(A)3x 2y z36z 6, x0,y o,z 0于是P(A)甘12 X z362,當(dāng)x6, y z0，即A在箱中只放6個紅球時，獲勝概率最大,6. 某中學(xué)有5名體育類考生

6、要到某大學(xué)參加體育專業(yè)測試，學(xué)校指派一名教師帶隊(duì)，已知2每位考生測試合格的概率都是-3(1)若他們乘坐的汽車恰好有前后兩排各 3個座位，求體育教師不坐后排的概率; 若5人中恰有r人合格的概率為 竺，求r的值;243(3) 記測試合格的人數(shù)為，求的期望和方差。C311C61 32則 P5(r)C5r Pr(1P)5 r203，即 C5r(|)r(3)5r C3280243解：(1)體育教師不坐后排記為事件 A,則P(A) C5r2r80，r 32b(5,3)E 5| 107. 袋中有1個白球和4個黑球，每次從其中任取一個球，直到取到白球?yàn)橹?I)當(dāng)每次取出的黑球不再放回時，求取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望與

7、方差;(n)當(dāng)每次取出的黑球仍放回去時，求取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。解(I)當(dāng)每次取出的黑球不再放回時，設(shè)隨機(jī)變量是取球次數(shù),因?yàn)槊看稳〕龅暮谇虿辉俜呕?所以的可能取值為1, 2, 3, 4,5,易知P(1)1C1P(2) c訂(3)|P(C14) cccic2 1 ci c1'P(5)故隨機(jī)變量的概率分布列為:12345p1111155555E 11213141513,D(13)2 1(2 3)2 -(3 3)2 -555555552. .6分(43)2 1 (5 3)2 11(2212021222)555(n)當(dāng)每次取出的黑球仍放回去時，設(shè)隨機(jī)變量是取球次數(shù)，因?yàn)槊看稳〕龅暮谇蛉苑?/p>

8、回去，所以 的可能取值是一切正整數(shù)，P(k) ( ,k 1,2,L L55所求概率分布為123np154 15 54 2 1(?)54 n 1 15)5155220.4 k 11112224 k 1E k (5)k15T"55，D E 2(E )2k2(-)k1k 155 /d 425k 15(1 5).該車前面已有 4&如圖，一輛車要直行通過某十字路口，這時前方剛好由綠燈轉(zhuǎn)為紅燈輛車依次在同一車道上排隊(duì)等候(該車道只可以直行或左轉(zhuǎn)行駛).已知每輛車直行的概率 為-，左轉(zhuǎn)行駛的概率1.該路口紅綠燈轉(zhuǎn)換間隔均為1分鐘.假設(shè)該車道上一輛直行的車33駛出停車線需要10秒，一輛左轉(zhuǎn)行

9、駛的車駛出停車線需要 20秒.求:(1)前面4輛車恰有2輛左轉(zhuǎn)行駛的概率為多少?(2)該車在第一次綠燈亮起的1分鐘內(nèi)能通過該十字路口的概率(汽車駛出停車線就算通過路口)(3) 假設(shè)每次由紅燈轉(zhuǎn)為綠燈的瞬間，所有排隊(duì)等候的車輛都同時向前行駛，求該車在這十字路口候車時間的數(shù)學(xué)期望?？?口匚!二二'J 54（|）4 b（|）3（1）17（8分）（3）設(shè)該車在十字路口停車等候時間為 t，則時間t的分布列為時間t（min）13概率P1627112716 1149min.（13 分）279.某校一個研究性學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)從網(wǎng)上查得,某種植物種子在一定條件下的發(fā)芽成功的概率為則停車時間的數(shù)學(xué)期望為1 27

10、3 271，于是該學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)分兩個小組進(jìn)行驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)2（I）第一小組做了 5次這種植物種子的發(fā)芽實(shí)驗(yàn)（每次均種下一粒種子），求他們的實(shí)驗(yàn)至少有3次成功的概率;（n）第二小組做了若干次發(fā)芽實(shí)驗(yàn)（每次均種下一粒種子），如果在一次實(shí)驗(yàn)中種子發(fā)芽成功就停止實(shí)驗(yàn)，否則就繼續(xù)進(jìn)行下次實(shí)驗(yàn).直到種子發(fā)芽成功為止，但實(shí)驗(yàn)的次數(shù)不超過5次.求這一小組所做的種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)次數(shù)的分布列和期望。解：（I）至少有3次成功包括3次、4次和5次成功，即:c3（i）3（1 y c54（2）4（1 rn c5（1）5 0.5(n)依題意有:6'10.從分別寫有2 1 3 1 4 丄 5 丄 31481616 161, 2,

11、3, 4,5,6,7,8,9的九張卡片中，任意抽取兩張，計(jì)算:(I)卡片上的數(shù)字都是奇數(shù)的概率;(n)當(dāng)兩張卡片上的數(shù)字之和能被 3整除時，就說這次試驗(yàn)成功，求在成功次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。I） PiCl 5C92184'15次試驗(yàn)中12345p111112481616(n)次試驗(yàn)成功的概率為P迸3產(chǎn)3，從而：B 15E，故1E np 15 5。311. 甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中6題,3題進(jìn)行測試，至少答對2題乙能答對其中的8題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出 才算合格。(I)求甲答對試題數(shù) 的概率分布及數(shù)學(xué)期望。(n)求甲、乙兩人至少有一人考試

12、合格的概率。解：(I)依題意，甲答對試題數(shù) 的概率分布如下:0123分30甲答對試題數(shù)的數(shù)學(xué)期望:1E 0 1 A10(n)設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為 A、則 P(A) c3CeC： C3 60 208021201203P(B) C"!更邏竺弓12012015C1o甲、乙兩人考試均不合格的概率為: _ _ 2P(AB) P(A) P(B) (1-)(1314115145甲、乙兩人至少一個合格的概率為p(Ab) 114544 理文均12分4512. 一出租車司機(jī)從飯店到火車站途中有6個交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇紅燈這一事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是1。3

13、(I)求這位司機(jī)遇到紅燈前，已經(jīng)通過了兩個交通崗的概率;(II )求這位司機(jī)在途中恰好遇到三次紅燈的概率。解:(1)這位司機(jī)在第一、第二個交通崗都未遇到紅燈，第三個交通崗遇到了紅燈所以 p (13)(13) 1 27(II )這位司機(jī)在途中恰好遇到三次紅燈的概率為13分13學(xué)校文娛隊(duì)的每位隊(duì)員唱歌、跳舞至少會一項(xiàng)，已知會唱歌的有2人，會跳舞的有5人，現(xiàn)從中選2人設(shè)為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數(shù)，且P( 0)10(I)求文娛隊(duì)的人數(shù);(II)寫出的概率分布列并計(jì)算E解:設(shè)既會唱歌又會跳舞的有 x人,則文娛隊(duì)中共有(7-X )人，那么只會一項(xiàng)的人數(shù)是(7-2 X )人.(I) P(0) P(1

14、)1 P(3分C25 2x27 X (72x)(6 2x) (7 x)(6 x)310x=2.5分7分故文娛隊(duì)共有5人.(II)的概率分布列為012P34110510P(1)9分P(2)11分3104 11 - 2 =1 .5 1013分14. 一臺儀器每啟動一次都隨機(jī)地出現(xiàn)一個10位的二進(jìn)制數(shù)AajazasL，其中A的各位數(shù)字中,a11 , ak(k 2,3,L ,10)出現(xiàn)10的概率為-，出現(xiàn)31的概率為-，例如:3A 1001110001，其中 a2a3 a7a8a9a4a5a6a10?己 Sa1a? ai La o當(dāng)啟動儀器一次時,（1）求S 3的概率;（2）求S 5，且有3個1連排在

15、一起其余無任2個1連排在一起的概率。解：（1）P2 2 2 1716C9(3) (3)孑(2)P（C2 5 a2）（|）4（3）5 竽（注：分三類1110-；叫- ；10-）15.如圖AB兩點(diǎn)之間有6條網(wǎng)線并聯(lián)，他們能通過的最大信息量分別為1、 1、 2、 2、 3、4,現(xiàn)從中任取三條網(wǎng)線且使每條網(wǎng)線通過最大信息量;、設(shè)選取的三條網(wǎng)線由 A到B可通過的信息總量為X,當(dāng)x>6時，才能保證信息暢通,求線路信息暢通的概率;求選取的三條網(wǎng)線可通過信息總量的數(shù)學(xué)期望。解：Q1p(x 6)1 c2 c1C：Q1 2P(x 7)C：Q1 3P(x 8)C1 1C：320Q2 3P(x9)C；110P(

16、x6)p(x 6)p(x 7)P(x8) P(x9)1 1 2 丄 154 4 20 10 20即線路信息暢通的概率為: 112 4 p(x 4)C21C 101 c131 1 3 1 2 2 5 p(x 5)疋 20信息總量x分布列線段同過信息量的數(shù)學(xué)期望為6.5.13分x456789P13113110204420108 9 6.520 10Ex 45 61714104416某中學(xué)籃球隊(duì)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，每人在一輪練習(xí)中最多可投籃4次，現(xiàn)規(guī)定一旦命中即停止該輪練習(xí)，否則一直投到4次為止.已知運(yùn)動員甲的投籃命中率為0.7.(1)求一輪練習(xí)中運(yùn)動員甲的投籃次數(shù)E的分布列，并求出E的期望EE(結(jié)果保留

17、兩位有效數(shù)字)；(2)求一輪練習(xí)中運(yùn)動員甲至少投籃 3次的概率.解：(1) E的可能取值為1, 2, 3, 4,E =1 時，P (E =1) =0.7E =2 時，P (E =2)=0.7(1-0.7)=0.21;E =3 時，P (E =3)=0.7(1-0.7) 2=0.063E =4 時，P (E =4)=0.7(1-0.7)+(1-0.7) 4=0.027.E的分布為E1234P0.0.20.060.027137 EE =1X 0.7+ X 2X 0.21+3 X 0.063+4 X 0.027=1.4(2)P( E> 3)=P( E =3)+P( E =4)=0.063+00

18、27=0.0917、甲、乙兩名射擊運(yùn)動員，甲射擊一次命中10環(huán)的概率為丄，乙射擊一次命中10環(huán)的2概率為S,若他們各自獨(dú)立地射擊兩次，設(shè)乙命中10環(huán)的次數(shù)為E,且E的數(shù)學(xué)期望 EE表示甲與乙命中10環(huán)的次數(shù)的差的絕對值.(1)求s的值及的分布列,求的數(shù)學(xué)期望.4解:(1)依題意知 ES B(2，S)，故 EE =2s=，32分的取值可以是0, 1, 2.甲、乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)均為0次的概率是G)2百)2 -1 ,甲、乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)均為1次的概率是甲、1 1(2 2 2112112 22)(33 3 3)9乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)均為2次的概率是e擾19 p(1=0)= 362 丄 1

19、199366分甲命中10環(huán)的次數(shù)為2次且乙命中10環(huán)的次數(shù)為0次的概率是2)(1136甲命中10環(huán)的次數(shù)為0次且乙命中10環(huán)的次數(shù)為2次的概率是1(223)二 P(=2)=i61=29 36 p(=1)=11351p( =0) p( =2)=1 16 36 110分故的分布列是01214 '分E =013112 A 736236918. 一位學(xué)生每天騎自行車上學(xué)，從他家到學(xué)校有5個交通崗，假設(shè)他在交通崗遇到紅燈率均為是相互獨(dú)立的，且首末兩個交通崗遇到紅燈的概率均為 P ,其余3個交通崗遇到紅燈的概2.2若P 3,求該學(xué)生在第三個交通崗第一遇到紅燈的概率若該學(xué)生至多遇到一次紅燈的概率不超過,求P的取值范圍.18解：（1）記該學(xué)生在第i個交通崗遇到紅燈Ai （i1,2,5),p(a7 at A3)