(完整版)必修四2.4.平面向量的數(shù)量積(教案)

1、人教版新課標(biāo)普通高中數(shù)學(xué)必修2.4平面向量的數(shù)量積教案A第1課時(shí)教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能1 .掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2 .掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；3 . 了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題；二、過程與方法本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律，然后通過概念辨析題加深學(xué)生對于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識.三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過問題的解決，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題和解決問題的實(shí)際操作能力；培養(yǎng) 學(xué)生的交流意識、合作精神；培養(yǎng)學(xué)生敘述表達(dá)自己解題思路和探索問題的能力. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)

2、量積的定義.教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用教學(xué)關(guān)鍵：平面向量數(shù)量積的定義的理解.教學(xué)方法本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律，然后通過概念辨析題加深學(xué)生對于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識.學(xué)習(xí)方法通過類比物理中功的定義，來推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算.教學(xué)準(zhǔn)備教師準(zhǔn)備：多媒體、尺規(guī).學(xué)生準(zhǔn)備：練習(xí)本、尺規(guī).教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課在物理課中，我們學(xué)過功的概念，即如果一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移 s,那么力F所做的功 W可由下式計(jì)算：W=| F | | s | cos 9其中。是F與s的夾角.我們知道力和位移都是向量，

3、而功是一個(gè)標(biāo)量（數(shù)量）.故從力所做的功出發(fā)，我們就順其自然地引入向量數(shù)量積的概念.二、主題探究，合作交流提出問題a b的運(yùn)算結(jié)果是向量還是數(shù)量？它的名稱是什么？由所學(xué)知識可以知道，任何一種運(yùn)算都有其相應(yīng)的運(yùn)算律，數(shù)量積是一種向量的乘法運(yùn)算，它是否滿足實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算律？師生活動(dòng)：已知兩個(gè)非零向量 a與b,我們把數(shù)量|a|b|cos明做a與b的數(shù)量積（或 內(nèi)積），記作a b,即a b=|a|b|cos g0w。室.兀其中。是a與b的夾角，|a|cos 0（ |b|cos »叫做向量 a在b方向上（b在a方向上） 的投影.在教師與學(xué)生一起探究的活動(dòng)中，應(yīng)特別點(diǎn)撥引導(dǎo)學(xué)生注意：（1）兩個(gè)非零

4、向量的數(shù)量積是個(gè)數(shù)量，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積；（2）零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即a 0=0;（3）符號“ ？在向量運(yùn)算中不是乘號，既不能省略，也不能用“ 乂代替；（4）當(dāng) 0W。j 時(shí) cos 0 >0 從而 ab>0;當(dāng)一<ow時(shí)，cos 0 < 0 從而 a b<0.與學(xué)22生共同探究并證明數(shù)量積的運(yùn)算律.已知a、b、c和實(shí)數(shù)入，則向量的數(shù)量積?t足下列運(yùn)算律：a b=b a （交換律）；（？a） b= X （a b） =a （不）（數(shù)乘結(jié)合律）；（a+b） c=a c+b c （分配律）.特別是：（1）當(dāng)a4時(shí)，由a b=

5、0不能推出b 一定是零向量.這是因?yàn)槿我慌ca垂直的非零向量b,都有a b=0.注意：已知實(shí)數(shù) a、b、c （bw。，則ab=bc a=c.但對向量的數(shù)量積，該推理不 正確，即a b=b c不能推出a=c.由上圖很容易看出，雖然 a b=b c, 1 a元.對于實(shí)數(shù) a、b、c 有（a b） c=a （b c）;但對于向量 a、b、c, （a b） c=a （b c）不 成立.這是因?yàn)椋╝ b） c表示一個(gè)與c共線的向量，而a （ b c）表示一個(gè)與a共線的向 量，而c與a不一定共線，所以（a b） c=a （b c）不成立.提出問題如何理解向量的投影與數(shù)量積？它們與向量之間有什么關(guān)系？能用“投

6、影”來解釋數(shù)量積的幾何意義嗎？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生來總結(jié)投影的概念，可以結(jié)合“探究”，讓學(xué)生用平面向 量的數(shù)量積的定義，從數(shù)與形兩個(gè)角度進(jìn)行探索研究.教師給出圖形并作結(jié)論性的總結(jié)，提出注意點(diǎn)“投影”的概念，如下圖.定義：|b|cos。叫做向量b在a方向上的投影.并引導(dǎo)學(xué)生思考.A.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；B.當(dāng)。為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)。為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)。為直角時(shí)投影為0;當(dāng)9=0°時(shí)投影為|b|;當(dāng)9=180°時(shí)投影為-|b|.教師結(jié)合學(xué)生對“投影”的理解，讓學(xué)生總結(jié)出向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos。的乘積.讓學(xué)生

7、思考：這個(gè)投影值可正、可負(fù)，也可為零，所以我們說向量的數(shù)量積的結(jié)果 是一個(gè)實(shí)數(shù).教師和學(xué)生共同總結(jié)兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，。為兩向量的夾角，e是與b同向的單位向量.A. e a=a e=|a|cos 0.B. a±b a b=0.C.當(dāng)a與b同向時(shí)，a b=|a|b|;當(dāng)a與b反向時(shí)，a b=- |a|b|.特別地 a a=|a|2或 |a|= Ja?a .a?bD. cos 0 -|a|b|E. a b| 司|b|.上述性質(zhì)要求學(xué)生結(jié)合數(shù)量積的定義自己嘗試推證，教師給予必要的補(bǔ)充和提示， 在推導(dǎo)過程中理解并記憶這些性質(zhì).討論結(jié)果：略.向量的數(shù)量積的幾何意義為

8、數(shù)量積a b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos 0的乘積.三、拓展創(chuàng)新，應(yīng)用提高例1已知|a|=5, |b|=4, a與b的夾角為120°,求ab活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的數(shù)量積并結(jié)合兩向量的夾角來求解.解：a b=|a|b|cos 0=5X4 Cos120 °，1、=5 X4 X ()2= -10.點(diǎn)評：確定兩個(gè)向量的夾角，利用數(shù)量積的定義求解.例 2 我們知道，對任意 a, bC R,恒有(a+b) 2=a2+2ab+b2, (a+b) (a-b) =a2-b2.對 任意向量a、b,是否也有下面類似的結(jié)論？(1) (a+b) 2=a2+2a b+b2;(a+b

9、) ,(a-b) =a2-b2.解：(1) (a+b) 2= (a+b) (a+b)=a b+a b+b a+b b= a2+2a b+b2；(2) (a+b)(a-b) =a a-a b+b a-b b=a2- b2.例 3 已知 |a|=6, |b|=4, a 與 b 的夾角為 60°,求(a+2b)(a-3b).解：(a+2b)(a-3b) =a a-a b-6b b=|a|2-a b- 6|b|2=|a|2- |a|b|cos -6|b|2=62-6X4Xcos60o-6X42=-72.例4已知|a|=3, |b|=4,且a與b不共線，當(dāng)k為何值時(shí)，向量 a+kb與a-kb互

10、相垂 直？解：a+kb與a-kb互相垂直的條件是(a+kb) ,(a-kb) =0, 即 a2- k2b2=0. a2=32=9, b2=42=16,-9-16k2=0.，k=±3.4 .3 . 一一，也就是說，當(dāng)k=±時(shí)，a+kb與a-kb互相垂直.4點(diǎn)評：本題主要考查向量的數(shù)量積性質(zhì)中垂直的充要條件.四、小結(jié)1 .先由學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，數(shù)量積的定義、幾何意義，數(shù)量積的重要 性質(zhì)，數(shù)量積的運(yùn)算律.2 .教師與學(xué)生總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法，歸納類比、定義法、數(shù)形結(jié)合等.在領(lǐng) 悟數(shù)學(xué)思想方法的同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生多角度、發(fā)散性地思考問題，并鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行一題多 解.課堂作業(yè)1

11、 .已知a, b, c是非零向量，則下列四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為() |a b|=|a|b| a / b a 與 b 反向 a b=- |a|b|ab|a+b|=|a-b| |a|=|b| |a c|=|b c|A. 1B. 2C. 3D. 42 .有下列四個(gè)命題：在"BC中，若AB BC >0,則"BC是銳角三角形；19在 "BC中，若AB BC >0,則"BC為鈍角三角形;4ABC為直角三角形的充要條件是AB BC=0； ABC為斜三角形的充要條件是 AB BC wo其中為真命題的是（）ASB.C.D.3 .設(shè)回=8, e為單位向量，a與e

12、的夾角為60°,則a在e方向上的投影為（）A. 4/3B. 4C. 42D.8+變24.設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量,（a b） c- （c a） b=0;（b c） a- （c a） b不與c垂直；其中正確的是（）A.B.且它們相互不共線，有下列四個(gè)命題 |a|-|b|<|a-b|;(3a+2b)(3a-2b) =9|a|2-4|b|2.C.D.5 .在"BC 中，設(shè) AB=b, AC =c,則 J(|b|c|)2 (b?c)2 等于(A . 0B . SAABCC . SAABCD . 2sAABC26 .設(shè)i, j是平面直角坐標(biāo)系中 x軸、y軸方向上的單位向

13、量，且 a= (m+1) i-3j, b=i+ ( m-1) j, 如果(a+b) ± ( a-b),貝U實(shí)數(shù) m=.7 .若向量 a、b、c滿足 a+b+c=0,且|a|=3, |b|=1, |c|=4,貝U a b+b c +c a= 參考答案：1. C 2, B 3. B 4. D 5. D 6. -2 7. -13第2課時(shí)教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能1 .掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律 .2 .能利用數(shù)量積的性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律解決有關(guān)問題3 .掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，會(huì)證明兩向量垂直，以及能解決一些簡 單問題.二、過程與方法教師應(yīng)在坐標(biāo)基底向量的數(shù)量積的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)向量數(shù)量

14、積的坐標(biāo)表示.通過例題分析、課堂訓(xùn)練，讓學(xué)生總結(jié)歸納出對于向量的坐標(biāo)、數(shù)量積、向量所成角及模等幾個(gè) 因素，知道其中一些因素，求出其他因素基本題型的求解方法.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo) 表示是在學(xué)生學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)表示和平面向量數(shù)量積的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)的，這都為數(shù)量積的坐標(biāo)表示奠定了知識和方法基礎(chǔ).三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，進(jìn)一步加深學(xué)生對平面向量數(shù)量積的認(rèn)識，提高 學(xué)生的運(yùn)算速度，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì). 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.教學(xué)難點(diǎn)：向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用.教學(xué)關(guān)鍵：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的理解.

15、教學(xué)突破方法：教師應(yīng)在坐標(biāo)基底向量的數(shù)量積的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.并通過練習(xí)，使學(xué)生掌握數(shù)量積的應(yīng)用.教法與學(xué)法導(dǎo)航教學(xué)方法：啟發(fā)誘導(dǎo)，講練結(jié)合 .學(xué)習(xí)方法：主動(dòng)探究，練習(xí)鞏固.教學(xué)準(zhǔn)備教師準(zhǔn)備：多媒體、尺規(guī).學(xué)生準(zhǔn)備：練習(xí)本、尺規(guī).教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課前面我們學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算，以及平面向量的數(shù)量積，那么，能否用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積呢？若能，如何表示呢？由此又能產(chǎn)生什么結(jié)論呢？本節(jié)課我們就來研究這個(gè)問題.（板書課題）二、主題探究，合作交流提出問題：已知兩個(gè)非零向量 a=（xi, yi）, b= （x2, y2）,怎樣用a與b的坐標(biāo)表示ab呢？ 怎樣用

16、向量的坐標(biāo)表示兩個(gè)平面向量垂直的條件？你能否根據(jù)所學(xué)知識推導(dǎo)出向量的長度、距離和夾角公式？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生利用前面所學(xué)知識對問題進(jìn)行推導(dǎo)和探究.提示學(xué)生在向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行推導(dǎo)數(shù)量積的坐標(biāo)表示.教師可以組織學(xué)生到黑板上板書推導(dǎo)過程，教師給予必要的提示和補(bǔ)充.推導(dǎo)過程如下：: a=xi 1 +yij , b=X2 i +y2j ,a b= （xi i+yij） .（X2i+y2j）=xiX2 i 2+xiy2 i j+x2yi i j + yiy2j2.又i =1 , j j =1, i j=j 'i =0, a b=xix2+yiy2.教師給出結(jié)論性的總結(jié)

17、，由此可歸納如下：A.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和，即 a=(X1, yi) , b=(X2, y2),貝U a b=Xix2+yiy2.B.向量模的坐標(biāo)表示若 a= (x, y),則 |a|2=x2+y2,或 |a|=x2 y2 .如果表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(Xi, yi)、(X2, y2),那么a=(X2-X1, y2-y1),同=式*2 Xi )2 (y yi )2.C.兩向量垂直的坐標(biāo)表不'設(shè) a=(Xi, yi), b=(X2, y2),貝Ua± bXiX2+yiy2=0.D.兩向量夾角的坐標(biāo)表不設(shè)a、b都

18、是非零向量，a=(Xi, yi), b= (X2, y2),。是a與b的夾角，根據(jù)向量 數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示，可得ag)XiX2 yi y2cos 9=|a |b|Xi yi g X2 y2三、拓展創(chuàng)新，應(yīng)用提高例i 已知A (i, 2) , B (2, 3) , C (-2, 5)，試判斷 AABC的形狀，并給出證明.活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算來解決平面圖形的形狀問題.判斷 平面圖形的形狀，特別是三角形的形狀時(shí)主要看邊長是否相等，角是否為直角.可先作 出草圖，進(jìn)行直觀判定，再去證明.在證明中若平面圖形中有兩個(gè)邊所在的向量共線或 者模相等，則此平面圖形與平行四邊形有關(guān)；若三角

19、形的兩條邊所在的向量模相等或者由 兩邊所在向量的數(shù)量積為零，則此三角形為等腰三角形或者為直角三角形.教師可以讓 學(xué)生多總結(jié)幾種判斷平面圖形形狀的方法.解：在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)出A (i, 2), B (2, 3), C (-2, 5)三點(diǎn)，我們發(fā)現(xiàn)ABC是直角三角形.下面給出證明.AB= (2-i, 3-2) = (i, i),AC = (-2-i , 5-2) = (-3, 3),AB AC =ix (-3) +ix3=0.AB ± AC .ABC是直角三角形.點(diǎn)評：本題考查的是向量數(shù)量積的應(yīng)用，利用向量垂直的條件和模長公式來判斷三 角形的形狀.當(dāng)給出要判定的三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，首

20、先要作出草圖，得到直觀判定，然后對你的結(jié)論給出充分的證明.例2設(shè)a= (5, -7), b= (-6, - 4),求a b及a、b間的夾角0 (精確到1 °).解：a b=5X (-6) + (-7) X (-4) =-30+28=-2.|a|二j52(7)2|b|二J( 6)2 ( 4)2 夜,由計(jì)算器得cos 9=0. 03.,7452利用計(jì)算器得 OM. 6rad=92°.四、小結(jié)1 .在知識層面上，先引導(dǎo)學(xué)生歸納平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量的模，兩向 量的夾角，向量垂直的條件.其次引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)律，夾角和距離公 式、兩向量垂直的坐標(biāo)表不2 .在思想

21、方法上，教師與學(xué)生一起回顧探索過程中用到的思維方法和數(shù)學(xué)思想方 法，定義法，待定系數(shù)法等.課堂作業(yè)1.若a= (2, -3), b= (x, 2x),且a b=,則x等于()A. 32.設(shè)A.a二 (1,1m> 一218. 一32), b= (1, m),若-1B. m< 一231C. 一3與b的夾角為鈍角,-1C. m> 一2D. -3則m的取值范圍是()r1D. m< 一23.A.若 a= (cos a, sin a), b= (cos 8 sin 4，貝I (a± bC.4.與a= (u, v)垂直的單位向量是(a+b) ± (a- b)( )

22、D. (a+b) / ( a- b)A.v "u2"B.C.vu2 v2u "u2"=)2vD.u-2 , 22)戈(v2 u vu v2, u2=)2v=)2v5 .已知向量 a= (cos23 ° cos67 ), b= (cos68 ; cos22 ), u=a+tb (tC R),求 u的模的最小值.6 .已知a, b都是非零向量，且 b的夾角.7 .已知9BC的三個(gè)頂點(diǎn)為 A 參考答案：1. C 2. D 3. C 4. Da+3b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2b垂直，求a與(1, 1), B (3, 1), C (4,5),求

23、那BC的面積.5. |a|= . cos2 23cos2 6722cos 23 sin 23=1 ，同理有|b|=1.又 a b=cos23° cos68 °+cos67 cos22 °=cos23 Cos68 +sin23 sin68 = cos45 =,22、 |uF= (a+tb) 2=a2+2ta b+t2b2=t2+V2 t+1= (t+)22+12當(dāng) t= -"時(shí)，|u|min=226.由已知(a+3b) ± (7a-5b)(a+3b) (7a-5b) =07a2+16a b-15b2=0.又(a-4b)，(7a-2b)(a-4b)

24、 (7a-2b)=07a2-30a b+8b2=0.一 一一b2| b |2-得46a b=23b2,即a b=-L22將代入，可得 7|a|2+8|b|2-151b|2=0,即 |a|2=|b|2, |b|2，若記 a與 b的夾角為 2 則 cos 0 - a?b2|a|gb| |b|gb|有 |a|二|b|,7.先求出長0 °, 180 ,。=60；即 a 與 b 的夾角為 60°.一1 ，分析：Sabc= | AB |AC |sinZ BAC,而 | AB |, | AC |易求，要求 sin/BAC 可 2cosZBAC.解：AB = (2, 0), AC = (3

25、, 4),| AB |=2, | AC |=5,uuu uurABgAC . cos/ BAC = uuuunyuiur|AB|AC|Smbc=工 | AB | AC |sin / BAC=I X2 >5 x =4.225教案B第一課時(shí)教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能1 . 了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義；2 .體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，理解掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律， 并能運(yùn)用性質(zhì)和運(yùn)算律進(jìn)行相關(guān)的判斷和運(yùn)算.二、過程與方法體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力.三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)參與、積極探究，學(xué)生能感受數(shù)學(xué)

26、問題探究的樂趣和成功的喜 悅，增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心和積極性，并養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣.教學(xué)重點(diǎn)平面向量數(shù)量積的定義，用平面向量的數(shù)量積表示向量的模、夾角.教學(xué)難點(diǎn)平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解，平面向量數(shù)量積的應(yīng)用.教 具多媒體、實(shí)物投影儀.內(nèi)容分析本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律，然后通過概念辨析題加深學(xué)生對于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識.3 要知識點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的3個(gè)重要性質(zhì);平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律.教學(xué)流程概念引入一概念獲得一簡單運(yùn)用一運(yùn)算律探究一理解掌握一反思提高教學(xué)設(shè)想：一、情境設(shè)置：問題1:回憶

27、一下物理中“功”的計(jì)算，功的大小與哪些量有關(guān)？irin結(jié)合向量的學(xué)習(xí)你有什么想法?力做的功： W IF 11 S |cos , 是F與S的夾角.（引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識功這個(gè)物理量所 涉及的物理量，從“向量相乘”的角度進(jìn)行分析）二、新課講解1 .平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義 ：已知兩個(gè)非零向量 a與b,它們的夾角是0,則數(shù)量|a|b|cos叫a與b的數(shù)量積，記 作a b,即有a b = |a|b|cos , (0 城.并規(guī)定：0與任何向量的數(shù)量積為 0.問題2：定義中涉及哪些量？它們有怎樣的關(guān)系？運(yùn)算結(jié)果還是向量嗎？(引導(dǎo)學(xué) 生認(rèn)清向量數(shù)量積運(yùn)算定義中既涉及向量模的大小，又涉及向量的交角，運(yùn)算結(jié)果是數(shù)

28、量)注意：兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別.(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號由 cos的符號所決定.(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成ab；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積axb,而a b是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分.符號“ ”在向量運(yùn)算中不是乘號，既不能省略，也不能用“x”代替.(3)在實(shí)數(shù)中，若 a 0,且a b=0,則b=0;但是在數(shù)量積中，若 a 0,且a b=0, 不能推出b=0.因?yàn)槠渲衏os有可能為0.(4)已知實(shí)數(shù) a、b、c (b 0),貝U ab=bc a=c.但是在向量的數(shù)量積中，ab = b c推導(dǎo)不出 a = c .如下圖：a b = |a

29、|b|cos = |b|OA|,b c = |b|c| cos = |b|OA| ab=bc,但 a c.(5)在實(shí)數(shù)中，有(a b) c = a (bc),但是在向量中，(ab) c a (bc)顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥c c共線的向量，而右端是與 a共線的向量，而一般 a與c 不共線.(“投影”的概念)：作圖2 .定義：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng) 為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng) 為鈍角時(shí)投影為負(fù)值; 當(dāng) 為直角時(shí)投影為0;當(dāng)=0時(shí)投影為|b|;當(dāng)=180時(shí)投影為|b|.3 .向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos的乘積

30、.例1已知平面上三點(diǎn)a、b、c滿足| AB |=2, | bc 1=1, | CA |二 J3 ,求AB BC+BC CA + CA. AB的值.解：由已知，|BC|2+|CA|2=|AB|2,所以 “BC是直角三角形.而且/ACB=90°,從而 sinZ ABC = 3 , sinZ BAC=. 22/ ABC=60° , / BAC=30°.AB與BC的夾角為120°, BC與CA的夾角為90°, CA與AB的夾角為i5o°.故 aB bC + bc cA + cA aB=2M xcos120 +1 x,3 cos90 + 33

31、X2cos150 °=-4.點(diǎn)評：確定兩個(gè)向量的夾角，應(yīng)先平移向量，使它們的起點(diǎn)相同，再考察其角的大小，而不是簡單地看成兩條線段的夾角，如例題中AB與BC的夾角是120。,而不是60°.探究1：非零向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它何時(shí)為正，何時(shí)為 0，何時(shí)為負(fù)？當(dāng)0° < 0< 90°時(shí)a b為正；當(dāng)0 =90°時(shí)a b為零；90° v180° 時(shí) a b 為負(fù).探究2:兩個(gè)向量的夾角決定了它們數(shù)量積的符號，那么它們共線或垂直時(shí)，數(shù)量 積有什么特殊性呢？4.兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量.(1) a

32、 b a b = 0.(2)當(dāng)a與b同向時(shí)，a b = |a|b|;當(dāng)a與b反向時(shí)，a b = |a|b|. 特別的a a = |a|2 或|a| <a a .(3) |ab| w |a|b|.公式變形：cos = a b | a | b |探究3:對一種運(yùn)算自然會(huì)涉及運(yùn)算律，回憶過去研究過的運(yùn)算律，向量的數(shù)量積 應(yīng)有怎樣的運(yùn)算律？(引導(dǎo)學(xué)生類比得出運(yùn)算律，老師作補(bǔ)充說明)向量a、b、c和實(shí)數(shù)入，有(1) a b= b a（2）（ b=入（a b ） = a （4）（3） （a +b） c = a - c+ b c（進(jìn)一步）你能證明向量數(shù)量積的運(yùn)算律嗎？（引導(dǎo)學(xué)生證明（1）、（2）例2判

33、斷正誤：ILIUa 0=0; 0 a= 0 ; 0- AB= BA ; I a -b | = | a | | b | ;若 a0,則對任一非零b有a,bW）;a,b = 0,則a與b中至少有一個(gè)為0;對任意向量 a, b , c都有（a,b） c=a （ba與b是兩個(gè)單位向量，則 a2 = b 2.上述8個(gè)命題中只有正確;例3已知| a | = 3 , | b |=6,當(dāng)a/ b ,a, b ,a與b的夾角是 60° 時(shí)，分別求a -b .解：當(dāng)a / b時(shí)，若a與b同向，則它們的夾角 0= 0 °,a 'b = I a | , | b I cos0 = 3X6X1

34、 = 18;若a與b反向，則它們的夾角 0= 180°,.a b = | a | | b | cos180°=3X6x （-1） =-18;當(dāng)ab時(shí)，它們的夾角 0= 90°, a 'b = 0 ;當(dāng)a與b的夾角是60°時(shí)，有 1 ca -b = a b cos60 = 3 X6 x- = 9.2評述：兩個(gè)向量的數(shù)量積與它們白夾角有關(guān)，其范圍是0。，180。,因此，當(dāng)a/ b時(shí)，有0°或180°兩種可能.評述：這一類型題，要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律.三、課堂練習(xí)1 .已知|a|=1, |b|= 22 ,且（a

35、- b）與a垂直，則a與b的夾角是（）A. 60°B, 30°C. 135°D, 4 5 °2 .已知|a|=2, |b|=1, a與b之間的夾角為 那么向量 m=a-4b的模為（）3A. 2B . 2 向C. 6D, 123 .已知a、b是非零向量，若|a|=|b|則（a+b）與（a-b） .4 .已知向量a、b的夾角為一，|a|=2,1b尸1，則1a+b|1a-b|=.5 .已知a+b=2i- 8j, a- b=- 8i+16j,其中i、j是直角坐標(biāo)系中 x軸、y軸正方向上的 單位向量，那么 a b=.6 .已知 |a|=1, |b|=42 , (1

36、)若 a / b,求 a b; (2)若 a、b 的夾角為 45°,求|a+b|;（3）若a-b與a垂直，求a與b的夾角.參考答案：1. D2. B 3.垂直 4.歷 5.-3"6.解：(1)若a、b方向相同，則a b= J2 ;若a、b方向相反，則a b= J2 ;(2) |a+b|= . 5 .(3) 45°.四、知識小結(jié)(1)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識？(2)關(guān)于向量的數(shù)量積，你還有什么問題？五、課后作業(yè)教材第108頁習(xí)題2. 4 A組 1、2、3、6、7教學(xué)后記數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)知識的形成過程和方法的教學(xué)，數(shù)學(xué)活動(dòng)是以學(xué)生為主體的活動(dòng)，沒有學(xué)生

37、積極參與的課堂教學(xué)是失敗的.本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)按照“問題一一討論解決”的模式進(jìn)行，并以學(xué)生為主體，教師以課堂教學(xué)的引導(dǎo)者、評價(jià)者、組織者和參與者同學(xué)生一起探索平面向量數(shù)量積定義、性質(zhì)和運(yùn)算律的形成與發(fā)展過程.始終做到以“學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)、思維為主攻、訓(xùn)練為主線”第2課時(shí)教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能掌握平面向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用.二、過程與方法1 .通過平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，體會(huì)向量的代數(shù)性和幾何性2 .從具體應(yīng)用體會(huì)向量數(shù)量積的作用.三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀學(xué)會(huì)對待不同問題用不同的方法分析的態(tài)度教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的綜合運(yùn)用教 具

38、多媒體、實(shí)物投影儀.教學(xué)設(shè)想一、復(fù)習(xí)引入向量的坐標(biāo)表示，為我們解決有關(guān)向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算帶來了極大的方便.上 一節(jié)，我們學(xué)習(xí)了平面向量的數(shù)量積，那么向量的坐標(biāo)表示，對平面向量的數(shù)量積的表示方式又會(huì)帶來哪些變化呢？由此直接進(jìn)入主題.二、探究新知：1 .平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知兩個(gè)非零向量 a (xi,y1)，b (X2, y2),試用a和b的坐標(biāo)表示a b.設(shè)i是x軸上的單位向量，j是y軸上的單位向量，那么a x1 i y1 j ,b X2i y2j .所以 a b (Xiiyj)(X2iy?j)xiX2i2 x1y2i jX2yi jy1y2j2.又i i 1, j j1 , i jj i0,所以a b x1x2 y1y2.這就是說：兩個(gè)向量的數(shù)