3兩個(gè)平行平面的距離

1、3.3.兩個(gè)平行平面的距離兩個(gè)平行平面的距離aba b 和兩個(gè)平面和兩個(gè)平面同時(shí)垂直同時(shí)垂直的直線，叫做這的直線，叫做這兩個(gè)平兩個(gè)平面的公垂線面的公垂線。公垂線夾在平行平面之間的部分，。公垂線夾在平行平面之間的部分，叫做這叫做這兩個(gè)平面的公垂線段兩個(gè)平面的公垂線段。兩個(gè)平行平面兩個(gè)平行平面的的公垂線段公垂線段的長(zhǎng)的長(zhǎng)度，叫做度，叫做兩個(gè)平兩個(gè)平行平面的距離行平面的距離。abca1思考思考：任意兩條異面直線都有公垂線嗎？任意兩條異面直線都有公垂線嗎？ 有多少條公垂線？有多少條公垂線？已知異面直線已知異面直線aa1和和bc，直線直線ab與異面直線與異面直線aa1，bc都垂都垂直相交。直相交。和兩條

2、異面直線都和兩條異面直線都垂直相交垂直相交的直線叫做兩條異面直線的的直線叫做兩條異面直線的公垂線公垂線，公垂線夾在異面直，公垂線夾在異面直線間的部分，叫做這兩條異線間的部分，叫做這兩條異面直線的面直線的公垂線段公垂線段。4.異面直線的距離異面直線的距離定理一定理一：任意兩條異面直線：任意兩條異面直線有且只有一條有且只有一條公垂線。公垂線。存在性：存在性：abpaqmcba直線直線abab就是異面直就是異面直線線a,ba,b的公垂線的公垂線唯一性：唯一性：假如還有直線假如還有直線a ab b也是也是a,b的公垂線，則的公垂線，則 aba abb a/a aba所以所以 ab平面平面 又又ab 平

3、面平面 ab/ab 則則 a,b共面共面 矛盾！矛盾！ab定理二定理二：兩條異面直線的公垂線段是分別連結(jié)兩條異面直線的公垂線段是分別連結(jié)兩條異面直線上兩點(diǎn)的線段中兩條異面直線上兩點(diǎn)的線段中最短最短的一條。的一條。ababcd兩條異面直線的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線的距離兩條異面直線的距離aabaadeflmn例例4 已知兩條異面直線所成的角為，在直線、上已知兩條異面直線所成的角為，在直線、上分別取、，已知，求公垂線分別取、，已知，求公垂線段的長(zhǎng)度。段的長(zhǎng)度。 abef,a emafnefl aa d,efeaa aaf 22|efeaa aaf 222|

4、2eaa aafea a aa a afea af 22222cos,lmdnmn 2222cos.dlmnmn , or ,eaa aa aafeaaf 解：解：2222cosdlmnmn 異面直線的距離公式：異面直線的距離公式：6.已知正方體已知正方體 ,說(shuō)出下列各對(duì)棱所在說(shuō)出下列各對(duì)棱所在直線的公垂線，并求它們之間的距離：直線的公垂線，并求它們之間的距離：abcda b c d dcbadabcab與與bc； ab與與cc；ad與與bb； cd與與bc；ab與與cd。練練 習(xí)習(xí)7.如圖，已知空間四邊形如圖，已知空間四邊形oabc各邊及對(duì)角各邊及對(duì)角線長(zhǎng)都是線長(zhǎng)都是1，d,e分別是分別是o

5、a,bc的中點(diǎn)，連結(jié)的中點(diǎn)，連結(jié)de。（1）求證：）求證：de是是oa和和bc的公垂線。的公垂線。（2）求）求oa和和bc間的距離。間的距離。edoabcqpod1c1b1a1dabc8.正方體正方體abcda1b1c1d1中，中，p為為ab中點(diǎn)，中點(diǎn)，q為為bc中點(diǎn)，中點(diǎn)，aa1=a, o為正方形為正方形abcd的中心，求的中心，求pq與與c1o間的距離。間的距離。m例例5：已知二面角已知二面角-l-l-的大小是的大小是1200，a,c 且且abl,cdll,cdl，ab=cd=a, ac=2a,求（求（1）bd的長(zhǎng)；的長(zhǎng)； （2）bd和和ac所成角的余弦值；所成角的余弦值； （3）bd和和

6、ac的距離。的距離。dbl,abcdld1c1b1a1dabc思考：思考：已知正方體的棱長(zhǎng)為已知正方體的棱長(zhǎng)為1 1，求異面直線與的距離。求異面直線與的距離。1111abcda b c d 1ab11a co1oh求異面直線的距離的常用方法：求異面直線的距離的常用方法：（1 1） 找出（或作出）公垂線，計(jì)算公垂線段的長(zhǎng)度。找出（或作出）公垂線，計(jì)算公垂線段的長(zhǎng)度。ab（2 2） 轉(zhuǎn)化為求線面間的距離。轉(zhuǎn)化為求線面間的距離。a/平面平面bab（3 3） 轉(zhuǎn)化為求平行平面間的距離。轉(zhuǎn)化為求平行平面間的距離。a/平面平面, b/, b/平面平面ab注意：（注意：（2 2）3 3）可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平

7、面的距離。）可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離。課堂小結(jié)：課堂小結(jié)：（4 4）用模型公式）用模型公式cos2222mnnmld（5 5）向量方法：先求兩異面直線的公垂線方向的向量，）向量方法：先求兩異面直線的公垂線方向的向量，再求兩異面直線上兩點(diǎn)的連結(jié)線段在公共法向量上的射影再求兩異面直線上兩點(diǎn)的連結(jié)線段在公共法向量上的射影長(zhǎng)長(zhǎng)abefnef ndn 空間距離補(bǔ)充例題空間距離補(bǔ)充例題1. .有關(guān)點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面距離的求法有關(guān)點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面距離的求法.)3()2(;)1(.6043. 11111111111111111的的距距離離到到平平面面求求點(diǎn)點(diǎn)所所成成角角；與與平平面面求求直直線線平平面面

8、求求證證：平平面面，是是矩矩形形，是是菱菱形形，四四邊邊形形中中，四四邊邊形形如如圖圖，在在三三棱棱柱柱例例cbacbbcccaabbabcaabaabcbbcabbbccabbacbaabc m oa c b a1b1c1轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想. 211的的距距離離與與，求求異異面面直直線線的的正正方方體體棱棱長(zhǎng)長(zhǎng)為為例例dbcaacaa d c b a1d1b1c12. .給出公垂線的兩條異面直線距離的求法給出公垂線的兩條異面直線距離的求法ho.211的的距距離離與與，求求異異面面直直線線的的正正方方體體棱棱長(zhǎng)長(zhǎng)為為例例dbcbacaa d c b a1d1b1c1o轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想.12)2(;)1(. 3111111111111111的的大大小小時(shí)時(shí)，求求的的距距離離為為到到平平面面，直直線線當(dāng)當(dāng)平平面面求求證證：平平面面中中