2.1 多元函數(shù)的基本概念ppt課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念一、平面點(diǎn)集一、平面點(diǎn)集 n n維空間維空間二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性五、小結(jié)五、小結(jié)一、平面點(diǎn)集一、平面點(diǎn)集 n n維空間維空間1、【平面點(diǎn)集】、【平面點(diǎn)集】(1)【平面點(diǎn)集】【平面點(diǎn)集】),( ),( 具具有有某某種種性性質(zhì)質(zhì)yxyxE 222),(ryxyxC 【例如】原點(diǎn)為圓心，【例如】原點(diǎn)為圓心，r r為半徑的圓內(nèi)所有點(diǎn)的集合是為半徑的圓內(nèi)所有點(diǎn)的集合是 rOPP |xU x點(diǎn)點(diǎn)的的 鄰鄰域域00(, )0 xxx | | |(2)【鄰域】【鄰域】回

2、憶一元函數(shù)中鄰域的概念：回憶一元函數(shù)中鄰域的概念：0 x 0 x 0 x2 數(shù)軸上到點(diǎn)數(shù)軸上到點(diǎn) x0 x0 的距的距離小于離小于的全體實(shí)數(shù)的全體實(shí)數(shù)組成的集合組成的集合. .二元函數(shù)中的鄰域：二元函數(shù)中的鄰域：平面上到點(diǎn)平面上到點(diǎn) 的距離小于的距離小于的全體的全體 組成的集合組成的集合. .0 x實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)0P【定義】【定義】),(0 PU|0 PPP.)()(| ),(2020 yyxxyxOxy0P ),(0 PU(3)【去心鄰域】【去心鄰域】|00 PPP.)(, 0的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)為為中中的的點(diǎn)點(diǎn)，稱稱內(nèi)內(nèi)總總有有的的去去心心鄰鄰域域若若對對EPEP，UP . 的的邊邊界界點(diǎn)點(diǎn)為為的的

3、點(diǎn)點(diǎn)，稱稱有有不不屬屬于于又又含含的的點(diǎn)點(diǎn)于于的的任任一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)既既含含有有屬屬若若EPE，EP(4)【點(diǎn)與點(diǎn)集之間的關(guān)系】【點(diǎn)與點(diǎn)集之間的關(guān)系】 : 22之一之一情形情形三三，兩者關(guān)系必滿足以下，兩者關(guān)系必滿足以下及點(diǎn)集及點(diǎn)集對點(diǎn)對點(diǎn)RE，RP 【內(nèi)點(diǎn)】【內(nèi)點(diǎn)】.)(的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)為為，稱稱的的某某一一鄰鄰域域若若EPEPUP EP 【外點(diǎn)】【外點(diǎn)】.)(的的外外點(diǎn)點(diǎn)為為，稱稱的的某某一一鄰鄰域域若若EPEPUP 【邊界點(diǎn)】【邊界點(diǎn)】P PP P【聚點(diǎn)】【聚點(diǎn)】.E，EE 記記作作的的邊邊界界邊邊界界點(diǎn)點(diǎn)的的全全體體稱稱為為【注】等價(jià)解釋：點(diǎn)【注】等價(jià)解釋：點(diǎn)P 的任意小的去心鄰域內(nèi)都有

4、的任意小的去心鄰域內(nèi)都有E 的無窮多的無窮多 個(gè)點(diǎn)，則稱個(gè)點(diǎn)，則稱P 為為E 的聚點(diǎn)。的聚點(diǎn)。(5)【開集與閉集】【開集與閉集】EP .為開集為開集的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱若點(diǎn)集若點(diǎn)集EE41),(221 yxyxE【例如】【例如】即為開集。即為開集。.為閉集為閉集，則稱，則稱的邊界的邊界若點(diǎn)集若點(diǎn)集EEEE 41),(222 yxyxE【例如】【例如】即為閉集。即為閉集。41),(223 yxyxE而而既非開集，也非閉集既非開集，也非閉集注注 E是開集是開集 E 中沒有邊界點(diǎn)中沒有邊界點(diǎn)xy21Oxy21O是是連連通通的的則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)集集且且該該折折線線上上的的點(diǎn)點(diǎn)都都屬屬于于都

5、都可可用用折折線線連連結(jié)結(jié)起起來來內(nèi)內(nèi)任任何何兩兩點(diǎn)點(diǎn)若若對對于于是是點(diǎn)點(diǎn)集集設(shè)設(shè)DDDD,. (6)【連通集】【連通集】連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域。連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域。(7)【開區(qū)域與閉區(qū)域】【開區(qū)域與閉區(qū)域】例如，在平面上例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx開區(qū)域開區(qū)域 xyOxy21O0),( yxyx41),(22yxyx閉區(qū)域閉區(qū)域 xyOxy21O 整個(gè)平面整個(gè)平面 點(diǎn)集點(diǎn)集 1),(xyx是開集，是開集， 是最大的開域是最大的開域 , 也是最大的閉域也是最大的閉域 ;但非區(qū)域但非區(qū)域 .11xyO0| ),( yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域無

6、界開區(qū)域xyo【例如】【例如】41| ),(22 yxyx(8)【有界集與無界集】【有界集與無界集】0| ),( yxyx無界閉區(qū)域無界閉區(qū)域無無界界集集，否否則則稱稱為為有有界界集集為為則則稱稱是是坐坐標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn)其其中中，使使得得若若存存在在正正數(shù)數(shù)對對于于點(diǎn)點(diǎn)集集E，OrOUErE，),( 二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念1.【二元函數(shù)的定義】【二元函數(shù)的定義】 設(shè)設(shè)D D是是R 2 R 2 的上的一個(gè)非空子集，稱映射的上的一個(gè)非空子集，稱映射 f :DRf :DR為定義為定義在在D D上的二元函數(shù)，通常記為：上的二元函數(shù)，通常記為：DPPfzDyxyxfz ),( ),(),(或或

7、., 為為因因變變量量為為自自變變量量與與為為定定義義域域其其中中zyxD類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)2.【多元函數(shù)】【多元函數(shù)】【補(bǔ)例【補(bǔ)例1 1】求】求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 【解】【解】 013222yxyx 22242yxyx所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?, 42| ),(222yxyxyxD 【注】二元函數(shù)定義域的畫法重點(diǎn)）【注】二元函數(shù)定義域的畫法重點(diǎn)）3.【二元函數(shù)【二元函數(shù) 的圖形】的圖形】),(yxfz 二元函數(shù)的圖形二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面通常是一張曲面. .xyzo)sin(xyz 【例如】【例如】圖

8、形如右圖圖形如右圖. .2222azyx 【例如】【例如】左圖球面左圖球面. .),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支: :三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限【說明】【說明】(1)定義中定義中PP0 時(shí)時(shí),它可按任意方式沿任意曲線趨于它可按任意方式沿任意曲線趨于P0 ；(3)二元函數(shù)的極限也叫二重極限二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx (2)二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似 直觀定義直觀定義點(diǎn)點(diǎn)P沿任意路徑趨于沿任意路徑趨于P0時(shí)函數(shù)時(shí)函數(shù)z = f (x,y)都無限趨近都無限趨近 于一個(gè)確

9、定的常數(shù)于一個(gè)確定的常數(shù)A,則稱函數(shù)則稱函數(shù)z在在PP0時(shí)以時(shí)以A為極限為極限.(4)點(diǎn)點(diǎn)P0 必須是聚點(diǎn)必須是聚點(diǎn),才能研究其極限存在性。才能研究其極限存在性?！菊n本例【課本例4 4】求證】求證 【證】【證】0sin)(lim2222001 yxyxyx1sin221 yx)0, 0( 0 22時(shí)時(shí) yxyx 有界有界0sin)(lim 2222001 yxyxyx故故 又如又如 f x yxyx y 討 討論論二二元元函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)是是否否存存在在極極限限22( , )1,( , )(0,0).解解00lim( , )xyf x y 2200lim(1)xyxy0011.注注 或用夾逼準(zhǔn)

10、則或用夾逼準(zhǔn)則.(0,0,1)無論以何種路徑趨于無論以何種路徑趨于(0,0)點(diǎn)，極點(diǎn)，極限都是限都是1.即匯集到即匯集到(0,0,1)點(diǎn)點(diǎn).22( , )1,( , )(0,0),( , )1f x yxyx yf x y 【課本例【課本例5 5】xxyyx)sin(lim)2,0(),(求求【解【解】原式原式)sin(lim)2,0(),(yxyxyyx yxyxyyxy20lim)sin(lim 221 【解【解】等價(jià)無窮小代】等價(jià)無窮小代換換原式原式xxyyx)2,0(),(lim yyx)2,0(),(lim 2 【補(bǔ)例【補(bǔ)例2 2】證明】證明 不存在不存在 【證】【證】26300li

11、myxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在不存在不存在.觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 播放播放【確定極限不存在的方法】【確定極限不存在的方法】(3) 或找一條路徑，若此時(shí)極限不存在，則可說明原極限或找一條路徑，若此時(shí)極限不存在，則可說明原極限 不存在不存在.2. 【特別注意】【特別注意】. )(),()()(00000需需特特別別注注意意存存在在。此此時(shí)時(shí)也也不不能能斷斷言言原原極極限限，即即都都相相等等值值無無關(guān)關(guān)

12、極極限限值值與與時(shí)時(shí)趨趨于于沿沿任任何何直直線線即即使使令令kyxPxxkyyx,yP 僅知其中一個(gè)存在僅知其中一個(gè)存在,推不出其它二者存在推不出其它二者存在.【附注】【附注】 二重極限二重極限),(lim00yxfyyxx),(limlimyxfxxyy00不同不同. 如果它們都存在如果它們都存在, 則三者相等則三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf顯然顯然),(limlim00yxfyyxx與累次極限與累次極限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0 僅知其中兩個(gè)存在僅知其中兩個(gè)存在,也推不出第三者存在也推不出第三者存在.但設(shè)但設(shè) P(x , y) 沿直

13、線沿直線 y = k x 趨于點(diǎn)趨于點(diǎn) (0, 0) ,222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx21kk二重極限不存在二重極限不存在 .和和)0 ,0(),(,0)0 ,0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性22330yxyx 2233yxyx yxyxyyxxyx 2222221【連續(xù)性】【連續(xù)性】【補(bǔ)例【補(bǔ)例3 3】討論函數(shù)】討論函數(shù)在在(0,0)(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性【解】【解】0),0 , 0(),(lim)0 ,0(),(fyxfyx 故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)(0,0)處連續(xù)處連續(xù). . ,.),(sin),

14、(2上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)是是證證明明設(shè)設(shè)Ryxfxyxf【證】（略）【證】（略）【課本例【課本例6 6】【結(jié)論】一元基本初等函數(shù)視為多元函數(shù)時(shí)，在各自的定義域【結(jié)論】一元基本初等函數(shù)視為多元函數(shù)時(shí)，在各自的定義域 內(nèi)都是連續(xù)的。內(nèi)都是連續(xù)的。2【間斷點(diǎn)】【間斷點(diǎn)】【補(bǔ)例【補(bǔ)例4 4】討論函數(shù)】討論函數(shù) 0 , 00,222222),(yxyxyxxyyxf在在(0,0)(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性【解】【解】 取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)(0,

15、0)處不連續(xù)處不連續(xù)沿著沿著y =x趨于趨于(0,0),極限為極限為0.5沿著沿著y = x趨于趨于(0,0),極限為極限為0.5 ; 0 , 00,222222),( yxyxyxxyyxf2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 說說明明一元函數(shù)只有間斷點(diǎn)可言；二元函數(shù)有間斷點(diǎn)、間一元函數(shù)只有間斷點(diǎn)可言；二元函數(shù)有間斷點(diǎn)、間斷線可言；三元函數(shù)還可能出現(xiàn)間斷面斷線可言；三元函數(shù)還可能出現(xiàn)間斷面.3.【多元初等函數(shù)】由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限【多元初等函數(shù)】由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多次的四則運(yùn)算

16、和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)元函數(shù)叫多元初等函數(shù).【結(jié)論】一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的【結(jié)論】一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的. .定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域).()(lim )()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 處連續(xù)，于是處連續(xù)，于是在點(diǎn)在點(diǎn)的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則是是是初等函數(shù)，且是初等函數(shù)，且時(shí)，如果時(shí)，如果一般地，求一般地，求【課本例【課本例7 7】xyyxyx)2, 1(),(lim求求 0, 0),( yxyxD定定義義域域DPUDP)

17、()2 , 1(00 的內(nèi)點(diǎn)，故的內(nèi)點(diǎn)，故為為而任何鄰域都是區(qū)域，那么而任何鄰域都是區(qū)域，那么【解】【解】的的一一個(gè)個(gè)定定義義區(qū)區(qū)域域，因因此此是是),()(0yxfPU232121)2 , 1(lim)2, 1(),( fxyyxyx【課本例【課本例8 8】.lim 1100 xyxyyx 求求【解】【解】)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21: ),0( ; 一一元元函函數(shù)數(shù)的的極極限限來來求求化化為為令令還還可可以以用用換換元元法法提提示示 ttxy . :等等價(jià)價(jià)無無窮窮小小代代換換等等可可用用洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則、化化為為一一元元函函數(shù)數(shù)的的

18、極極限限就就例例如如4.【有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)】【有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)】平行推廣平行推廣 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，必定在上的多元連續(xù)函數(shù)，必定在D D上有界，且能取得它的最大值和最小值上有界，且能取得它的最大值和最小值 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，必取得上的多元連續(xù)函數(shù)，必取得介于最大值和最小值之間的任何值介于最大值和最小值之間的任何值（1有界性與最大值和最小值定理有界性與最大值和最小值定理（2介值定理介值定理【注】（【注】（1 1）（）（2 2定理中條件的充分性定理中條件的充分性. .練習(xí)練習(xí) 習(xí)題習(xí)題8-1 P11-12 2、3、4、5、6、7、8作業(yè)作業(yè) 習(xí)題習(xí)題8-1 P11-12 5、(1)(3)(5). 6、(2)(4)(6) 7、 多元函數(shù)