可逆矩陣判定典型例題

1、典型例題(二)方陣可逆的判定(1)若|A|0,則(AT)1(A1)T ；* * *(2)若A、1B都是n階可逆矩巨陣，則(AB)BA(3)(AT)*(A)T ；(4)若|A|0,則(A)1(A1)* ；(5)(A)*(1)n1A* ；1)l)(l為自然數(shù))；(6)若|A|0,則(a1)1(A(7)(kA)*kn1A*設A是n階方陣，試證下列各式:(1)因為1 A| 0,故A是可逆矩陣，且 AA 1 E兩邊同時取轉(zhuǎn)置可得(AA 1)T (A 1)T At (E)t E1 T故由可逆矩陣的定義可知 (A )是AT的逆矩陣. 即(A 1)T (AT) 1(2)利用方陣與其對應的伴隨矩陣的關系有|AB

2、|E(AB)(AB)(2-7)另一方面(B*A*)(AB)B*(A*A)B B*(| A| I )B| A| B*B | A| | B | E | AB | E(2-8)比較式(2-7)、( 2-8)可知(AB)* (AB)(B*A*)(AB)又因為A、B均可逆,所以(AB)也可逆，對上式兩端右乘(AB)可得(AB)(3)設n階方陣A為a11a12a1na21a22a2nAan1an2annBAA于是可得A的伴隨矩陣為AiiA21AniA12A22An2AinAnAnn注意到A的轉(zhuǎn)置矩陣為aiia2ianiata12a22an2AHA12An(AT)*A21A22A2nAn1An2Ann比較a

3、*與（A）可知(A*)T(AT)*（4）因為|A| 0,故a可逆,a的逆矩陣為A1,并且由a |A|A 11 1 *由于|A| 0, a可逆且a (A )lA1lE可得1 *(A 1)1 a|A|另一方面，由* 1 A(A )|A|a 1丄a l a|E由矩陣可逆的定義知，A可逆,并且(A) 11 *(A1)（5）對于（3）給出的矩陣a,有a11a12a1naa21a22a2nan1an2ann可推出At的伴隨矩陣為a2nanna1n即 aij的代數(shù)余子式為|A|E可知aiiai ja1j 1a1n(1)i j(1)n1Ajai 11ai 1 jai 1j 1ai 1nai 11ai 1 ja

4、i 1j 1ai 1nan1(i, j1,2,anj 1anj 1ann,n)(A)1)n1)n1A11 勺A121)n1)n1A21 勺A221)n1)n1An1A ( 1)n1A*1)nXn1)n1A2n1)n1Ann(6)因為 | A| 0,(A)（7）對于（3）給出的矩陣ka11故A可逆,并且1 (AA A) 1個A,有ka11A 1A1 A1(A1)kamkA ka21ka22ka2nkan1kan2ka nnkn類似于（5）可知kaij的代數(shù)余子式為例2設A是n階非零矩陣，并且A的伴隨矩陣 證 根據(jù)矩陣A與其對應的伴隨矩陣的關系式* *AA A A|A|aatA滿足A,有at,證明

5、A是可逆矩陣.反證，假設A不可逆,故有AA*,設矩陣A為|A|E0,由上式及條件OAT ,有(2-6)a11al2a1n由式（2-6）可知a21a22a2nan1aata11a12a1na11a21an1a21a22a2na12a22an2an1an2anna1na2nannnnna1ia1ia2ia1ia nii1i 1i 1nnn2a2ia1ia2ia2ia niOi 1i 1i 1nnania1iannan2n2 aniani a2ii 1比較上式兩邊矩陣對角線上的元素有na2 0 （ji 1aj1 a j21i 11,2,a jn0 (j1, 2,n)因此有A = O,與A是n階非零矩

6、陣矛盾，故A是可逆矩陣. 例3設A、B都是n階可逆矩陣，證明：1 1 1(AB) A B的充要條件是AB BA證必要性：因為(AB)1 a1b1 (BA)1 因此(AB)(AB) 1(BA) (AB)(BA) 1(BA)即AB BA充分性：因為AB BA,故1, ata:證明(I A)不可逆.(AB) 1 (BA) 1 A 1B 1設A是一個n階方陣，n為奇數(shù)，且1 A 1 因為AT A 1,故AAt AA 1 E因此有|E所以故E|E A|A是不可逆矩陣A| |AAtl A|(A(1)n|E0A| |A(AtE)T | |AA| |EE)|E|A|求(E證由于例5設A是n階方陣且對某個正整數(shù)

7、A)1k滿足AkO ,證明E A是可逆矩陣，并1 xk(1 x)(1 X故對于方陣A的多項式，仍有kE A (E A)(EX2xkA2Ak1)k注意到A O,故有2(E A)(E A A因此(E A)可逆,并且(E A) 1 E 例6設A是n(n 2)階方陣,(1) (A*)* |A|n 2 A ；* *(n 1)2(2) I(A ) I I A |( I證(1 )利用矩陣A與矩陣AA* I A| EA*(A*)A2Ak1)Ak(A )是A的伴隨矩陣A*的伴隨矩陣，證明:A的伴隨矩陣的關系，有即 從而有|E* * * * * *|A|(A) AA(A) |A |A1 I|A|E| | A|n*

8、 * *AA (A )* 對AA I A I E兩邊取行列式1 AA* | |A|A*(A* )* La |A|n2 AA若A不可逆，則1 A 1 0 , A*的秩小于或等于* *n 2(A )|A| A* * * *(2)對A (A )1 A 1 E兩邊取行列式|A*(A*)* | | A|*|(A*)* |*n 1若A可逆,所以1 A 1 0 ,從而有|A 1 |A|* * n 1l(A ) l l A l若A不可逆，則l(A)1 0 |A|(11,故(A ),仍有,有* nl|A |E| | A |,于是可知2(|A|n1)n1 |Afn1)22 2例7設A、B是同階方陣，已知B是可逆矩

9、陣，且滿足A AB B O ,證明A和 A B都是可逆矩陣，并求它們的逆矩陣.證因為A2 AB A(A B) B2 ,由于1 A(A B)l lAllA Bl l B2 l所以 lAl 0, lA Bl因而有A，A B可逆.2 1由(B ) A(A B)2 1由 A(A B)(B ) E可知(1)n |B|2可知(AA1B) 1(A(B2) 1 A2 1B)(B )(E1BA)E B(EAB) 1 A考察兩個矩陣的乘積BA)(EB(E AB) 1A)E BA B(E AB) 1A BAB(EEBA B(E AB) 1A AB(E AB)EBA B(E AB)(E AB) 1AEBA BA EE

10、 BA也可逆,并且證(EAB) 1A1A例8設A、B均是n階方陣，且E AB可逆，則因此(E例9設n階矩陣A、B和AB均可逆,(1)A1c1B也可逆,且(A1 B 1)1(2)(AB) 1A1A 1(A1 B 1) 1證(1)因為A 1 B1 A1A(A 1B 1)BBEB(EAB)1ABA)可逆，并且(E BA) 11A證明：A(A B)1A 1(A1BB 1(AB(A1B) 1 AB 1) 1 BB 1B)lA1B1l lA1 llABllB 1 l因為A、B、AB可逆，故lA1 l 0lA1B 1l 0兩邊取行列式有|B1| 01A B| 0所以有故 A 1 B1是可逆矩陣.1 1 1(A B ) A(A B) B (E(E1 1A)(A B) B1A)B 1(A B)(E B 1A)(EB 1A) 1 E故(A1B 1) 1A(AB) 1B