控制理論作業(yè)二答案.docx

1、弟二早31已知二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為Gb36 s? 9s 36 試求單位階躍響應(yīng)的t r , t m, 5 % , t s的數(shù)值？解法是把給定的閉環(huán)傳遞函解：題意分析這是一道典型二階系統(tǒng)求性能指標(biāo)的例題。數(shù)與二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式進(jìn)行對比,求出n參數(shù)，而后把 n代入性能指標(biāo)公式和N的數(shù)值。（弧度/秒）0.750.663.97（弧度/秒）tgJl241.410.72 （弧度）上升時間trtr3.142230.61 秒3.97峰值時間tmtm079秒3.97過度過程時間0.75 60.89 秒(2%)0.75 60.70 秒(5 %)0.75100%Q 066100% 2.8%3-2設(shè)單位反

2、饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為Gk(s)s(s 1)試求系統(tǒng)的性能指標(biāo)，峰值時間，超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間。解：題意分析這是一道給定了開環(huán)傳遞函數(shù)，求二階系統(tǒng)性能指標(biāo)的練習(xí)題。在這里要抓住二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式與參數(shù)n）的對應(yīng)關(guān)系，然后確定用哪一組公式去求性能指標(biāo)。根據(jù)題目給出條件可知閉環(huán)傳遞函數(shù)為Gb（s）辿一X（S）S與二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式92 I S n2相比較可得1, 2 n 1，即n =1, =o由此可知，系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)。故，單位階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)為t,nts (2%)3-3如圖1所示系統(tǒng),X(s)100%40.5 10.516.4%假設(shè)該系統(tǒng)在單位階躍響應(yīng)屮的超調(diào)量% =25%,峰值

3、時間tin =圖1秒，試確定K和T解：題意分析這是一道由性能指標(biāo)反求參數(shù)的題冃，關(guān)鍵是找出：% , t m與K, T聯(lián)系起 n把來。關(guān)系；% , t m與,n的關(guān)系；通過由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可得閉環(huán)傳遞函數(shù)為Y(s)G B ( s) X (s) s(s 1) K ( s與二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式相比較，可得2 亠 n K； 2 n 1 K 或1)s2 (1 K )s K由題目給定:/l'100%25%即e兩邊取自然對數(shù)可得0.251.3863In 0.251.38630.4依據(jù)給定的峰值時間:tm所以故可得1.3863 20.5 (秒)6.85 (弧度/秒)23-4n 46.9547已知系統(tǒng)的

4、結(jié)構(gòu)圖如圖2所示，若x(t) 2 l(t)時，試求:當(dāng)T =0時，系統(tǒng)的t r , t ni , t s的值。當(dāng)T工0時，若使5 % =20%, T應(yīng)為多大。X(s)圖2解：題意分析這是一道二階系統(tǒng)綜合練習(xí)題。(1)練習(xí)輸入信號不是單位階躍信號時,求性能指標(biāo)。關(guān)鍵是求出O (2)的求法與例4 33相似。(1)由結(jié)構(gòu)圖可知閉環(huán)傳遞函數(shù)為Y Gb (s) X(s) s? 2s 50可得7.07(弧度/秒)81.95 1.43 弧度20%2VI由于X(s)s輸出旳拉氏叟挾為sin( dt211.01e°995sin(7t 81.95 )100%0. 44e麗93.141.43100%64%

5、0,247.07 0.993.140.45 秒7.070.990.147.0742.78 秒(5%)3.71 秒(2%)0.147.07閉環(huán)傳遞函數(shù)Y(s)Gb(s)X(s)50s2 (2 0.5 )s 507.07 (弧度/秒)2( n 1)Y(s)兩邊取自然對數(shù)0.5 得0.2161 0.5100%In 0.21.61,可得0.46則拉氏反變換為2(0.467.071)8.730.50.92 秒(2%)0.46 7.073-5(1)答:(2)答:什么叫時間響應(yīng)系統(tǒng)在外加作用的激勵下，其輸出隨時間變化的函數(shù)關(guān)系叫時間響應(yīng)。時間響應(yīng)由哪幾部份組成？各部份的定義是什么？時間響應(yīng)由瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響

6、應(yīng)兩部分組成。瞬態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)受到外加作用后,統(tǒng)從初始狀態(tài)到最終穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程稱瞬態(tài)響應(yīng)或者動態(tài)響應(yīng)或稱過渡過程。 是系統(tǒng)受到外加作用后，時間趨于無窮大時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)或稱穩(wěn)態(tài)。(3)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線各部分反映系統(tǒng)哪些方面的性能？系 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)相對穩(wěn)定性答：時間響應(yīng)由瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)兩部分組成。瞬態(tài)響應(yīng)反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性, 及響應(yīng)的快速性；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)反映系統(tǒng)的準(zhǔn)確性或穩(wěn)態(tài)誤差。(4)時域瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)有哪些？它們反映系統(tǒng)哪些方面的性能？答：延遲時間td ;上升時間tr ;峰值時間tm ;調(diào)節(jié)時間ts ;最大超調(diào)量反映系統(tǒng)的快速性，即靈敏度,%反映系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。3-6設(shè)系統(tǒng)的特征方程

7、式為s4 6s312 Ils 60試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：特征方程符號相同，又不缺項，故滿足穩(wěn)定的必要條件。列勞斯表判別。3-7設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為1126s?6110S 26136耳乘6)(同乘61)S 14550s°36由于第一列各數(shù)均為正數(shù)，故系統(tǒng)穩(wěn)定。也可將特征方程式因式分解為(S2)(s3)(S1) 0根 S12,13S23,S3,4j均有負(fù)實部，系統(tǒng)穩(wěn)定。22s' 2s s 20解:列勞斯表s'2S°將特征方程式因式分解為(s2l)(s 2)0根為系統(tǒng)等幅振蕩,S2 jl, S3 2 所以系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。3-8單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為Gk(S)

8、s(OJs 1)(0.25s1)試求k的穩(wěn)定范圍。解：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程:s(0.1s0.025s1)(0.25s0.35s21)列勞斯表S3S20.0250.35s°0.35 0.02KKK系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件K>0得 K<14所以保證系統(tǒng)穩(wěn)定，K的取值范圍為0<K<14o3-9(1) 系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義是什么？答：系統(tǒng)受到外界擾動作用后，其輸出偏離平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動消失后,穩(wěn)定經(jīng)過足夠長的時間，若系統(tǒng)又恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，反之系統(tǒng)不(2) 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是什么？答：半部。(3)答：系統(tǒng)的全部特征根都具有負(fù)實部，或系統(tǒng)傳遞函數(shù)的全部極點

9、均位于誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的定義是什么？輸出端定義誤差 e(t):希望輸出與實際輸出之差。輸入端定義誤差主反饋信號Z差。穩(wěn)態(tài)誤差，誤差函數(shù)e(t),當(dāng)t-oo時的誤差值稱為穩(wěn)態(tài)誤差S平面的左e；輸入與，即3-10已知單位反饋隨動系統(tǒng)如圖3所示。若K 16 T T 0.25so試求:(2)典型二階系統(tǒng)的特征參數(shù)暫態(tài)特性指標(biāo)Mp和ts(5欲使Mp 16%,當(dāng)T不變時,K應(yīng)取何值。R(s)4K卜s(Ts 1)解:圖3隨動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可求出閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為K/T nKs sT與典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)比較e(s)S 22 n S n已知K、T值，由上式可得0.25168(rad / s),0,

10、25025于是，可Mp% e100%,0.25 2100% 47%0.25 8L5s( 5%)為使Mp16°°,由公式可求得0.5即應(yīng)使由增大到，此時K 14T3-11控制系統(tǒng)框圖如圖4所示。要求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量Mp 9.5%,且峰值時間1 440,25 0.25即K值應(yīng)減小4倍。P 0-5sO試確定K 1與的值,并計算在此情況下系統(tǒng)上升時間tr和調(diào)整時間ts (20R(s)110Ki «_*s(0.5 s 1)C s) rzh圖4控制系統(tǒng)框圖解：由圖可得控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:10 KiC(s) _R( s) s? (1 10 ) s lOKi系統(tǒng)的特

11、征方程為s2 (110 ) slOKiO所以lOKi2 n 110由題設(shè)條件:Mp e/vi100%I p0.095可解得Kj6-15,7.8540.8410此10況0.35scos)53.1°0.9273radn V1ts (2%)0.85調(diào)整時間3-12設(shè)系統(tǒng)的特征方程式分別為s42s33s2 4s 5 0s4 2s3s2 2s 1 03. s5s' 3s3s2 2s 2 05試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：解題的關(guān)鍵是如何正確列出勞斯表，然后利用勞斯表第一列系數(shù)判斷穩(wěn)定性。1.列勞斯表如下 s4S3 s2-6siSO勞斯表中第一列系數(shù)中出現(xiàn)負(fù)數(shù)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定；又

12、由于第一列系數(shù)的符號改變兩次,5,所以系統(tǒng)有兩個根在 S平面的右半平面。2.列勞斯表如下s4S3s2si0(2-2/SO£是很小的正數(shù)，£行第一列元素就是一個絕對值很大的負(fù)數(shù)。整個勞斯表中第一列元由于素符號共改變兩次，所以系統(tǒng)有兩個位于右半3.列勞斯表如下s平面的根。s5s4S3 00由上表可以看出， 助方程式為A(s)= s4+3s2+2s0將輔助方程式A(s)對S求導(dǎo)數(shù)得S3行的各項全部為零。為了求出S3各行的元素，將 S4行的各行組成輔dA(q) 4S3 6sds用上式中的各項系數(shù)作為 S3行的系數(shù)，并計算以下各行的系數(shù)，得勞斯表為s5s4S3s23/2siSO從上表

13、的第一列系數(shù)可以看出， 各行符號沒有改變，說明系統(tǒng)沒有特征根在 S右半平面。但 由于輔助方程式 A(s)= S4+3S2+2二(S2+1) (s2+2) =0可解得系統(tǒng)有兩對共轆虛根 sl,2=±j, s3,4二土 j2,因而系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。3-13已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖 5所示，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范解：解題的關(guān)鍵是由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖正確求出系統(tǒng)的特征KC(s).s( S 1)( S 2)R(s方程式，然后再用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的 值范圍。圖5控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為0( S) S 3 3s2 2s KK=0其閉環(huán)特征方程式為S3 + 3S2 + 2S+ 列勞斯表為

14、:S3s2si(6sOK)/3K為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須使勞斯表中第一列系數(shù)全大于零，即K0 和 6K0,因此，K的取值范11為OK 6 ,并且系統(tǒng)臨界穩(wěn)定放大系數(shù)為Km3-14己知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下。10(1)G(s)s( o.ls 1)(0.5s1)G(s)(2)10(s a)(a 0.5)試求:1.靜態(tài)位置誤差系數(shù)s' (s1)(S 5)Kp、靜態(tài)速度誤差系數(shù) KV和靜態(tài)加速度誤差系數(shù)K"2.求當(dāng)輸入信號為i(t)解：(1)首先判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。4t 12時的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。中(S)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)G(s)200s? 12s220s200其閉環(huán)特征

15、方程為s312s220s0200O由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)為I型,Kp可以求得靜態(tài)誤差為:lim G( s)s 010lim -s Us(Ols l)(0.5s1)Kv lim sG( s) lim s1010s(OJs 1)(0.5s 1)Ka lim s G(s) limWS 0 s( O.ls 1)(0.5s-01)所以給定輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差計算如下:ess1 Kp KvKa(2)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為<P(s) G(s)1 G(s)10(s0.5)s °6s 5s 2 lOs 5其閉環(huán)特征方程為s4 6s35s2 10s 5° O由勞斯判

16、據(jù)可知系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)為II型,可以求得靜態(tài)誤差為:Kplim G(s)s 0lim 10( s 0.5) s os 2(s l)(s 5)lim sG( s)s 0lim ss 010(80.5)S 2(s 1)( S 5)lim sG(s) s 0lim s 2 in“ s 02s (s 1)( s 5)所以給定輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差計算如下：CSS142 21 KpKv Kaa 2注意：該例屮若取，則由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 因此不能定義靜態(tài)誤差系數(shù),也談不上求穩(wěn)態(tài)誤差。第四章4-1 .單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為K(s 1)試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。 解：按下述步驟繪制概略根軌跡

17、(1)系統(tǒng)開環(huán)有限零點為Z11，開環(huán)有限極點為pi 0, P2 2, P33。(2)實軸上的根軌跡區(qū)間為3,2, 1,0 O根軌跡的漸近線條數(shù)為 n2,漸近線的傾角為90, 290 ,漸近線與實nPiniZi軸的交點為確定分離點。分離點方程為,用試探法求得d2.47 o閉環(huán)系統(tǒng)概略根軌跡如下圖14-2 .設(shè)某負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為g)H(s)g)，試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。解：漸近線與實軸的交點漸近線與實軸正方向的夾角為分離點與匯合點：由d S2(Ss(2s213s 20)ds s(s 1)2得 2s2 13s 20 0所以，si,2 2.5或4。根軌跡如下圖4-3 .以知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)g

18、(s)H(s)試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。s(s 4)( 4s 20)解：(1)系統(tǒng)無開環(huán)有限零點，開環(huán)極點有四個，分別為 0, -4 ,2 j4(2)實軸上的根軌跡區(qū)間為4,0。(3)根軌跡的起始角。復(fù)數(shù)開環(huán)極點P3丄 2 j4處P39°確定根軌跡的分離點。由分離點方程 一dd4d2j4d2j4解得J' di，di 2,d2,32 j 6 時，K=100d2, d3皆為根軌跡的分離點。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 D(S)8s336s280s K 0列寫勞斯表，可以求出當(dāng)K=260時，勞斯表出現(xiàn)全零行,輔助方程為A( S) 26s2260 Oo解得根軌跡與虛軸的交點sflb o如下圖3漸

19、近線有四條a 2, a 45°,135 ,225 ,315。S), k的變換范圍為0(2)實軸上的根軌跡區(qū)間為2,0,1,漸近線有一條aO確定根軌跡的分離點，由分離點的方程dG(s) 心卻一9 0,解得 di 2.732, d2S? (S 2) 2ds0.7324-5確定根軌跡與虛軸的交點。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為Sk=2時，閉環(huán)特征方程的根為|衛(wèi)以知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為D(S) s2j 2 O如下圖4：1-(S a)G(S) AS? (s 1)2s Ks K 0。當(dāng)a的變化范圍為0,，試44 .單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s) MQs(s 2)制系統(tǒng)根軌跡。解：分析知道，應(yīng)繪制零度根軌跡。按照零度根軌跡的基本法則確定根軌跡的參數(shù)：(1)系統(tǒng)開環(huán) 有限零點為1,開環(huán)有限極點為0, -2 O繪制系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。_La 04解：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為D(S) s' s2