振動理論及其運(yùn)用第4章連續(xù)系統(tǒng)弦桿梁

1、4.1 引言引言 4.2 弦振動弦振動4.3 桿的縱向振動桿的縱向振動4.4 桿的扭轉(zhuǎn)振動桿的扭轉(zhuǎn)振動 4.5 梁的橫向振動梁的橫向振動4.6 薄板的橫向振動薄板的橫向振動4.7 展開定理展開定理 4.8 瑞利商瑞利商4.9 響應(yīng)分析響應(yīng)分析4.10 有限元法簡介有限元法簡介 4. 1 引言引言力學(xué)模型的組成力學(xué)模型的組成 連續(xù)系統(tǒng)的力學(xué)模型由具由分布質(zhì)量、分布彈性和分布阻尼元件組成。連續(xù)系統(tǒng)的力學(xué)模型由具由分布質(zhì)量、分布彈性和分布阻尼元件組成。連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的關(guān)系連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的關(guān)系連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)簡化、離散化簡化、離散化自由度自由度n 趨向于無窮趨向于無窮連續(xù)系統(tǒng)與

2、離散系統(tǒng)的區(qū)別連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的區(qū)別 連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)自由度自由度連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)是連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)是同一物理系統(tǒng)同一物理系統(tǒng)的的兩個數(shù)學(xué)模型兩個數(shù)學(xué)模型。描述系統(tǒng)的變量描述系統(tǒng)的變量有限個有限個無窮多個無窮多個時(shí)間時(shí)間時(shí)間和空間位置時(shí)間和空間位置微分方程微分方程二階常微分方程組二階常微分方程組偏微分方程組偏微分方程組方 程 消 去 時(shí)方 程 消 去 時(shí)間變量后間變量后代數(shù)方程組代數(shù)方程組微分方程的邊值問題微分方程的邊值問題概述 任何機(jī)器的零部件都是由質(zhì)量和剛度連續(xù)分布的物體所組成的，也就是說這些零部件都是彈性體（連續(xù)系統(tǒng)continuous system）。但是在很多情

3、況下，為了使問題簡化，計(jì)算簡便，常常將它們簡化成多自由度的離散系統(tǒng)來分析。然而，在有些工程實(shí)踐中，卻要求對彈性體振動作嚴(yán)密的分析，這時(shí)就不能對它進(jìn)行離散化處理。因此，對工程上常用的連續(xù)彈性體（如桿、軸、梁、板、殼，以及它們的組合系統(tǒng)）進(jìn)行振動分析，求出它們的固有頻率和主振型，計(jì)算它們的動力相應(yīng)，這在實(shí)用上和理論研究上都有非常重要的意義。 多自由度系統(tǒng)（離散系統(tǒng)）和彈性體（連續(xù)系統(tǒng)）是對同一個客觀事物（機(jī)器零部件）的不同分析方法，因此它們之間必然存在一定的聯(lián)系和明顯的區(qū)別。 從動力學(xué)模型上看，多自由度系統(tǒng)是將零部件看成由質(zhì)量、剛度集中在若干點(diǎn)上的離散元件所組成。如圖（a）所示，它是把一個零件分成

4、若干段，每段的質(zhì)量分成兩半，分別加在兩端的集中質(zhì)量上。兩個質(zhì)量之間則用不計(jì)質(zhì)量、只計(jì)剛度的彈性元件相聯(lián)結(jié)。這樣就形成了具有n個集中質(zhì)量（m1、m2、mn）和n-1個彈簧（k1、k2、kn）所組成的n個自由度的集中參數(shù)模型，其廣義坐標(biāo)用振動位移yi(t)表示。彈性體則將零部件看成由質(zhì)量、剛度聯(lián)系分布的物體所組成，如圖（b）所示。當(dāng)一個零件的分段數(shù)時(shí)n時(shí)，離散系統(tǒng)就變成聯(lián)系系統(tǒng)，其橫坐標(biāo)x也從一個離散值（x1、x2、xn）變?yōu)檫B續(xù)函數(shù)。因此系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)要用一個由截面位置x和時(shí)間t所表達(dá)的二元函數(shù)y(x,t)來表示。這就是說，彈性體有無窮多個廣義坐標(biāo)，而且它們之間有一定的相互關(guān)系。 從運(yùn)動方程來看

5、，多自由度系統(tǒng)用一個方程數(shù)與自由度相等的常系數(shù)線性微分方程組來描述；而彈性體則要用偏微分方程式來描述，其階數(shù)決定于所研究的對象和振動形態(tài)。 在本章中，我們只研究彈性體的最簡單情況，即等截面的桿、軸、梁的振動。而且假設(shè)彈性體的質(zhì)量和剛度均勻分布，在振動過程中彈性體不產(chǎn)生裂紋，即要求廣義坐標(biāo)的變化是連續(xù)的。此外，我們的討論只局限在行星范圍內(nèi)，即認(rèn)為彈性體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系服從虎克定律（hookes law），而且是均質(zhì)各向同性的。圖:多自由度系統(tǒng)和彈性體的動力學(xué)分析(b)(a) 4.2 弦振動弦振動振動微分方程振動微分方程 由離散系統(tǒng)方程導(dǎo)出由離散系統(tǒng)方程導(dǎo)出將連續(xù)的弦作離散系統(tǒng)考慮，即由無質(zhì)量的弦聯(lián)

6、將連續(xù)的弦作離散系統(tǒng)考慮，即由無質(zhì)量的弦聯(lián)接接n個離散的質(zhì)量個離散的質(zhì)量m i 。每個質(zhì)量上所受的力為。每個質(zhì)量上所受的力為f i質(zhì)量質(zhì)量m i的受力分析如圖。的受力分析如圖。對質(zhì)量對質(zhì)量m i在在y方向的受力和方向的受力和加速度運(yùn)用牛頓第二定律：加速度運(yùn)用牛頓第二定律：221111ddtymfxyytxyytiiiiiiiiiii), 2, 1(ni或或), 2, 1(ni2211111ddtymfyxtyxtxtyxtiiiiiiiiiiiiii由于弦兩端固定，因此有由于弦兩端固定，因此有0)()(10tytyn設(shè)設(shè)111iiiiiiyyyyyy，), 2, 1(ni2211ddtymfx

7、ytxytiiiiiiiii或或), 2, 1(ni22ddtymfxytiiiiii 4.2 弦振動弦振動振動微分方程振動微分方程 由離散系統(tǒng)方程導(dǎo)出由離散系統(tǒng)方程導(dǎo)出或或), 2, 1(ni22ddtymfxytiiiiii或兩邊除以或兩邊除以 xi), 2, 1(ni22ddtyxmxfxytxiiiiiiiii當(dāng)質(zhì)量數(shù)無窮多時(shí)，當(dāng)質(zhì)量數(shù)無窮多時(shí)， xi趨近于零，方程可寫成趨近于零，方程可寫成lxttxyxtxfxtxyxtx0),()(),(),()(22其中，其中，0),(), 0(,)(,)(),(limlim00tlytyxmxxtftxfiixiixii由于用由于用x替換了變量

8、替換了變量xi ，因此對時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換成偏導(dǎo)數(shù)，而增量，因此對時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換成偏導(dǎo)數(shù)，而增量比用對比用對x的偏導(dǎo)數(shù)表示。的偏導(dǎo)數(shù)表示。 4.2 弦振動弦振動振動微分方程振動微分方程 從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出 設(shè)長度為設(shè)長度為l 、兩端固定的弦上受均布載荷、兩端固定的弦上受均布載荷f (x, t) ，弦上弦上x處的張力與單位長度質(zhì)量密度分別為處的張力與單位長度質(zhì)量密度分別為t (x)和和 (x)。xtxfxtxyxtxxtxyxtxyxxxtxtd),(),()(d),(),(d)()(22 根據(jù)牛頓定律，任一瞬時(shí)作用在微弦段上根據(jù)牛頓定律，任一瞬時(shí)作用在微弦段上y 方向的力與微

9、弦段的加速度有如下關(guān)系方向的力與微弦段的加速度有如下關(guān)系 質(zhì)量為質(zhì)量為 a dx的微段的微段dx，隔離體受力分析圖，隔離體受力分析圖22),(d)(ttxyxx展開、消去相關(guān)的項(xiàng)、略去展開、消去相關(guān)的項(xiàng)、略去dx的二次項(xiàng)，然后兩邊除以的二次項(xiàng)，然后兩邊除以dx 得得lxttxyxtxfxtxyxtxtxyxxt0),()(),(),()(),()(2222或或lxttxyxtxfxtxyxtx0),()(),(),()(22 4.2 弦振動弦振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題方程方程lxttxyxxtxyxtx0),()(),()(220),(), 0(tlyty邊界條件邊界條件用分離

10、變量法，設(shè)：用分離變量法，設(shè)：)()(),(tfxytxy代入方程：代入方程：)(d)(d)()(d)(d)(dd22xyttfxtfxxyxtx兩邊同除以兩邊同除以y (x) (x) f (t)22d)(d)(1d)(d)(dd)()(1ttftfxxyxtxxyx上述方程兩邊分別依賴于變量上述方程兩邊分別依賴于變量x 和和 t ，因此兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為，因此兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為- w w 2：0)(d)(d222tfttfwlxxyxxxyxtx0),()(d)(d)(dd2w 4.2 弦振動弦振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題0)(d)(d222tfttfw)()(d)

11、(d)(dd2xyxxxyxtxw從關(guān)于時(shí)間的方程從關(guān)于時(shí)間的方程 從關(guān)于位置從關(guān)于位置x 的方程可以確定位移的形狀的方程可以確定位移的形狀y (x) ，它必須在區(qū)間，它必須在區(qū)間0 xl 滿足方程及邊界條件滿足方程及邊界條件y (0) =y (l) = 0。解得解得 f (t)(cos)(wtctf 上式為包含未知常數(shù)上式為包含未知常數(shù)w w 2的二階常微分齊次方程，非平凡解的二階常微分齊次方程，非平凡解y (x)存在，存在，且解中有兩個積分常數(shù)，而已知邊界條件只有兩個。且解中有兩個積分常數(shù)，而已知邊界條件只有兩個。 從方程可以看出，如果從方程可以看出，如果 y (x)是偏微分方程的解，那么

12、是偏微分方程的解，那么a a y (x) （ a a是是任意常數(shù)）也是方程的解。任意常數(shù)）也是方程的解。 這意味著，求解滿足邊界條件的偏微分方程，就是要找到滿足方程這意味著，求解滿足邊界條件的偏微分方程，就是要找到滿足方程的未知常數(shù)的未知常數(shù)w w i 和對應(yīng)的函數(shù)和對應(yīng)的函數(shù)y i (x) 。與離散系統(tǒng)對應(yīng)，。與離散系統(tǒng)對應(yīng)， w w i 2稱為特征值稱為特征值（即系統(tǒng)的固有圓頻率平方），而（即系統(tǒng)的固有圓頻率平方），而y i (x)稱為特征函數(shù)（稱為特征函數(shù)（ 主振型主振型）。）。 4.2 弦振動弦振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題 同樣地，與離散系統(tǒng)對應(yīng)，若特征函數(shù)同樣地，與離散

13、系統(tǒng)對應(yīng)，若特征函數(shù)y i (x) 經(jīng)正則化處理，則它們經(jīng)正則化處理，則它們關(guān)于質(zhì)量密度和張力正交：關(guān)于質(zhì)量密度和張力正交：), 2, 1,(d)()()(0jixxyxyxjijli), 2, 1,(dd)(dd)(d)(20jixxxyxxyxtjiijliw對初始擾動的響應(yīng)對初始擾動的響應(yīng) 與離散系統(tǒng)類似，利用正交的正則化特征函數(shù)集與離散系統(tǒng)類似，利用正交的正則化特征函數(shù)集y i (x) （i = 1, 2, ）的線性組合，可以表示連續(xù)系統(tǒng)在初始擾動下的響應(yīng)。的線性組合，可以表示連續(xù)系統(tǒng)在初始擾動下的響應(yīng)。1)()(),(iiitxytxy 代入方程，兩邊左乘代入方程，兩邊左乘y i (

14、x)，并對整個區(qū)間，并對整個區(qū)間 0, l 積分，利用特征積分，利用特征函數(shù)的正交性：函數(shù)的正交性：),2, 1(0)()(2 ittiiiw解為解為),2, 1()(cos)(itctiiiiw常數(shù)常數(shù)c i 和和 i 由初始條件得到。由初始條件得到。 4.2 弦振動弦振動自由振動自由振動例例 4.1 圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題，畫出系統(tǒng)前常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題，畫出系統(tǒng)前四個特征函數(shù)，并驗(yàn)證正交性。四個特征函數(shù)，并驗(yàn)證正交性。解解 由題意，系統(tǒng)的由題意，系統(tǒng)的t 和和 為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下

15、方程：lxxyxxy00)(d)(d222tw22其中：其中：0)(, 0)0(lyy且有且有從方程可知從方程可知y (x)是是x的簡諧函數(shù)，一般可寫的簡諧函數(shù)，一般可寫xbxaxycossin)(由邊界條件由邊界條件y (0) 0 可得可得b = 0, 則則xaxysin)(由邊界條件由邊界條件y (l) 0 可得可得0sin)(laly由于由于a 不為零，必有不為零，必有0sinl特征方程特征方程特征值為特征值為), 2, 1(iili或或), 2, 1(2iltitiiw), 2, 1(sin)(ilxiaxyii特征函數(shù)為特征函數(shù)為)(1xy)(2xy)(3xy)(4xy 4.2 弦振

16、動弦振動自由振動自由振動例例 4.1 圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題，畫出系統(tǒng)前常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題，畫出系統(tǒng)前四個特征函數(shù)，并驗(yàn)證正交性。四個特征函數(shù)，并驗(yàn)證正交性。), 2, 1(sin)(ilxiaxyii特征函數(shù)為特征函數(shù)為正交性驗(yàn)證正交性驗(yàn)證), 2, 1(12d2cos121dsin202022ilaxlxiaxlxiailili), 2, 1(sin2)(ilxilxyi由正則化要求由正則化要求正則化的特征函數(shù)正則化的特征函數(shù) 4.2 弦振動弦振動自由振動自由振動例例 4.1 圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為圖示均

17、勻弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題，畫出系統(tǒng)前常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題，畫出系統(tǒng)前四個特征函數(shù)，并驗(yàn)證正交性。四個特征函數(shù)，并驗(yàn)證正交性。正交性驗(yàn)證正交性驗(yàn)證ljlixlxjlxilxxyxy00dsinsin2d)()(三角函數(shù)積化和差三角函數(shù)積化和差lxlxjilxjil0dcoscos212)(1)(0sinsin0jijilxjijilxjijil積分積分 4.2 弦振動弦振動自由振動自由振動例例 4.1 圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題，畫出系統(tǒng)前常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題，畫出系統(tǒng)前四個特征函數(shù)，并驗(yàn)證正

18、交性。四個特征函數(shù)，并驗(yàn)證正交性。正交性驗(yàn)證正交性驗(yàn)證ljlixlxjlxiljitxxxyxxyt030dcoscos2dd)(dd)(d三角函數(shù)積化和差三角函數(shù)積化和差積分積分lljixlxijixlxjilxjiljit003)(d2cos121)(dcoscos212)()(0)(22)(sin1sin1230jijijillitjilxjijilxjijiljitilw), 2, 1(2iltitiiw 4.3 桿的縱向桿的縱向振動振動振動微分方程振動微分方程 從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出 設(shè)長度為設(shè)長度為l 、兩端固定的桿上受均布軸向、兩端固定的桿上受均布軸向力力f (x,

19、 t) ，桿上，桿上x處的軸向剛度與單位長度質(zhì)量處的軸向剛度與單位長度質(zhì)量分別為分別為e a (x) 和和m (x) 。 根據(jù)材料力學(xué)，任一瞬時(shí)作用在桿微段兩端根據(jù)材料力學(xué)，任一瞬時(shí)作用在桿微段兩端的軸向內(nèi)力與軸的應(yīng)變成正比的軸向內(nèi)力與軸的應(yīng)變成正比 取桿的微段取桿的微段dx，隔離體受力分析圖，隔離體受力分析圖或或lxttxuxmtxfxtxuxeax0),()(),(),()(22xtxuxeatxp),()(),( 根據(jù)牛頓定律，任一瞬時(shí)作用在桿微段上的軸根據(jù)牛頓定律，任一瞬時(shí)作用在桿微段上的軸向力與桿微段的加速度有如下關(guān)系向力與桿微段的加速度有如下關(guān)系xttxuxmxtxfxxtxpd)

20、,()(d),(d),(22 4.3 桿的縱向桿的縱向振動振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題方程方程lxttxuxmxtxuxeax0),()(),()(220),(), 0(tlutu邊界條件邊界條件用分離變量法，設(shè)：用分離變量法，設(shè)：)()(),(tfxutxu代入方程：代入方程：)(d)(d)()(d)(d)(dd22xuttfxmtfxxuxeax兩邊同除以兩邊同除以u (x) m (x) f (t)22d)(d)(1d)(d)(dd)()(1ttftfxxuxeaxxuxm上述方程兩邊分別依賴于變量上述方程兩邊分別依賴于變量x 和和 t ，因此兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為，因此兩

21、邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為- w w 2：0)(d)(d222tfttfwlxxuxmxxuxeax0),()(d)(d)(dd2w 4. 3 桿的縱向桿的縱向振動振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題0)(d)(d222tfttfw)()(d)(d)(dd2xuxmxxuxeaxw從關(guān)于時(shí)間的方程從關(guān)于時(shí)間的方程 從關(guān)于位置從關(guān)于位置x 的方程可以確定位移的形狀的方程可以確定位移的形狀u (x) ，它必須在區(qū)間，它必須在區(qū)間0 xl 滿足方程及邊界條件滿足方程及邊界條件u (0) =u (l) = 0。解得解得 f (t)(cos)(wtctf)()(d)(d)(dd2xyxxxyxtxw與

22、弦振動的特征值問題作比較與弦振動的特征值問題作比較結(jié)論結(jié)論只要把弦振動特征值問題中的只要把弦振動特征值問題中的y (x) 、t (x)和和 (x)換作換作u (x) 、ea (x) 和和m (x) 就得到桿作縱向振動的特征值問題表達(dá)式。就得到桿作縱向振動的特征值問題表達(dá)式。 4. 3 桿的縱向桿的縱向振動振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題例例 4.2 圖示均勻桿兩端固定，桿的拉伸剛度為常圖示均勻桿兩端固定，桿的拉伸剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。解解 由題意，系統(tǒng)的由題意，系統(tǒng)的ea 和和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：lxxu

23、xxu00)(d)(d222eam22w其中：其中：0)(, 0)0(luu且有且有從方程可知從方程可知u (x)是是x的簡諧函數(shù)，一般可寫的簡諧函數(shù)，一般可寫xbxaxucossin)(由邊界條件由邊界條件u (0) 0 可得可得b = 0, 則則xaxusin)(由邊界條件由邊界條件u (l) 0 可得可得0sin)(lalu由于由于a 不為零，必有不為零，必有0sinl特征方程特征方程特征值為特征值為), 2, 1(iili或或), 2, 1(2ilmeaimeaiiw), 2, 1(sin)(ilxiaxuii特征函數(shù)為特征函數(shù)為 4. 3 桿的縱向桿的縱向振動振動自由振動自由振動 特

24、征值問題特征值問題例例 4. 3 圖示均勻桿兩端自由，桿的拉伸剛度為常圖示均勻桿兩端自由，桿的拉伸剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。解解 由題意，系統(tǒng)的由題意，系統(tǒng)的ea 和和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：lxxuxxu00)(d)(d222eam22w其中：其中：0)(dd, 0)0(ddlxuxu且有且有從方程可知從方程可知u (x)是是x的簡諧函數(shù)，一般可寫的簡諧函數(shù)，一般可寫xbxaxucossin)(由由 x = 0 處的邊界條件處的邊界條件可得可得a = 0, 則則xbxucos)(由由x = l 處的處的邊界條件可得邊界條

25、件可得0sind)(dlbxlu由于由于b 不為零，必有不為零，必有0sinl特征方程特征方程特征值為特征值為), 2, 1(iili或或), 2, 1(2ilmeaimeaiiw), 2, 1(cos)(ilxibxuii特征函數(shù)為特征函數(shù)為 4. 3 桿的縱向桿的縱向振動振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題例例 4.4 圖示一端固定，另一端自由均勻桿的拉伸圖示一端固定，另一端自由均勻桿的拉伸剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。解解 由題意，系統(tǒng)的由題意，系統(tǒng)的ea 和和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：lxxuxxu00)(

26、d)(d222eam22w其中：其中：0d)(d, 0)0(xluu且有且有從方程可知從方程可知u (x)是是x的簡諧函數(shù)，一般可寫的簡諧函數(shù)，一般可寫xbxaxucossin)(由邊界條件由邊界條件u (0) 0 可得可得b = 0, 則則xaxusin)(0cosd)(dlaxlu由于由于a 不為零，必有不為零，必有0cosl特征方程特征方程特征值為特征值為), 2, 1() 1iili或或), 2, 1(2) 12(2ilmeaimeaiiw), 2, 1(2) 12(sin)(ilxiaxuii特征函數(shù)為特征函數(shù)為由由x = l 處的處的邊界條件可得邊界條件可得 4. 3 桿的縱向桿的

27、縱向振動振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題討論討論 作縱向振動桿的邊界狀況、頻率方程和振型函數(shù)作縱向振動桿的邊界狀況、頻率方程和振型函數(shù)邊界狀況邊界狀況頻率頻率振型函數(shù)振型函數(shù)兩端固定兩端固定兩端自由兩端自由一端固定一端固定一端自由一端自由), 2, 1(2) 12(2ilmeaimeaiiw), 2, 1(2) 12(sin)(ilxiaxuii), 2, 1(2ilmeaimeaiiw), 2, 1(cos)(ilxibxuii), 2, 1(2ilmeaimeaiiw), 2, 1(sin)(ilxiaxuii 4. 3 桿的縱向桿的縱向振動振動自由振動自由振動 特征值問題特征值

28、問題例例 4.5 設(shè)圖示推進(jìn)軸系由長度為設(shè)圖示推進(jìn)軸系由長度為l、單位長度質(zhì)量、單位長度質(zhì)量為為m、拉伸剛度為、拉伸剛度為ea的均勻桿和質(zhì)量為的均勻桿和質(zhì)量為m 的螺旋的螺旋槳組成，軸系的一端由推力軸承固定，另一端自槳組成，軸系的一端由推力軸承固定，另一端自由。求解軸系作縱向振動時(shí)系統(tǒng)的特征值問題。由。求解軸系作縱向振動時(shí)系統(tǒng)的特征值問題。解解 由題意，系統(tǒng)的由題意，系統(tǒng)的ea 和和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：lxxuxxu00)(d)(d222eam22w其中：其中：lxlxttxumxtxuea22),(),(或或固定端的邊界條件不變，固定端的邊界條件不變

29、， u (0) 0 ，而自由端有，而自由端有：lxlxttfxumxxutfea22d)(d)(d)(d)(lxlxtfxumxxutfea)(-)(d)(d)(2w代入代入0)(d)(d222tfttfwlxlxxueamxxu)(d)(d2w整理得整理得 4. 3 桿的縱向桿的縱向振動振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題例例 4.5 設(shè)圖示推進(jìn)軸系由長度為設(shè)圖示推進(jìn)軸系由長度為l、單位長度質(zhì)、單位長度質(zhì)量為量為m、拉伸剛度為、拉伸剛度為ea的均勻桿和質(zhì)量為的均勻桿和質(zhì)量為m 的螺的螺旋槳組成，軸系的一端由推力軸承固定，另一端旋槳組成，軸系的一端由推力軸承固定，另一端自由。求解軸系作縱

30、向振動時(shí)系統(tǒng)的特征值問題。自由。求解軸系作縱向振動時(shí)系統(tǒng)的特征值問題。對于上述超越方程，只要給定系統(tǒng)參數(shù)，就能得到系統(tǒng)的特征值對于上述超越方程，只要給定系統(tǒng)參數(shù)，就能得到系統(tǒng)的特征值w w i 。特征方程特征方程), 2, 1(sin)(ilxaxuiii由邊界條件由邊界條件u (0) 0 可得可得b = 0, 則則xaxusin)(從方程可知從方程可知u (x)是是x的簡諧函數(shù)，一般可寫的簡諧函數(shù)，一般可寫xbxaxucossin)(lxlxxueamxxuu)(d)(d, 0)0(2w邊界條件邊界條件laeamlawsincos2由由x l 處的處的邊界條件得邊界條件得eam22w或或ml

31、mlltanatan), 2, 1(imaeliiw特征函數(shù)為特征函數(shù)為u i 為為 4. 3 桿的縱向桿的縱向振動振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題討論討論 作縱向振動桿邊界條件的討論作縱向振動桿邊界條件的討論邊界狀況邊界狀況左端左端右端右端固定固定自由自由帶有彈簧帶有彈簧kxtueatuk), 0(), 0(0), 0(xtu0), 0(tu0),(tlu帶有集中質(zhì)量帶有集中質(zhì)量mxtueattum), 0(), 0(220),(xtluxtlueatluk),(),(xtlueattlum),(),(22 4.4 桿的扭轉(zhuǎn)桿的扭轉(zhuǎn)振動振動振動微分方程振動微分方程 從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)

32、出從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出 設(shè)長度為設(shè)長度為l 、一端固定一端自由的桿上受均、一端固定一端自由的桿上受均布外扭矩布外扭矩m (x, t)與軸的轉(zhuǎn)角與軸的轉(zhuǎn)角q q 同向，桿的扭轉(zhuǎn)剛同向，桿的扭轉(zhuǎn)剛度與單位長度轉(zhuǎn)動慣量分別為度與單位長度轉(zhuǎn)動慣量分別為g ip (x) 和和j (x) 。 根據(jù)材料力學(xué)，任一瞬時(shí)作用在桿微段兩端根據(jù)材料力學(xué)，任一瞬時(shí)作用在桿微段兩端的扭轉(zhuǎn)內(nèi)力矩之與軸的剪應(yīng)變成正比的扭轉(zhuǎn)內(nèi)力矩之與軸的剪應(yīng)變成正比 取桿的微段取桿的微段dx，隔離體受力分析圖，隔離體受力分析圖或或lxttxxjtxmxtxxgix0),()(),(),()(22pqqxtxxgitxt),()(),(pq 根

33、據(jù)動量矩定律，任一瞬時(shí)作用在桿微段根據(jù)動量矩定律，任一瞬時(shí)作用在桿微段上的內(nèi)外力矩與桿微段的角加速度有如下關(guān)系上的內(nèi)外力矩與桿微段的角加速度有如下關(guān)系:xttxxjxtxmxxtxtd),()(d),(d),(22q 4. 4 桿的扭轉(zhuǎn)桿的扭轉(zhuǎn)振動振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題方程方程lxttxxjxtxxgix0),()(),()(22pqq0),(, 0), 0(xtltqq邊界條件邊界條件用分離變量法，設(shè)：用分離變量法，設(shè)：)()(),(tfxtxq代入方程：代入方程：)(d)(d)()(d)(d)(dd22pxttfxjtfxxxgix兩邊同除以兩邊同除以 (x) j (x

34、) f (t)22pd)(d)(1d)(d)(dd)()(1ttftfxxxgixxxj上述方程兩邊分別依賴于變量上述方程兩邊分別依賴于變量x 和和 t ，因此兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為，因此兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為- w w 2：0)(d)(d222tfttfwlxxxjxxxgix0),()(d)(d)(dd2pw 4. 4 桿的扭轉(zhuǎn)桿的扭轉(zhuǎn)振動振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題0)(d)(d222tfttfw)()(d)(d)(dd2pxxjxxxgixw從關(guān)于時(shí)間的方程從關(guān)于時(shí)間的方程 從關(guān)于位置從關(guān)于位置x 的方程可以確定位移的形狀的方程可以確定位移的形狀 (x) ，它必須在區(qū)

35、間，它必須在區(qū)間0 xl 滿足方程及邊界條件。滿足方程及邊界條件。解得解得 f (t)(cos)(wtctf)()(d)(d)(dd2xyxxxyxtxw與弦振動的特征值問題作比較與弦振動的特征值問題作比較結(jié)論結(jié)論只要把弦振動特征值問題中的只要把弦振動特征值問題中的y (x) 、t (x)和和 (x)換作換作 (x) 、gip (x) 和和j (x) 就得到桿作縱向振動的特征值問題表達(dá)式。就得到桿作縱向振動的特征值問題表達(dá)式。 4. 4 桿的扭轉(zhuǎn)桿的扭轉(zhuǎn)振動振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題例例 4.6 圖示一端固定，另一端自由均勻桿的扭轉(zhuǎn)圖示一端固定，另一端自由均勻桿的扭轉(zhuǎn)剛度為常數(shù)

36、，求解系統(tǒng)的特征值問題。剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。解解 由題意，系統(tǒng)的由題意，系統(tǒng)的gip和和j為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：lxxxx00)(d)(d222p22gijw其中：其中：0d)(d, 0)0(xl且有且有從方程可知從方程可知 (x)是是x的簡諧函數(shù)，一般可寫的簡諧函數(shù)，一般可寫xbxaxcossin)(由邊界條件由邊界條件 (0) 0 可得可得b = 0, 則則xaxsin)(0cosd)(dlaxl由于由于a 不為零，必有不為零，必有0cosl特征方程特征方程特征值為特征值為), 2, 1() 1iili或或), 2, 1(2) 12(2p

37、piljgiijgiiiw), 2, 1(2) 12(sin)(ilxiaxii特征函數(shù)為特征函數(shù)為由由x = l 處的處的邊界條件可得邊界條件可得 4. 4 桿的扭轉(zhuǎn)桿的扭轉(zhuǎn)振動振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題例例 4.7 設(shè)圖示軸系由長度為設(shè)圖示軸系由長度為l、單位長度轉(zhuǎn)動慣量、單位長度轉(zhuǎn)動慣量為為j、扭轉(zhuǎn)剛度為、扭轉(zhuǎn)剛度為gip的均勻桿和轉(zhuǎn)動慣量為的均勻桿和轉(zhuǎn)動慣量為j1和和j1的剛性薄圓盤組成，整個軸系在扭轉(zhuǎn)角方向無約束。的剛性薄圓盤組成，整個軸系在扭轉(zhuǎn)角方向無約束。求解軸系作扭轉(zhuǎn)振動時(shí)系統(tǒng)的特征值問題。求解軸系作扭轉(zhuǎn)振動時(shí)系統(tǒng)的特征值問題。解解 由題意，系統(tǒng)的由題意，系統(tǒng)的

38、gip和和j為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：lxxxx00)(d)(d222pigj22w其中：其中：lxlxttxjxtxgi222p),(),(qq或或兩邊的邊界條件為：兩邊的邊界條件為：02210pd)(d)(d)(d)(xxttfxjxxtfgi0)(d)(d222tfttfw02210p),(),(xxttxjxtxgiqqlxlxttfxjxxtfgi222pd)(d)(d)(d)( 4. 4 桿的扭轉(zhuǎn)桿的扭轉(zhuǎn)振動振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題代入代入0)(d)(d222tfttfwlxlxxgijxx)(d)(dp22w整理得整理得0221

39、0pd)(d)(d)(d)(xxttfxjxxtfgilxlxttfxjxxtfgi222pd)(d)(d)(d)(例例 4.7 邊界條件邊界條件利用利用0210p)(-)(d)(d)(xxtfxjxxtfgiwlxlxtfxjxxtfgi)(-)(d)(d)(22pw0p210)(d)(dxxxgijxxw 4. 4 桿的扭轉(zhuǎn)桿的扭轉(zhuǎn)振動振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題例例 4.7lxxxx00)(d)(d222分離變量后的方程分離變量后的方程從方程可知從方程可知 (x)是是x的簡諧函數(shù)，一般可寫的簡諧函數(shù)，一般可寫xbxaxcossin)(21pwjgiablblalblagij

40、wsincoscossinp22整理：整理：lgijbalbagijwwcossinp22p22bagijgijbalp22p22tanwwljjljj221121pp22121wwjgigijajja1)(tan222121lllp22gijw或：或：頻率方程：頻率方程：設(shè)：設(shè)：頻率為：頻率為：), 2, 1(pijgiiiw振型為：振型為：), 2, 1(sincos)(1ixlbxbxiiiiilxlxxgijxx)(d)(dp22w由邊界條由邊界條0p210)(d)(dxxxgijxxw可得：可得： 4. 4 桿的扭轉(zhuǎn)桿的扭轉(zhuǎn)振動振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題例例 4.7

41、討論討論 1頻率為：頻率為：), 2, 1(pijgiiiw01)(tan222121lll頻率方程為：頻率方程為：021 jj即：即：), 2, 1(iii相當(dāng)于兩端自由的圓軸作自由振動。相當(dāng)于兩端自由的圓軸作自由振動。振型為：振型為：), 2, 1(cos)(ixbxii討論討論 2 j 1和和j2 很大很大21111tanlllljjljj2211011tan1)(tan21222121lllll2121p21p1jjjjlgijljjljjgilwqk相當(dāng)于忽略軸質(zhì)量的兩自由度系統(tǒng)的非零頻率。相當(dāng)于忽略軸質(zhì)量的兩自由度系統(tǒng)的非零頻率。例4.8 如圖所示的一端固定，一端帶有一個圓盤的圓軸

42、，試計(jì)算軸系扭轉(zhuǎn)的固有頻率和主振型。邊界條件是，在固定端轉(zhuǎn)角等于零，帶圓盤這一端，則要求軸受到的扭矩m等于轉(zhuǎn)子的慣性力矩。用數(shù)學(xué)式表達(dá)如下：解：扭轉(zhuǎn)解為:代入初始條件得:a=0，00 xqlxzlxptixgj22qqwwwqtbxbbxatxnnnsinsincos,blbiblbbgjnnznnpwwwwsincos2nzpnbgijbltgww即若設(shè)圓軸對軸線的轉(zhuǎn)動慣量i為，則有：代入得： 即圖示系統(tǒng)的頻率方程。 令 得 作出以下兩條曲線： 兩條曲線的交點(diǎn) 即可求出系統(tǒng)的第階固有頻率 。 ppjbgllji2lbijbltgnzpnwwwbln121ziiytgyiniwinilbw 根

43、據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，我們可以在橫坐標(biāo)上每相隔一個值就可以作出一條的曲線 。因此可以得到曲線y1與y2的許多交點(diǎn) 、 、 ，所以即求出系統(tǒng)的各階固有頻率。對應(yīng)于各階固有頻率 就可以求出系統(tǒng)的各階主振型：tgy 112nniw, 3 , 2 , 1sinibxniiiw41 設(shè)圖示軸系由長度為l、單位長度轉(zhuǎn)動慣量為j、扭轉(zhuǎn)剛度為gip的均勻桿和轉(zhuǎn)動慣量為j2的剛性薄圓盤組成，軸系一端固定。求解軸系作扭轉(zhuǎn)振動時(shí)系統(tǒng)的特征值問題。習(xí)題習(xí)題 4. 5 梁的橫向振動梁的橫向振動振動微分方程振動微分方程 從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出 設(shè)長度為設(shè)長度為l 的細(xì)長梁（梁的長度與截面高度比大于的細(xì)長梁（梁的

44、長度與截面高度比大于10）上受上受y方向的均布載荷方向的均布載荷f (x, t) ，梁的彎曲剛度與單位長度質(zhì)，梁的彎曲剛度與單位長度質(zhì)量分別為量分別為e i (x) 和和m (x) 。 取梁的微段取梁的微段dx，作隔離體受力分析圖，作隔離體受力分析圖 根據(jù)牛頓第二定律，任一瞬時(shí)作用在梁微段上根據(jù)牛頓第二定律，任一瞬時(shí)作用在梁微段上的剪力和外力與梁微段的加速度有如下關(guān)系的剪力和外力與梁微段的加速度有如下關(guān)系xttxyxmxtxfxxtxqd),()(d),(d),(22根據(jù)梁微段的力矩平衡，有如下關(guān)系根據(jù)梁微段的力矩平衡，有如下關(guān)系02dd),(dd),(),(d),(xxtxfxxxtxqtx

45、qxxtxm當(dāng)梁的截面尺寸與長度相比較小時(shí)，根據(jù)材料力學(xué)，當(dāng)梁的截面尺寸與長度相比較小時(shí)，根據(jù)材料力學(xué)，梁的彎矩與變形的關(guān)系為梁的彎矩與變形的關(guān)系為忽略忽略dx的二次項(xiàng)：的二次項(xiàng)：0),(),(txqxtxm代入上述力平衡方程，得代入上述力平衡方程，得22),()(),(xtxyxeitxmlxttxyxmtxfxtxm0),()(),(),(2222 4. 5 梁的橫向振動梁的橫向振動振動微分方程振動微分方程 從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出把彎矩把彎矩m與位移與位移y 的關(guān)系代入方程，得的關(guān)系代入方程，得lxttxyxmtxfxtxyxeix0),()(),(),()(222222 梁

46、的橫向振動在梁的橫向振動在0至至l的區(qū)間應(yīng)滿足上述的區(qū)間應(yīng)滿足上述euler-bernoulli梁方程梁方程（包含對位置的四階導(dǎo)數(shù)），在邊界應(yīng)滿足一定的邊界條件。（包含對位置的四階導(dǎo)數(shù)），在邊界應(yīng)滿足一定的邊界條件。常見的邊界條件有：常見的邊界條件有：固支固支0),(, 0),(0), 0(, 0), 0(xtlytlyxtyty或鉸支鉸支0),()(, 0),(0),()(, 0), 0(22022lxxxtxyxeitlyxtxyxeity或自由自由0),()(0),()(0),()(, 0),()(2222022022lxlxxxxtxyxeixxtxyxeixtxyxeixxtxyxe

47、i，或梁的運(yùn)動方程說明：梁的運(yùn)動方程說明： 梁的橫向振動是指細(xì)長桿作垂直軸線方向的振動。在分析這種梁的橫向振動是指細(xì)長桿作垂直軸線方向的振動。在分析這種振動時(shí)，作出以下幾點(diǎn)假設(shè)：振動時(shí)，作出以下幾點(diǎn)假設(shè)： （1）梁的各截面的中心主軸在同一平面內(nèi)，且在次平面內(nèi)作橫向振動。）梁的各截面的中心主軸在同一平面內(nèi)，且在次平面內(nèi)作橫向振動。 （2）梁的橫截面尺寸與其長度之比較小，可忽略轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形）梁的橫截面尺寸與其長度之比較小，可忽略轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形的影響。的影響。 （3）梁的橫向振動符合小撓度平面彎曲的假設(shè)，即橫向振動的振幅很）梁的橫向振動符合小撓度平面彎曲的假設(shè)，即橫向振動的振幅很小，在線性

48、范圍以內(nèi)。小，在線性范圍以內(nèi)。 這種只考慮由彎曲引起的變形，而不計(jì)由剪切引起的變形及轉(zhuǎn)動慣量這種只考慮由彎曲引起的變形，而不計(jì)由剪切引起的變形及轉(zhuǎn)動慣量的影響的梁的彎曲振動的力學(xué)模型，稱為歐拉伯努利梁（的影響的梁的彎曲振動的力學(xué)模型，稱為歐拉伯努利梁（eular-bernoulli beam）。）。 4. 5 梁的橫向振動梁的橫向振動振動微分方程振動微分方程 旋轉(zhuǎn)慣量與剪切變形的影響旋轉(zhuǎn)慣量與剪切變形的影響 設(shè)長度為設(shè)長度為l 的等截面梁上受的等截面梁上受y方向的均布載荷方向的均布載荷f (x, t) ，梁的彎曲剛度、剪切模量、截面積和質(zhì)量密度分別為梁的彎曲剛度、剪切模量、截面積和質(zhì)量密度分別

49、為e i 、g、a和和 。 當(dāng)梁被橫截面細(xì)分成較短的部分時(shí)，旋轉(zhuǎn)慣當(dāng)梁被橫截面細(xì)分成較短的部分時(shí)，旋轉(zhuǎn)慣量與剪切變形對高頻振型的影響必須考慮。量與剪切變形對高頻振型的影響必須考慮。取梁取梁的微段的微段dx，作隔離體受力分析圖。，作隔離體受力分析圖。 根據(jù)根據(jù)dalembert原理，忽略原理，忽略dx的二次項(xiàng)有如下的二次項(xiàng)有如下關(guān)系：關(guān)系：xttxyaxtxfxxtxqd),(d),(d),(22xttxxixtxqxxtxmd),()(d),(d),(22q撓度曲線的斜率是剪力與彎矩共同作用的結(jié)果，即：撓度曲線的斜率是剪力與彎矩共同作用的結(jié)果，即：qxtxy),(式中：式中：xtxeitxm)

50、,(),(qgatxq),(為與截面形狀有關(guān)的因子。為與截面形狀有關(guān)的因子。 4. 5 梁的橫向振動梁的橫向振動振動微分方程振動微分方程 旋轉(zhuǎn)慣量與剪切變形的影響旋轉(zhuǎn)慣量與剪切變形的影響將上述關(guān)系綜合并整理得：將上述關(guān)系綜合并整理得：lxxtxfgaiettxfgaitxfttxygitxtxygeittxyaxtxyie0),(),(),(),(),()1 (),(),(22224422242244忽略剪切變形，得到僅考慮旋轉(zhuǎn)慣量的方程：忽略剪切變形，得到僅考慮旋轉(zhuǎn)慣量的方程：lxtxftxtxyittxyaxtxyie0),(),(),(),(2242244系統(tǒng)作自由振動時(shí)：系統(tǒng)作自由振動

51、時(shí)：lxttxygitxtxygeittxyaxtxyie00),(),()1 (),(),(4422242244timoshenko梁振動方程梁振動方程 4. 5 梁的橫向振動梁的橫向振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題對細(xì)長梁，方程為：對細(xì)長梁，方程為：lxttxyxmxtxyxeix0),()(),()(222222設(shè)：設(shè)：)()(),(tfxytxylxttfxyxmxxyxeixtf0d)(d)()(d)(d)(dd)(222222兩邊同除以兩邊同除以y (x) m (x) f (t)lxttftfxxyxeixxyxm0d)(d)(1d)(d)(dd)()(1222222上述

52、方程兩邊分別依賴于變量上述方程兩邊分別依賴于變量x 和和 t ，因此兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為，因此兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為- w w 2：222d)(d)(1wttftflxxyxmxxyxeix0)()(d)(d)(dd22222w特征值問題為：特征值問題為： 4. 5 梁的橫向振動梁的橫向振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題lxxyxxy00)(d)(d444解：解：由題意特征值問題為：由題意特征值問題為：例例 4.9 圖示均勻細(xì)長梁兩端固定，其彎曲剛度圖示均勻細(xì)長梁兩端固定，其彎曲剛度ei為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。lxiem024w其中，其中，xd

53、xcxbxaxycoshsinhcossin)(方程的解有以下形式：方程的解有以下形式：對固支的梁，邊界條件有：對固支的梁，邊界條件有：0d)(d, 0)(, 0d)0(d, 0)0(xlylyxyy由四個邊界條件得：由四個邊界條件得：0sinhcoshsincos0coshsinhcossin00ldlclblaldlclbladbca消去消去a、 b、c、 d、 ，可得：，可得：1coshcosll特征方程特征方程特征值由數(shù)值解獲得特征值由數(shù)值解獲得), 2, 1()sinhsin()coshcos()(ixxxxaxyiiiiii其中其中xxxxxxxxaiiiiiiiiisinhsin

54、coshcoscoshcossinhsin特征函數(shù)為特征函數(shù)為), 2, 1(2imeiiiw 4. 5 梁的橫向振動梁的橫向振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題lxxyxxy00)(d)(d444解：解：由題意特征值問題為：由題意特征值問題為：例例 4.10 圖示均勻細(xì)長懸臂梁一端固定、一端自由，其彎曲圖示均勻細(xì)長懸臂梁一端固定、一端自由，其彎曲剛度剛度ei為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。lxiem024w其中，其中，xdxcxbxaxycoshsinhcossin)(方程的解有以下形式：方程的解有以下形式：對懸臂梁，邊界條件有：對懸臂梁，邊界條件有：0d)

55、(d, 0d)(d, 0d)0(d, 0)0(3322lxlxxxyxxyxyy由由x=0處的邊界條件得：處的邊界條件得：0, 0dbca則則y(x )可改寫為：可改寫為：)cosh(cos)sinh(sin)(xxbxxaxy由由x=l處的邊界條件得：處的邊界條件得：0)sinh(sin)cosh(cos0)cosh(cos)sinh(sinllbllallbllaa和和b有非零解的充要條件為：有非零解的充要條件為：0)cosh(cos)sinh(sin)sinh(sin2llllll整理得整理得特征方程特征方程：1coshcosll從數(shù)值解得到特征值：從數(shù)值解得到特征值：), 2, 1(i

56、i 4. 5 梁的橫向振動梁的橫向振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題例例 4.10 圖示均勻懸臂梁一端固定、一端自由，其彎曲剛度圖示均勻懸臂梁一端固定、一端自由，其彎曲剛度ei為常數(shù)，求解為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。系統(tǒng)的特征值問題。特征向量為：特征向量為：)sinh(sin)cosh(cos)cosh(cos)sinh(sin)(llxxllxxaxyiiiiiiiii)(1xy)(2xy)(3xy 4. 5 梁的橫向振動梁的橫向振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題lxxyxxy00)(d)(d444解：解：由題意特征值問題為：由題意特征值問題為：例例 4.11 圖示均勻細(xì)長

57、梁兩端鉸支，其彎曲剛度圖示均勻細(xì)長梁兩端鉸支，其彎曲剛度ei為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。lxiem024w其中，其中，xdxcxbxaxycoshsinhcossin)(方程的解有以下形式：方程的解有以下形式：對鉸支的梁，邊界條件有：對鉸支的梁，邊界條件有：0d)(d, 0)(, 0d)0(d, 0)0(2222xlylyxyy由由x=0處的邊界條件得：處的邊界條件得：0, 00, 0dbdbdb特征方程特征方程：0sinl則則特征值為特征值為), 2, 1(sin2)(ixlimlxyi正則化的特征函數(shù)為正則化的特征函數(shù)為), 2, 1(42ilmeiimei

58、iiw由由x=l處的邊界條件得：處的邊界條件得：00sinhsin0sinhsinclclalcla), 2, 1(iili 4. 5 梁的橫向振動梁的橫向振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題均勻梁的頻率方程、特征函數(shù)和特征值均勻梁的頻率方程、特征函數(shù)和特征值邊界條件邊界條件頻率方程、特征函數(shù)頻率方程、特征函數(shù)), 2, 1(2imeiiiwli1coshcosll13717.1499561.1085321. 773004. 44321llll)sinh(sin)cosh(cos)cosh(cos)sinh(sin)sinh(sin)cosh(cos)(llllllllaxxxxaxyl

59、ltanhtan35177.1321018.1006853. 792660. 34321llllllllaxxaxycoscoshsinsinhsinhsin)( 4. 5 梁的橫向振動梁的橫向振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題均勻梁的頻率方程、特征函數(shù)和特征值均勻梁的頻率方程、特征函數(shù)和特征值邊界條件邊界條件頻率方程、特征函數(shù)頻率方程、特征函數(shù)), 2, 1(2imeiiiwli1coshcosll0sinl56637.1242478. 928319. 614159. 34321llll常數(shù)axaxysin)(99554.1085476. 769409. 487510. 14321l

60、lll)sinh(sin)cosh(cos)cosh(cos)sinh(sin)sinh(sin)cosh(cos)(llllllllaxxxxaxy 4. 5 梁的橫向振動梁的橫向振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題均勻梁的頻率方程、特征函數(shù)和特征值均勻梁的頻率方程、特征函數(shù)和特征值邊界條件邊界條件頻率方程、特征函數(shù)頻率方程、特征函數(shù)), 2, 1(2imeiiiwli)sinhsin()coshcos()(xxxxaxyllllllllasinhsincoshcoscoshcossinhsin1coshcosll)sinh(sin)cosh(cos)cosh(cos)sinh(sin