線性映射(線性變換)的矩陣表示

1、3 線性映射(線性變換)的矩陣表示教學(xué)目的 通過2學(xué)時的講授，使學(xué)生基本掌握有限推向量空間線性映射的矩陣表示定理及矩陣相似的基本概念教學(xué)內(nèi)容有限維向量空間的線性映射，可以通過基下的矩陣來刻畫，這就是這一節(jié)要學(xué)習(xí)的矩陣表示3.1 矩陣表示定理設(shè)V和W都是數(shù)域F上的有限維向量空間，dimV=n，dimW=m，Hom(V，W)由命題7.1.1知道，完全被它在V的一個基上的作用所決定因此在V中取一個基；同時，在W中取一個基，則由線性表示為 (1)將此寫成矩陣形式，并令()=()，則得， (2)其中矩陣A=，叫做線性映射在V的基和W的基bi 下的矩陣在V、W中分別取定一個基、bi以后，對于V到W的每一個

2、線性映射，有唯一確定的mn矩陣A與它對應(yīng)因此，這個對應(yīng)給出了Hom(V，W)到的一個映射j設(shè)tHom(V，W)，則j(t)=B是在基和基bi下的矩陣若B=A，則，由命題7.1.1，有t =s這表明j是單射任給C，W中以C的第j列作為在基bi 下的坐標(biāo)的向量記作，由命題7.1.2，存在V到W的一個線性映射r，使得r ()=，從而r ()=()=()C于是，C是r在基和基bi下的矩陣因此j (r)=C這表明j是滿射故j是Hom(V,W)到的一個雙射進(jìn)一步，我們來證明定理7.3.1 設(shè)V和W都是數(shù)域F上有限維向量空間,其中dimV=n, dimW=m在V中取一個基，在W中取一個基則V到W的每一個線性

3、映射與它在基和基bi下的矩陣的對應(yīng)j是向量空間Hom(V，W)到的同構(gòu)映射，記作Hom(V，W)證 前面已證j是到Hom(V，W)到的雙射現(xiàn)在來證明j保持加法與純量乘法運算任取s,tHom(V，W)，設(shè)j (s)=A, j (t)=B，即，則這表明s+t在基和基bi 下的矩陣是AB因此j (s+)=AB=j (s)+j ()類似可證，其中kF因此，j是Hom(V，W)到的同構(gòu)映射 再注意到定理7.1.2，則有推論7.3.1 設(shè)dimV=n，dimW=m，則Hom(V，W)是有限維的，并且dimHom (V，W)=dimVdimW (4) 當(dāng)知道V到W的線性映射s在基和基bi 下的矩陣A之后，V

4、中任一向量在s下的象很容易求出，即有命題7.3.1 設(shè)是V的一個基，是W的一個基，sHom(V，W)，且s在基和基bi 下的矩陣為A又V，設(shè)在基下的坐標(biāo)為，則在基bi 下的坐標(biāo)為A證 我們有因此，A是在基下的坐標(biāo) 推論7.3.2 設(shè)V到W的線性映射s 在基和基bi 下的矩陣為A，V中任一向量在基下的坐標(biāo)為X=，W中向量g在基bi 下的坐標(biāo)為Y=，則 現(xiàn)在我們來討論n維向量空間V上的線性變換與矩陣的關(guān)系設(shè)sEndV，我們把上面關(guān)于線性映射與矩陣的關(guān)系運用到V上的線性變換中這時，只需在V中取定一個基，把基向量在s下的象s ()仍然用這個基線性表出，即， (5)右端的n階矩陣A=叫做線性變換s在基下

5、的矩陣定理7.3.2 設(shè)V是數(shù)域F上n維向量空間，在V中取定一個基，則V上的每一個線性變換與它在基下的矩陣的對應(yīng)j是向量空間EndV到Mn(F)的同構(gòu)映射，也是環(huán)EndV到Mn(F)的同構(gòu)映射證 結(jié)論的前半部分已在定理7.3.1中證明后半部分中j是雙射，保持加法也已證明，剩下只要證j保持乘法設(shè)線性變換s，t在基下的矩陣分別是A，B，則，因為所以st在基下的矩陣是AB于是 從而j也是環(huán)EndV到Mn(F)的同構(gòu)映射 由此進(jìn)一步得到推論7.3.3 設(shè)數(shù)域F上n維向量空間V的一個線性變換s在V的一個取定的基下的矩陣是A則s可逆的充分且必要條件是A可逆，并且其逆變換在這個基下的矩陣就是證 設(shè)s可逆令關(guān)

6、于所取定的基的矩陣是B，則同理BA=In所以B=A1反過來，設(shè)，而A可逆，則有tEndV使于是，從而易見同理可證所以s可逆，且 命題7.3.2 設(shè)V是數(shù)域F上n維向量空間，sEndV若s在V的基下的矩陣為A，V在基下的坐標(biāo)為X，則在基下的坐標(biāo)為AX證 從命題7.3.1立即得到 3.2 矩陣相似的概念一個線性變換在取定基下的矩陣依賴于這個基的選擇同一個線性變換在不同的基下的矩陣自然不一定相同我們來考察一個線性變換在兩個基下的矩陣有什么關(guān)系設(shè)V是數(shù)域F上的一個n維向量空間，sEndV假設(shè)s在V的兩個基與下的矩陣分別是A與B，即,.令T是由基到基的過渡矩陣，即()=()T則()B=s ()=s ()

7、T)=()T=()AT=()T1AT因此 (6)等式(6)說明一個線性變換在兩個基下的矩陣的關(guān)系于是引進(jìn)定義1 設(shè)A，BMn(F)若存在F上一個n階可逆矩陣T使等式(6)成立，則稱B與A相似，記作ABn階矩陣的相似關(guān)系具有下列性質(zhì)：1)反身性 AA因為A=2)對稱性 若AB，則BA因為由得3)傳遞性 若AB且BC，則AC事實上，由和得= 等式(6)表明，n維向量空間的一個線性變換在兩個基下的矩陣是相似的反過來，設(shè)A和B是數(shù)域F上兩個相似的n階矩陣，則由定理7.3.2，存在F上n維向量空間V的一個線性變換s，它在V的一個基下的矩陣就是A于是s ()=()A因為B與A相似，所以存在一個可逆矩陣T，使得令()=()T，則由定理6.4.1，也