平行四邊形之存在性問題

1、中考數(shù)學壓軸題解題策略綜合題之平行四邊形存在性問題專題攻略解平行四邊形的存在性問題一般分三步：第一步尋找分類標準，第二步畫圖，第三步計算.難點在于尋找分類標準， 分類標準尋找的恰當， 可以使解的個數(shù)不重復不遺漏，也可以使計算又好又快.如果已知三個定點， 探尋平行四邊形的第四個頂點，符合條件的有3個點：以已知三個定點為三角形的頂點，過每個點畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個交點.如果已知兩個定點，一般是把確定的一條線段按照邊或對角線分為兩種情況.可以使得計算過程簡便.可以使得解題簡便.根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，靈活運用坐標平移，根據(jù)平行四邊形的中心對稱的性質，靈活運用坐標對稱，例題

2、解析A、B兩點(A在B的左P,如果以點 P、A、C、求點 D的坐標.例1、如圖1-1，在平面直角坐標系中，已知拋物 線y= X2 2x+ 3與x軸交于 側)，與y軸交于點C,頂點為 D為頂點的四邊形是平行四邊形，r圖 1-1【解析】P、A、C三點是確定的，過 PAC的三個頂點分別畫對邊的平行線，三條直 線兩兩相交，產(chǎn)生 3個符合條件的點 D (如圖1-2).由 y =X2 2x+ 3 = (x+ 1)2 + 4，得 A( 3,0), C(0, 3), P(- 1,4).由于 A( 3,0) U右上Uuir C(0, 3)，所以 P( - 1,4兒右3，上Uuir Di(2, 7).由于 C(0

3、, 3) ulSUui左i3iLUA(- 3,0)，所以 P( 1,4)u.下.3,左lUnu d2(- 4, 1) 由于 P(- 1,4) uiUiuuLEiLuu- C(0, 3)，所以 A( - 3,0)u右Luu下lur D3( - 2, - 1) 我們看到，用坐標平移的方法，遠比用解析式構造方程組求交點方便多了.例2、如圖2-1，在平面直角坐標系中，已知拋物線 點，點M在這條拋物線上，點 P在y軸上，如果以點 四邊形，求點M的坐標.y= x2+2x + 3與x軸交于A、B兩A、 B為頂點的四邊形是平行XAB為分類標準.0).【解析】在F、M、A、B四個點中，A、B是確定的，以由 y

4、= -x2+2x + 3=- (x+ 1)(x- 3),得 A(- 1, 0), B(3, 如圖2-2，當AB是平行四邊形的對角線時， PM與AB互相平分，因此點 M與點P 關于AB的中點(1,0)對稱，所以點 M的橫坐標為2 .此時M(2, 3). 如圖2-3，圖2-4，當AB是平行四邊形的邊時， PM/AB, PM. = AB= 4.所以點M的橫坐標為4或一4 .所以M (4, -5)或(一4,- 21).2-2時，根據(jù)對稱性先確定了點M的M的橫坐標.我們看到，因為點 P的橫坐標是確定的，在解圖橫坐標；在解圖2-3和圖2-4時，根據(jù)平移先確定了點圖2-2圖2-4V%尸tLlfl例3、如圖B

5、,點C在直線 形是菱形.3-1，在平面直角坐標系中，直線y=- x+ 4與x軸交于點A，與y軸交于點AB上，在平面直角坐標系中求一點D，使得以O、A、C、D為頂點的四邊y=- x + 4，得A(4, 0)，直線AB與坐標軸的夾角為 45°O、A是確定的，以線段 OA為分類標準.【解析】由在O、A、C、D四個點中，如圖3-2，如果OA是菱形的對角線，那么點 C在OA的垂直平分線上，點 C(2,2)關于OA的對稱點D的坐標為(2, - 2).如果OA是菱形的邊，那么又存在兩種情況：如圖3-3，以O為圓心，OA為半徑的圓與直線 AB的交點恰好為點 B(0, 4),那么正方 形AOCD的頂點

6、D的坐標為(4, 4).如圖3-4，以A為圓心，AO為半徑的圓與直線 AB有兩個交點 C(4 2 J2, 2j2)和D ( 22, 2/2)和 D '(272, 22).C'(422, 2j2)，點C和C向左平移4個單位得到點33N在拋物線的對稱軸上，點交于點C,點E的坐標為(0, 3)，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M、N，使得以KM、 N、 C、 EM的坐標；若【解析】C(-4,0)、E(0,- 3)兩點是確定的，點 以CE為分類標準，分兩種情況討論平行四邊形: 如圖4-2，當CE為平行四邊形的邊時，由于N的橫坐標一圖4-12也是確定的.C、E兩點間的水平距離為 4,所以

7、M、N兩點間的水平距離也為4,因此點M的橫坐標為一將x= 6和x = 2分別代入拋物線的解析式，得6或2.M(-6,16)或(2, 16).如圖4-3，當CE為平行四邊形的對角線時，M為拋物線的頂點，所以 M(2,16).B兩點(點 交于點C,如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線 y = ax2 2ax 3a ( av0)與x軸交于A、 A在點B的左側)，點D是第四象限內拋物線上的一點，直線 AD與y軸負半軸 且CD = 4AC.設P是拋物線的對稱軸上的一點，點 Q在拋物線上，以點 A、D、P、Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點 P的坐標；若不能，請說明理由.為頂點的四邊形是平行四邊形？

8、若存在，請求出點 不存在，請說明理由.【解析】由 y= ax2 2ax 3a = a(x + 1)(x 3)，得 A(- 1,0).由 CD = 4AC ,得 xd= 4.所以 D(4, 5a).已知A( 1,0)、D(4, 5a), Xp= 1,以AD為分類標準，分兩種情況討論：如圖5-2，如果AD為矩形的邊，我們根據(jù) AD/QP，AD = QP來兩次平"移坐標. 由于A、D兩點間的水平距離為5,所以點Q的橫坐標為一4.所以Q( 4,21a).由于A、.D兩點間的豎直距離為一5a，所以點P的縱坐標為26a .所以P(1,26a). 根據(jù)矩形的對角線相等，得AP2= QD2.所以22

9、+ (26a)2= 82+ (16a)2.整理，得7a2= 1 .所以a 耳.此時P(1, 葺7).如圖5-3，如果AD為矩形的對角線，我們根據(jù)AP/QD , AP = QD來兩次平移坐標.由于A、P兩點間的水平距離為 2,所以點Q的橫坐標為2.所以Q(2, 3a). 由于Q、D兩點間的豎直距離為一 8a,所以點P的縱坐標為8a.所以P(1,8a).再根據(jù) AD2= PQ2,得 52 + (5a)2= 12+ (11a)2.整理，得4a2= 1.所以a -.此時P(1, 4).2我們從圖形中可以看到，像“勾股圖”那樣構造矩形的外接矩形，使得外接矩形的 與坐標軸平行，那么線段的等量關系就可以轉化

10、為坐標間的關系.列方程，還可以根據(jù)定義“有一個角上面我們根據(jù)“對角線相等的平行四邊形是矩形”是直角的平行四邊形叫矩形”來列方程.;如圖5-3,如果/ QAP= 90°，那么如圖5-2，如果/ ADP = 90°，那么 也A NDMD NPGQ KAGA KP例6、如圖6-1，將拋物線ci： yJ3x2 73沿x軸翻折，得到拋物線C2.現(xiàn)將拋物線C1向左C平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為 A、B;將拋物線C2向右也平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂 點為N,與x軸的交點從左到右依次為 D、E.在平移過程中，是否存在以點A、N、E

11、、M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由.A、B、【解析】沒有人能精確畫好拋物線，又怎么平移拋物線呢？我們去偽存真，將D、E、M、N六個點及它們的坐標在圖中都標注出來（如圖6-2）,如果您看到了 MAB和 NED是邊長為2的等邊三角形，那么平移就簡單了.如圖6-3，在兩個等邊三角形平移的過程中，AM與EN保持平行且相等，所以四邊形ANEM保持平行四邊形的形狀，點 0為對稱中心.【解法一】如果/ ANE= 90°,根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊C的一半，可得AE = 2EN = 4 .而 AE = AO + OE= 2AO，所以 AO = 2 .已