第五節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1、第五節(jié)第五節(jié) 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一一 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)二 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)三三 小結(jié)與思考判斷題小結(jié)與思考判斷題定理1處也連續(xù).在點(diǎn)則處連續(xù)在點(diǎn)若函數(shù) 000)0)()()(),()(),()(,)(),(xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在xx.csc,sec,cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù)故故xxxx 1、四則運(yùn)算的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)定理定理4 4.)(,)(,)(,)(00000也連續(xù)也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)而函數(shù)而函數(shù)且且連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函

2、數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu 例如例如,), 0()0,(1內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 xu,),(sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 uy.), 0()0,(1sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 xy定理3 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如例如,2,2sin上單調(diào)增加且連續(xù)上單調(diào)增加且連續(xù)在在 xy. 1 , 1arcsin上也是單調(diào)增加且連續(xù)上也是單調(diào)增加且連續(xù)在在故故 xy;1 , 1arccos上單調(diào)減少且連續(xù)上單調(diào)減少且連續(xù)在在同理同理 xy.,cot,arctan上單調(diào)且連續(xù)上單調(diào)且連續(xù)在在 xarcyxy反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).定理3).(lim)()(li

3、m)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 則有連續(xù),在點(diǎn)函數(shù)若注注1.定理的條件：定理的條件：內(nèi)層函數(shù)有極限，外層函數(shù)內(nèi)層函數(shù)有極限，外層函數(shù) 在極限值點(diǎn)處連續(xù)在極限值點(diǎn)處連續(xù)可可得得類類似似的的定定理理?yè)Q換成成將將 xxx0. 2意義1.極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換;.)(. 2的理論依據(jù)的理論依據(jù)變量代換變量代換xu 例1.)1ln(lim0 xxx 求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解例2.1lim0 xexx 求解,1yex 令令),1ln(yx 則則. 1 )1ln(lim0yyy 原式原式

4、. 0,0yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx 二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性定理定理4 4 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. .定理定理5 5 一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是連內(nèi)都是連續(xù)的續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. .例例1 1. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例2 2.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 .

5、0 )()()(lim000定義區(qū)間定義區(qū)間 xxfxfxx 初等函數(shù)求極限的方法初等函數(shù)求極限的方法代入法代入法.例例3 求求)1arcsin(lim22xxxx解解 都都和和時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)221xxxx不能應(yīng)用差的極限運(yùn)算法則，須變形不能應(yīng)用差的極限運(yùn)算法則，須變形先分子有理化，然后再求極限先分子有理化，然后再求極限)1(lim2xxxx xxxxxxxx 1)1)(1(lim2221111lim1lim22 xxxxxx21 )1arcsin(lim2xxxx )1(limarcsin2xxxx 621arcsin 例例4 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式ex0lim)2

6、1ln(sin3xxex0limx36e說明說明: 若,0)(lim0 xuxx則有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxxx2三 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a,b上連續(xù)：上連續(xù)： 在在 (a,b) 內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)連續(xù)，在 a點(diǎn)右連續(xù)，在點(diǎn)右連續(xù)，在 b 點(diǎn)左連續(xù)點(diǎn)左連續(xù).)(xf函函數(shù)數(shù))(xf函函數(shù)數(shù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的定義、最大值和最小值定理、最大值和最小值定理定義:上的最大(小)值.在區(qū)間是函數(shù)則稱都有使得對(duì)于任一如果有上有定義的函數(shù)對(duì)于在區(qū)間ixfxfxfxfxfxfixixxfi)()

7、()()( )()(,),(0000 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y定理1(最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabacxf 有有使得使得則則若若注意注意: :1.若區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn), 定理不一定成立定理不一定成立.例如例如,)1,0(,xxy無最大

8、值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也無最大值和最小值 又如又如, ,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mm推論：推論：由定理 1 可知有, )(max,xfmbax)(min,xfmbax, ,bax故證證: 設(shè), ,)(bacxf,)(mxfm有上有界 .在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界. 3、介值定理、介值定理定義定義: :.)(, 0)(000的零點(diǎn)的零點(diǎn)稱為函數(shù)稱為函數(shù)則則使使如果如果xfxxfx .內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根在在即方程即方程0)( xf),(baab3 2 1 幾何解釋幾何解釋:.,)(軸至少有一個(gè)交點(diǎn)軸

9、至少有一個(gè)交點(diǎn)線弧與線弧與則曲則曲軸的不同側(cè)軸的不同側(cè)端點(diǎn)位于端點(diǎn)位于的兩個(gè)的兩個(gè)連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧xxxfy xyo)(xfy 定理 4(介值定理 ) 設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間 ba, 上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值 aaf )( 及 bbf )(, , 那末，對(duì)于 a與b之間的任意一個(gè)數(shù) c ，在開區(qū)間( () )ba,內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使得cf )( )(ba . . 例1.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間證明方程證明方程 xx證, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)

10、定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 內(nèi)至少有一根內(nèi)至少有一根在在方程方程 xx推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值 與最小值 之間的任何值.mm, 0 , 0 證,)()(xxfxf 令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則baxfaafaf )()(而而由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)()( ffbbfbf )()(.)( f即即.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得證明證明且且上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)例2例例 3 3 證明方程證明方程bxax sin，其中，其中0,0 ba，至少，至少有一個(gè)正

11、根，并且它不超過有一個(gè)正根，并且它不超過ba . .bxaxxf sin)(證：證： , 0)sin(1)sin()( baabbaababaf, 0)0( bf 上連續(xù)，上連續(xù)，在在ba 0()0,.f a ba b 若取. 0)(, 0 fba使使（否則至少否則至少例例4 )()(), 0)2()0(2 , 0)(affaaffaxf 使使證明證明上連續(xù)，且上連續(xù)，且在在設(shè)設(shè)證證則則記記)()()(axfxfxf )(, 0(, 0)(的定義域的定義域即即上連續(xù)上連續(xù)在在xfaaxf)()0()0(afff 且且)0()()2()()(fafafafaf )()0(aff 若若即為所求即為

12、所求則則0 )()0(aff 若若0)()0( aff則則由零點(diǎn)定理知由零點(diǎn)定理知0)(), 0( fa 使使)()(aff 即即總之總之)()(), 0affa 使使注注方程方程f(x)=0的根的根函數(shù)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的零點(diǎn)有關(guān)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)命題的證明方法有關(guān)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)命題的證明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20間接法（輔助函數(shù)法）：先作輔助函數(shù)，間接法（輔助函數(shù)法）：先作輔助函數(shù)， 再利用零點(diǎn)定理再利用零點(diǎn)定理輔助函數(shù)的作法輔助函數(shù)的作法（1）將結(jié)論中的）將結(jié)論中的(或或x0或或c)改寫成改寫成x（2）移項(xiàng)使右邊為）移項(xiàng)使右邊

13、為0，令左邊的式子為，令左邊的式子為f(x)則則f(x)即為所求即為所求 區(qū)間一般在題設(shè)中或要證明的結(jié)論中已經(jīng)給出，區(qū)間一般在題設(shè)中或要證明的結(jié)論中已經(jīng)給出，余下只須驗(yàn)證余下只須驗(yàn)證f(x)在所討論的區(qū)間上在所討論的區(qū)間上連續(xù)，連續(xù)，再比較一再比較一下兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值的符號(hào)，或指出要證的值介于下兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值的符號(hào)，或指出要證的值介于f(x)在所論閉區(qū)間上的最大值與最小值之間。在所論閉區(qū)間上的最大值與最小值之間。內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)右連續(xù))(. 2xf0 x第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷

14、點(diǎn)左右極限都存在 第二類間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在在點(diǎn)間斷的類型)(. 1xf0 x在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算四則運(yùn)算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)說明說明: 分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論其 左、右連續(xù)性.3.3.初等函數(shù)連續(xù)性初等函數(shù)連續(xù)性4.四個(gè)定理四個(gè)定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1閉區(qū)間；閉區(qū)間； 2連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)這兩點(diǎn)不滿足上述定理不一定成立這兩點(diǎn)不滿足上述定理不一定成立備用題備用題 確定函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.xxexf111)(解解: 間斷點(diǎn)1,0 xx)(lim0 xfx,0 x為無窮間斷點(diǎn);,1 時(shí)當(dāng)x xx1,0)(xf,1 時(shí)當(dāng)x xx1,1)(xf故1x為跳躍間斷點(diǎn). ,1,0處在x.)(連續(xù)xf思考題一 設(shè)設(shè)xxfsgn)( ，21)(xxg ，試試研研究究復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))(xgf與與)(xfg的的連連續(xù)續(xù)性性.思考題一解答( () )2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在)0 ,( ), 0( 上上處處處處連連續(xù)續(xù))(xfg0 x是它的可去間斷點(diǎn)是它的可去間斷點(diǎn)1 21)(xxg )1sgn()(2