丟番圖方程整數(shù)解方法

1、求不定方程整數(shù)解的常用方法不定方程是指未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)，且未知數(shù)受到某些限制(如要求是 有理數(shù)，整數(shù)或正整數(shù)等)的方程或方程組。不定方程也稱丟番圖方程，是數(shù)論的重要 分支學(xué)科，也是數(shù)學(xué)上最活躍的數(shù)學(xué)領(lǐng)域之一。我國對不定方程的研究已延續(xù)了數(shù)千 年，“百錢百雞問題”等一直流傳至今，“物不知其數(shù)”的解法被稱為中國剩余定理。 一般常用的求不定方程整數(shù)解的方法包括： (1)分離整數(shù)法此法主要是通過解未知數(shù)的系數(shù)中絕對值較小的未知數(shù)，將其結(jié)果中 整數(shù)部分分 離出來，則剩下部分仍為整數(shù)，則令其為一個新的整數(shù)變量，以此類推，直到能 直接 觀察出特解的不定方程為止,再追根溯源，求出原方程的特解 .例1

2、求不定方程U y 0的整數(shù)解x 2解已知方程可化為因為y是整數(shù)，所以也是整數(shù).x 2由此x+2=1, -1 , 3, -3 ,即x=-1 , -3 , 1, -5 ,相應(yīng)的y 4,0,2,0.所以方程的整數(shù)解為(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).(2)輾轉(zhuǎn)相除法此法主要借助輾轉(zhuǎn)相除式逆推求特解，具體步驟如下：第一步，化簡方程，盡量化簡為簡潔形式(便于利用同余、奇偶分析的形式)；第二步，縮小未知數(shù)的范圍，就是利用限定條件將未知數(shù)限定在某一范圍內(nèi)，便 于下一步討論；第三步，用輾轉(zhuǎn)相除法解不定方程.例2求不定方程37x 107y 25的整數(shù)解.解因為(37,107) 125,所以原

3、方程有整數(shù)解.用輾轉(zhuǎn)相除法求特解：從最后一個式子向上逆推得到所以則特解為通解為或改寫為(3)不等式估值法先通過對所考查的量的放縮得到未知數(shù)取值條件的不等式，再解這些不等式得到 未知數(shù)的取值范圍.例3求方程1 1 1 1適合x y z的正整數(shù)解. x y z解因為所以所以即所以所以z 2或z 3.當(dāng)z 2時有所以所以所以2 y 4所以y 3或y 4,相應(yīng)地x 6或4;當(dāng)z 3時有所以所以所以y 3, y 3;相應(yīng)地x 3.所以(x,y,z) (6,3,2),(4,4,2),(3,3,3).(4)逐漸減小系數(shù)法此法主要是利用變量替換，使不定方程未知數(shù)的系數(shù)逐漸減小，直到出現(xiàn)一個未 知量的系數(shù)為1的

4、不定方程為止，直接解出這樣的不定方程(或可以直接能用觀察法 得到特解的不定方程為止，再依次反推上去)得到原方程的通解 .例4求不定方程37x 107y 25的整數(shù)解.解因為(37,107) 125,所以原方程有整數(shù)解.有37 107 ,用y來表示X,得則令由4<37,用m來表示y ,得令m t Z,得m 4t.將上述結(jié)果一一帶回，得原方程的通解為4注 解一元二次不定方程通常先判定方程有無解.若有解，可先求ax by c的一個特解，從而寫出通解.當(dāng)不定方程系數(shù)不大時，有時可以通過觀察法求得其解，即引入變 量，逐漸減小系數(shù)，直到容易求得其特解為止.對于二元一次不定方程ax by c來說有整數(shù)

5、解的充要條件是(a, b)c.(5) 分離常數(shù)項的方法對于未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項之間有某些特殊關(guān)系的不定方程，如常數(shù)項可以拆成兩未知數(shù)的系數(shù)的倍數(shù)的和或差的不定方程，可采用分解常數(shù)項的方法去求解方程例 5 求不定方程3x 5y 143的整數(shù)解.解 原方程等價于因為所以x 1 5t所以原方程的通解為x 1 5t ,t Z.y 28 3t(6) 奇偶性分析法從討論未知數(shù)的奇偶性入手，一方面可縮小未知數(shù)的取值范圍，另一方面又可用2n或2n 1(n Z)代入方程，使方程變形為便于討論的等價形式.例 6 求方程x2y2 328 的正整數(shù)解.解 顯然 x y , 不妨設(shè)因為328是偶數(shù)，所以x、y的奇偶性相

6、同，從而x y是偶數(shù).令則 u1 、 v1 Z , 且 u1 v1 0.所以代入原方程得同理，令u1v12u2, u1v12v2 (u2、v2Z, 且u2v20)于是，有再令得此時，U3、V3必有一奇一偶，且取 v3 1,2,3,4,5,得相應(yīng)的所以，只能是u3 5, v3 4.從而結(jié)合方程的對稱性知方程有兩組解18,2 , 2,18 .(7) 換元法利用不定方程未知數(shù)之間的關(guān)系(如常見的倍數(shù)關(guān)系)，通過代換消去未知數(shù)或倍數(shù)，使方程簡化，從而達(dá)到求解的目的.,，、111 ,例7求方程-的正整數(shù)解.x y 7解顯見，x7, y7.為此，可設(shè)x 7 m, y 7 n,其中m、n為正整數(shù).所以原方程

7、-1 -可化為 x y 7整理得所以相應(yīng)地所以方程正整數(shù)解為56,8 , 14,14 , 8,56 .(8)構(gòu)造法構(gòu)造法是一種有效的解題方法，并且構(gòu)造法對學(xué)生的創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)有很重要 的意義，成功的構(gòu)造是學(xué)生心智活動的一種探求過程，是綜合思維能力的一種體現(xiàn)， 也是對整個解題過程的一種洞察力、預(yù)感力的一種反映.構(gòu)造體現(xiàn)的是一種轉(zhuǎn)化策略，在處理不定方程問題時可根據(jù)題設(shè)的特點，構(gòu)造出符合要求的特解或者構(gòu)造一個求解 的遞推式等.例8已知三整數(shù)a、b、c之和為13且» C,求a的最大值和最小值，并求出此 a b時相應(yīng)的b與c的值.a b c 13解由題意得2 ，消去b得13 a c2 acb

8、 ac整理得到關(guān)于c的一元二次方程 因為13 a 0,若a 1,則有c2 25c 144 0,解得c 16或c 9,符合題意，此時若a 17時，則有c2 9c 16 0,無實數(shù)解，故a 17;若a 16時，則有c2 10c 9 0,解得c 1或c 9,符合題意，此時綜上所述，a的最大值和最小值分別為16和1,相應(yīng)的b與c的值分別為b4Tb12旬 b4Tb 3或 和 或c 1 c 9 c 16 c 9配方法把一個式子寫成完全平方或完全平方之和的形式，這種方法叫做配方法.配方法是 式子包等變形的重要手段之一，是解決不少數(shù)學(xué)問題的一個重要方法.在初中階段，我 們已經(jīng)學(xué)過用配方法解一元二次方程，用配方

9、法推到一元二次方程的求根公式，用配 方法把二次函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式等等，是數(shù)學(xué)中很常用的方法.例9若x2 y2 5 2x y,求xy yx的化解由題意即所以所以 xy yx 1 1 322(10)韋達(dá)定理韋達(dá)定理是反映一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的重要定理，廣泛應(yīng)用于初等代數(shù)、 三角函數(shù)及解析幾何中，應(yīng)用此法解題時，先根據(jù)已知條件或結(jié)論，再通過恒等變形 或換元等方法，構(gòu)造出形如a b、a b形式的式子，最后用韋達(dá)定理.例10已知p、q都是質(zhì)數(shù)，且使得關(guān)于x的二次方程x2 8P 10qx 5Pq 0至少有一個正整數(shù)根，求所有的質(zhì)數(shù)對 p,q .解設(shè)方程的兩根分別為x1、x2 x1 x2 ,由根與系數(shù)關(guān)系

10、得因為p、q都是質(zhì)數(shù)，且方程的一根為正整數(shù)，可知方程的另一根也是正整數(shù).所以所以 x x2 5pq 1, pq 5,5q p,5p q.當(dāng)x x2 5pq 1時，即5Pq 1 8p 10q,因為p、q均是質(zhì)數(shù)，所以5pq 1 10p 8p 10q,故此時無解.當(dāng) x1 x2 5pq 5 時，即 pq 5 8p 10q,所以 p 10 q 885,因為 p、q都是質(zhì)數(shù)，且p 10 q 8,所以解得符合條件的質(zhì)數(shù)對為 p,q 7,3 .當(dāng)x1x25qp時，即5qp8p10q,所以7P15q,滿足條件白質(zhì)數(shù)對.當(dāng)x1x25pq時，即5Pq8p10q,所以3P11q,于是p, q 7,3 或 p,q

11、11,3 .綜上所述，滿足條件的質(zhì)數(shù)對為p,q 7,3或p, q 11,3 .(11)整除性分析法用整除性解決問題，要求學(xué)生對數(shù)的整除性有比較到位的把握.例 11 在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為整點，設(shè)k 為整數(shù)，當(dāng)直線y x 3或 y kx k 的交點為整數(shù)時，k 的值可以取A.2個B.4個C.6個D.8個解 當(dāng) k 1時，直線y x 3與 y x 1 平行，所以兩直線沒有交點;當(dāng)k 0時，直線y x山y(tǒng) 0即x軸交點為整數(shù)；當(dāng)k 1、k 0時，直線y x 3與y kx k的交點為方程組y x 3的解，解得y kx k因為x、y均為整數(shù)，所以 k 1 只能取 1, 2, 4解得綜上，答

12、案為C.(12) 利用求根公式在解不定方程時，若因數(shù)分解法、約數(shù)分析均不能奏效，我們不妨將其中一個未知數(shù)看成參數(shù)，然后利用一元二次方程的求根公式去討論.例12已知k為整數(shù)，若關(guān)于x的二次方程kx2 2k 3x 1 0有有理根，求k值.解 因為 k 0，所以 kx2 2k 3 x 1 0的根為由原方程的根是有理根，所以2k 2 2 5必是完全平方式.可設(shè)2k2 25m2 , 則m22k 2 2 5, 即因為m 、k 均是整數(shù), 所以m2k21m2k25m2k25,m2k21m2k25m2k21, m2k11m2k25解得 k2或 0, 因為 k 0, 所以 k 的值是 -2.(13) 判別式法一

13、元二次方程根的判別式是中學(xué)階段重要的基礎(chǔ)知識，也是一種廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)解題方法.該法根據(jù)一元二次方程的判別式b2 4ac的值來判定方程是否有實數(shù)根，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系判定根的正負(fù). 熟練掌握該法，不僅可以鞏固基礎(chǔ)知識，還可以提高解題能力和基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用能力.例13求方程i -工g的整數(shù)解.x y xy 4解已知方程可化為因為x、y均為整數(shù)，所以16x2 48x 64 0,且為完全平方數(shù).于是，令16x2 48x 64 4n2,其中n為正整數(shù)所以因為x、n均為整數(shù)所以9 4 4 n2 0,且為完全平方數(shù)，即有，4n2 7為完全平方數(shù).于是，再令4n2 7 m2,其中m為正整數(shù)所以因為2n m

14、與2n m奇偶性相同，且2n m 2n m所以由上n 2.相應(yīng)的x2 3x 0,解得x 3或x 0舍去，所以x 32把x 3代入已知萬程中得y 2或y 2舍去，所以y 2所以x,y 3,2(14)因式分解法因式分解也是中學(xué)階段重要的基礎(chǔ)知識之一.它應(yīng)用廣泛，在多項式簡化、計算、 方程求根等問題中都有涉及.因式分解比較復(fù)雜，再解題時，根據(jù)所給題目的特點，靈 活運(yùn)用，將方程分解成若干個方程組來求解.這種方法的目的是增加方程的個數(shù)，這樣就有可能消去某些未知數(shù)，或確定未知數(shù)的質(zhì)因數(shù)，進(jìn)而求出其解.利用因式分解法求不定方程ax by cxy abc 0整數(shù)解的基本思路：將ax by cxy abc 0轉(zhuǎn)

15、化為x a cy b ab后，若ab可分解為ab 劣匕aQ Z,則解的一般形式為ai a x u c u,再取舍得其整數(shù)解.bi by c例14方程2 - l,a、b都是正整數(shù)，求該方程的正整數(shù)解. a b 4解已知方程可化為所以即因為a、b都是正整數(shù)所以這樣所以b 4或12或20或36或84相應(yīng)地a 2或4或5或6或7所以方程的正整數(shù)解為:2,4 , 4,12 , 5,20 , 6,36 , 7,84 .丟番圖(Diophantus):古代希臘人，代數(shù)學(xué)的鼻祖，早在公元 3世紀(jì)就開始研究不 定方程，因此常稱整系數(shù)的不定方程為丟番圖方程。百雞百錢：我國古代數(shù)學(xué)家張丘建在算經(jīng)一書中提出的數(shù)學(xué)問題

16、：“雞翁一值錢五，雞母一值錢三，雞雛三值錢一。百錢買百雞，問雞翁、雞母、雞雛各幾何？”解：設(shè)母雞x只，公雞y只，小雞(100-x-y )只，所以 3x+5y+(100-x-y)/3=100且x, y為整數(shù)?；啠篨+7y/4=25公雞五文一只，所以公雞數(shù)量要至少小于 20.有四種情況符合要求：Y048121620X2518114-3-10100-x-y7578818487901 .公雞0只，母雞25只，小雞75只2 .公雞4只，母雞18只，小雞78只3 .公雞8只，母雞11只，小雞81只4 .公雞12只，母雞4只，小雞84只輾轉(zhuǎn)相除法，又名歐幾里德算法，是求兩個正整數(shù)的最大公因子的算法。設(shè)兩數(shù)為a、b(a>b)，求a和b最大公約數(shù)(a, b)的步驟如下：