雙曲線及其標準方程教學設計

1、2014年河南省高中數(shù)學優(yōu)質課大賽人教A版選修1-1雙曲線及其標準方程教學設計鶴壁高中喬肖燕2014年14月喬肖燕 2014 年4月課題：雙曲線及其標準方程授課人：河南省鶴壁市鶴壁高中【教材內容分析】本節(jié)課是高中數(shù)學選修1-1第二章第二節(jié)第一課時的內容，前面有橢圓知識 及學習方法的鋪墊，后面有拋物線學習的延續(xù)，有利于學生掌握和鞏固.三種圓錐曲線中，雙曲線是最復雜的一種.但本節(jié)課的知識難度不是很大，比較易于學 生理解和掌握.【學情分析】 知識結構分析：學生剛剛學習過橢圓，對橢圓有了系統(tǒng)的認知和了解，從定義到方程，從方 程到性質，從性質到應用.雙曲線雖然和橢圓不同，但研究方法是類似的，所以 雙曲線

2、的學習可以說是輕車熟路，但是，教師要引導學生關注橢圓與雙曲線的區(qū) 別和聯(lián)系.能力體系分析：本章對學生的運算能力要求較高，而這恰恰是許多學生的弱點，因此在教學 過程中在培養(yǎng)學生邏輯推理能力、轉化與劃歸能力的同時需著重關注學生的運算 能力.【教學目標】通過雙曲線軌跡的探索過程，體驗雙曲線的特征，探求總結雙曲線的定義； 通過類比橢圓的標準方程，推導并掌握雙曲線的標準方程；通過對雙曲線概念和標準方程的探索，培養(yǎng)學生的觀察和分析能力，激發(fā)學 生探究事物運動規(guī)律，進一步認清事物的本質特征的興趣 .【教學重點】 雙曲線的定義； 雙曲線標準方程的兩種形式.【教學難點】雙曲線標準方程的推導方法及化簡過程.【教具

3、準備】多媒體投影儀，幾何畫板動畫【教學方法】采用啟發(fā)、探究式教學.【教學環(huán)節(jié)】教學內容師生活動設計意圖（一）創(chuàng)設情境感 知 圖 形回顧初中時學 習過的反比例函 數(shù)的圖像；觀察電廠的冷 卻塔圖片，它的軸 截面的外輪廓就 是雙曲線的一部 分.教師引入，學生回憶初中所學 內容；多媒體展示圖片，學生觀察， 實物感知雙曲線的形狀.教師引入課題，告知學生本節(jié) 課的學習目標、學習重點和學習 難點.這一段可由一名學生代表 閱讀.通過學生熟 悉的知識以及 生活中的實例 讓學生感知雙 曲線的形狀， 這樣的兩個例 子簡單、生動， 學生易于接 受.教師手動演示雙曲線的形成過（二）動畫演示引 入 定 義雙曲線是如何 形

4、成的？可以如 何給雙曲線下定 義？借助經典的 拉鏈動畫，引導學 生總結動點在運 動過程中的特征， 從而引入雙曲線 的定義.程，先演示靠近F2的一支,生總結動點特征：由學|mfJ |mf2 常數(shù).并解釋為什么有這樣的特征： 隨著拉鏈的閉攏和拉開，兩條線 段減小或增加的量相等，所以差 值始終是同一個常數(shù).再演示靠近Fi的那一支,然由學生總結特征：|mf2 |mfJ 常數(shù).接著，強調以上兩個常數(shù)是相 等的，兩支曲線合在一起叫做雙 曲線，引導學生把兩個式子合二|mf2常數(shù).為一：MFi并把數(shù)學式子轉化成自然語 言，概述雙曲線的定義：平面內 到兩個定點的距離的差的絕對值 等于常數(shù)的點的軌跡叫做雙曲 線.

5、（此處暫時不說常數(shù)的范圍.）充分調動學 生的積極性， 突出學生的主 體地位，并且 通過總結特征 提高學生的語 言表達能力， 對圖形的認知 能力.學生概述定 義時往往會漏 掉常數(shù)的范 圍，這個問題 暫時保留，下 一個環(huán)節(jié)來解 決。保留常數(shù)的 范圍這一問 題，由學生自 己發(fā)現(xiàn)，方能 印象更加深 刻.教學內容師生活動設計意圖（三）剖析定義剖析定義中的要點： “平面內”三個 字容易漏掉，去掉后 不嚴謹； 由學生發(fā)現(xiàn) “絕對值”三個字的重要性； 常數(shù)是不是像 橢圓中一樣有范圍限 制？如果有的話，是 什么？為什么？剛才給出定義時 沒有加上常數(shù)的范 圍，定義敘述不完整， 所以現(xiàn)在要對定義進 行補充，確保定義

6、的 嚴謹性.最終雙曲線 的定義為：平面內到兩個定第一點教師做提醒；第二點要點撥學生去掉“絕 對值”三個字后點的軌跡會是 什么，學生慎重考慮后應該能 夠找到正確答案：去掉絕對值 后軌跡變成了雙曲線的一支. 之后教師提醒學生做題時需 注意這一點；第三點由學生分組去討論， 然后派代表說明本組的討論 結果，直至解決問題，得到結 論：常數(shù)等于F1F2時，點的軌跡是直線F1F2上以F" F2為端點向外的兩條射線；常數(shù)大于F1F2時，點的點F1> F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)軌跡不存在;（小于|FiF2 I）的點的常數(shù)等于0時，點的軌跡軌跡叫做雙曲線.兩 個定點叫做雙曲線的 焦點，兩焦點間

7、的距 離叫做雙曲線的焦 距.通常情況下，焦距 用2c表示，常數(shù)用 2a表示，顯然這里有 2c 2a 0.是線段F1F2的垂直平分線.以雙曲線和橢圓作比較，兩 類曲線中a和c的大小關系不同，在橢圓中，a c 0,而在雙曲線中，c a 0.要提醒學 生注意.學生的表達 往往不嚴謹， “平面內”這 三個字是很容 易被忽略的， 所以教師要強 調.第二點學 生略作思考， 就能夠意識到 這三個字的重 要性；第三點 對學生而言最 為困難，如果 強硬給出的 話，學生被動 接受，不利于 學生的理解和 掌握，所以我 采取小組討論 的做法，由學 生自己得出范 圍，加深學生 對范圍的理 解.（四）類比橢圓推 導 方

8、程回顧橢圓的標準方 程的推導步驟，推導 雙曲線的標準方程. 標準方程為2 2x y 1 尹丁1.其中a 0,b O.;A ,V橢圓的標準方程有 兩種，雙曲線的方程 在推導時也可以換一 種建系方式，得到另 一種形式的方程：2 y2 aa 0,bo-5O.兩種形式的標準方 程，應該如何判斷焦 點所在軸？學生思考并做答： 在等式右邊是1或其 它正常數(shù)時，焦點在 系數(shù)為正數(shù)的軸上. 這與橢圓判斷焦點所 在軸的方法也不一 樣，同樣要給學生強 調.學生剛剛學習過橢圓，對橢 圓的標準方程的推導過程印 象比較深刻，用同樣的步驟推 導雙曲線的標準方程：建系以直線FiF2為x軸，線段FiF2的垂直平分線為y軸建立

9、平面直角坐標系.設點設雙曲線上任意一點 M坐標為（X, y）,焦距為2c,則Fi( c,0), F2(c,0).常數(shù)記為2a.寫出限制條件MF2列出等式2a.22 I722'(x a) y v(x a) y2a.化簡這一步由學生自己 動手完成，并且找一個學生演 板，最終化簡為2 21a2 c2 a2像橢圓一樣，為了使雙曲 線方程的形式更加簡潔，結合 c a 0,可設 c2 a2 b2,其中b 0（意義講性質時再涉 及）.于是雙曲線的方程可化2 2為聳七 1.這就是焦點在a bX軸上的雙曲線的標準方程， 焦點坐標為 Fi（ c,0）, F2（c,0）.雙曲線與橢圓標準方程中 a、b、c的

10、關系不同，要給學 生強調，這也是今后在做題過 程中學生易混淆的地方.培養(yǎng)學生的 運算能力.通過雙曲 線與橢圓的對 比，學生可以 加深對兩種曲 線的理解.例1、已知雙曲線的焦點 Fi（ 5,0）, F2(5,0),雙曲線上一點到兩焦點的距離之差 的絕對值等于8，求 雙曲線的標準方程.對例題的條件進行 修改，得到如下三個 變式訓練：1、已知 Fi（0, 5）, F2(0,5),動點P滿足(五)例題講解學以致用PFi| |PF2I8.求點P的軌跡方程.2、已知F1(（5,0）,動點5,0）, F2P滿足PFIPF2IP的軌跡方程.8.求點3、已知 F, 5,0）, F2(5,0),動點P滿足|p f

11、J 10.點P的軌跡方程.PFi例2、已知雙曲線的焦點 Fi（0, 6）, F2(0,6),且經過點M(2, 5).求雙曲線的標準方程.例1難度系數(shù)不大，給學 生適當?shù)臅r間，自己去做， 一般情況下學生會在練習本 上直接寫出本題的正確答 案，所以教師要通過投影給 出規(guī)范的解題步驟.三個變式均是對定義的考 查，如果學生對定義中的要 點理解到位，就可以順利地 把三個變式求解出來.教師要強調雙曲線的一支 方程和變式訓練3中兩條射 線的方程應如何表示，這是 易錯點.例2較之例1難度略大， 計算量也稍大，所以要給學 生充分的思考時間.這道題 由兩個學生演板，一般情況 下學生會利用c 6和雙曲線過點M(2,

12、 5)列方程求解，這一方法思路自然，運算較繁； 有些數(shù)學程度較好并且善于 思考的同學會想到利用定義ImF，即 2a，求出MF 1再利用c 6即可求出b,從而雙曲線的方程得以求出，這 一方法相對來講計算量較 小，而且緊扣本節(jié)課的學習 重點.要給學生強調定義的 重要性.本節(jié)課的重點 就是雙曲線的定 義及標準方程，而 定義中的要點一 是絕對值，二是常 數(shù)的范圍，設計例 1就是要使學生正 確把握定義，正確 理解定義.例2讓學生演 板，體現(xiàn)了學生在 課堂上的主體作 用，兩種方法的對 比會讓學生明白 解題時技巧的重 要性，從而引導學 生在日常學習中 一定要多動腦思 考，不止為做題而 做題，一道題目有 多種

13、解法時，可權 衡一下哪一種解 法更有利于節(jié)省 時間，提高效率.1、已知雙曲線的焦 點在坐標軸上，a 7,b3.則雙曲線的標準方程為過雙曲線（六）課堂練習Fi的直線交雙曲線的左支于M、N兩點，F(xiàn)2為其右焦點,MF2NF2IMN的值等于3、在 ABC 中, B(4,0),C( 4,0),動點A 滿足 sinB sinC1-sin A.貝U動點A2的軌跡方程為教師通過投影打出三道題 目，學生自己審題，動手計 算.然后教師提問學生回答 自己計算得到的答案：2 x492y498.2 y92y121.1(x2).（七）課堂小結整 理 收 獲請同學們回顧本節(jié) 課我們所學習的主要 內容.由學生自己總結本節(jié)課的

14、 收獲： 雙曲線的定義； 雙曲線的標準方程的兩 種形式； 雙曲線標準方程的求解 方法.學生敘述不完整或不準確 的地方，教師予以補充或糾 正，同時提醒學生要牢記定 義.學生動手去做， 通過學生的做題 狀況教師能夠看 出學生對本節(jié)課 知識點的掌握情 況，三道練習題由 淺入深，層層深 入，使學生體會到 學習的快樂和收 r r，獲.第3題稍有難 度，用到了正弦定 理，有些學生可能 會不明白為什么要有x 2,這一點涉及到雙曲線的 性質，正好為學習 雙曲線的性質做 鋪墊.學生總結，加深 理解，印象深刻， 形成學生自己的 認知結構.突出重 點，抓住關鍵，培 養(yǎng)學生的概括能 力.（八）課后作業(yè)及 時 反 饋課

15、本第48頁練習1 2；課本第54頁習題2.2A 組 1、2；自己動手制作表 格，列出橢圓與雙曲 線的區(qū)別和聯(lián)系.課下獨立完成，同學之間交流檢驗學生課內 的掌握情況，并讓 學生明白，學習不 僅僅是課堂上的 事，課下的時間自 己要合理支配，科 學安排.雙曲線及其標準方程一、雙曲線的定義|MF1 |MF2 常數(shù).學生演板:雙曲線標準方程的推導附:板 書 設 計|mf2 |mf1 常數(shù).|mf2 常數(shù)、雙曲線的標準方程a2 b22 2丄丄1 a2 b2學生演板（兩名學生）：例2的求解過程其中，a 0,b 0.【教后心得】本章教材中的設計與老教材基本上沒有太大變化， 可以說，任何一個有幾年 教齡的高中教師，對本節(jié)課都是比較熟悉的，可是，要想講好這堂課，還是需要 花費很大功夫.本節(jié)課我自認為有可取之處，簡述如下： 課堂效果不錯，學生熱情高漲，能積極主動地思考并回答問題，和老師配 合得很好； 在講解定義的過程中，我