第49講空間點、線、面的位置關(guān)系

1、第49講 空間點、線、面的位置關(guān)系1復(fù)習(xí)目標(biāo)了解平面的基本性質(zhì)，理解“三個公理”的意義. 理解空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義.1.2.3.I課前預(yù)習(xí)'L'知識梳理1.平面的基本性質(zhì)能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明空間位置關(guān)系的簡單命題.公理1 :如果一條直線上的兩點 在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)用符號語言表述為：若A, B I，且A, B a,貝U lu a公理2:經(jīng)過 不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.用符號語言表述為P a,且 P a,2. 空間兩條直線的位置關(guān)系(1)空間

2、兩條直線的位置關(guān)系包括平行、相交、異面，其中異面直線是指不同在任何一個平面內(nèi)的直線.(2)公理4:平行于同一條直線的兩條直線平行相等或互補直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點直線與平面相交I直線在平面外5直線與平面平行有且只有一個公共點沒有公共點4. 平面與平面的位置關(guān)系等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角平行相交沒有公共點有且只有一條公共直線3. 空間中直線與平面的位置關(guān)系1.公理2的三個推論推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面.推論2:經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.推論3:經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.2異面直線的判定定理過平面外一點和平面內(nèi)一點

3、的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線.3.唯一性定理(1) 過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.(2) 過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直.(3) 過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.(4) 過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直. '熱身練習(xí)1.在下列命題中，不是公理的是(A)A .平行于同一平面的兩個平面互相平行那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi)那么它們有且只有一條過該點的公共直線B .過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面 C.如果一條直線上有兩點在同一平面內(nèi)，D .如果兩個不重合的平面有一個公共點，根據(jù)點、線、面位置關(guān)系的4個公理來判斷，選項A

4、是兩平面平行的性質(zhì),B, C, D分別是公理2、公理1和公理3.2如果兩條直線a, b沒有公共點，那么 a, b的位置關(guān)系是A .共面 B.平行(D)C.異面D 平行或異面'"平行和異面都沒有公共點.3 .若直線a,A .異面直線C.平行直線b是異面直線，直線b, c是異面直線，則a,B .相交直線D .以上都有可能c的位置關(guān)系是(D)可畫圖幫助判斷，得到 a與c異面、相交、平行都有可能.4. 11, 12 ,13是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是(B)A . l1 丄 I2, I2 丄 I3? 11 / 13B . I 1 丄 S 1 2 / l3? h 丄3C. l

5、i/ I2/ I3?I1, I2,13共面D. Ii, I2, I3 共點？ Ii, I2, I3 共面匸13當(dāng)li丄l2, l2丄l3時，ll也可能與13相交或異面，故 A不正確;|1 丄 12, I2/I3? Il 丄 13,故 B 正確;當(dāng)I1/I2/I3時，li , l2 , l3未必共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C不正確;ll, l2, l3共點時，ll, l2, l3未必共面，如正方體中從同一頂點出發(fā)的三條棱，故正確.B內(nèi)，則“直線a和直線b5. （2016山東卷）已知直線a, b分別在兩個不同的平面相交”是“平面 a和平面B相交”的（A）A 充分不必要條件 B 必要不充分條件C.充

6、要條件 D .既不充分也不必要條件由題意知a?a , b? 3,若a , b相交，貝y a , b有公共點，從而 a, 3有公共點，可得出a, 3相交;反之，若a, 3相交,則a, b的位置關(guān)系可能為平行、相交或異面.因此“直線a和直線b相交”是“平面a和平面B相交”的充分不必要條件.【高頻考點5釦一點、線、面位置關(guān)系的判定（經(jīng)典真題）已知m , n為異面直線，m丄平面a, n丄平面3直線丨滿足丨丄m , I丄a,n, l? a,C.I? 則all 3且 I / aa丄B且I丄3a與3相交，且交線垂直于Ia與3相交，且交線平行于I'"直接去判斷每一個選擇支是否正確，很抽象.可

7、構(gòu)造長方體模型，化抽象為直觀進行判斷.畫出滿足題設(shè)條件的長方體模型，如圖:C£0| m* JB/o/A顯然a丄3排除A ;雖然a丄但I(xiàn) / 3,排除a與3相交，且交線平行于I，排除C,選D."(1)對于線線、線面、面面的位置關(guān)系的判定,常?？蓸?gòu)造長方體模型或正方體模型，化抽象為直觀去判斷.(2)構(gòu)造法實際上是結(jié)合題意構(gòu)造符合題意的直觀模型，然后將問題利用模型直觀地作出判斷，這樣減少了抽象性，可避免因考慮不全面而導(dǎo)致解題錯誤.1 若空間中四條兩兩不同的直線I1, I2, I3, I4滿足ll丄12, 12丄13, 13丄14，則下列結(jié)論定正確的是(D)A . I1 丄 I4B

8、. Ii/ I4C. I 1與I4既不垂直也不平行D . Ii與I4的位置關(guān)系不確定構(gòu)造一個長方體模型，在長方體中判斷它們的位置關(guān)系.'"如圖所示，在長方體 ABCD AiBiCiDi中,記li為DDi所在的直線，12為DC所在的直線，13為DA所在的直線,若l4= AA1，滿足ll丄l2, l2丄l3 , l3丄l4,此時，Il/l4，可排除選項 A和C.若l4= DCl，也滿足條件，可以排除選項B.故選D.考靜 判斷空間兩直線的位置關(guān)系1(2017覃塘區(qū)校級月考)在下圖中,G, N，M，H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN

9、是異面直線的圖形有r 因為M , G為中點，可得到 GM £*HN ,所以GH /MN，所以GH與MN共面.可利用結(jié)論：“平面內(nèi)一點和平面外一點的連線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線”進行判定，也可采用反證法判定，得到GH與MN是異面直線.因為GMHN，所以GH與MN共面.g " (1)空間兩條直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、共面的判定對于異面直線的判定可直接證明也可采用反證法，通過圖形分析、運用反證法的思想是判斷線面位置關(guān)系 的常用方法.(2)共面的情況主要是對平行與垂直這兩種特殊位置關(guān)系的判定對于平行的判定，常4及線面平行與面面平行的利用三角形(梯形)的中位線的性質(zhì)

10、、平行四邊形的性質(zhì)、公理 性質(zhì)定理；對垂直關(guān)系的判斷，常利用平面幾何中特殊圖形的特點及線面垂直的性質(zhì)來解 決.2.如圖是正四面體的平面展開圖，G , H , M , N分別為DE , BE, EF , EC的中點,在這個正四面體中：C3.GH與EF平行； BD與MN為異面直線;GH與MN成60°角； DE與MN垂直.以上四個命題中，正確命題的序號是把正四面體的平面展開圖還原，如圖所示.GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線,GH與MN成60。角,由 AF 丄 DE, MN /AF，所以 DE 丄 MN.考蠱川 平面基本性質(zhì)的應(yīng)用分別為BC, AB的中點，F(xiàn)在CD上，H在AD工I在

11、空間四邊形 ABCD中，E, G 上，且有 DF : FC = 2 : 3, DH : HA = 2 :求證：G, E, F, H四點共面；(2)求證：EF , GH , BD交于一點；D , O三點共線.若EF與GH相交于0,證明：B, 二(1)連接EG, HF，因為E, G分別是BC, AB的中點,所以 GE /AC,又因為 DF : FC = 2 : 3, DH : HA = 2 : 3,所以HF /AC，所以GE/HF，故G , E, F, H四點共面.由知G , E, F, H四點共面,又EF與GH不平行，所以EF與GH必相交.設(shè) EF n GH = O,由 0 EF , EF?平面

12、 BCD ,所以O(shè) 平面BCD，同理O 平面ABD ,所以O(shè)在平面 ABD與平面BCD的交線BD上,所以EF , GH , BD交于一點O.由可知，O點在BD上，所以B, D , O三點共線."(1)理解平面的基本性質(zhì)，掌握其基本應(yīng)用是解決“點、線共面，多點共線，多線共點”的關(guān)鍵.(2)公理1是判斷一條直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)；公理2及其推論是判斷或證明點、線共面的依據(jù)；公理 3是證明三點共線或三線共點的依據(jù).3.如圖，四邊形 ABEF和ABCD都是直角梯形，/BAD = / FAB= 90 °, BC / AD , BC1 1=2AD , BE/ FA, BE= 2FA,

13、G, H 分別是 FA, FD 的中點.D證明：四邊形BCHG是平行四邊形;(2)證明：C, D, F , E四點共面.GO (1)因為G , H分別是FA, FD的中點,所以 GH /AD, GH = 2AD,又因為 BC /AD, BC = 2AD，所以 BC/GH , BC= GH ,所以四邊形BCHG是平行四邊形.(2)因為 BE/FA, BE = 2FA，所以 BE /FG, BE = FG ,所以四邊形BGFE是平行四邊形，所以 BG /EF.又因為BG /CH，所以EF /CH.所以C, H ,F, E四點共面.又 D FH ,FH?平面 CHFE，所以 D 平面 CHFE ,所以C, D,F, E四點共面.1空間點、線、面位置關(guān)系的判斷，常常需要進行文字語言、圖形語言、符號語言的 轉(zhuǎn)換和交替使用，特別要注意“構(gòu)造法”的運用，通過構(gòu)造長方體等模型，能化抽象為直 觀，快速得到判斷.2判定空間兩條直線是異面直線的方法(1)判定定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線.(2)反證法：即證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而得到兩線異 面.3證明點共線、線共點、點或線共面的基本方法：(1)證明空間點共線問題通常證明這些點都在兩個平面的交線上，即先確定出兩點在 某兩個平面的交線上，再證明其他點既在第一個平