導(dǎo)數(shù)基本概念

1、第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念與運算一、思維導(dǎo)圖二、知識模塊【知識點1】導(dǎo)數(shù)的定義1.導(dǎo)數(shù)的概念設(shè)函數(shù)y f (x)在X Xo附近有定義，如果 X o時，y與X的比一丫(也叫函數(shù)X的平均變化率)有極限，即y無限趨近于某個常數(shù)，我們把這個極限值叫做函數(shù)Xy f (x)在X Xo處的導(dǎo)數(shù)，記作f(Xo)或yx X0即 f(Xo)= limlimf(XoX)f(Xo)lim心)心。)X o XX oXX XoX Xo2.導(dǎo)數(shù)的物理意義：瞬時速度設(shè)t o時刻一車從某點出發(fā)，在t時刻車走了一定的距離 S S t .在to ti時刻，車走了 S(ti) S(to)，這一段時間里車的平均速度為S(ti) S(to)tit

2、o，當(dāng)ti與to很接近時，該平均速度近似于to時刻的瞬時速度.若令tito，則可以認(rèn)為limt1 toS(ti) S(to)tito，即 S(to)就是to時刻的瞬時速度.3.思路提示：利用導(dǎo)數(shù)的定義，經(jīng)過合理的添項、拆項與調(diào)配系數(shù)，湊成導(dǎo)數(shù)的極限定義的等價形式.例1：設(shè)f (Xo)存在，求下列各式極限. lim f 滄 3 X f XoX o: limf Xo h f Xoh例 2:若 lim f X02 X f X0X 01，則f (Xo)等于()A.| B.C.D.例3:f（X）在Xo處可導(dǎo)，則X f X03 X等于（）A.2f(X0)B.f(X0)C.3f(Xo)D.4f(X0)例4:

3、y f（X）既是周期函數(shù)，又是偶函數(shù),則其導(dǎo)函數(shù)y f（X）（A.既是周期函數(shù)，又是偶函數(shù)B. 既是周期函數(shù)，又是奇函數(shù)C. 不是周期函數(shù)，但是偶函數(shù)D. 不是周期函數(shù)，但是奇函數(shù)例5:已知函數(shù)y f（X）X2, XX,X00，那么X 0的值為()A.0B.1C.1或0D.不存在2x其中a,bR，則a b的值為例6:已知limaxb2，XX 1A.6B.2C.2D.6例7:已知mN ,a,bR，若lim -m1 Xab，則ab等于（）X 0XA.mB.mC.1D.1()例8:lim作1 2等于()x 1 Vx 1A. 1 B. 02C.D.不存在例9:已知 f (3)4, f (3)1,lim

4、X 34x 3f(x)則f (X)在2例11:如圖15 7，函數(shù)f(x)的圖象是折線段 ABC，其中A,B,C的坐標(biāo)分別為 0,4 ,2,0 ,6,4，則 f f 0例12:設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a1S312,則 lim qn n“cx 113: 01-3x 414:已知函數(shù)f(x)2x 3,x 0，在點a, x 00處連續(xù)，則lim n2 1 n a n15:設(shè) f(x)x2,x 1 ax b, x，試求a, b的值,1使f (x)在x1處可導(dǎo).【知識點2】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.導(dǎo)數(shù)的運算的法則(和、差、積、商)設(shè)U u(x)，v v(x)均可導(dǎo),(U V) U V:(uv)uvuv

5、；(3) (-u)Vuv2vuv c、(v 0)2.基本導(dǎo)數(shù)表C 0(C為常數(shù))：(Xn)nnxIn Q):(ax)ax ln a:(ex) ex ；1 1(log a x)；6) (ln x)x l n a(7) (sinx)cosx ；x(cosx)sin x ；3.思路提示：對于簡單函數(shù)的求導(dǎo)，關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化函數(shù)關(guān)系式為可以直接應(yīng)用公式的基本函數(shù)的形式，以免求導(dǎo)過程中出現(xiàn)指數(shù)或系數(shù)的失誤例1:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)x5 : y2 : y Vx3 : y 10x ， y log 2 x : y si nx x例2: yx sin ln xcos ln x ，貝y y等于()A.2cos In x

6、1B. 2cos C. 2sin ln x D. sin ln xln xA. 2屈例4：設(shè)函數(shù)f（X）-sin2x sinx，2導(dǎo)函數(shù)為f （X），則下列關(guān)于導(dǎo)函數(shù)f （X）的說法正例 3: f(L) 2 JT的導(dǎo)數(shù) f(L)為()B. C. 1 D.TgL2何7l確的是（）A. 僅有最小值的奇函數(shù)B. 既有最大值，又有最小值的偶函數(shù)C. 僅有最大值的偶函數(shù)D. 非奇非偶函數(shù)X例 5:記 shx e一e2X一，chxshX ()A.shx B. shxC. chxD. chx2例6：二次函數(shù)f（x） ax bx c導(dǎo)函數(shù)為f （X），已知f（0）0,且對任意實數(shù) X，有f（x） 0,則0?的

7、最小值為例 7:已知函數(shù) f(X) f ()cos X sinx，4則f （）的值為4【知識點3】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)1.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y fg（X）的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y f（u），y f（u）的導(dǎo)數(shù)之間具有關(guān)系yx yu ux，該關(guān)系用語言表述就是“ y對X的導(dǎo)數(shù)等于y對U的導(dǎo)數(shù)與U對x的導(dǎo)數(shù)的乘積”，也就是先把g（X）當(dāng)做一個整體，把y fg（x）對g（X）求導(dǎo)，再把g（X）對X求導(dǎo),這二者的乘積就是復(fù)合函數(shù)y fg（X）對X的導(dǎo)數(shù)例1：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3x 21 ye : y log2 2x 1 : y sin 2x ： y 31 X例2:函數(shù)y cos2x sin JX的導(dǎo)數(shù)為()A.2s

8、in 2x 嘩2依B.2sin 2xcosTX2依C.2sin2x 膏2jxD.2si n 2xcosTX2jX例3:函數(shù)sin sinx +coscosx的導(dǎo)數(shù)是(A.ycosxcos sinxsinxsin cosxB.ycosxcos sinxsinxsin cosxC.ysin cosxcossin xD.ycos2x例4:函數(shù)ysin In xcosIn x的導(dǎo)數(shù)為(x sin In xB.cosl n xsin In xC. cos Insin In xD.cos In X sin In X例5:求函數(shù)sin Xcosx 的導(dǎo)數(shù)例6:求函數(shù)【知識點4】導(dǎo)數(shù)的幾何意義1.導(dǎo)數(shù)的幾何意

9、義：函數(shù)在定點處的切線斜率函數(shù)y f(x)在xo處的導(dǎo)數(shù)f(X0)，表示曲線y f(x)在點P冷(怡)處的切線PT的斜率，即tanf (Xo)，如圖3-1所示，過點P的切線方程為y yof(xo)(x x。).同樣可以定義曲線 y f(x)在Xo的法線為過點P X0,f(x0)與曲線y f (x)在x x。的切線垂直的直線.過點P的法線方程為y y0X0)(f(X0)0).例1:設(shè)函數(shù)f(x)是R上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù),則曲線f(X)在 X5處的切線斜A. 5 B.率為()10 C. 1 D. 55例2:下列各函數(shù)在點X 0處沒有切線的是()A. y3.X sin2X B. y X cosx

10、C. yD.y 仮 cosx例3：若y0是曲線bx c的一條切線，則2()A. 1B.C.1 D. 2例4:已知曲線23ln41X的一條切線的斜率為一，則切點的橫坐標(biāo)為()2A. 3 B.C. 1D.例5：若在曲線sin X(0)上取一點M，使過M點的切線與直線y至X平行,2則點M坐標(biāo)為()A.(拝)B.(173C.(麗)D.(冷例6：如果一直線過原點且與曲線1相切于點P，那么切點P的坐標(biāo)為X 1()例7：已知函數(shù)f (X) X3 X.(I)求曲線y f (X)在點M (t, f (t)處的切線方程;b f(a)(II )設(shè)a 0，如果過點(a,b)可作曲線y f (x)的三條切線，證明： a

11、例8曲線在點處的切線方程為9:曲線在點處的切線方程10:曲線在點處的切線的斜率為A. B. C. D.11:曲線在點處的切線斜率為12:A.B. C. D.已知點在曲線上，為曲線在點處的切線的傾斜角，則的取值范圍是例13：若曲線存在垂直于軸的切線，則實數(shù)的取值范圍是 例14：設(shè)直線是曲線的一條切線，則實數(shù)的值為 例15：已知曲線y X2 1在x x0點處的切線與曲線 y 1 x3在x x0點處的切線互相平行，則Xo的值為_ 2例 16：已知函數(shù) f(x) x ax In x(a 0)(I)若曲線y f(x)在點(1,f(1)處的切線斜率為2，求a的值以及切線方程;(II )若f(x)是單調(diào)函數(shù)

12、，求a的取值范圍。例17：已知函數(shù)f(x)ln(1 x) x -x2(k 0)2(I)當(dāng)k=2時，求曲線y f (x)在點(1,f (1)處的切線方程;(n )求f (x)的單調(diào)區(qū)間例18:已知函數(shù)f (x)2(x a) (a b) (a,b R,a b)。(I )當(dāng) a 1,b2 時,求曲線y f (x)在點(2, f (x)處的切線方程。(II )設(shè)X1,X2是f (x)的兩個極值點，X3是f (x)的一個零點，且X3 X1 , X3X2 證明：存在實數(shù)X4，使得Xi,X2,X3,X4按某種順序排列后的等差數(shù)列，并求X4例 19：已知函數(shù) f(x) 4x3 3tx2 6tx t 1,x R，其中 t R.(I)當(dāng)t 1時，求曲線y f(x)在點(0, f(0)處的切線方程;(n)當(dāng)t 0時，求f(X)的單調(diào)區(qū)間;(川)證明：對任意的例20：設(shè)函數(shù)，其中,t (0,), f (X)在區(qū)間(0,1)內(nèi)均存在零點.(I)求a, b的值,并寫出切線I的方程;a,b為常數(shù)，已知曲線與在點(2,0)處有相同的切線I.1m的取(II )若方程有三個互不相同的實根0、其中，且對任意的，恒成立，求實數(shù)值范圍?！局R點5】綜合 例1:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):y :XXy 10 : ylog 2 X ；(6) ysin例2:已知X1 時，X X2 +xn1-,利用