求數(shù)列通項公式的十種方法

1、求數(shù)列通項公式的種方法（方法全，例子全，歸納細）總述：一利用遞推關(guān)系式求數(shù)列通項的 11 種方法：累加法、 累乘法、 待定系數(shù)法、 階差法（逐差法） 、 迭代法、 對數(shù)變換法、 倒數(shù)變換法、 換元法（目的是去遞推關(guān)系式中出現(xiàn)的根號） 數(shù)學歸納法、 不動點法（遞推式是一個數(shù)列通項的分式表達式） 特征根法二。四種基本數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列、等和數(shù)列、等積數(shù)列及其廣義形式。等差數(shù)列、等比數(shù)列的求通項公式的方法是：累加和累乘，這二種方法是求數(shù)列通項公式的最基本方法。三 求數(shù)列通項的方法的基本思路是： 把所求數(shù)列通過變形， 代換轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù) 列。四求數(shù)列通項的基本方法是：累加法和累乘法。五數(shù)

2、列的本質(zhì)是一個函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個函數(shù)。、累加法1適用于：an 1 an f (n)這是廣義的等差數(shù)列 累加法是最基本的二個方法之一。2若 an 1anf(n) (n2)，a2a1則 La3a2f(1) f(2) Lananf(n)兩邊分別相加得 an 1a1nf (n)k1例1已知數(shù)列an滿足an 1an 2n1,ai 1，求數(shù)列an的通項公式。2例2已知數(shù)列an滿足an 1an23n1, ai3，求數(shù)列an的通項公式。解法一：由an 1 an 23n1 得 an 1anan(an an 1) (an 1 (2 3n 2(3n12型1 1)3n23n1)3(2L(n所以解法二:3n

3、3nanan3n1.3an3nan 23 3a3n(|n(22(n因此an3n則an練習答案：n練習an 2) L 3n2 1) 3231)1) 3an 1)1(lan32(n1)(a3L (2(n 1)1兩邊除以3n 1(an 1an 11盯1班an 2)尹丿(an 2(尹3n1.已知數(shù)列2.已知數(shù)列ana2)32(a21)(2aj a1311) 3an 3 )an3na2 a、 ai(32 R 7丿百1尹亠 3n 2丿1a"3nan3n 1)2n3的首項為且an 1滿足a1(2an anan2n(n N丿寫出數(shù)列 an的通項公式.2)，求此數(shù)列的通項公式答案：裂項求和an評注：已

4、知a1 aan 1 an f(n)，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù),求通項an若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項求和。例3.已知數(shù)列 an 中an 0且Sn(anan),求數(shù)列an的通項公式.Sn解：由已知2(an)Snan得f(SnSn 1SnA)Sn 1化簡有S： s；1n,由類型(1)有SnS12n(n 1)又S1a1 得 a11,所以,又anSnJ2n(n 1)an則J2n(n 1) J2

5、n(n 1)此題也可以用數(shù)學歸納法來求解二、累乘法1.適用于：an 1f (n)an這是廣義的等比數(shù)列累乘法是最基本的二個方法之二。2 .若anf (n)，則電印f(1),a3a2an 1f(2)丄 L ,亠 f (n)an兩邊分別相乘得,an 1a1nf(k)k 1例4已知數(shù)列an滿足 an 12(n1)5n an,ai 3，求數(shù)列an的通項公式。解：因為an 12(n1)5n an，ai3，所以an0，則an 12(n 1)5n ，故anan旦an 1an 1an 2L魚生a2 a,a,2(n 2n 1n(n3 2n11)5n12(n1) L 3 2 5n(n 1)5F n!1)5n 2

6、L(n 1) (n 2) L2(22 1 31) 522(1 1) 51 3所以數(shù)列an的通項公式為an 3 2nn(n 1)5n!.例5.設(shè)an是首項為1的正項數(shù)列，且a221 nan an 1an 0 ( n =1，2， 3，)，則它的通項公式是 an =解：已知等式可化為:(an 1 an)(n1)annan0an 1an(n+1) an 1 nan即anan評注:an2時,an 1anan 1an 1an 2亞a1 a1= n本題是關(guān)于an和an 1的二次齊次式，可以通過因式分解(一般情況時用求根公式)得到an與an 1的更為明顯的關(guān)系式，從而求出an練習.已知an 1 nan n 1

7、,a11,求數(shù)列an的通項公式.答案：an(n 1)! (a11) -1.評注：本題解題的關(guān)鍵是把原來的遞推關(guān)系式an 1 nan n 1,轉(zhuǎn)化為an 1 1 n(an 1)，若令bnan 1,則問題進一步轉(zhuǎn)化為bn 1nbn形式，進而應(yīng)用累乘法求出數(shù)列的通項公式.三、待定系數(shù)法適用于an 1 qanf（n）基本思路是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一 個函數(shù)。1 .形如an 1 Can d,(C 0 其中 a1 a)型(1)c=1時，數(shù)列 an為等差數(shù)列；(2)d=0時，數(shù)列 an為等比數(shù)列；(3)C 1且d0時，數(shù)列an為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定

8、系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.待定系數(shù)法：設(shè)an1C(an )得an 1can (C1),與題設(shè)an 1 Cand,比較系數(shù)得(C 1)d,所以-d7，(CC 1所以有:an 宀C(anC 1因此數(shù)列an -Ca1構(gòu)成以1為首項，以C為公比的等比數(shù)列,所以an即:an 1A)Cn1 AC 1C 1規(guī)律:將遞推關(guān)系an 1cand化為anC(an）C 1 ,構(gòu)造成公比為C的等比數(shù)an 列已從而求得通項公式an 1逐項相減法（階差法）：有時我們從遞推關(guān)系an 1Cand 中把 n 換成 n-1 有 an Can 1 d兩式相減有an 1anC（an an 1）從而化為公比為C的等比數(shù)列an 1 an,進

9、而求得通項公式.an 1 an J（a2 aJ,再利用類型（1）即可求得通項公式.我們看到此方法比較復(fù)雜2），求數(shù)列an的通項公式。例 6 已知數(shù)列an中，a1 1,an 2an 1 1(n解法一：Qan2an 1 1(n 2),an 12(an 1 1)又Qai 12, an 1是首項為2,公比為2的等比數(shù)列an12n即 an 2n 1解法二：Qan 2an 11(n 2),an 1 2an兩式相減得an1an2( anan 1 )(n2），故數(shù)列 an 1 an是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，再用累加法的練習.已知數(shù)列an中,ai2, an 111an12 '求通項an 。答案：a

10、n（2）12 .形如：an 1 P anqn（其中q是常數(shù)，且n 0,1）若p=1時，即：an 1an，累加即可.若P 1時，即：ananqn求通項方法有以下三種方向:i.兩邊同除以n 1p .目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列an 1 ann 1n即: p q丄&bn 1 bn 丄（衛(wèi)）n，則p q,然后類型1,累加求通項.n 1ii.兩邊同除以目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列。即:an 1 Flqan1nqqbn令annq ,則可化為bn1 Pbn 1qq .然后轉(zhuǎn)化為類型5來解,iii.待定系數(shù)法：目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列n 1/設(shè) an 1 q P(ann P丿.通過比較系數(shù)，

11、求出，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項注意：應(yīng)用待定系數(shù)法時，要求P q,否則待定系數(shù)法會失效。例7已知數(shù)列an滿足an 12an 4 3a1 1，求數(shù)列an的通項公式。解法一（待定系數(shù)法）:設(shè)an13n2(an3n1)，比較系數(shù)得14，22a 4 3n則數(shù)列 n是首項為ai4 31 15，公比為2的等比數(shù)列,A n 1所以an4 35 2n 1即an4 3n 15 2n 1解法二（兩邊同除以1）：an解法三（兩邊同除以1):（2003天津理）設(shè)ao為常數(shù)兩邊同時除以兩邊同時除以J 13 得:2n1 得:anH3n5(1)n 1 2n1)n3 .形如an 1pa*kn b方法1 :逐項相減法（階差法）方法

12、2:待定系數(shù)法13n1an 12nan 3n 1 2an 1 (n N)nao（ 其中k,b是常數(shù)，且2 a3 3nan2n432，下面解法略-（-）n32 ，下面解法略證明對任意 n >1,0)通過湊配可轉(zhuǎn)化為(anxny)P(an 1 x(n 1) y);解題基本步驟:1、確定f(n) =kn+b2、設(shè)等比數(shù)列bn(anxny），公比為P3、列出關(guān)系式（anxny)p(an 1 X(n 1) y),即 bnpbn 14、比較系數(shù)求x,y5、解得數(shù)列（an xn y）的通項公式6、解得數(shù)列 an的通項公式例8在數(shù)列an中，a11'an13an2n，求通項an.（逐項相減法）解:

13、an 1 3a n 2n,n 2 時，an 3an 12(n1)兩式相減得 an 1 an3(anan1）2 令 bn a n 1an ,則 bn3bn 1 2利用類型5的方法知bn3nan 1an5 3n1 15再由累加法可得an 2亦可聯(lián)立an解出例9.在數(shù)列 an中,ai|，2anan6n 3,求通項an.（待定系數(shù)法）解：原遞推式可化為 2（anxn y) an1 x(n1)比較系數(shù)可得：x=-6,y=9,上式即為2bnbn 1所以bn是一個等比數(shù)列，首項b1 a6n 92,公比為b 9 1、n bn芫)即:91an 6n9 9 (2)n故 an9 (2)n 6n4.形如 an 1 p

14、an a2 .n b n c (其中a,b,c是常數(shù)，且a 0)基本思路是轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個函數(shù)。例10已知數(shù)列an滿足an 1 2an3n22(an4n 5, a1解：設(shè) an 1 x(n 1)2 y(n1) zxn2yn比較系數(shù)得x 3,y10,z18 ,所以 an 13(n1)210(n1) 182(an3n210n由 q 3 12 10 1 18131320 ,得an3n21，求數(shù)列an的通項公式。Z)18)伽 180則 an 1 3(n Y一10(n B 18 2，故數(shù)列an 3n 10n 182an 3n 10n18為以a13 12 1

15、0 1 18 13132為首項，以2為公比的等比數(shù)列，因此an 3n210n18322n1，則 an2n43n210n18。5.形如 an 2 pan 1 qan時將an作為f (n)求解分析：原遞推式可化為an 2an 1(p )(an 1an)的形式，比較系數(shù)可求得，數(shù)列an 1 an為等比數(shù)列。例11已知數(shù)列an滿足an 25an 16an,a11,a22，求數(shù)列an的通項公式。解.設(shè) an 2an 1(5)(an1an)比較系數(shù)得3或2，不妨取2，（取-3結(jié)果形式可能不同，但本質(zhì)相同）則 an 22an 13(an 12an)，則 an 12an是首項為4，公比為3的等比數(shù)列an 1

16、2an 4 3 ，所以an4 3n15 2n1練習.數(shù)列 an中，若a18,a22,且滿足an2 4an 13an 0 求 an答案：an 113r四、迭代法 an 1 pan（其中p,r為常數(shù)）型例12已知數(shù)列an滿足an 1an3（n1）2n，015，求數(shù)列%的通項公式。3( n 1)2 n解：因為an 1 an所以3n 2anan 1r 3(n 1)2n 2 Jn 2n 1an 2a32(n 1) n 2(n 2) (n 1)2a2) 2n3 32(n 1) n 2(n 2) (n1)33(n an 32)(n"n 2(n 3) (n 2) (n 1)2 3L L1 2 L L

17、(n 2) (n 1)n2(n3)(n 2)(n 1)n (nn! 21)23“ 1又45，所以數(shù)列an的通項公式為an 5n(n 1)n! 2 2注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式。例13. （ 2005江西卷）1已知數(shù)列an的各項都是正數(shù),且滿足：a0 1,an12an（4 an），n N（1）證明務(wù) an 12,n N;（2）求數(shù)列an的通項公式an.12an解：（1）略（2）12an(4an)fl (an2(an12)(an2)2令bnan2,則 bn-bn 122(422)22(-)2bn2；11 2*bn又 bn= 1,所以bn1 2n 1(2)即 an 2bn

18、 2方法2:本題用歸納-猜想-證明，也很簡捷,請試一試.解法3:設(shè)cnbn，則上面類型（1）來解五、對數(shù)變換法 適用于an 1 Pan(其中p,r為常數(shù)）型p>0 ，an例14. 設(shè)正項數(shù)列an滿足a11, an2a； 1（n>2）.求數(shù)列an的通項公式.解：兩邊取對數(shù)得:log an12 log an 1log an1 2(logan11)，設(shè) bnlog? 1，則bn2bn 1bn是以2為公比的等比數(shù)列,b1 log；11bn12n1log；2n1log；2n 12n1- an 2練習數(shù)列an 中,a1an2Jan 1( n>2),求數(shù)列 an的通項公式.答案：an22

19、22 n例15已知數(shù)列an滿足an2 3n a；，a1 7，求數(shù)列a.的通項公式。解：因為 an 12 3n a；, a17，所以 an0,an 1兩邊取常用對數(shù)得Ig an1 5Ig annlg3lg2設(shè) Ig an 1 x(n1) y5(Ig anxn y)(同類型四)比較系數(shù)得,Ig34,yIg376Ig24由 Ig aiIg34Ig316Ig24Ig7號lg3 Ig 2160,得 IganIg3r Ig3 Ig2所以數(shù)列Ig anIg316則 Ig anIg3 n4Ig3 Ig 216Ig an(Ig7Ig(7Ig(7則anIg316Ig34Ig3 Ig3 Ig 2是以Ig 74為首項

20、，以45為公比的等比數(shù)列,(Ig7416)5n 1，因此4Ig3 Ig3 Ig241 34 31134 3花Ig(75n 15n 111616124)5n 11cn 124)55n 4n 135n 4n 116六、倒數(shù)變換法例16已知數(shù)列解：求倒數(shù)得an七、換元法空n聖n 11|g(3刁 3 2刁)n 11Ig(34 3 24)5n 1Ig245n1 12)5n 1 12丁 。適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項an滿足anan 11),2 a2an-,a11，求數(shù)列2an的通項公式。anananan 1an12'an 1111一 為等差數(shù)列，首項 1，公差為一，ana12適用于含根

21、式的遞推關(guān)系1例17已知數(shù)列an滿足an 1(1164an J1 24an), a1 1，求數(shù)列務(wù)的通項公式。解：令bnJ124an，則 an2>21)代入an 14a n/24an)得1)1押142>2 U bn即 4b： 1(bn3)2因為bn24an則 2bn 1bn3，即bn可化為bn3 2(bn3),所以bn3是以d 3J1 24q 371 24 132為首項，以丄為公比的等比數(shù)列，因此2bn爭中2，則bn (新24an1(尹3，得an八、數(shù)學歸納法通過首項和遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前法加以證明。n項,猜出數(shù)列的通項公式，再用數(shù)學歸納例18已知數(shù)列an滿足an 1 an8(n

22、 1)2 2， a1(2n 1)2(2 n 3)28-，求數(shù)列an的通項公式。9解：由an 1an8(n 1)2 2(2n 1) (2n 3)及a18，得9a2a3a48(1 1)8 8224(211)2(2 13)29 925258(2 1)248348(221)2(2 23)2252549498(3 1)488480(231)2(2 33)249498181a1a2a3(2n“ " 1，下面用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)論。(2n 1)2由此可猜測an(1)當 n1 時a1 V/ 11)28，所以等式成立。ak 1假設(shè)當n k時等式成立,8(k 1)ak(2 k 1)2(2k 3)2(2

23、 k 1)2 1(2k 3)2即ak，則當k 1時,8(k 1)(2k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2(2 k 3)2 1(2k 3)22(k 1) 12 12(k 1) 12由此可知，當n k 1時等式也成立。根據(jù)（1）, （2）可知，等式對任何 n都成立。九、階差法（逐項相減法）1、遞推公式中既有Sn,又有an分析：把已知關(guān)系通過 an3，n& Si 1,n轉(zhuǎn)化為數(shù)列2an或Sn的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求解。例19已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且前n項和Sn滿足Sn16(an 1)(an 2)，且a2,a4,a9成等

24、比數(shù)列，求數(shù)列an的通項公式。解：對任意1)(an2)當 n=1 時,S11a1 6® 1)(a12），解得a11或a12當nA2時,Sn 116(an1 1)(an12)-整理得:(anan 1 )(an an 13)0 an各項均為正數(shù)， an an 13當a,1時，an 3n 2，此時a：a2a9成立2當42時，an 3n 1，此時a4a2a9不成立，故a,2舍去所以an 3n 2練習。已知數(shù)列an中，an0 且 Sn (an221),求數(shù)列an的通項公式.答案：Sn Sn 1 an(an 1)2(an1 1)2an 2n 12、對無窮遞推數(shù)列例20已知數(shù)列an滿足ai1,an

25、 a1 2a23a3L (n1)an i(n 2)，求an的通項公式。解：因為 an a1 2a2 3a3(n 1)an1(n2)所以 an 1 a1 2a23a3(n 1)an 1nan用式-式得an 1annan.則 an 1 (n 1)an(n2)an 1故 nan1(n2)所以ananan 1an 1an 2a3a2a2n(n 1) L 43a2n!2 %由ana1 2a2 3a3 L(n 1)an 1(n則a21，代入得an1 3 4 5 Ln所以，an的通項公式為n! an T.2)，取 n2得a2a1 2a2，則 a2 a1，又知 a1 1 ，n!o2十、不動點法目的是將遞推數(shù)列

26、轉(zhuǎn)化為等比(差)數(shù)列的方法不動點的定義：函數(shù) f(x)的定義域為D,若存在f(x)x0D，使f (Xo) Xo成立，則稱Xo為f(X)的不動點或稱(Xo, f(X0)為函數(shù)f(X)的不動點。12分析：由f(X)X求出不動點X0，在遞推公式兩邊同時減去 X0，在變形求解。類型一：形如an 1qan d例21已知數(shù)列an中，a11,an2an11(n2)，求數(shù)列an的通項公式。解：遞推關(guān)系是對應(yīng)得遞歸函數(shù)為f(x) 2x 1，由f (X) X得，不動點為-1an 1 12(an1),類型二：形如ana anbc and分析：遞歸函數(shù)為(1 )若有兩個相異的不動點f(x)c X dp,q時，將遞歸關(guān)

27、系式兩邊分別減去不動點p,q，再將兩式相除得an 1 Pan 1k色，其中qan qa p c(ag p q)kn 1 (aj pq)，- ana qc(a p) kn 1 (ai q)若有兩個相同的不動點P,則將遞歸關(guān)系式兩邊減去不動點P,然后用1除，得1k，其中an 1 P an P2c。d例22.設(shè)數(shù)列an滿足a12, an 15an2a n4,求數(shù)列an的通項公式.分析：此類問題常用參數(shù)法化等比數(shù)列求解 解：對等式兩端同時加參數(shù) t,得：an 15an 42an(2t5)an 7t72an(2t5)an2an7t 42t 5 ,77t2t解之得t=1,-2代入an(2t 5)討得an

28、1an92an 7相除得an 11an 12anana11a12公比為1的等比數(shù)列，電一 =1 31 n3an2 4解得an4 3n771 1方法2:an 11an 132an 7兩邊取倒數(shù)得1an 112an 731)2(an 1)923 _13( an 1)3 an令bnan1，則bn13bn,轉(zhuǎn)化為累加法來求.例23已知數(shù)列an滿足an21an4an 124,a14，求數(shù)列an的通項公式。解：令21x 24，得 4x24x 120x 240 ,則 x12， X23是函數(shù)f（x）21x 24的兩個不14x動點。因為an 12an21an 2424an 121an 244a na1 2a13

29、an練習1：已知答案：an21an 24 2(4an 1)n21a：243(4an 1)13%269an 2713aan22。所以數(shù)列3是an 3an滿足2,anan3n ( 1)n3n(1)n練習2。已知數(shù)列13為公比的等比數(shù),故an312an2-(n 2)，求an的通項1anan滿足 a12, an12an 1 (n N*)，求數(shù)列an的通項an4an 65n答案：an盎6練習3. （2009陜西卷文）已知數(shù)列 aj滿足，a1=1a2 2,an+ 2=令 bnan 1an，證明：bn是等比數(shù)列;（n）求an的通項公式。答案：（1 ） bn是以1為首項,1為公比的等比數(shù)列。（2） an -

30、-（ -）n1（n N*）。2332。特征方程法形如an 2p an 1 qan （p ,q是常數(shù)）的數(shù)列形如 a1m1, a2m2, an 2pan 1 qa. （p, q是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項an ,其特征方程為2X px q若有二異根，則可令anC1 nQ （Ci, C2是待定常數(shù)）若有二重根，則可令an（C1nc2）n（Ci,C2是待定常數(shù)）再利用a1 m1,a2m2,可求得Ci,C2，進而求得an例24已知數(shù)列an滿足ai 2, a23, an 2 3an 12an（n N ），求數(shù)列務(wù)的通項a.解：其特征方程為x2 3x 2，解得Xi1,X2anC11nJC2

31、 2 ，由a1a2C1 2c2G 4c22，得G3C2an2n例25已知數(shù)列an滿足a11,a22, 4an 24an 1an(n求數(shù)列an的通項an解：其特征方程為4x24x1，解得X1 X2anC1a1(C1 C2)由a2 (C1 2c2)1214CiC2an3n 2練習1.已知數(shù)列an滿足a11,a22,4an 24an 1an 1(n N），求數(shù)列an的通項練習2.已知數(shù)列an滿足a11,a22,4an2 4an 1 a. n4(nN ），求數(shù)列an的通項說明:（1）若方程X2 px q有兩不同的解則 an 1 tans(an tan 1), an 1 sant (an san 1 )

32、,由等比數(shù)列性質(zhì)可得an 1tan (a2tajs"an 1/X. n 1san(a2 sa1)tt s,由上兩式消去an 1可得ana2 ta sn.sa2t s(2)若方程x2pxq有兩相等的解t,則an 1tans antan 1s2(antan 2)a2 ta1an 1n 1sannsa2ta12sOnns是等差數(shù)列,由等差數(shù)列性質(zhì)可知annsa1sa1 2 s所以aa na2 sa12sa22ssa1.n例26、數(shù)列an滿足a1an解:anan29254anan2an十,an則lg an 1an所以lg anan2541254an 12an2an2542942ana225a

33、n 4_2942942an2 an解得1,an求數(shù)列an的通項。25A2an 294，將它們代回得,4254an2an2254294,2541anan25412ig2n254an 1an,數(shù)列anlg an2541成等比數(shù)列，首項為 1,公比q=2an1，則一254an 12n 1102an25 “1042n 110212n 1十二、四種基本數(shù)列1.形如ananf(n)型等差數(shù)列的廣義形式，見累加法。2.形如也anf(n)型 等比數(shù)列的廣義形式，見累乘法。3.形如an 1anf(n)型門)若an1an d (d為常數(shù))，則數(shù)列 an為“等和數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為2，其通項分奇數(shù)項和偶

34、數(shù)項來討論(2)若f(n)為n的函數(shù)(非常數(shù))時，可通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為an 1anf(n)型，通過累加來求出通項;或用逐差法(兩式相減)得an 1an 1 f (n) f (n 1),分奇偶項來分求通項例27.數(shù)列 an滿足a10, an1 an 2n ,求數(shù)列an的通項公式.分析1 ：構(gòu)造轉(zhuǎn)化為an 1anf(n)型解法1：令bn(1)nan則bn1bn(1)n1)nan1)n1(an 1 an)( 1)n 12n.bn2(1)n(n1)1)n1(nn為偶數(shù)時，bn2 (n 1)bn2(bnan所以 anan 1an2nbnbnb2b12)bn 1bnb1a1(1)n 2時,anan2(n 1)

35、，a1 , a3 , a5 ,構(gòu)成以31,為首項,(1)n 2(n 1)2 ( 1)n1(1)2 2 10(1)3 2兩式相減得：an 12(n 2)(1)2 1此時ananan 1以2為公差的等差數(shù)列；bn n當n為奇數(shù)時，解法 2a2,a4,a6,構(gòu)成以a2,為首項，以2為公差的等差數(shù)列a2k 1a1(k 1)d 2ka2ka2 (k 1)d 2k.n an1, n為奇數(shù), n, n為偶數(shù).評注：結(jié)果要還原成 n的表達式.例28. ( 2005江西卷)1Sn Sn-2=3 ( )(n2解：方法一：因為 SnSn 2 an an 1 所以 anan 13 (2)n1(n 3)，已知數(shù)列an的

36、前n項和Sn滿足33),且S1 1,S2-,求數(shù)列an的通項公式.2以下同上例,3 (1)n1,n為奇數(shù)，答案an24 3 (1)n1,n為偶數(shù).24.形如 an 1 anf(n)型門)若an 1 anP (p為常數(shù))，則數(shù)列 an為“等積數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為2,其通項分奇數(shù)項和偶數(shù)項來討論(2)若f(n)為n的函數(shù)(非常數(shù))時，可通過逐差法得anan1f (n 1)，兩式相除后，分奇偶項來分求通項.例29.已知數(shù)列1 *an滿足a1 3, an an 1 (-)n, (n N *),求此數(shù)列的通項公式.2注：同上例類似,5.形如pSn略.f (an)型(1)若f(an)是常數(shù)，同

37、題型1. 若f(an)是一次式同題型1(3)若f(aj是二次式。數(shù)列，且 10 Sn=an2 5an 6，求數(shù)列an的通項公式解：10 Sn=an25an 62 10a1 a15a16,解得a12或 a13.又 10 Sn 1=an 125an 16 ( n2),-,得10an(anan 1 )5(anan 1)，例1. (2006年陜西理20)已知正項數(shù)列an，其前n項和Sn滿足ai,a3,ai5成等比an .即(an an 1)(anan 15)0. an an 10, anan 15(n 2).當a13時，a313, a1573.此時a1,a3,a15不成等比數(shù)列，a13.當a12時，a

38、312, a15272.此時有a3&1印5. a12. an5n 3 .評注 ：該聊田S1(n 1)題用an,c、即an 與 SnSn Sn1(n2)anSnSn 1f (an)f (an 1).f (Sn 1)消去an的方法求出f(Sn)的關(guān)系消去Sn,求出an,也可用SnSn再求an.例2.(2007年重慶理科21)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和Sn滿足Si 1 ,且6Sn(an1)(an 2)， n求an的通項公式;(n)設(shè)數(shù)列bn滿足an(2bn 1) 1，并記Tn為0的前n項和,求證:3Tn 1Iog2(an 3), n N .1解由ai S1 一6由假設(shè)a1 S1 1

39、,因此a1解: (I )1)(a12),解得a11或a12 ,1又由an1 Sn1 Sn -(an11)(an12)11(an1)(an 2),得(an1 an)(an1 an 3) 0，即an 1 an0 或 an 1 an ,因an 0，故an 1 an不成立，舍去.因此an 1 an3，從而an是公差為3 ,首項為2的等差數(shù)列,故an的通項為an 3n 1 .(II )證法一：由 an(2bn13n1) 1 可解得 bn log 2 1 log 2a23n 1從而 Tn b1 b2 Lbnlog 22 5 3n 1因此3Tn1 log2(an 3),3 6logT 53n3n 1令 f (n)3 6 3n L 2 5 3n 13n則 f(n D f(n)3n 2 3n3n 5 3n(3n3)2(3n 5)(3n 2)2 '因(3n3)3(3n 5)(3n2)2故 f(n 1)f(n).特別地f(n)f(1)l0，從而3Tn1 log2(an3) log2 f (n)0 即3Tn1 log2(an 3).證法二：同證法一求得bn及Tn ,由二項式定理知，當c 0時，不等式(13c)3c成立.由此不等式有3Tn 1 log2 21 33n 1log 2