函數(shù)及其圖象全章復習課(二)

1、標題 函數(shù)及其圖象全章復習課(二)內(nèi)容 教學目標復習正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)；復習一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；復習二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).教學重點和難點重點：二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)和應用.難點：靈活運用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題.(像求函數(shù)的最大值、最小值及圖象解法等)教學過程設計(一)復習提要在復習時，要掌握以下十七個概念及有關(guān)知識.1.正比例函數(shù)的概念；2.正比例函數(shù)的圖象；3.正比例函數(shù)的性質(zhì).4.反比例函數(shù)的概念；5.反比例函數(shù)的圖象；6.反比例函數(shù)的性質(zhì).7.一次函數(shù)的概念；8.一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；9.方程Ax+By+C=0的圖象.10.二次函數(shù)的概念；11.二次函數(shù)y=a

2、x2+bx+c的圖象和性質(zhì)；12.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)；13.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的的圖象的頂點坐標公式，對稱軸方程；14.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的畫法；15.根據(jù)已知條件求二次函數(shù)的解析式；16.求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最大值、最小值.*17.用圖象法解二次不等式.(二)復習課的例題例1 已知a，b是常數(shù)，且y+b與x+a成正比例.求證：y是x的一次函數(shù).分析：應寫出y+b與x+a成正比例的表達式，然后判斷所得結(jié)果是否符合一次函數(shù)定義.證明：由已知，有y+b=k(x+a)，其中k0.整理，得y=kx+(kab).因為k0且kab是常數(shù)，故y=k

3、x+(kab)是x的一次函數(shù)式.例2 填空：如果直線方程ax+by+c=0中，a0，b0且bc0，則此直線經(jīng)過第 象限.分析：先把ax+by+c=0化為.因為a0，b0，所以.又bc0，即0，故0.相當于在一次函數(shù)y=kx+l中，k=0，l=0，此直線與y軸的交點(0，)在x軸上方.且此直線的向上方向與x軸正方向所成角是鈍角，所以此直線過第一、二、四象限.例3 一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)y=的圖象的交點坐標分別是P(m，4)，Q(1，m)(A)y=4x+3 (B)y=4x+3 (C)y=x+3 (D)y=4x3分析：把P，Q兩點坐標代入反比例函數(shù)式y(tǒng)=，得即P點坐標是 (14，4)，Q

4、點坐標是(1，1).設一次函數(shù)式的解析式是y=kx+b.把P，Q坐標代入，得.所求直線為y=4x+3.先(A).例4 把反比例函數(shù)y=與二次函數(shù)y=kx2(k0)畫在同一個坐標系里，正確的是( ).答：選(D).這兩個函數(shù)式中的k的正、負號應相同(圖13110).例5 對于二次函數(shù)y=x22ax+2a+3.分別滿足下列條件，求系數(shù)a的值.(1)圖象與x軸沒有交點；(2)函數(shù)式為完全平方；(3)函數(shù)的最小值為零；(4)當x5時，y隨x增大而增大，且x5時，y隨x增大而減??；(5)圖象的頂點位置最高，并求這個頂點的坐標；(6)圖象在x軸上截得的線段長是3.解：(1)令y=0，則二次函數(shù)y=x22a

5、x+2a+3變?yōu)槎畏匠蘹22ax+2a+3=0.函數(shù)圖象與x軸沒有交點，相當于二次方程沒有實數(shù)解.由=(2a)24(2a+3)=4(a22a3).令0，即a22a30.用圖象法解此二次不等式.設y=a22a3(這里把a看作自變量).此圖象與橫軸交點的橫坐標是方程a22a3=0的解.即a1=3，a2=1.使函數(shù)y=a22a3的縱坐標為負值，即圖象在橫軸下方，這時的橫坐標a應滿足1a3，(圖13111).所以1a3時，y=x22ax+2a+3的圖象與x軸沒有交點；(2)對于二次三項式ax2+bx+c(a0)，當且僅當b24ac=0時，ax2+bx+c=a(xx1)(xx2)=(xx1)2，這個二

6、次三項式是完全平方.由=(2)24(2a+3)=0，得a1=3，a2=1.故a=3或a=1時y=x22ax+2a+3是完全平方；(3)把函數(shù)y=x22ax+2a+3配方成y=(x+h)2+k的形式，y=x22ax+a2+(a2+2a+3)=(xa)2+(a2+2a+3).因為y(xa)2+(a2+2a+3)a2+2a+3.所以y最小值是a2+2a+3.由已知最小值為0，令a2+2a+3=0，得a=3，a=1;(4)由已知可知，此圖象的對稱軸為5，即=5，得a=5；(5)要使圖象的頂點位置最高，應求頂點縱坐標的最大值.頂點縱坐標.用配方法求最大值.a2+2a+3=(a22a+11)+3=(a1)

7、2+44.所以當a=1時，頂點縱坐標最大值是4，而頂點橫從標為=a.故最高的頂點坐標是(1，4)；(6)圖象與x軸兩個交點的橫坐標就是方程x22ax+(2a+3)=0的兩個根.設這兩個根為x1，x2.由x1x2=3，得(x1x2)2=9，即(x1+x2)24x1x2=9. 又x1+x2=2a，x1x2=2a+3，代入，得(2a)24(2a+3)=9，即4a28a21=0.所以a1=72，a2=32.又a1，a2都滿足0.答：當a=或a=時，圖象在x軸上截得的線段長為3.例6 已知一次函數(shù) y=ax+b (a，b是整數(shù)) 二次函數(shù) y=x2+3， 二次函數(shù) y=x2+6x+7， 二次函數(shù) y=x

8、2+4x+5， 如果：與的圖象有兩個交點；與的圖象只有一個交點；與的圖象沒有交點.求整數(shù)a，b的值.解：由的x2ax+(3b)=0.因為圖象有兩個交點，所以此二次方程的根的差別式=(a)24(3b)0. 由.即x2+(6a)x+(7b)=0.=(6a)24(7b)=0.答：所求整數(shù)為a=2，b=3.例7 k取什么值時，二次函數(shù)y=x22(k+4)x+2(k22)的圖象與x軸的兩個交點都在y軸的右側(cè).分析：交點的橫坐標，就是方程x22(k+4)x+2(k22)=0.的兩個根x1，x2.兩個交點都在y軸右方，相當于方程兩根都是正值.所以應滿足以下三個條件；0，x1+x20，x1x20.答：時，函數(shù)

9、y=x22(k+4)x+2(k22)的圖象與x軸的兩個交點都在y軸的右側(cè).例8 畫出y=x22x3的圖象.分析：為了去掉絕對值符號，應分x0，x0討論.解：x0時，x=x，所以y=x2x3;當x0時，x=x，所以y=x2+2x3，用分段函數(shù)表示為的頂點為(1，4)，與y軸交點為(0，3)，與x軸交點橫坐標為方程x22x3=0的解x1=3，x2=1(舍去).y=x2+2x3的頂點為(1，4)，與y軸交點為(0，3)與x軸交點橫坐標為方程x2+2x3=0的解x1=3，x2=1舍去.函數(shù)圖象是圖13112中的實線部分.例9 如圖13113已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與x軸交于點A，B與y軸交

10、于C.頂點是M.(1)試確定a，b，c的正負號；(2)如果線段OA的長與OC的長相等，求證：ac=b1.解：(1)因為拋物線開口向下，所以a0.又拋物線與y軸交點為(0，c)，而此點在x軸上方，故c0.又頂點在y軸右側(cè)，所以0.而a0，所以b0.故y=ax2+bx+c中，a0，b0，c0;(2)設A點坐標為(x1，0)則x1是方程ax2+bx+c=0的一個根. 由點A在y軸左側(cè)，得x10.又點C與y軸交點為(0，c)且C點在x軸上方，所以c0.又由OC長與OA長相等，所以c=x1.即x1=c.又因為x1是方程ax2+bx+c=0的一個根，所以x1=c適合此方程.即a(c)2+b(c)+c=0.

11、ac2bc+c=0.由c0，式可除以c，得acb+1=0.故ac=b1.例10 如圖13114，正方形ABCD的邊長為1，在AB和AD上分別取E，F(xiàn)兩點，且AE=AF.設四邊形CEFD的面積用記號S表示，求S的最大值與最小值.分析：AE，AF是變量，S是變量x的函數(shù).先列出函數(shù)式.解法1：設AE=x，則S=SABCDSAEFSACE=1x2(1x)，所以S=x2+x+，其中0x1. 這個函數(shù)圖象的開口向下，頂點為(，)，對稱軸為x=，與y軸交于點(0，)，根據(jù)軸x對稱.它有一個點為(1，).畫圖時要注意，圖象只能畫0x1那一部分.圖象是圖13115中的實線部分.可知，當x=，S有最大

12、值；當x=0或x=1時，S有最小值. 圖13116表示，x=AE=AF=時，S的最大面積.圖13177表示，x=AE=AF=0時，A，E，F(xiàn)三點重合在一起，這時四邊形CEFD的面積就是CAD的面積S=.圖13118表示，x=AE=AF=1時，E與B重合，D與F重合，這時四邊形CEFD面積就是CBD的面積S=.解法2：S=x2+x+=(x)2+，其中0x1.因為在0與1之間，所以S=(x)2+，當x=時，等號成立.即x=時，S有最大值。又0x時，y值隨x增大而增大，而0是x的最小值，所以S有最小值×02+×0+=.又x1時，y值隨x增大而減小，而1是x的最大值，所以

13、S有最小值×1+×1+=.(三)作業(yè)1.結(jié)合函數(shù)y=3x15的圖象，確定當x取什么值時：(1)y=0; (2)y0； (3)y0；2.結(jié)合函數(shù)y=(x2)21的圖象，確定當x取什么值時：(1)y=0; (2)y0； (3)y0; (4)y有最小值.3.點(3，2)是反比例函數(shù)圖象上一點.(1)寫出這個函數(shù)解析式；(2)畫出函數(shù)圖象；(3)x取什么值時，函數(shù)值小于1.4.拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個交點的橫坐標是，且與y軸交點的縱坐標是5，求這個二次函數(shù)的解析式.5.已知拋物線的對稱軸是y軸，并且經(jīng)過(3，2)，(2，3).命這個拋物線記號為L.(1)求拋物線L關(guān)于

14、x軸對稱的圖象的函數(shù)解析式；(2)把拋物線L繞它的頂點旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線L把L向左平移3個單位，再向下平移2個單位，寫出移動后所得拋物線的函數(shù)解析式.作業(yè)的答案或提示1.y=3x5的圖象見圖13119.x=5時，y=0；x5時，y0時；x5時，y0.2.y=(x2)2=1=x24x+3，圖13120.圖象與x軸交于點(1，0)，(3，0).x=1，x=3時，y=0;x1，x3時，y0;1x3時，y0.答：xx6時，函數(shù)值小于1.4.由已知條件，得所求函數(shù)解析式為 5.設拋物線L的解析式為y=ax2+c.把(3，2)，(2，3)的坐標代入式，得所以拋物線L的解析式為.(1)如果圖1

15、3122，因為拋物線L的頂點為(0，)，它關(guān)于x軸的對稱點是(0，).所以拋物線L關(guān)于x軸對稱的圖象的解析式是(2)拋物線L繞它的頂點旋轉(zhuǎn)180°，得到的拋物線L的方程是把L向左科移3個單位，再向下平移2個單位，得到的拋物線方程為y=(x+3)2+2，即.課堂教學設計說明關(guān)于正比例函數(shù)、反比例函數(shù)，一次函數(shù)、二次函數(shù)的復習，要掌握它們的性質(zhì)、圖象畫法及這些函數(shù)綜合在一起的問題.在設計、敘述、講解時，應時時處處發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用.在本課時設計中，先列出了十七項應復習、掌握的內(nèi)容，使復習有目標、有重點，隨后設計了十個例題.1.例1與例2是復習正比例函數(shù)及一次函數(shù).既有證明題又有填空題.例2要把二元一次方程先轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)式，再判斷k，b的正負.2.例3與例4都涉及反比例函數(shù).既要用到“點在圖形上”與“坐標適合函數(shù)式”的數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，還要用到用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.3.例5涉及到0與二次函數(shù)圖象和x軸不相交的數(shù)形轉(zhuǎn)化，還用圖