常用離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量

1、常用離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)、離散型隨機(jī)變量:(1)概念：設(shè)X是一個隨機(jī)變量，如果 X的取值是有限個或者無窮可列個，則稱 X為離散型隨機(jī)變量。其相應(yīng)的概率P(X X) Pi (i)稱為X的概率分布或分布列，表格表示形式如下:6性質(zhì)： Pi 0nPi 1 i 1分布函數(shù)f ( x )xiPi PX x F(xi) F(xi 1) xXx 1x 2x 3x iPP 1P 2P 3p i二、連續(xù)型隨機(jī)變量:(1)概念：如果對于隨機(jī)變量的分布函數(shù)F (x),存在非負(fù)的函數(shù)f (x),使得對于任意實數(shù) X,均有:Pa X b F(b) F(a) f(x)dx若f (x)在x點(diǎn)連續(xù)，則F (x) f (x

2、)xF (x)f (x)dx則稱x為連續(xù)型隨機(jī)變量，f (x)稱為概率密度函數(shù)或者密度函數(shù)。f (x)dx 1(2)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)的性質(zhì)：f(x) 0三、連續(xù)型隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量的區(qū)別:(1)由連續(xù)型隨機(jī)變量的定義，連續(xù)型隨機(jī)變量的定義域是，對于任何x, PX x0 F(x) F(x0 ) 0；而對于離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)有有限個或可列個間斷點(diǎn)，其圖形呈階梯形。(2)概率密度f(x)一定非負(fù)，但是可以大于 1,而離散型隨機(jī)變量的概率分布pi不僅非負(fù)，而且一定不大于1(3)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，因此X取任何給定值的概率都為0.(4)對任意兩個實數(shù) a b,連續(xù)型隨

3、機(jī)變量 X在a與b之間取值的概率與區(qū)間端點(diǎn)無關(guān)，即：Pa X b Pa X bPa X b Pa X bF (b) F (a)即:b f (x)dx a四、常用的離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)：PX b PX b F(x)3只取0、1兩個值的隨機(jī)變量，稱為 0-1分布，JT它用來描述只有兩種對立的結(jié)果(成功與失 :J敗、合格與不合格、擊中目標(biāo)與擊中目標(biāo)、時 :T間A出現(xiàn)與不出現(xiàn))的伯努利實驗。: II II IBL1(1) 0-1分布：如果離散型隨機(jī)變量 X的概率分布為：PX k pkq1k (K=Q1) 0 p 1q 1p稱 X服從參數(shù)為 p的 0-1 分布。(2)二項分布：如果離散型隨機(jī)變量X的

4、概率分布為：PXkC：pkqn k k 0、1n 0 p1 q 1 p稱X服從參數(shù)為n、p的二項分布，簡記為XB(n, p)注：進(jìn)行一次實驗，若實驗的成功率為p,則在一次實驗中成功的次數(shù)X服從參數(shù)為p的0-1分布二項分布描述n重伯努利實驗，若每次試驗的成功率為p,則進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試驗，則成功的總次數(shù)X服從參數(shù)為n、p的二項分布如果X服從二項分布 X B(n, p),則Y=n-X服從二項分布 X B(n,1 p)m n mC KI C M .(3)超幾何分布：如果離散型隨機(jī)變量 X的概率分布為： PX mN1n N2 m 0、1CN1 N2稱X服從參數(shù)為n, N1、n2的超幾何分布，其中 n,

5、 N1、n2都為正整數(shù)，且nWN1 + N2當(dāng)n N2時，去正概率的X值不是從0開始，而是從n N2開始;Ni時,去正概率的X值最大不是n,而是N1(4)泊松分布(Poisson )如果隨機(jī)變量 X的概率分布為：P X kke k!則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布，簡記為 X P().總結(jié)：在離散型的幾個常用分布中,二項分布與其他幾個分布關(guān)系最為密切:p 的 0-1分布，就是參數(shù)為n、p的二項分布 B (n , p)當(dāng)n=1時的特例;x其他五、常用連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)(1)均勻分布：若連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度為：f (x)則稱X服從區(qū)間a,b上的均勻分布，其分布函數(shù)為：F / Y、F

6、 ( x )在a,b上服從均勻分布的隨機(jī)變量X在a,b內(nèi)任一子區(qū)間上取值的概率只依賴于該子區(qū)間的長度，而與其在a,b內(nèi)的位置無關(guān)。即：若c,d a,b,則：Pc X d(2)指數(shù)分布：如果連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為:則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，其中0,相應(yīng)的分布函數(shù)為:1 F (x) I 指數(shù)分布常用作一些電子元器件的使用壽命。指數(shù)分布具有無記憶性。1(X 2)2(3)正態(tài)分布：A.正態(tài)分布的概率密度為：f (x). e 2 x (J22、其中和均為常數(shù)，且 0,簡記為：X N(,)B.特別地，當(dāng) 0、1時，稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作X N(0,1),其概率密度為:(x)2 x"2&

7、quot;其分布函數(shù)用(x)表不。C.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 X N(0,1)的分布函數(shù)(x)與概率密度(x)的性質(zhì)。(1) ( x) (x)即(x)是一個偶函數(shù)。(2) lim (x) 0即x軸是(x)的水平漸近線。 xx1 x(3)分布函數(shù)F(x) ();概率密度f(x) ()。(4)若X N(0,1),當(dāng) C>0時，PX| c 2 (c) 1若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布 XN( , 2),則服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 -一N(0,1),且一xN(0,1)222.如果XN(,)，當(dāng)a 0時，aX b服從正態(tài)分布N(a b,a )。特別地，如果a=1,則2X bN( b, 2)222222、如果 Xi N(

8、1, 1 ), X2 N( 2, 2 ),且 Xi、X2 相互獨(dú)立，則 a1X azX2 N(a1 1 無 2,現(xiàn) 1 a2 2 )六、隨機(jī)變量的函數(shù)分布的求法設(shè)X是一個隨機(jī)變量,y g(x)是一個實函數(shù)，則 Y g(X)也是一個隨機(jī)變量，所謂求隨機(jī)變量的函數(shù)分布問題，就是已知 X的分布及函數(shù)y g(x),求隨機(jī)變量Y g(X)的概率分布或者概率密度乃至分布函數(shù)。(1)離散型隨機(jī)變量的函數(shù)分布的求法：如果隨機(jī)變量的函數(shù) Y g(X)是離散型(無論 X是不是離散型的)的，求Y的分布只要逐點(diǎn)分析出 Y的全部可能取值及取各可能值的相應(yīng)概率即可。(2)連續(xù)型函數(shù)的分布的求法1 .分布函數(shù)法：如果隨機(jī)變

9、量的函數(shù)Y g(X)是連續(xù)型的，最基本的方法是分布函數(shù)法，即先求出Y的分布函數(shù)FY(y) P(g(x) y) f (x)dx ,然后通過分布函數(shù)求出 Y的概率密度，其中f(x)是隨機(jī)變量X的g(x) y概率密度。0,則Y的概率密h(y)是函數(shù)y g(x)從中解出所求參數(shù)，2.公式法：如果X是連續(xù)型的隨機(jī)變量， y g(x)是x的單調(diào)可到函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)不為 度fY(y)可直接由x的密度fx(y)求出：fY(y) h (y) ；Xh(y) y其禧其中x 的反函數(shù)，Z(g)是y g(x)的值域。七、方法總結(jié)：確定分布中位置參數(shù)的解題方法是建立所求參數(shù)為未知量的方程或者方程組， 建立分布中未知參數(shù)方程的主要方法有：(1)分布函數(shù)F(x)