蕪湖一中研究性學(xué)習(xí)課題論文——遞推數(shù)列問題的研究

1、蕪湖一中研究性學(xué)習(xí)課題論文遞推數(shù)列問題的研究研究目的：探究如何解決遞推數(shù)列問題，主要研究通過遞推公式求通項(xiàng)公式的各種類型問題研究計(jì)劃：確定探究對象及探究方向 查找資料，以及相關(guān)文獻(xiàn) 整理資料，并確定主要論述的問題 完成論文研究成果形式：論文 制作人：高二（14）班江翔宇 引子這是印度的一個古老傳說，舍罕王打算重賞象棋發(fā)明人宰相達(dá)依爾。這位聰明的大臣跪在國王面前說：“陛下，請您在這張棋盤的第一個小格內(nèi)，賞給我一粒麥子，在第二個小格內(nèi)給兩粒，第三格內(nèi)給四粒，用這樣下去，每一小格內(nèi)都比前一小格加一倍。陛下，把這樣擺滿棋盤上所有64格的麥粒，都賞給您的仆人吧！”“愛卿，你所求的并不多啊?！眹跽f道，心

2、里為自己對這樣一件奇妙的發(fā)明賞賜的許諾不致破費(fèi)太多而暗喜?！澳惝?dāng)然會如愿以償?shù)?，”國王命令如?shù)付給達(dá)依爾。計(jì)數(shù)麥粒的工作開始了，第一格內(nèi)放粒，第二格內(nèi)放粒第三格內(nèi)放粒，還沒有到第二十格，一袋麥子已經(jīng)空了。一袋又一袋的麥子被扛到國王面前來。但是，麥粒數(shù)一格接一格飛快增長著，國王很快就看出，即便拿全印度的糧食，也兌現(xiàn)不了他對達(dá)依爾的諾言。原來，所需麥?？倲?shù)這個數(shù)究竟有多大？折合成質(zhì)量究竟是多少呢？首先需要的就是對上式求和，而對上式求和首先要做的，就是通過遞推公式求出通項(xiàng)公式，也就是下文我們要探討的問題。數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個非常重要的內(nèi)容，也是高考和數(shù)學(xué)競賽的重要組成部分。數(shù)列大體上討論兩種問題：一

3、是求數(shù)列的通項(xiàng)公式；二是數(shù)列求和問題。本文就以第一類問題為側(cè)重點(diǎn)，介紹處理數(shù)列遞推問題的常見方法、常見思想。首先，我們先給出數(shù)列的定義： 按照一定規(guī)律排列的一列數(shù)稱為數(shù)列例如：1. 按照從小到大順序排列，從1開始的全體自然數(shù)1，2，3，4，5， （1）稱為自然數(shù)列。2.按照從小到大的順序排列，從2開始的全體正偶數(shù)2，4，6，8，10， （2）稱為正偶數(shù)數(shù)列。3. 按照從小到大的順序排列，從1開始的全體正奇數(shù)1，3，5，7，9， （3）稱為正奇數(shù)數(shù)列。4. 按照從小到大的順序排列，從2開始的全體正素數(shù)2，3，5，7，11， （4）稱為素數(shù)數(shù)列。5. 按照從小到大的順序排列，從1開始的全體平方數(shù)1

4、，4，9，16，25， （5）稱為平方數(shù)數(shù)列。6. 按照從小到大的順序排列，從1開始的全體自然數(shù)的倒數(shù)1， （6）稱為倒數(shù)數(shù)列。數(shù)列中的數(shù)，稱為數(shù)列中的項(xiàng)，第n個數(shù)稱為第n項(xiàng)。第一個數(shù)也稱為首項(xiàng)。對于一個數(shù)列，如果我們想研究它的性質(zhì)，我們希望知道它的項(xiàng)是由哪些數(shù)組成？這些書是怎樣排列的？對于上面的數(shù)列，有些我們可以很明白的知道這些答案。但如果仔細(xì)推敲，對于（4）還存在疑問：給定一個自然數(shù)，如何判定它是否其中的項(xiàng)呢？如果給定其中一項(xiàng)，那我們又如何確定它是第幾項(xiàng)呢？這些關(guān)于素數(shù)的問題是非常深奧的，自此我就不再累述了。定義數(shù)列還有兩種常用方式。一是給出它的通項(xiàng)。上面的數(shù)列（1）（2）（3）（5）（6

5、）的通項(xiàng)分別為一個數(shù)列，可以記為，而表示的公式稱為通項(xiàng)公式。除了給出通項(xiàng)外，一個數(shù)列也可以通過開始的幾項(xiàng)及遞推公式來確定，例如定義為：這個數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列。可以求出斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式為我們接下來就來介紹如何通過遞推公式來求通項(xiàng)公式。一、等比差數(shù)列遞推關(guān)系式（注：以下）1.等差數(shù)列 （1） （2）由（1）（2）式得 以此類推 2.等比數(shù)列 （1） （2）由（1）（2）式得 以此類推 3.等比差數(shù)列 我們可以設(shè)遞推公式為 可以解出 ，代入得 則 ， 進(jìn)而得出 4.一次廣義等比差數(shù)列 ，其中為的2次多項(xiàng)式 類比上題可設(shè) 解出使得 代入后，由等比差數(shù)列的方法求出 其中，使得5.多次廣義等比差數(shù)

6、列，其中為的次多項(xiàng)式 我們亦可以類比上面兩例，使用待定系數(shù)法，再根據(jù)實(shí)際情況求出所需的通項(xiàng)公式，進(jìn)而進(jìn)一步解題。接下來，我們再來看一類利用待定系數(shù)法求解通項(xiàng)公式的問題特征根法。二、常系數(shù)線性遞推關(guān)系式（注：以下）1. 常系數(shù)線性2階齊次遞推關(guān)系式 設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得 比較原遞推關(guān)系可得 是方程的兩個根（我們稱二次方程為常系數(shù)線性2階遞推數(shù)列的特征方程，是方程的特征根）（1） 特征方程有兩個不同的根 從而可得 設(shè)，則上面兩式可寫為 ，從而 ， 即 兩式相減，得設(shè)，則 這里為待定系數(shù)，可由初始值來確定反之，對任意常數(shù)，該通項(xiàng)公式滿足遞推關(guān)系。（2） 特征方程有兩個相同的根，即在這種情況下，上面的從，

7、得 把上面各式相加有 因?yàn)?，故，記，則 反之亦真。 綜上所述，我們可以得到這樣的結(jié)論： 定理 如果是常系數(shù)2階線性遞推關(guān)系的特征方程的兩個根，則（1） 當(dāng)時，；（2） 當(dāng)時，。這里都是由初始值確定的常數(shù)。2. 常系數(shù)線性k階齊次遞推關(guān)系式 我們在介紹此種關(guān)系式之前，首先先看一下什么是冪和式 一元冪和式 二元冪和式 三元冪和式 廣義一元冪和式 廣義二元冪和式 廣義三元冪和式 很顯然常系數(shù)線性2階齊次數(shù)列的通項(xiàng)公式滿足廣義的二元冪和式。那么，如果一個數(shù)列的通項(xiàng)公式滿足冪和式，它的遞推關(guān)系又是什么呢？ 1° 滿足的遞推關(guān)系式 2° 滿足的遞推關(guān)系式 3° 滿足的遞推關(guān)系

8、式 4° 滿足的遞推關(guān)系式 5° 滿足的遞推關(guān)系式 6° 滿足的遞推關(guān)系式 7° 滿足的遞推關(guān)系式 8° ，是的常系數(shù)次多項(xiàng)式 其中，為以下個數(shù) 個，個，個 （*） 的基本對稱多項(xiàng)式，亦即為（*）中任取m個數(shù)的乘積之和通過上面各式，我們可以發(fā)現(xiàn)常系數(shù)線性k階齊次遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式很容易表示，我們可以得出：定理 如果k階常系數(shù)線性齊次遞推數(shù)列的特征方程 的全部根為（重），（重），（重），其中，且，則 其中，為次多項(xiàng)式。三、常系數(shù)線性分式1階遞推關(guān)系式（注：以下） 在這種遞推關(guān)系下，我們將使用不動點(diǎn)法解決問題（我們稱的根稱為的不動點(diǎn)）。由于篇幅限制，就不再累述不動點(diǎn)的有關(guān)性質(zhì)