有理系數(shù)多項式

1、§ 9有理系數(shù)多項式.引入1)在復(fù)數(shù)域上只有一次多項式才是不可約的。2)在實數(shù)域上不可約多項式只有一次的和某些二次的。對于有理數(shù)域1) 每個次數(shù)1的有理系數(shù)多項式都能唯一地分解成不可約的 有理系數(shù)多項式的乘積2) 要具體地作出它的分解式是一個很復(fù)雜的問題,3) 要判別一個有理系數(shù)多項式是否可約也不是一個容易解決的 問題。4) 可以歸結(jié)為整(數(shù))系數(shù)多項式的因式分解問題，并進而解決求 有理系數(shù)多項式的有理根的問題。5) 在有理系數(shù)多項式環(huán)中有任意次數(shù)的不可約多項式。問題：如何判斷Q上多項式的不可約性呢？有理系數(shù)多項式可歸結(jié)為整系數(shù)多項式的問題.設(shè) f（X）=anXn +an4x2+川

2、+a0 ,則i)可選取適當整數(shù)C,使cf(x)為整系數(shù)多項式.li)若cf (x)的各項系數(shù)有公因子，提出來，得cf(x)=dg(x),即f(x) =dg(x),其中g(shù)(x)是整系數(shù)多項式，且各項系數(shù)沒有異于±1的C公因子.222女口f(X)= x4 -2x2 -x = _(5x4 _ 15x2 _3x)3515二.本原多項式1 .定義：設(shè)g(x)=bnXn +bn 丄 xn+川+bx + b 薩 ObiZ, i =0,1,2 川 n.若bn,bnj|(bl,b0沒有異于±1的公因子，即bn,bnj|(bi,b0是互素的，則 稱g(x)為本原多項式.2 .有關(guān)性質(zhì)1) Vf

3、(xQx, Wr 亡 Q，使f(X)=rg(x),其中g(shù)(x)為本原多項式(除了相差一個正負號外，這種表示法是唯一 的).2)定理10 (Gauss引理)兩個本原多項式的積仍是本原多項式.證：設(shè) f(X)=anXn +anjLx2 +川十a(chǎn)。, g(x) =bmXm+川 +bo是兩個本原多項式.而h(x) = f (x)g(x) =dn知+dn4m4xW +川 +do ,反證法，若h(x)不是本原的，則存在素數(shù)P , P |dr, r = 0,1，川 n + m.又f (x)是本原多項式，所以P不能整除f(x)的每一個系數(shù)，令ai為 ao,ai川an中第一個不能被p整除的數(shù)，即p|ai,川pl

4、apg.同理，g(x)本原，令bj為bJllbm中第一個不能被P整除的數(shù)，即P |bo, P |bi| p | bj _L, ptbj.又dip =aibj +4冉4+川，這里P |di卅ptaibj,卩向卅6|，矛盾.二.整系數(shù)多項式的因式分解定理11若一非零的整系數(shù)多項式可分解成兩個次數(shù)較低的有理系數(shù)多項式，則它一定可分解成兩個次數(shù)較低的整系數(shù)多項式的乘 積.證：設(shè)整系數(shù)多項式f(x)有分解式f(x) =g(x)h(x)，其中 g(x), h(x)亡 Qx，且 c(g(x) ),£(h(x) )<£( f(X).令 f(x)=afi(x) , g(x)=rgi(x

5、), h(x) =sh(x)這里，fi(x),gi(x),hi(x)皆為本原多項式，a- Z,r,s-Q ,于是afi(x) =rsgi(x)hi(x)=由定理10,gi(x)hi(x)本原，從而有rs = ±a 即 rs Z , /f(X)=(rsgi(x) )hi(x) 得證.推論：1)f(x), g(x)是整系數(shù)多項式,2)g(x)是本原的，3)f(x) =g(x)h(x), h(x)-Qx,則h(x)必為整系數(shù)多項式.證：令 f(x)=afi(x), h(x)=chi(x), aZ,c 忘 Q,fi(x), hi(x)本原= afi(x) =g(x)chi(x) =cg(x)

6、hi(x) = c = ±a= c亡 Z,二 h(x) =chi(x)為整系數(shù).定理12設(shè)f(x)=anXn+a2XnrH| + aix+a0是一個整系數(shù)多項式，而-是它的一個有理根，其中r,s是互素的，則必有s|an,r|ao.s證：T -是f(x)的有理根，在有理數(shù)域上，sr(X-)|f(x)s從而(sx-r)| f(X),又r,s互素，二SX r本原.由上推論，有f(x) =(sx-r)(bn_1Xn+ 川+b1x+b0), bi-Z, i =0,1，川，n1.比較兩端系數(shù)，得asbijL， a 薩rb .所以，s| an, r | ao(注意：定理12是判斷整系數(shù)多項式有理根

7、的一個必要條件,而非充分條件.)例1 求方程2x" -X3 +2x-3 = 0的有理根，解：可能有理根為±1,岀,±1,±|，用綜合除法可知，只有1為根.例2 證明f(x)=x3-5x+1在Q上不可約.證：若f(x)可約，它至少有一個一次因子，也即有一個有理根, 但f(x)的有理根只可能是±1，而f(1)= Y, f(1)=5，所以f(x)不可約.定理13艾森斯坦因Eisenstein判別法設(shè) f(X)=anXn+anx2ri| + a1x+a0, a Z, i=0,1,|)|,n , 若有一個素數(shù)P ,使得1) Plan2) p |an4,a

8、n/,川，a。23) p |ao.則f (x)在有理數(shù)域上是不可約的.證：若f(x)在Q上可約，由定理11.f(x)可分解為兩個次數(shù)較低的整系數(shù)多項式的積f(x) (bx1 +b4X|4 + |i+bo)(CmXm +Cm斗Xmr| + Co), bg 亡 Z, l,m<n, I + m = nan nbiCm,a b0c0.Pla。,Pibo或 p|C0 ,又P2|ao , /. P不能同時整除bo,Co .不妨設(shè)p|bo但P-lCo.另一方面，P "n-Pi bl, pfCm.k假設(shè)bo,bi|(b中第一個不能被P整除的數(shù)為bk，比較兩端x的系數(shù)，得 abkC0 + bkj

9、c, +川 + boCk式中 ak,bk J|(bo 皆能被 P 整除，二 PibkCo , = P|bk 或 p|Co.矛盾.(注意：Eisenstein判別法是判斷不可約的充分條件非必要條件，所以有些多項式需作線性變換.)例3 證明：xn+2在Q上不可約.證：(令P =2即可).(可見存在任意次數(shù)的不可約有理系數(shù)多項式)證明：f(X)=x2 +1在Q上不可約.證:判別法知作變換 x = y+i，貝J f(x)= y2+2y + 2，取 p=2,由 Eisensteiny2+2y+2在Q上不可約，所以f(x)在Q上不可約.23P判斷f(xT+x+僉+訥咔在Q上是否可約.P!P!解:令g(x) = P!f(x)=p!+p!x+irxF+RxfP則g(x)為整系數(shù)多項式.:pz pl右,為宀p!,但p2w,g(x)在Q上不可約，從而f (x)在Q上不可約.說明：許多Q上的不可約多項式都可經(jīng)過適當線性代換或化整系 數(shù)多項式后用等森斯坦因判別法判定它是否不可約， 但是，也存在Q#上不可約多項式f(x),無論作怎樣的代換X =ay+b,(a,b Q,aHO)都不能使f(ay+b)=g(y)滿足愛森斯坦因判別法的條件，即找不到相應(yīng)的素數(shù)女口， f（X）= X3 +x +1 .但可用反證法：若f(x)可約，則必有一次因式，從而f(x)有有理 根，但f(x)的有理根只能是