空間中的垂直關系(帶答案)

1、知識梳理一、線線垂直:如果兩條直線兩條直線互相垂直.二、線面垂直:空間中的垂直關系于一點或經過1.定義：如果一條直線和一個平面相交，并平面內的專題訓練后相交于一點，并且交角為，則稱這面垂直.也就是說，如果一條直線垂直于一個平面,且和這個，則稱這條直線和這個平么他就和平面內任意一條直線都.直線I和平面a互相垂直，記作I丄a .2.判定定理：如果一條直線與平面內的直線垂直,則這條直線與這個平面垂推論：如果在兩條平行直線中,有一條垂直于平面，那么另一條直線也于這個平面.推論：如果兩條直線同一個平面，那么這兩條直線平行3.點到平面的距離:長度叫做點到平面的距離三、面面垂直:1.定義：如果兩個相交平面的

2、交線與第三個平面，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線a,，就稱這兩個平面互相垂直.平面a,3互相垂直，記作2.判定定理:如果一個平面經過另一個平面的，則這兩個平面互相垂直3.性質定理:如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于直線垂直于另一個平面.四、求點面距離的常用方法:1.直接過點作面的垂線，求垂線段的長，通常要借助于某個三角形2.轉移法：借助線面平行將點轉移到直線上某一特殊點到平面的距離來求解3.體積法：利用三棱錐的特征轉換位置來求解題型一線線垂直、線面垂直的判定及性質 例1.如圖，在四棱錐 P-ABCD中，P從底面ABCD AB丄AD,AC丄CD, / ABC=60°

3、;,PA=AB=BC,E是 PC的中點.求證: (1)CD丄 AE;(2)PD丄平面ABE.證明；C：) -卩衛(wèi)_底頁ABCD, IPA_匚0, 5AC_CD.卩A"AC=A,故匚D亠平面PAC 又AE匸平面PA匸；CD_AE（II）由題意：AB_AD,佃_平西PAD,從而AS_PD 又且丄ABC = 60°!一 .ACW,從而AC=P扎又匚為兀之中點址-兀-由（0 AE_tD, .AE-平茴PCD,從前AE_PD yABrAE=A,故PD_平面ABE.【變式1】已知:正方體ABCD- A1B1C1D1，AA1=2，E 為棱 CO 的中點.求證:B1D1 丄 AE;求證:A

4、C/ 平面 B1DE.【解答】（I)連接 BD,則 BD/ B1D1, / ABCD是正方形，/ AC丄 BDC1CE丄平面ABCD, BD 平面 ABCD, / CEl BD.又 AS CE=C 二 BD 丄面 ACE / AE 面 ACE,； BD 丄 AE, / BiD11 AE.-(5 分)中,又AF/）證明：取BB1的中點F,連接AF、CF、EF. E、F是C1C、B1B的中點,CE/ B1F且CE=BlF, 四邊形B1FCE是平行四邊形，.E、F 是 CC BB 的中點， EF/ BC且 EF=BCCF/ B1E. / 正方形 BB1C1CBC/ AD且BC=AD, E F/ AD

5、且EF=AD 四邊形ADEF是平行四邊形，可得ED, /AFn CF=C BEn ED=E平面 ACF/ 平面 B1DE.又AC平面 ACE AC/面 B1DE.【變式2】如圖，已知四棱錐P-ABCD,底面 ABCD為菱形，P從平面 ABCD / ABC=60 ,點E、G分別是CDPC的中點，點 F在PD上，且PF: FD=2:(I )證明：EA丄PB;(n )證明：BG /面 AFC.而 ABA PA=A所以EA丄面PAB 所以EA丄PB.(n )取 PF 中點 M，所以 PM=MF=FD .連接 MG , MG / CE 所以 MG/ 面 AFC.連接 BM, BD,設 ACn BD=O

6、連接 OF,所以BM / OF,所以BM /面AFC.而 BMA MG=M所以面BGM /面AFC,所以BG /面AFC.CPM【變式3】如圖，四棱柱 ABCD- A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，AiO丄平面 ABCD, AB衛(wèi),AA1=2.(1)證明：AA1丄 BD(2)證明：平面A1BD/平面CD1B1;(3)求三棱柱 ABD- A1B1D1的體積.【解答】(1)證明：底面ABCD是正方形， BD丄AC,又A1O丄平面 ABCD且 BD面 ABCD, / A1O丄 BD,又A1On AC=O A1O 面 A1AC, AC 面 A1AC,BD丄面 A1AC, AA1 面

7、 A1AC, / AA1 丄 BD.邊形,C1AA1B1/ AB, AB/ CD, / A1B1 / CD,又 A1B仁CD,二 四邊形 A1B1CD是平行四A1D/ B1C,同理 A1B/ CD1, / A1B平面 A1BD, A1D 平面 A1BD, CD1 平面 CD1B1, B1C平面 CDiB,且 A1BnA1D=A1, CDQB1C=C . 平面 A1BD/平面 CD1B1.（3） A10丄面 ABCD,A10 是三棱柱 A1B1D1 - ABD 的高, 在正方形 ABCD中，AO=1 .在 Rt A1OA 中，AAi=2, A0=1,A103, V三棱柱abd-A1B1D1=Sa

8、abda10 （近）三棱柱ABD- AiBiDi的體積為【變式4】如圖，三棱柱 ABC- A1B1C1中，側棱AAi丄底面ABC, AB=BC=AC=AA=4,點F在CC|上，且C1F=3FC E是BC的中點.（1）求證：AE丄平面BCC,B1求四棱錐 A- B1OFE的體積;【解答】（1 ）AB=AC, E是BC的中點,S證明：B1E丄AF.AE 丄 BC.在三棱柱 ABC- A1B1C1，中，BB1/ AA1,BB1丄平面ABC,AE平面ABC,BB1 丄 AE,.（2 分）又BB1n BC=B .（3 分）BB1, BC 平面 BB1C1C,-EabBEAE丄平面BB1C1C,.（4分）

9、（2）由（1 ）知，即AE為四棱錐A-B1C1FE的高，在正三角形 ABC中,在正方形BBCC中，CE=BE=2 CF=1四邊形1時遠方形Sacfe=4 対+乂 2裒 4 一+>< 2 XI =11.（6 分）1 1 %-比匚四邊形巧sfeae矛XII匯2/ _3（7分）（3）證明：連結 BiF,由（1）得 AE丄平面 BB1C1C, B1E 平面 BB1C1C, AE丄 BlE,.（8分）在正方形 BB1C1C，中，B1F彳B &' + 5護=5, B1E寸BEBB 2=，EF譏 + CF 2應, B1F2=B1E2+eF2, - B1E丄 EF.（9 分） 又

10、AEn EF=E .（10 分）AE, EF平面 AEF, B1E丄平面 AEF,.（11 分）AF平面 AEE - B1E丄 AF.（12 分）【變式5】如圖，四棱錐 P-ABCD中，PD丄 平面ABCD底面ABCD為正方形，BC=PD=2E為PC的中點，G在BC上，且 CGgCB（1）求證：PC丄 BC;（2）求三棱錐C- DEG的體積;AD邊上是否存在一點 M，使得PA/平面MEG若存在，求 AM的長；否 PA/ 平面 MEG.在正方形 ABCD中，/ O是AC的中點，BC=PD=2 CGCB. J OCWA0AM,. AM=CG,3 所求AM的長為暮【變式6】如圖所示，在三棱柱 ABC

11、- A1B1C1中，BB1丄底面AlBlCl, A1B1丄BlCl且AiBi=BBi=BiCi, D 為 AC的中點.(I )求證:AiB 丄 AC1(n )在直線CC|上是否存在一點 E,使得AiE丄平面AiBD,若存在，試確定 E點的位置;若不存在，請說明理由.【解答】(I)證明：連接ABiBB1丄平面A1B1C1BiCl 丄 BB1BiCl 丄 A1B1 且 A1 B1 AB B1=B1B1C1 丄平面 A1B1BAA1B丄B1C1 .又 A1B丄AB1 且 AB1AB1C1=B1 A1B丄平面 AB1C1A A1B丄 AC1(n )存在點E在CC1的延長線上且 CE=2CC時,A1E丄

12、平面A1BD.設 AB=a, CE=2a, /AIE 二 a.,D二捂茁 DE=毎"卜1 時+ 衍1)2二2_"2BD丄 AC, BD丄 CQ, ACA CC=C, a BD丄平面A1E 平面 ACC1A1 A A1E丄 BD.又 BDAA1D=D , .A1E丄平面A1BD二 A1E 丄 A1D 州ZACCi A1,又【變式7】如圖，在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，AC=3, BC=4, AB=5,點D是AB的中點.(1)求證：AC丄BG；(2)求證：ACi/ 平面 CDB1.所以CiC丄 平面ABC,所以CiC丄AC.【解答】證明：(1)因為三棱柱ABC- A1B

13、1C1為直三棱柱,又因為 AC=3, BC=4, AB=5,所以 aC+b(2=ab2,所以AC丄BC.又Cicn BC=C所以AC丄 平面CCBiB,所以AC丄 BCi.(2)連結GB交CBl于E,再連結DE,由已知可得E為CiB的中點，又/ D為AB的中點, DE 為 BACi 的中位線. AC1 / DE。又/ DE平面 CDB1, AC1 平面 CDBV. AC1 / 平面 CDB1.【變式8】如圖，直三棱柱 ABC- A1BIC1中，AA1=2AC=2BC D是AA1的中點，CD丄B1D.(1)證明：CD 丄 B1C1;(2)平面CDB,分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.【解答】

14、(1 )證明：由題設知，直三棱柱的側面為矩形,Id由D為AA1的中點，貝U DC=DQ ,又 AA1=2AC，可得 DC12+DC2=CO2,DG,而CD丄B1D, B1Dn DC=D,平面B1C1D,由于B1C1平面B1C1D, 故 CD丄 B1C1;(2)解：由(1)知，CD丄 B1C1,且B1C1丄C1C,則B1C1丄平面ACOA1,設V1是平面CDBl上方部分的體積，1133 13V2是平面CDBl下方部分的體積，則 V1=VB1-CDA1C巧SCDA1CB1C1卡 虧B1C1 B1C1 , V=VABC-A1B1C=CBCCC=B1C13，貝y V2=V- V1 冷B1C13=V1,

15、故這兩部分體積的比為1： 1.【變式9】如圖所示，在長方體 ABCD- A1B1C1D1中，已知底面是邊長為 2的正方形，高為1，點E在B1B上，且滿足 B1E=2EB(1)求證：D1E 丄 A1C1;(2)在棱B1C1上確定一點F,使A、E、F、D1四點共面，并求此時B1F的長;又 Die平面 BBiDiD，所以 DiE丄AiCi. - (4 分)（n ）解：連結BCi,過E作EF/ BC1交B1C1于點F.因為 ADi / BC1，所以 AD1 / EF.所以A、E F、Di四點共面.即點F為滿足條件的點.又因為 B1E=2EB所以B1F=2FO,所以 E1F 詣（8 分）（川）解：四邊形

16、 BEDid為直角梯形，幾何體 ABEDD為四棱錐A- BEDD.，點A到平面BEDid的距離3所以幾何體 ABED| D的體積為:1 0Va-二了(13 分)題型二面面垂直的判定 例2.如圖，在三棱錐 PABC中，PA丄底面ABC,A ABC為正三角形,D、E分別是BC、CA的中點.(1)求證：平面 PBE1平面PAC;(2)如何在BC上找一點F,使AD/平面PEF并說明理由.C（1 J iiBfl ：3E 二匱-PA丄門廿）y AABCJI T三呈 Ifg，且EK）AC 的中點，-3E 丄CA* （£升）又？+'3E丄平囲PM* m并】BE 匚平iSPBE平®F

17、tE丄甲歯P AC. Ml（II I ：取CD鈉中點"連遵EF，則F即藥所VH.別尚匚占，CD的沖點+'2卩& （S 分）又莎二平直匹叭4 :2平面PEA'初4"平而卩FF* t【n甘、【變式1】如圖，四邊形 ABCD為菱形，G為AC 與BD的交點，BE丄平面 ABCD.證明：平面AEC丄平面BED.【解答】 證明：（I）T四邊形 ABCD為菱形，迪 AC丄BD,v BE丄平面 AC丄BE,貝U AC丄平面平面 AEC丄平面 BEDABCD,BED,. AC 平面 AEC,EG3DEF- ABC 中，AB=2DE, G,(1) 求證：BD/平面FGH

18、;(2) 若CF丄BC, AB丄BC 求證：平面 BCD丄平面EGH【變式2】如圖，三棱臺H分別為AC, BC的中點.【解答】 在三棱臺 DEF- ABC中，AB=2DE, G為AC的中點. DF “ GC,；四邊形CFDG是平行四邊形,:.DM=MC .又 BH=HC MH / BD, 又 BD平面 FGH, MH 平面 FGH, BD/平面 FGH;證法二：在三棱臺 DEF- ABC中，AB=2DE, H為BC的中點.BH“EF,；四邊形BHFE為平行四邊形. BE/ HF.在 ABC中，G為AC的中點，H為BC的中點，二GH/ AB,又GHT HF=H,a平面FGH/平 面 ABED,

19、/ BD平面 ABED, BD/平面 FGH.（II）證明：連接 HE,T G, H 分別為 AC, BC 的中點，二 GH/ AB,； AB 丄 BC,： GH 丄 BC, 又 H 為 BC 的中點， EF/ HC, EF=HC EFCH是平行四邊形，二 CF/ HE.CF丄 BC,. HE丄 BC.又 HE, GH 平面 EGH, HEH GH=H, BC丄平面 EGH,又BC平面BCD, 平面 BCD丄平面 EGH【變式3】如圖所示，已知 AB丄平面BCD M、N分別是AC AD的中點，BC丄CD. 求證：平面 BCD丄平面 ABC.【解答】因為AB丄平面BCD, CD平面BCD,所以A

20、B丄CD.又 CD丄 BC, ABA BC=B 所以CD丄平面ABC.又CD平面BCD,所以平面BCD丄平面ABC.【變式4】如圖，已知在四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形， PAD是正三角形，平面 PAD丄平面ABCD, E, F, G分別是PD, PC, BC的中點./)(1)求證：平面 EFG丄平面PAD(2 )若M是線段CD上一點，求三棱錐 M - EFG的體積.【解答】(1 )平面 PAD丄平面ABCD,平面PACT平面ABCD=ADCD 平面 ABCD, CD丄 AD CD丄平面 PAD- (3 分)又 PCD中，E、F分別是PD PC的中點， EF/ CD,可

21、得 EF丄平面 PAD EF平面 EFG 二平面 EFG!平面 PAD - ( 6 分)(2 ) EF/ CD, EF平面 EFG CD 平面 EFG CD/平面 EFG因此CD上的點M到平面EFG的距離等于點 D到平面EFG的距離，- Vm -efgfVd-efg 取 AD 的中點 H 連接 GH、EH,貝U EF/ GH, EF丄平面 PAD EH 平面 PAD, EF丄 EH于是 SefhEFX EH=2=Sefg 平面EFG!平面 PAD,平面EFGA平面PAD=EH EHD是正三角形 點D到平面EFG的距離等于正 EHD的高，即為"茅，(10分) 因此，三棱錐 M - EF

22、G的體積Vm - efgfVd-efgefG.(12分)(1)(2)(3)【解答】證明：BDE,分)FA【變式5】如圖，已知 AB丄平面 ACD, DE/ AB , AD=AC=DE=2AB=2且F是CD的中點, 求證：AF/平面BCE 求證：平面 BCEI平面 CDE 求此多面體的體積.(1)取 CE中點 P,連接 FP、BP, / PF/且 FP=1 又 AB/ DE,且 AB=1 , AB / FP,且 AB=FP, ABPF為平行四邊形, AF/ BP. (2又 AF 平面 BCE BP平面 BCE - AF/平面 BCE ( 4 分)(2) 證明： AD=AC, F是CD的中點，所以

23、 ACD為正三角形， AF丄CD AB丄平面 ACD, DE/ AB , DE丄平面 ACD,又 AF 平面 ACD, DE丄 AF.又 AF丄CD, CDA DE=D - AF丄平面 CDE又 BP/ AF , BP丄平面 CDE又 BP平面BCE, 平面 BCE!平面 CDE.(3) 此多面體是以 C為頂點，以四邊形 ABED為底邊的四棱錐,等邊三角形AD邊上的高就是四棱錐的高已冷X2X CH-2； 乂翻無(12 分)【變式6】如圖，三棱柱 ABC- A1B1C1的側面AA1B1B為正方形，側面 BB1C1C為菱形，/CBBi=60 ° AB丄 BC(I) 求證：平面 AA1B1

24、B丄平面BB1C1C;(II) 若AB=2,求三棱柱 ABC- A1B1C1體積.【解答】(I)證明：由側面 AA1B1B為正方形，知AB丄BB1 .又 AB丄 B1C, BB1QB1C=B1,. AB丄平面 BB1C1C, 又 AB 平面 AA1B1B,.平面 AA1B1B丄 BB1C1C.(n)由題意，CB=CB，設O是BB1的中點，連接CO, 則CO丄BB1.由(I)知，CO丄平面AB1B1A，且 COBCAB5.c.RA連接ABi，則比7眄春叫CO¥ X心普即AE匚-屮C，- V 三棱柱=M.32 2【變式7】如圖，四邊形 ABCD為梯形，AB/ CD, PD丄平面ABCD,

25、 / BAD=/ ADC=90 , DC=2AB=2a DA祐 a, E 為 BC 中點.(1) 求證：平面 PBC丄平面PDE;P5C(2) 線段PC上是否存在一點F,使PA/平面BDF若有，請找出具體位置，并進 行證明；若無，請分析說明理由.【解答】(1)證明：連結BD, / BAD=90，出=6 DA= 3 a BD=DC=2a, E為 BC中點，二 BC丄 DE;又PD丄平面ABCD, BC平面ABCD BC丄 PD, Dm PD=D. BC丄平面 PDE;/ BC平面PBC 平面 PBC丄平面 PDE;(2)如上圖，連結 AC,交BD于O點，則：COD DC=2AB;.塑 4;DC

26、0C 2在PC上取F,使PFFC;連接 OF,貝U OF/ PA,而OF平面BDF, PA平面BDF;2 PA/平面 BDF.題型三：面面垂直性質應用 例3.如圖所示，在四棱錐P ABCD中,底面ABCD是/DAB=60且邊長為a的菱形，側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD,若G為AD邊的中點.(1)求證：BG丄平面PAD;(2)求證：AD丄PB.證明：u> -ABD為等邊三角形且G為皿的中點,BG_AD交平面PAD _平面AB CD,一 .EG_平面臥D(2)"D是等邊三ft冊且G拘AD的申點.AD_PG且AD亠BG, PGnBG-Gp .£D亠平面P

27、BG, PB二平面PBG, .AD_PBP- ABCD 中，底面 ABCD PAD是正三角形，平面F, G 分別是 PD, PC, BCftPGD£【變式1】如圖，已知在四棱錐是邊長為4的正方形，PAD丄平面ABCD E ,的中點.(1) 求證：平面 EFG1平面PAD;(2) 若M是線段CD上一點，求三棱錐M - EFG的 體積.【解答】(1 )平面PAD丄平面ABCD,平面PADT平面CD丄AD,. CD丄平面 PAD。又PC的中點，PAD. / EF平面 EFG 二平面 EFGABCD=AD CD平面 ABCD,PCD中，E、F分別是PDa EF/ CD,可得EF丄平面 丄平面

28、PADb(2) EF/ CD, EF平面 EFG CD平面 EFG - CD/平面 EFQ因此CD上的點M至呼面EFG的距離等于點 D到平面EFG的距離，a Vm -efc=Vd- efg 取AD的中點H連接GH EH,貝U EF/ GH ,/ EF丄平面 PAD, EH 平面 PAD, a EF± EH于是 S efhEFX EH=2=Sefg 平面 EFG!平面 PAD,平面 EFGT平面 PAD=EH EHD是 2正三角形，.點 D到平面EFG的距離等于正 EHD的高，即為宀亍,因此，三棱錐 M - EFG的體積Vm - efg=Vd-efg吉efG 尋.【變式2】已知點P是菱

29、形ABCD外一點，/ DAB= 60° ,其邊長為a,側面PAD是正三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD, G為AD的中點.求證：AD丄PB;若E為BC邊中點，能否在棱 PC上找一點F ,使平面DEF!平面ABCD并證明你 的結論.解析 證明：連接 BG、P GV四邊形 ABCD是菱形且/ DAB= 60 ° a BG丄AD. 又 PAD為正三角形，且 G是AD中點， PG丄AD./ PGH BG= G,. AD丄平面 PBG又 PB平面 PBG 二 AD丄 PB.(2)當F是PC中點時，平面 DEF丄平面 ABCD.證明如下： 取PC的中點F,連接DE、EF DF在 P

30、BC中，EF/ PB在菱形 ABCD中，BG/ DE.平面 DEF/平面 PGBv平面 PAD!平面 ABCD, PG丄AD；. PG丄平面 ABCD.又PG平面PGB.平面 PGB丄平面 ABCD/.平面 DEF丄平面 ABCD.題型四求點面的距離例4.如圖，已知在長方體 ABCD-aiBiCiDi中，棱A Ai=5, AB=12,求直線BiCi到平面AiBC D的距離.PC的中點.眉B【變式】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA丄平面 ABCD, AP=AB=1, E, F 分另U是 PB,3(I )求證：AE丄 PC;(n)求點A到平面PBD的距離.【解答】(I)證明

31、：/AP=AB, E是PB的中點,/ PA丄平面 ABCD, PA! BC,t AB 丄 BC 且平面 PAB, / AE平面 PAB AE丄 BC, / PBA BC=BAE 丄 PB,PA rAB=A./ BC! AE丄平面 PBC, AE丄 PC - （6 分）(n )解：設點A到平面PBD的距離為d，利用體積法，憐-ADD 二A - PBD 二寺 S 21ABD '卩心奈 PED " d，點A到平面PBD的距離為課后作業(yè)1.對于任意的直線I與平面，在平面必有直線m與IA. 平行B.相交C垂直D.互為異面直線2.若平面 丄平面l，點P ,P丨，則下列命題中的真命題有過P

32、垂直于I的平面垂直于過P垂直于 l的直線在 內;過P垂直于的直線平行于過P垂直于的直線在內.A.B.C.D.3.空間四邊形 ABCD中，若AD丄BC,BD丄AD,那么有()A.平面ABC丄平面ADCB.平面 ABC丄平面 ADBC.平面ABC丄平面BDCD.平面ADC丄平面BDC4.若m,n是兩條不同的直線，a,3, 丫是三個不同的平面，則下列結論中正確的是()A. 若m 3 a丄3,貝U m丄aB若 aQ Y =m , 8門丫 =n , m / n,則 a/BC.若 m ±3 ,m / a 次Ua 丄 BD.若a丄丫，a丄3,貝3丄丫6.如圖所示，四棱錐 P ABCD的底面ABCD

33、是邊長為a的正方形,側棱PA=a PB=PD=72a,則它的5個面中，互相垂直的面有對.7.三個平面兩兩互相垂直，它們的交線交于一點0, P到三個平面的距離分別是3, 4, 5,貝y OP的長為8.已知空間四邊形 ABCD中，AC=AD, BC=BD且E是CD的中點.求證：平面ABE丄平面BCD;(2)若F是AB的中點，BC=AD且AB=8, AE=10，求EF的長.<1> 證明：BC-BD, EE是匚Ci的中點，斫IZIBE亠CC* 目AE-CD, JZAEnBE-e.斫R.fT .平面比RE*所凰平両iRF 一平iiiECn (盼)(2)因奘E皇匚呦中昌 斷隨匚E=ED,由(1) CBE_CD,因為BC=AD.