第三章(曲線擬合最小二乘法-2)

1、第三章曲線擬合的最小二乘法一、曲線擬合的最小二乘法根據(jù)一組給定的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)，求出的近似函數(shù)關(guān)系（1） 觀測數(shù)據(jù)本身有誤差（2） 反映實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)規(guī)律的數(shù)學(xué)模型問題特點(diǎn)：所給數(shù)據(jù)本身不一定可靠，個(gè)別數(shù)據(jù)的誤差甚至可能很大。研究目標(biāo)：設(shè)法構(gòu)造一條曲線（所謂擬合曲線）反映所給數(shù)據(jù)點(diǎn)總的趨勢，以消除其局部波動(dòng)與插值問題不同，不要求通過點(diǎn)（否則將保留著一切觀測誤差），只要求在給定點(diǎn)上的誤差最小，即構(gòu)造一條最佳擬合曲線節(jié)點(diǎn)誤差(偏差)：最佳標(biāo)準(zhǔn)：1）：誤差絕對(duì)值最大達(dá)到最小(不易算)2）：誤差絕對(duì)值和最小(不易算)3）：誤差平方和達(dá)到最?。ɑ蚱椒秸`差，常用，最小二乘擬合）定義1：給定數(shù)據(jù)點(diǎn)，假設(shè)擬合曲線的函數(shù)

2、形式為：其中為已知的線性無關(guān)函數(shù)。求系數(shù)，使得：稱為最小二乘擬合函數(shù)若時(shí)稱為最小二乘擬合多項(xiàng)式（S為誤差平方和函數(shù)）注：若為定義在區(qū)間I上的n+1個(gè)函數(shù)滿足：則稱是個(gè)線性無關(guān)函數(shù)如：；線性無關(guān)如：在整個(gè)數(shù)軸上是線性相關(guān)，因?yàn)闀r(shí)二、最小二乘擬合多項(xiàng)式的求法如：， 為使 由極值點(diǎn)必要條件有： 即：(法方程組)最小二乘擬合多項(xiàng)式求解一般情況假設(shè)給定數(shù)據(jù)擬合多項(xiàng)式為：為使：由可得:（法方程組，見書P74）/注：系數(shù)矩陣關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱，次對(duì)角線元素相等定理1：以上法方程組在互異時(shí)有解存在且唯一，而且其解即為的解（使誤差取平方和最小的極小點(diǎn)）例1：已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表所示.i1234xi2468yi21

3、12840試求最小二乘擬合曲線.解：作散點(diǎn)圖，如圖所示，說明它可用線性函數(shù)作曲 線擬合，即選擇形如作為擬合曲線.這里，故法方程得所求的最小二乘擬合曲線為： 例2：求下列數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的最小二乘擬合多項(xiàng)式i123456xi012345yi531123解：做散點(diǎn)圖接近拋物線，因此法方程組為：解得：從而：三、非線性模型的線性化定義2：若擬合函數(shù)與待定參數(shù)為線性關(guān)系，就稱其為線性最小二乘擬合，如 若擬合函數(shù)與待定參數(shù)為非線性關(guān)系，就稱其為非線性最小二乘擬合，如非線性模型有時(shí)可經(jīng)過變換可化為線性模型，這些也應(yīng)按線性模型處理。注：對(duì)于線性最小二乘由及可得到關(guān)于的線性法方程組例3：給定數(shù)據(jù)如下：i12345xi1.001.251.501.752.00yi5.105.796.537.458.46求的最小二乘擬合曲線.（指數(shù)模型）解：不是多項(xiàng)式，但兩端取對(duì)數(shù)得.若令，則有，它是線性