高二數(shù)學(xué)解三角形全章教案 人教版

1、高二數(shù)學(xué)解三角形全章教案正弦定理【教學(xué)目的】1.理解并掌握正弦定理，能初步運(yùn)用正弦定理解斜三角形；2.理解用向量方法推導(dǎo)正弦定理的過程，進(jìn)一步鞏固向量知識(shí)，體現(xiàn)向量的工具性?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】正弦定理的證明和理解【教學(xué)難點(diǎn)】正弦定理的證明【教學(xué)過程】一新課引入：初中學(xué)習(xí)了全等三角形只要根據(jù)已知條件就能判斷三角形是否全等。能否根據(jù)給定條件算出三角形的未知邊與未知角？這就是解三角形。解三角形有幾個(gè)重要定理，今天學(xué)習(xí)其中之一-正弦定理問題1.在直角三角形ABC中，對應(yīng)邊依次為a,b,c，求證：=【猜想與推廣】正弦定理：在任一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦比相等，即 = =2R（R為ABC外接圓半徑）證明

2、：2斜三角形中 證明一：（等積法）在任意斜ABC當(dāng)中SABC= 兩邊同除以即得：=證明二：（外接圓法）如圖所示，同理 =2R，2R證明三：（向量法）過A作單位向量垂直于由+= 兩邊同乘以單位向量 得 (+)=則+=|cos90°+|cos(90°-C)=|cos(90°-A) =同理，若過C作垂直于得： = =二正弦定理的應(yīng)用 定理剖析，加深理解正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊與它所對角的正弦的比相等，即：從表達(dá)式的結(jié)構(gòu)看，正弦定理所表達(dá)的邊與對角的正弦的比是嚴(yán)格的對邊與對角的正弦比。這種對應(yīng)關(guān)系是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，也是和諧的，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的一種和諧美。從方程的觀點(diǎn)看，表達(dá)式

3、中每一個(gè)等號(hào)所形成的等式中，含有四個(gè)量，顯然可“知三求一”。于是，正弦定理可解決兩類有關(guān)解三角形的問題：已知兩邊與任一邊，求其他兩邊和一角；已知兩邊與其中一邊的對角，求另一邊的對角，進(jìn)而可求出其他的邊和角。例1 已知在解：由得 由得例2 在解：【比較例1，例2】體會(huì)：例3 解：，【變式】【探索】(*)例4 已知ABC，B為B的平分線，求證：ABBCAC四、課堂練習(xí)：1在ABC中，,則k為( )A2R BR C4R D(R為ABC外接圓半徑)2ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，則ABC為( )A直角三角形 B等腰直角三角形C等邊三角形 D等腰三角形(*)3在ABC中，求證：五、小結(jié)

4、正弦定理，兩種應(yīng)用六、課后作業(yè)：1在中，已知，求2在中，已知，求3在ABC中，已知，求證：2b2a2c24在ABC中，已知試判斷ABC的形狀。(*)5.在中,內(nèi)角A、B、C的對應(yīng)三邊分別為,已知,若滿足對任意三角形都成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍利用正弦定理解三角形時(shí)，解的問題的探討：已知a, b和A, 用正弦定理求B時(shí)的各種情況:若A為銳角時(shí):若A為直角或鈍角時(shí):【變式練習(xí)】1根據(jù)下列已知條件，判定有沒有解，若有解，判斷解的個(gè)數(shù)：，求，求，求，求，求，求(,只能為銳角,因此僅有一解.圖示,只能為銳角,因此僅有一解.圖示,即,僅有一解. 圖示即例2，先讓學(xué)生判斷，然后回憶對照。再次理解本題有兩解。即例

5、3，先讓學(xué)生判斷，然后回憶對照。再次理解本題僅有一解。由改編，由圖知，本題無解)2已知A,B,C是的三個(gè)內(nèi)角，求證：3在ABC中，A60°，b1，其面積為，求的值（*）4. 在中，求證作業(yè)：1. 在中,已知,在分別為20, ,和5的情況下,求相應(yīng)的角C.2在中，b=2a, B=A,求A3.在中，角所對的邊分別為若，求角(*)4.課本11頁B組 1112 余弦定理【教學(xué)目的】1.理解并掌握余弦定理及其證明； 2.能初步運(yùn)用余弦定理解斜三角形；3.理解用向量方法推導(dǎo)證明余弦定理的過程，進(jìn)一步鞏固向量知識(shí)，體現(xiàn)向量的工具性?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】余弦定理的證明和理解【教學(xué)難點(diǎn)】余弦定理的推導(dǎo)與證明【

6、教學(xué)過程】一復(fù)習(xí)與新課引入：1正弦定理及其推導(dǎo)、證明: 2應(yīng)用正弦定理可以解決： 3兩個(gè)三角形全等的判定定理有： 問題對于任意一個(gè)三角形來說，是否可以根據(jù)一個(gè)角和夾此角的兩邊，求出此角的對邊？推導(dǎo) 如圖在中，、的長分別為、即同理可證 ，二新課：1余弦定理 ：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍即 2余弦定理可以解決的問題利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角（2）已知三邊，求三個(gè)角；【余弦定理變式】三、講解范例：例1在ABC中，已知a7，b10，c6，求A、B和C解： 0725， A44°

7、; 08071， C36°, B180°(AC)100°【變式1】：已知不變，結(jié)論換成判定的形狀?！咀兪?】：已知不變，結(jié)論換成求的面積。例2在ABC中，已知，求；已知，求；已知，,求,并判斷三角形的形狀。例 3 ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，5)、(2，8)、(4，1)，求A解法一： |AB| |BC| |AC| = A84°解法二： (8，3)，(2，4) cosA=, A84°四、課堂練習(xí)：1在ABC中，若a2b2+c2，則ABC為；若a2=b2+c2，則ABC為 ；若a2b2+c2且b2a2+c2且c2a2+b2，則ABC為 2在ABC中，

8、sinA=2cosBsinC，則三角形為 3在ABC中，BC=3，AB=2，且，A= 參考答案： 1鈍角三角形，直角三角形，銳角三角形2等腰三角形 3 120°五、小結(jié) 余弦定理及其應(yīng)用六、課后作業(yè)：課本1011頁： 2，3【補(bǔ)充】1在ABC中，證明：（a2b2c2）tanA（a2b2c2）tanB02在ABC中，已知sinB·sinCcos2，試判斷此三角形的類型課題 正弦定理、余弦定理4【教學(xué)目的】1.正確運(yùn)用正弦定理、余弦定理解斜三角形； 2.會(huì)利用計(jì)算器解決斜三角形計(jì)算問題；3.通過解斜三角形培養(yǎng)學(xué)生用方程的思想理解有關(guān)問題,并培養(yǎng)學(xué)生解題的優(yōu)化意識(shí). 【教學(xué)重點(diǎn)】

9、正確運(yùn)用正弦定理、余弦定理解斜三角形【教學(xué)難點(diǎn)】正弦定理、余弦定理運(yùn)用求解中的技巧的應(yīng)用和準(zhǔn)確的計(jì)算【教學(xué)過程】一復(fù)習(xí)：說出正弦定理、余弦定理的內(nèi)容和它們各自的作用；二知識(shí)應(yīng)用例1在ABC中，已知sin2Bsin2Csin2AsinAsinC，求B的度數(shù)例2在ABC中，已知2cosBsinCsinA，試判定ABC的形狀例3在ABC中已知a2bcosC，求證：ABC為等腰三角形例4在中，（1）若，求. （2）若 ,求A例5聲速為米/秒,在相距的A,B兩處,聽到一爆炸聲的時(shí)間差為6秒,且記錄顯示B處的聲強(qiáng)是A處的4倍.若聲速,聲強(qiáng)與距離的平方成反比,試確定爆炸點(diǎn)P到AB的中點(diǎn)M的距離.三小結(jié)（1）

10、內(nèi)角和定理及變換有:. （2）邊角轉(zhuǎn)換的常用定理有:正弦定理、余弦定理、射影定理（）.四作業(yè)1課本24頁 14，2課本24頁 153中,已知,判斷的形狀.4在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為、b、c，且.求的值；12 應(yīng)用舉例（一）教學(xué)目的：1會(huì)在各種應(yīng)用問題中，抽象或構(gòu)造出三角形，標(biāo)出已知量、未知量，確定解三角形的方法；2搞清利用解斜三角形可解決的各類應(yīng)用問題的基本圖形和基本等量關(guān)系；3理解各種應(yīng)用問題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；4通過解三角形的應(yīng)用的學(xué)習(xí)，提高解決實(shí)際問題的能力教學(xué)重點(diǎn)：實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化及解斜三角形的方法教學(xué)難點(diǎn)：實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問

11、題轉(zhuǎn)化思路的確定授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)方法：啟發(fā)式在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生分析題意，分清已知與所求，根據(jù)題意畫出示意圖，并啟發(fā)學(xué)生在解三角形時(shí)正確選用正、余弦定理教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1正弦定理：2余弦定理： ，3解三角形的知識(shí)在測量、航海、幾何、物理學(xué)等方面都有非常廣泛的應(yīng)用，如果我們抽去每個(gè)應(yīng)用題中與生產(chǎn)生活實(shí)際所聯(lián)系的外殼，就暴露出解三角形問題的本質(zhì)，這就要提高分析問題和解決問題的能力及化實(shí)際問題為抽象的數(shù)學(xué)問題的能力下面，我們將舉例來說明解斜三角形在實(shí)際中的一些應(yīng)用二、講解范例：例1課本12頁例1例2課本12頁例2例3 自動(dòng)卸貨汽車的車箱采用液壓結(jié)構(gòu)，

12、設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算油泵頂桿BC的長度已知車箱的最大仰角為60°，油泵頂點(diǎn)B與車箱支點(diǎn)A之間的距離為195，AB與水平線之間的夾角為6°20，AC長為140，計(jì)算BC的長(保留三個(gè)有效數(shù)字)(油泵頂桿BC約長189)例4某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45°、距離A為10海里的C處，并測得漁船正沿方位角為105°的方向，以9海里的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以21海里的速度前去營救，試問艦艇應(yīng)按照怎樣的航向前進(jìn)?并求出靠近漁船所用的時(shí)間(艦艇方位角為66°47，小時(shí)即40分鐘)例5課本17頁

13、例6三、小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家在了解解斜三角形知識(shí)在實(shí)際中的應(yīng)用的同時(shí)，掌握由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，并提高解三角形問題及實(shí)際應(yīng)用題的能力四、作業(yè)1. 課本14頁練習(xí) 12. 課本22頁 1、2(*)3課本22頁312 應(yīng)用舉例（二）教學(xué)目的：1進(jìn)一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明確解斜三角形知識(shí)在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用；2熟練掌握實(shí)際問題向解斜三角形類型的轉(zhuǎn)化；3通過解斜三角形的應(yīng)用的教學(xué)，繼續(xù)提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力教學(xué)重點(diǎn)：1實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化；2解斜三角形的方法教學(xué)難點(diǎn)：實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化思路的確定授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)物

14、投影儀教學(xué)方法：自學(xué)輔導(dǎo)法在上一節(jié)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)上節(jié)所總結(jié)的轉(zhuǎn)化方法及解三角形的類型，自己嘗試求解應(yīng)用題在解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，教師應(yīng)給予及時(shí)的啟發(fā)或點(diǎn)撥，以真正使學(xué)生解題能力得到鍛煉教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：上一節(jié)，我們一起學(xué)習(xí)了解三角形問題在實(shí)際中的應(yīng)用，了解了一些把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題的方法，掌握了一定的解三角形的方法與技巧這一節(jié)，繼續(xù)給出幾個(gè)例題，要求大家嘗試用上一節(jié)所學(xué)的方法加以解決二、講解范例： 例1課本15頁例3例2課本15頁例4例3課本16頁例5例3 據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，距S島300 的A處有一臺(tái)風(fēng)中心形成，并以每小時(shí)30的速度向北偏西30°的方向移動(dòng)，在距臺(tái)風(fēng)中

15、心270 以內(nèi)的地區(qū)將受到臺(tái)風(fēng)的影響問：S島是否受其影響?若受到影響，從現(xiàn)在起經(jīng)過多少小時(shí)S島開始受到臺(tái)風(fēng)的影響?持續(xù)時(shí)間多久?說明理由例4：海中有一小島B，周圍38海里有暗礁，軍艦由西向東航行到A，望見島在北75°東，航行8海里到C，望見島B在北6O°東，若此艦不改變航向繼續(xù)前進(jìn)，有無觸礁危險(xiǎn)?三課堂練習(xí)1直線AB外有一點(diǎn)C，ABC6O°，AB2OO，汽車以8O 速度由A向B行駛，同時(shí)摩托車以5O公里的時(shí)速由B向C行駛，問運(yùn)動(dòng)開始幾小時(shí)后，兩車的距離最?。ù鸢福杭s13小時(shí)）2一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15°相距20里處，隨后貨輪按北偏西

16、30°的方向航行，半小時(shí)后，又測得燈塔在貨輪的北偏東45°，求貨輪的速度四小結(jié)五作業(yè)1 課本17頁 32 課本22頁4 3 課本23頁 5、7，應(yīng)用舉例（三）教學(xué)目的：1進(jìn)一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明確解斜三角形知識(shí)在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用；2熟練掌握實(shí)際問題向解斜三角形類型的轉(zhuǎn)化；3通過解斜三角形的應(yīng)用的教學(xué)，繼續(xù)提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力教學(xué)重點(diǎn)：1實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化；2解斜三角形的方法教學(xué)難點(diǎn)：實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化思路的確定授課類型：新授課一 正、余弦定理的應(yīng)用回顧：（1）解三角形 （2）證明三角恒等式 （3）解決實(shí)際問題二應(yīng)用舉例1 課本23頁102 課本23頁113據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，距S島300 的正東方向的A處有一臺(tái)風(fēng)中心形成，并以每小時(shí)30的速度向北偏西30°的方向移動(dòng)，在距臺(tái)風(fēng)中心270 以內(nèi)的地區(qū)將受到臺(tái)風(fēng)的影響問：（1）S島是否受其影響?（2）若受到影響，從現(xiàn)在起經(jīng)過多少小時(shí)S島開始受到臺(tái)風(fēng)的影響?持續(xù)時(shí)間多久?說明理由分析：設(shè)B為臺(tái)風(fēng)中心，則B為AB邊上動(dòng)點(diǎn)，SB也隨之變化S島是否受臺(tái)風(fēng)影響可轉(zhuǎn)化為SB27O這一不等式是否有解的判斷，則需表示SB，可設(shè)臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過小時(shí)到達(dá)B點(diǎn)，則在ABS中，由余弦定理可求SB解：設(shè)臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過小時(shí)到達(dá)B點(diǎn)，由題意，SA