2021高考理科數(shù)學(xué)全國1卷含解答

1、2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)總分值150分?？荚囉脮r120分鐘。,只有一項就是符合題、選擇題：此題共12小題,每題5分,共60分。在每題給出的四個選項中目要求的。1.集合 A x|x 1，B x|3x 1,那么A.AB x|x 0C.AB x|x 12. 如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖、正方形內(nèi)切圓中的黑色局部與白色局部關(guān)于正方形的中心成中心對稱、在正方形內(nèi)隨機取一點 那么此點取自黑色局部的概率就是1 1A.B. C.D.48243. 設(shè)有下面四個命題5：假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足1 R,那么zz2R; P2：假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z R,那么zR;P4：假設(shè)復(fù)數(shù)z R ,那么

2、z R、P3：假設(shè)復(fù)數(shù)Z1,Z2滿足Z1Z2 R ,那么z z2 ;其中的真命題為A. P1, P3B. P1, P4C.P2, P3D. P2, P44.記Sn為等差數(shù)列an的前n項與.假設(shè)a4a524, S648,那么an的公差為A.1B.2C.4D.85.函數(shù)f (x)在(,)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).假設(shè) f(1)1 ,那么滿足1 f (x 2)1的x的取值范圍就是A. 2,2B. 1,1C. 0,4D.1,316. (1)(1x)展開式中x的系數(shù)為xA.15B.20C.30D.357.某多面體的三視圖如下列圖,其中正視圖與左視圖都由正方形與等腰直角三角形組成,正方形的邊長為2,俯視圖為等

3、腰直角三角形、該多面體的各個面中有假設(shè)干個就是梯形，這些梯形的面積之與為A.10B.12C.14D.168. 右面程序框圖就是為了求出滿足 3n 2n 1000的最小偶數(shù)n ,那么在與.兩個空白框中,可以分別填入A. A1000與 nn1B.A1000與nn2111LX足<K>/ *1訓(xùn)加/ 結(jié)束'C. A1000與 nn1D.A1000與nn229. 曲線 G : y cosx, C2 : y sin(2x),那么下面結(jié)論正確3的就是A. 把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移 n個單位長度，得到曲線C26B. 把G上各點的橫坐標伸長到原

4、來的2倍,縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移 上個單位長度，得到曲線C2121 nC.把G上各點的橫坐標縮短到原來的丄倍,縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移n個單位長度，2 6得到曲線C2D.把G上各點的橫坐標縮短到原來的丄倍,縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移 衛(wèi)個單位長度，2 12得到曲線C210.F為拋物線C:y2 4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線 -J,直線h與C交于AB兩點,直線I 2與C交于DE兩點,那么| AE|+| DE的最小值為A.16B.14C.12D.1011.設(shè)xyz為正數(shù)，且2x3y 5z,那么A. 2x 3y 5zB. 5z 2x 3y C. 3y 5z 2xD

5、. 3y 2x5z12.幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件。為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,她們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼的活動、這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案:數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一項就是 2°,接下來的兩項就是20,21,再接下來0 12的三項就是2 ,2 ,2 ,依此類推。求滿足如下條件的最小整數(shù) N : N 100且該數(shù)列的前N項與為2的整數(shù)幕。那么該款軟件的激活碼就是A.440B.330C.220D.110、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分。13.向量a, b的夾角為60° ,|a|=2

6、,| b|=l,那么| a +2 b |=2y14.設(shè)x, y滿足約束條件2x11,那么z 3x 2y的最小值為02x15.雙曲線C :a2 y b21(a0,b 0的右頂點為 A以A為圓心，b為半徑做圓A圓A與雙曲線C的一條漸近線交于N兩點。假設(shè) MAN 60 ,那么C的離心率為16.如圖，圓形紙片的圓心為O半徑為5 cm,該紙片上的等邊三角形 ABC的中心為Ob D E、F為圓0上的點， DBC ECA FAB分別就是以 BCCAAB為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以BCCAAB為折痕折起 DBC ECA FAB使得D E、F重合，得到三棱錐。當 ABC的邊長變化時,所得三棱錐體積單

7、位:cm3的最大值為 o三、解答題：共70分。解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。一必考題：共60分。a217. 12分 ABC的內(nèi)角A B, C的對邊分別為 a, b, c, ABC的面積為3sin A1求 sin BsinC ；2假設(shè) 6cos B cosC 1,a3,求厶 ABC的周長、18、12 分如圖，在四棱錐 P-ABCD中, AB/CD,且 BAP CDP 90；、1證明：平面PABL平面 PAD 假設(shè)PA=PDAB=DC APD 90：,求二面角 A-PBC的余弦值、19. (12 分

8、)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài) 分布N( ,2).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(3 ,3 )之外的零件數(shù),求P(X1)及X的數(shù)學(xué)期望；(2) 一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(3 ,3 )之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查(i )試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性(ii )下面就是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸經(jīng)計算得x1 1616 i 1 Xi

9、9.97, s 爲嚴 x)21 16(x2 16X2)20.212,其中 X 為16 i 1抽取的第i個零件的尺寸，i 12，16.用樣本平均數(shù)X作為的估計值?，用樣本標準差s作為 的估計值?，利用估計值判斷就是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除(? 3?, ? 3?)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計與(精確到 0、01).附:假設(shè)隨機變量Z服從正態(tài)分布N( , 2),那么 P( 33 )0.997 40.997 4160.959 2 ,0.0080.09 .20、(12 分)2X橢圓C:飛a2y2T=1(a>b>0),四點 P(1,1), P(0,1),b珂-取于)，P4(1,于)中

10、恰有三點在橢圓C上、(1)求C的方程;(2)設(shè)直線I不經(jīng)過F2點且與C相交于A, B兩點。假設(shè)直線F2A與直線 RB的斜率的與為-1,證明:l過定點、21、(12 分)函數(shù) f (x) ae2X (a 2)eX x(1) 討論f (x)的單調(diào)性；(2) 假設(shè)f (X)有兩個零點，求a的取值范圍、9、9510、129、969、9610、019、929、9810、0410、269、9110、1310、029、2210、0410、059、95(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，那么按所做的第一題計分。22. 選修44坐標系與參數(shù)方程(10分)的參數(shù)方程為x 3co

11、s在直角坐標系 xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(0為參數(shù)),直線ly sin ,x a 4t,(t為參數(shù))、y 1 t,(1)假設(shè)a=-1,求C與I的交點坐標； 假設(shè)C上的點到I的距離的最大值為.17,求a、23. 選修45:不等式選講(10分)函數(shù) f(x)x2 ax 4,g(x) |x 1| |x 1|(1) 當a 1時，求不等式f (x) >g(x)的解集；(2) 假設(shè)不等式f (x) >g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范圍、2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)參考答案、選擇題：此題共12小題,每題5分,共60分。在每題給出的四個選項中，只有一項就是符合題目要求

12、的。1A , 2B, 3B, 4C, 5D, 6C, 7B,8D, 9D, 10A,11D,12A、二、填空題：此題共4小題,每題5分,共20分。13.2 314.-515年I .亦3三、解答題：共70分。解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。一必考題：共60分。17.12分 ABC的內(nèi)角A B, C的對邊分別為 a, b, c, ABC的面積為2a3sin A(1)求 sin Bsin C假設(shè)6cosBcosC=1, a=3,求厶ABC的周長、1解:(1)由題設(shè)得acsin B22 13sin A，即

13、 2csin B 3sin A由正弦定理得 sin CsinB2sin A3sin A2故 sin BsinC -3 由題設(shè)及1得cosBcosCsin Bsi nC1,即 cos(B C)所以B C,故A 、由題設(shè)得一31一 bcsin A2a23sin A,即 bc 8由余弦定理得b22bc 9,即(b c)3bc9,得b-33故ABC的周長為18、(12 分)解:(1)由 BAPCDP90 ,AB AP, CD PD由于AB/CD ,故AB PD ,從而AB平面PAD又AB 平面PAB,所以平面PAB 平面PAD平面PAD ,故AB PF ,x軸正方向,| AB |為單位長，建立如圖在平

14、面PAD內(nèi)作PF AD ,垂足為F、由1可知，AB可得PF 平面ABCD、以F為坐標原點，F(xiàn)A的方向為所示的空間直角坐標系 F xyz、由(1)及可得A(,0,0), P(0,0,2,B,1,0), C(手,1,0)、2所以詛(白,J),CB 邁OqH (#,0, #),71(0,1,0)(x, y, z)就是平面PCB的法向量，那么PC0邁 邁cLC0,即yxy vz°,可取nCB 0y o(0, 1, .2)(x, y,z)就是平面PAB的法向量，那么m PA0,即0x2y 00,可取m(1,0,1)貝V cos n,mn m|n|m|所以二面角 A PB C的余弦值為19.(1

15、2分)解:(1)抽取的一個零件的尺寸在(3 ,3 )之內(nèi)的概率為0、9974,從而零件的尺寸在(3 ,3 )之外的概率為0、0026,故 X B(16,0.0026),因此P(X 1) 1 P(X0)1 0.9974160.0408X的數(shù)學(xué)期望為EX 16 0.0026 0.0416(i)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(3 ,3 )之外的概率只有 0、0026, 天內(nèi)抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在(3 ,3 )之外的零件的概率只有0、0408,發(fā)生的概率很小。因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常 情況,需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的

16、方法就是合理的。(ii)由x 9.97, s 0.212 ,得 的估計值為？ 9.97,的估計值為？ 0.212,由樣本數(shù)據(jù)可以瞧出有一個零件的尺寸在(？ 3?, ? 3?)之外，因此需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查。剔除(？ 3?, ? 3?)之外的數(shù)據(jù)9、22,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1(16 9.97 9.22) 10.02,因此的估計值為 10、02、15162 2 2x 16 0.21216 9.971591.134剔除？ 3?, ? 3?之外的數(shù)據(jù)9、22,剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為1 2 21591.134 9.2215 10.02 0.008、15因此的估計值為038 0.09、20、12分解：

17、1由于P3,P4兩點關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過F3,F4兩點、又由Aa1234b2知，C不經(jīng)過點R,所以點P2在C上丄因此b1a1,34b2解得1a24b212故C的方程為41、2設(shè)直線F2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2如果I與x軸垂直，設(shè)l : x t ,由題設(shè)知t0 ,且 |t|2 ,可得代B的坐標分別為(tj,孕那么k1k2亠二2t、4 t222t1,得t2,不符合題設(shè)、從而可設(shè)l :ykx m(m 1),將 y2kx m代入y21得4由題設(shè)可知(4 k21)x8kmx4 m2216(4 k1)設(shè) A%, %), BE y2),那么 x4m2 42 , x1x2 24k214k

18、2 18km由題設(shè)即(2 kk1 k2k1 k2旳1 y2X11 ,故(2 k 1曲21)迥4k 1kx1 m 14 (m 1)-4k 1當且僅當m 1時，0,于就是l :x1(m1)(X1kx2 m 12kx1x2 (m 1)(x1 x2)X2X2)0,mx2解得km,所以l過定點2,121、12分解:f x的定義域為),f (x) 2ae2x (a 2)ex 1 (aex 1)(2ex 1)單調(diào)遞減(i)假設(shè) a 0,那么 f (x)0,所以 f(x)在(當 x (, In a)時，f (x)0；當 x ( In a,)時，f (x)0所以f (x)在(，In a)單調(diào)遞減，在(In a,)單調(diào)遞增。1 - I naa(i)假設(shè)a 0,由(1)知，f(x)至多有一個零點當a1時，由于f ( In a)0,故f(x)只有個零點5當a1(1,)時，由于1-aIn a 0,即 f (In a)0 ,故f (x)沒有零點;當a1(0,1)時,1In aa0,即 f ( In a)0又又1f( 2)42ae (a 2)e22e220,故f (x)在(,In a)有一個零點。(ii)假設(shè)a 0,由知，當xIn a時，f (x)取得最小值，最小值為f ( In a)3設(shè)正整數(shù)n°滿足