初中數(shù)學(xué)校本教材完整版

1、初中數(shù)學(xué)校本教材生活與數(shù)學(xué)序言一、把握數(shù)學(xué)的生活性“使教學(xué)有生活味”數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：“數(shù)學(xué)可以幫助人們更好地探求客觀世界 的規(guī)律，并對現(xiàn)代社會(huì)中大量紛繁復(fù)雜的信息做出恰當(dāng)?shù)倪x擇和判斷，進(jìn) 而解決問題，直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值”。這說明數(shù)學(xué)來源于社會(huì)，同時(shí)也反 作用于社會(huì)，社會(huì)生活與數(shù)學(xué)關(guān)系密切，它已經(jīng)滲透到生活的每個(gè)方面， 我們的衣食住行都離不開它?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)論認(rèn)為：數(shù)學(xué)源于生活，又運(yùn)用于 生活，生活中充滿數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教育寓于生活實(shí)際。有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生溝通 生活中的具體問題與有關(guān)數(shù)學(xué)問題的聯(lián)系， 借助學(xué)生熟悉的生活實(shí)際中的 具體事例，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的求知欲，幫助學(xué)生更好的理解和掌握數(shù)學(xué) 基礎(chǔ)知識(shí)，

2、并運(yùn)用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問題。二、把握數(shù)學(xué)的美育性“使教學(xué)有韻味”數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為： “數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就， 也是人類心靈 最獨(dú)特的創(chuàng)作。音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動(dòng)人 心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一 切。” 美作為現(xiàn)實(shí)的事物和現(xiàn)象，物質(zhì)產(chǎn)品和精神產(chǎn)品、藝術(shù)作品等屬 性總和，具有：勻稱性、比例性、和諧性、色彩變幻、鮮明性和新穎性。 作為精神產(chǎn)品的數(shù)學(xué)就具有上述美的特點(diǎn)。簡練、精確是數(shù)學(xué)的美。數(shù)學(xué)的基本定理說法簡約，卻又涵蓋真理， 讓人閱讀簡便卻又印象深刻。數(shù)學(xué)語言是如此慎重的、有意的而且經(jīng)常是 精心設(shè)計(jì)的，憑借數(shù)學(xué)

3、語言的嚴(yán)密性和簡潔性，我們就可以表達(dá)和研究數(shù) 學(xué)思想，這種簡潔性有助于思維的效率。數(shù)學(xué)很講究它的邏輯美。數(shù)學(xué)的應(yīng)用是被人們廣泛認(rèn)同的，可學(xué)習(xí)數(shù) 學(xué)還能訓(xùn)練人的邏輯思維能力。尤其是幾何的證明講究前因后果，每一步 都要前后呼應(yīng)，抽象的數(shù)學(xué)也顯示它模糊的美。抽象給我們想象的余地， 讓我們思維海闊天空，給學(xué)生留有了思索和創(chuàng)新的空間。抽象的數(shù)學(xué)不正 展示它的魅力嗎？數(shù)學(xué)上有很多知識(shí)是和對稱有關(guān)的。對稱給人協(xié)調(diào)，平穩(wěn)的感覺，像 圓，正方體等，它們的形式是如此的勻稱優(yōu)美。正是由于幾何圖形中有這 些點(diǎn)對稱、線對稱、面對稱，才構(gòu)成了美麗的圖案，精美的建筑，巧奪天 工的生活世界，也才給我們帶來豐富的自然美，多彩的

4、生活美。中學(xué)數(shù)學(xué)的美育性，除了上述一些方面，還有其它美妙的地方，只要 我們用心挖掘和捕捉，就會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)蘊(yùn)涵著如此豐富的美的因素，教師要 善于挖掘美的素材，在學(xué)生感受美的同時(shí)既提高教學(xué)質(zhì)量，又使教學(xué)韻味 深厚。三、把握校本教材的可讀性 - “使教學(xué)有拓展性”陶行知先生早就說過： “在現(xiàn)狀下，把學(xué)習(xí)的基本自由還給學(xué)生?！保?經(jīng)過我們反復(fù)的思考和研究，同時(shí)邀請專家親臨指點(diǎn)，最終我們確定本課 程的基本框架， 本課程的設(shè)計(jì)理念就是要 “把學(xué)習(xí)的基本自由還給學(xué)生” ， 所有的過程基本上都是以學(xué)生的活動(dòng)展開的，真正實(shí)現(xiàn)“自主、合作、探 究”的學(xué)習(xí)方式的變革， 本課程共分為六個(gè)章節(jié)， 分別是：古老的數(shù)學(xué) ，

5、好玩的數(shù)學(xué)，有用的數(shù)學(xué)，智慧的數(shù)學(xué)，先進(jìn)的數(shù)學(xué)和 美麗的數(shù)學(xué)。在古老的數(shù)學(xué) 一章中， 并不是把數(shù)學(xué)史作為一門研究數(shù)學(xué)的起源、 發(fā)展過程和規(guī)律的學(xué)科， 而是根據(jù)現(xiàn)代心理學(xué)發(fā)現(xiàn)的一個(gè)體現(xiàn)數(shù)學(xué)史的認(rèn) 知功能的“遺傳法則” 。從數(shù)學(xué)一次又一次的飛躍中尋找數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的故事， 用故事的形式讓學(xué)生了解這些數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的背景、體會(huì)數(shù)學(xué)家們?yōu)閷ふ?這些知識(shí)的付出的艱辛。這樣一方面可以讓學(xué)生從本質(zhì)上更好的理解自己 所學(xué)的知識(shí)；另一方面也可以以此作為人生觀與價(jià)值觀教育的教材，讓學(xué) 生體會(huì)“只有付出努力才會(huì)獲得成功的人生道理”，“為實(shí)現(xiàn)理想而不懈 追求的數(shù)學(xué)精神”。在好玩的數(shù)學(xué)一章中，利用心理學(xué)中“興趣是學(xué)習(xí)最好的老師

6、” 的規(guī)律，以一系列數(shù)學(xué)游戲?yàn)檩d體，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)并不是“枯燥”的 代名詞，真正的數(shù)學(xué)其實(shí)可以是樂趣無窮的， 以此來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣， 并以這種興趣作為他以后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力和源泉。這樣一方面可以讓學(xué)生 主動(dòng)意識(shí)到自己愛玩的游戲原來與數(shù)學(xué)緊密相連，從而為學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)培 養(yǎng)內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力；另一方面，也可以在學(xué)生玩游戲的過程中幫助學(xué)生鞏固看 似乏味的知識(shí)，讓學(xué)生的學(xué)科知識(shí)在游戲中得到鍛煉和提升。在有用的數(shù)學(xué)一章中，根據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：義務(wù)教育階段的 數(shù)學(xué)課程要求“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)” ，設(shè)計(jì)了很多貼近學(xué)生、 符合實(shí)際、 利用學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)能夠解決的生活實(shí)例。這樣做可以使學(xué)生深刻的感受到 生活中處處存在著

7、數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)來源于生活。這些在生活中經(jīng)常碰到的數(shù)學(xué) 問題需要我們?nèi)ヌ骄?，學(xué)生通過對這些數(shù)學(xué)問題的解決，能夠更具體更深 刻的理解什么是數(shù)學(xué)，知道學(xué)習(xí)和學(xué)好數(shù)學(xué)是很有用的，從而進(jìn)一步培養(yǎng) 學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力。在智慧的數(shù)學(xué)一章中，通過穿插一些有趣的數(shù)學(xué)小故事,以改變 人們認(rèn)為科學(xué)研究枯燥無味的看法。本章內(nèi)容主要包括有趣的數(shù)學(xué)問題、 經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題、奇怪的數(shù)學(xué)問題。通過對“有趣的數(shù)學(xué)問題”的研究， 使學(xué)生對數(shù)學(xué)中的存在的智慧產(chǎn)生強(qiáng)烈的好奇與追求，從而激發(fā)學(xué)生天生 的求知欲；通過對“經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題”的研究使學(xué)生掌握一些基本的數(shù)學(xué) 方法，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方法解決問題；通過對“奇怪的

8、數(shù)學(xué)問題”的研究， 幫助學(xué)生開闊眼界，增長知識(shí)、鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。在先進(jìn)的數(shù)學(xué)一章中，主要學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)軟件“幾何畫板”的 使用方法。通過對幾何畫板軟件的學(xué)習(xí)，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓寬 學(xué)生的知識(shí)面，改變學(xué)生“數(shù)學(xué)枯燥論”和“數(shù)學(xué)無用論”的觀點(diǎn)；可以 開發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣，改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，從而 實(shí)現(xiàn)提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的；另外，通過對幾何畫板軟件的學(xué)習(xí)，可為 學(xué)生學(xué)習(xí)其他計(jì)算機(jī)軟件打下了一個(gè)結(jié)實(shí)的基礎(chǔ)，從而提高學(xué)生的電腦素養(yǎng)，為學(xué)生終身發(fā)展和可持續(xù)發(fā)展做出數(shù)學(xué)教育上的貢獻(xiàn)。在美麗的數(shù)學(xué)一章中，展示給大家的是數(shù)學(xué)的美麗無所不在，數(shù) 學(xué)的符號(hào)、公式、算法、圖形、表

9、格、方程、解題思路、解題方法都 是很美麗的。這些“數(shù)學(xué)之美”都需要我們能夠和我們的學(xué)生一起去尋找、 去發(fā)現(xiàn)、去挖掘、去欣賞，使美麗的數(shù)學(xué)成為學(xué)生快樂學(xué)習(xí)的源泉。數(shù)學(xué) 的美麗使我們深刻感受到數(shù)學(xué)的教育不應(yīng)該僅僅是作為對數(shù)學(xué)學(xué)科的教 學(xué)，更應(yīng)該把它作為一種審美教育的載體，用它來感染和啟迪學(xué)生的心靈, 讓學(xué)生的人格更健全，心靈更美好。開發(fā)校本課程要有高度的責(zé)任感、使命感和強(qiáng)烈的事業(yè)心，決不能僅 僅憑著自己的興趣，更重要的是要把它作為自己的事業(yè)來做，要付出艱辛 的努力、經(jīng)歷痛苦的歷程，只有付出艱辛的努力、經(jīng)歷痛苦的歷程才能在 這個(gè)過程中感受成功的喜悅與幸福。開發(fā)校本課程，首先要有一個(gè)追求（對我們國家的

10、教育事業(yè)無比熱愛, 功利心不能太強(qiáng)，不要一說到數(shù)學(xué)研究就問這件事情對我職稱評(píng)審有沒有 用，對我評(píng)骨干教師有沒有用），要確定一個(gè)核心思想（即開發(fā)的核 心宗旨、研究方向、基本要求），要充分利用校內(nèi)外各類資源，要不斷地 進(jìn)行課程資源的積累和課程特色的培育；校本課程的規(guī)劃要根據(jù)學(xué)生的課 程需要來制訂；要選擇貼近時(shí)代特點(diǎn)、社會(huì)發(fā)展與學(xué)生實(shí)際的課程內(nèi)容， 要變革教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式，充分發(fā)揮師生的獨(dú)立性、自主性和創(chuàng)造性， 引導(dǎo)學(xué)生在身心愉悅的環(huán)境中實(shí)踐和研究。校本課程的開發(fā)和建設(shè)是一個(gè)漫長的道路，需要我們時(shí)時(shí)刻刻做一個(gè) 有心人，心中時(shí)時(shí)刻刻裝著為學(xué)生的終身發(fā)展和可持續(xù)發(fā)展考慮，裝著為 我們數(shù)學(xué)教學(xué)向數(shù)學(xué)教育

11、轉(zhuǎn)變服務(wù)的理想和追求。第一章興趣數(shù)學(xué)第一節(jié)七橋問題（一筆畫問題）18世紀(jì)時(shí)，歐洲有一個(gè)風(fēng)景秀麗的小城哥尼斯堡，那里有七座橋。如 圖1所示：河中的小島A與河的左岸B、右岸C各有兩座橋相連結(jié)，河中 兩支流間的陸地D與AB、C各有一座橋相連結(jié)。當(dāng)時(shí)哥尼斯堡的居民中 流傳著一道難題：一個(gè)人怎樣才能一次走遍七座橋，每座橋只走過一次， 最后回到出發(fā)點(diǎn)？大家都試圖找出問題的答案，但是誰也解決不了這個(gè)問 題。七橋問題引起了著名數(shù)學(xué)家歐拉（17071783）的關(guān)注。他把具體七 橋布局化歸為圖所示的簡單圖形，于是，七橋問題就變成一個(gè)一筆畫問題：怎樣才能從A B、C、D中的某一點(diǎn)出發(fā)，一筆畫出這個(gè)簡單圖形（即筆 不

12、離開紙，而且a、b、c、d、e、f、g各條線 只畫一次不準(zhǔn)重復(fù)），并且最后返回起點(diǎn)？歐拉經(jīng)過研究得出的結(jié)論是：圖是不能一筆畫出的圖形。這就是說， 七橋問題是無解的。這個(gè)結(jié)論是如何產(chǎn)生呢？如果我們從某點(diǎn)出發(fā)，一筆畫出了某個(gè)圖形，至廉一點(diǎn)終止，那么除 起點(diǎn)和終點(diǎn)外，畫筆每經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)一次，總有畫進(jìn)該點(diǎn)的一條線和畫出該 點(diǎn)的一條線，因此就有兩條線與該點(diǎn)相連結(jié)。如果畫筆經(jīng)過一個(gè)n次， 那 么就有2n條線與該點(diǎn)相連結(jié)。因此，這個(gè)圖形中除起點(diǎn)與終點(diǎn)外的各點(diǎn)， 都與偶數(shù)條線相連。如果起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，那么這個(gè)點(diǎn)也與偶數(shù)條線相連；如果起點(diǎn)和終 點(diǎn)是不同的兩個(gè)點(diǎn)，那么這兩個(gè)點(diǎn)部是與奇數(shù)條線相連的點(diǎn)。綜上所述，一筆畫

13、出的圖形中的各點(diǎn)或者都是與偶數(shù)條線相連的點(diǎn)， 或者其中只有兩個(gè)點(diǎn)與奇數(shù)條線相連。圖2中的A點(diǎn)與5條線相連結(jié)，B、C D各點(diǎn)各與3條線相連結(jié)，圖 中有4個(gè)與奇數(shù)條線相連的點(diǎn)，所以不論是否要求起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，都不 能一筆畫出這個(gè)圖形。歐拉定理 ：如果一個(gè)圖是連通的并且奇頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于0或2， 那么它可以一筆畫出；否則它不可以一筆畫出。一筆畫：1.凡是由偶點(diǎn)組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時(shí)可以把任一偶點(diǎn) 為起點(diǎn)，最后一定能以這個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)畫完此圖。2.凡是只有兩個(gè)奇點(diǎn)的連通圖（其余都為偶點(diǎn)），一定可以一筆畫成。 畫時(shí)必須把一個(gè)奇點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)奇點(diǎn)終點(diǎn)。3.其他情況的圖都不能一筆畫出。（奇點(diǎn)數(shù)除以

14、二便可算出此圖需幾筆 畫成。）練習(xí)：你能筆尖不離紙，一筆畫出下面的每個(gè)圖形嗎？試試看。（不走圖例2圖例3圖例4重復(fù)線路）圖斗第二節(jié)四色問題人人都熟悉地圖，可是繪制一張普通的政區(qū)圖，至少需要幾種顏色， 才能把相鄰的政區(qū)或區(qū)域通過不同的顏色區(qū)分開來，就未必是一個(gè)簡單的 問題了。這個(gè)地圖著色問題，是一個(gè)著名的數(shù)學(xué)難題。大家不妨用一張中國政 區(qū)圖來試一試，無論從哪里開始著色，至少都要用上四種顏色，才能把所 有省份都區(qū)別開來。所以，很早的時(shí)候就有數(shù)學(xué)家猜想：“任何地圖的著 色，只需四種顏色就足夠了?！边@就是“四色問題”這個(gè)名稱的由來。四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。四色問題的內(nèi)容是：“

15、任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊 界的國家著上不同的顏色。”用數(shù)學(xué)語言表示，即“將平面任意地細(xì)分為 不相重迭的區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域總可以用1,2, 3, 4這四個(gè)數(shù)字之一來標(biāo)記, 而不會(huì)使相鄰的兩個(gè)區(qū)域得到相同的數(shù)字?！保ㄉ嫌覉D）。這里所指的相鄰區(qū)域，是指有一整段邊界是公共的。如果兩個(gè)區(qū)域只 相遇于一點(diǎn)或有限多點(diǎn)，就不叫相鄰的。因?yàn)橛孟嗤念伾o它們著色不 會(huì)引起混淆。數(shù)學(xué)史上正式提出“四色問題”的時(shí)間是在1852年。當(dāng)時(shí)倫敦的大 學(xué)的一名學(xué)生法朗西斯向他的老師、著名數(shù)學(xué)家、倫敦大學(xué)數(shù)學(xué)教授莫根 提出了這個(gè)問題，可是莫根無法解答，求助于其它數(shù)學(xué)家，也沒有得到答 案。于是從那時(shí)起，這個(gè)問題便

16、成為數(shù)學(xué)界的一個(gè)“懸案”。一直到二十年前的1976年9月，美國數(shù)學(xué)會(huì)通告正式宣布了一件 震撼全球數(shù)學(xué)界的消息：美國伊利諾斯大學(xué)的兩位教授阿貝爾和哈根，利 用電子計(jì)算機(jī)證明了“四色問題”這個(gè)猜想是完全正確的！他們將普通地 圖的四色問題轉(zhuǎn)化為2000個(gè)特殊圖的四色問題，然后在電子計(jì)算機(jī)上計(jì) 算了足足1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，最后成功地證明了四色問題， 轟動(dòng)了世界。這是一百多年來吸引許多數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)愛好者的大事，當(dāng)兩位數(shù)學(xué)家 將他們的研究成果發(fā)表的時(shí)候， 當(dāng)?shù)氐泥]局在當(dāng)天發(fā)出的所有郵件上都加 蓋了“四色足夠”的特制郵戳，以慶祝這一難題獲得解決。第三節(jié)麥比烏斯帶數(shù)學(xué)上流傳著這樣一個(gè)故事：有人曾

17、提出，先用一張長方形的紙條， 首尾相粘，做成一個(gè)紙圈，然后只允許用一種顏色，在紙圈上的一面涂抹， 最后把整個(gè)紙圈全部抹成一種顏色，不留下任何空白。這個(gè)紙圈應(yīng)該怎樣 粘？如果是紙條的首尾相粘做成的紙圈有兩個(gè)面，勢必要涂完一個(gè)面再重 新涂另一個(gè)面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一個(gè)面、一條封閉曲 線做邊界的紙圈兒呢？對于這樣一個(gè)看來十分簡單的問題，數(shù)百年間，曾有許多科學(xué)家進(jìn)行 了認(rèn)真研究，結(jié)果都沒有成功。后來，德國的數(shù)學(xué)家麥比烏斯對此發(fā)生了 濃厚興趣，他長時(shí)間專心思索、試驗(yàn)，也毫無結(jié)果。有一天，他被這個(gè)問題弄得頭昏腦漲了，便到野外去散步。新鮮的空 氣，清涼的風(fēng)，使他頓時(shí)感到輕松舒適，但他頭腦里仍

18、然只有那個(gè)尚未找 到的圈兒。一片片肥大的玉米葉子，在他眼里變成了“綠色的紙條兒”，他不由 自主地蹲下去，擺弄著、觀察著。葉子彎曲著聳拉下來，有許多扭成半圓 形的，他隨便撕下一片，順著葉子自然扭的方向?qū)映梢粋€(gè)圓圈兒，他驚 喜地發(fā)現(xiàn)，這“綠色的圓圈兒”就是他夢寐以求的那種圓圈。麥比烏斯回到辦公室，裁出紙條，把紙的一端扭轉(zhuǎn)180,再將一端的正面和背面粘在一起，這樣就做成了只有一個(gè)面的紙圈兒。圓圈做成后，麥比烏斯捉了一只小甲蟲，放在上面讓它爬。結(jié)果，小 甲蟲不翻越任何邊界就爬遍了圓圈兒的所有部分。麥比烏斯激動(dòng)地說：“公正的小甲蟲，你無可辯駁地證明了這個(gè)圈兒只有一個(gè)面。”麥比烏斯圈就這樣被發(fā)現(xiàn)了。做幾

19、個(gè)簡單的實(shí)驗(yàn)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)“麥比烏斯圈”有許多讓我們感到驚奇 而有趣的結(jié)果。弄好一個(gè)圈，粘好，繞一圈后可以發(fā)現(xiàn)，另一個(gè)面的入口被堵 住了，原理就是這樣啊.實(shí)驗(yàn)一如果在裁好的一張紙條正中間畫一條線，粘成“麥比烏斯圈”，再沿 線剪開，把這個(gè)圈一分為二，照理應(yīng)得到兩個(gè)圈兒，奇怪的是，剪開后竟 是一個(gè)大圈兒。實(shí)驗(yàn)二如果在紙條上劃兩條線，把紙條三等分，再粘成“麥比烏斯圈”，用 剪刀沿畫線剪開，剪刀繞兩個(gè)圈竟然又回到原出發(fā)點(diǎn)，猜一猜，剪開后的 結(jié)果是什么，是一個(gè)大圈？還是三個(gè)圈兒？都不是。它究竟是什么呢？你 自己動(dòng)手做這個(gè)實(shí)驗(yàn)就知道了。你就會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，紙帶不一分為二，一 大一小的相扣環(huán)。有趣的是：新得到的這

20、個(gè)較長的紙圈，本身卻是一個(gè)雙側(cè)曲面，它的 兩條邊界自身雖不打結(jié)，但卻相互套在一起。我們可以把上述紙圈，再一 次沿中線剪開，這回可真的一分為二了！得到的是兩條互相套著的紙圈， 而原先的兩條邊界，則分別包含于兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身并不 打結(jié)罷了。奇妙之處有三：一、 麥比烏斯環(huán)只存在一個(gè)面。二、 如果沿著麥比烏斯環(huán)的中間剪開，將會(huì)形成一個(gè)比原來的麥比烏斯環(huán)空間大一倍的、具有正反兩個(gè)面的環(huán)（在本文中將之編號(hào)為：環(huán)0）,而不是形成兩個(gè)麥比烏斯環(huán)或兩個(gè)其它形式的環(huán)。三、 如果再沿著環(huán)0的中間剪開，將會(huì)形成兩個(gè)與環(huán)0空間一樣的、 具有正反兩個(gè)面的環(huán)，且這兩個(gè)環(huán)是相互套在一起的（在本文中將之編號(hào) 為：

21、環(huán)1和環(huán)2），從此以后再沿著環(huán)1和環(huán)2以及因沿著環(huán)1和環(huán)2中間 剪開所生成的所有環(huán)的中間剪開，都將會(huì)形成兩個(gè)與環(huán)0空間一樣的、具 有正反兩個(gè)面的環(huán)，永無止境且所生成的所有的環(huán)都將套在一起，永 遠(yuǎn)無法分開、永遠(yuǎn)也不可能與其它的環(huán)不發(fā)生聯(lián)系而獨(dú)立存在。數(shù)學(xué)中有一個(gè)重要分支叫拓?fù)鋵W(xué)，主要是研究幾何圖形連續(xù)改變形 狀時(shí)的一些特征和規(guī)律的，麥比烏斯圈變成了拓?fù)鋵W(xué)中最有趣的單側(cè)面問 題之一。麥比烏斯圈的概念被廣泛地應(yīng)用到了建筑，藝術(shù)，工業(yè)生產(chǎn)中。運(yùn)用麥比烏斯圈原理我們可以建造立交橋和道路，避免車輛行人的擁堵。一、1979年， 美國著名輪胎公司百路馳創(chuàng)造性地把傳送帶制成麥比烏 斯圈形狀，這樣一來，整條傳送帶

22、環(huán)面各處均勻地承受磨損，避免了普通 傳送帶單面受損的情況，使得其壽命延長了整整一倍。二、 針式打印機(jī)靠打印針擊打色帶在紙上留下一個(gè)一個(gè)的墨點(diǎn)，為充 分利用色帶的全部表面，色帶也常被設(shè)計(jì)成麥比烏斯圈。三、 在美國匹茲堡著名肯尼森林游樂園里，就有一部“加強(qiáng)版”的云霄飛車-它的軌道是一個(gè)麥比烏斯圈。乘客在軌道的兩面上飛馳。四、麥比烏斯圈循環(huán)往復(fù)的幾何特征，蘊(yùn)含著永恒、無限的意義， 因此常被用于各類標(biāo)志設(shè)計(jì)。微處理器廠商Power Architecture的商標(biāo)就是 一條麥比烏斯圈，甚至垃圾回收標(biāo)志也是由麥比烏斯圈變化而來。PowerSOURCE垃圾回收標(biāo)志Power Architecture標(biāo)志練習(xí)

23、：想一想，用4條線段能將正方形分成11塊嗎？應(yīng)該怎樣分?第四節(jié)分割圖形分割圖形是使我們的頭腦靈活，增強(qiáng)觀察能力的一種有趣的游戲我們先來看一個(gè)簡單的分割圖形的題目一一分割正方形。用4條線段還可以把一個(gè)正方形分成10塊，只是和九宮格不同的是,每塊的大小不一定都相等。那么，怎樣才能用4條線段把正方形分成10塊呢？請你先動(dòng)腦筋想想，在動(dòng)腦的同時(shí)還要?jiǎng)邮之嬕划嬈鋵?shí)，正方形是不難分割成10塊的，下面就是其中兩種分割方法。第五節(jié)數(shù)學(xué)故事（1）奇特的墓志銘 在大數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上，鐫刻著一個(gè)有趣的幾 何圖形：一個(gè)圓球鑲嵌在一個(gè)圓柱內(nèi)。相傳，它是阿基米 德生前最為欣賞的一個(gè)定理。在數(shù)學(xué)家魯?shù)婪虻哪贡?，則鐫

24、刻著圓周率n的35位 數(shù)值。這個(gè)數(shù) 值被叫做?！濒?shù)婪驍?shù)”。它是魯?shù)婪虍吷难?的結(jié)晶。大數(shù)學(xué)家高斯曾經(jīng)表示，在他去世以后，希望人們在他 的墓碑上刻 上一個(gè)正17邊形。因?yàn)樗窃谕瓿闪苏?7邊形的尺規(guī)作圖后，才決定 獻(xiàn)身于數(shù)學(xué)研究的不過，最奇特的墓志銘，卻是屬于古希臘數(shù)學(xué)家丟番 圖的。他的墓碑 上刻著一道謎語般的數(shù)學(xué)題： “過路人，這座石墓里安葬著丟番圖。他 生命的16是幸福的童年，生命的112是青少年時(shí)期。又過了生命的17他才結(jié)婚?；楹?年有了一個(gè)孩子，孩子活到他 父親一半的年紀(jì) 便死去了。孩子死后，丟番圖在深深的悲 哀中又活了4年，也結(jié)束了塵 世生涯。過路人，你知道丟 番圖的年紀(jì)嗎？” 丟

25、番圖的年紀(jì)究竟有多大呢？設(shè)他活了X歲，依題意可列出方程。這樣，要知道丟番圖的年紀(jì)，只 要解出這個(gè)方程就行了。這段墓志銘寫得太妙了。誰想知道丟番圖的年紀(jì)，誰 就得解一個(gè)一 元一次方程；而這又正好提醒前來瞻仰的人 們，不要忘記了丟番圖獻(xiàn)身 的事業(yè)。在丟番圖之前，古希臘數(shù)學(xué)家習(xí)慣用幾何的觀點(diǎn)看待 遇到的所有數(shù) 學(xué)問題，而丟番圖則不然，他是古希臘第一 個(gè)大代數(shù)學(xué)家，喜歡用代數(shù) 的方法來解決問題?，F(xiàn)代解方程的基本步驟，如移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、 ，方 程兩邊乘以同一因子等等，丟番圖都已知道了。他尤其擅長解答不定方程，發(fā)明了許多巧妙的方法，被西方數(shù)學(xué)家譽(yù)為這門數(shù)學(xué)分支的開山鼻丟番圖也是古希臘最后一個(gè)大數(shù)學(xué)家。遺

26、憾的是，關(guān) 于他的生平。 后人幾乎一無所知，既不知道他生于何地， 也不知道他卒于何時(shí)。幸虧 有了這段奇特的墓志銘，才知 道他曾享有84歲的高齡。(2)希臘十字架問題圖上那只巨大的復(fù)活節(jié)彩蛋上有一個(gè)希臘十字架，從它引發(fā)出許多切 割問題，下面是其中的三個(gè)。(a)將十字架圖形分成四塊，用它們拼成一個(gè)正方形；有無限多種辦法把一個(gè)希臘十字架分成四塊，再把它們拼成一個(gè)正方 形，下圖給出了其中的一個(gè)解法。奇妙的是，任何兩條切割直線，只要與圖上的直線分別平行，也可取得同樣的結(jié)果，分成的四塊東西總是能拼 出一個(gè)正方形。(b)將十字架圖形分成三塊，用它們拼成一個(gè)菱形；(c)將十字架圖形分成三塊，用它們拼成一個(gè)矩形

27、，要求其 長是寬的兩倍ZE7第二章 最完美的數(shù)完美數(shù)又稱為完全數(shù) , 最初是由畢達(dá)哥拉斯 (Pythagoras) 的信徒發(fā)現(xiàn)的 , 他們注意 到:數(shù) 6 有一個(gè)特性 , 它等于它自己的因子 ( 不包括它自身 ) 的和 : 6=1+2+3,下一個(gè)具有同樣性質(zhì)的數(shù)是28, 28=1+2+4+7+14接著是496和8128.他們稱這類數(shù)為完美數(shù).歐幾里德在大約公元前350-300年間證明了:若2n-1是素?cái)?shù),則數(shù)2n-12n-1 (1)是完全數(shù).兩千年后,歐拉證明每個(gè)偶完全數(shù)都具有這種形式.這就在完全數(shù)與梅 森數(shù)(形式為21的素?cái)?shù))之間建立了緊密的聯(lián)系,到1999年6月1日為止,共發(fā)現(xiàn)了38個(gè)梅森

28、素?cái)?shù),這就是說已發(fā)現(xiàn)了38個(gè)完全數(shù).1：完全數(shù)是非常奇特的數(shù),它們有一些特殊性質(zhì),例如每個(gè)完全數(shù)都 是三角形數(shù),即都能寫成n(n+1)/2.6=1+2+3=3*4/228=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2496=1+2+3+4+.+31=31*32/2 .2n-1(2n-1)=1+2+3+.+(2n-1)=(2n-1)2n/22：把它們(6除外)的各位數(shù)字相加,直到變成一位數(shù),那么這個(gè)一位數(shù)一定是1;它們都是連續(xù)奇數(shù)的立方和(6除外),22(23-1)=28=13+3324(25-1)=496=13+33+53+7326(27-1)=8128=13+33+53+73+93+113+133

29、+153.2n-1(2n-1)=13+33+53+.+(2(n+1)/2-1)33：除了因子1之外,每個(gè)完全數(shù)的所有因子(包括自身)的倒數(shù)和等于1,比如:1/2+1/3+1/6=11/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1 .4：完全數(shù)都是以6或8結(jié)尾的,如果以8結(jié)尾,那么就肯定是以28結(jié)尾.注意以上談到的完全數(shù)都是偶完全數(shù),至今仍然不知道有沒有奇完全數(shù),如果真的存在奇完全數(shù).50第三章有理數(shù)的巧算有理數(shù)運(yùn)算是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運(yùn)算的基礎(chǔ).它要求同學(xué)們在理 解有理數(shù)的有關(guān)概念、法則的基礎(chǔ)上，能根據(jù)法則、公式等正確、 迅速地進(jìn)行運(yùn)算.不僅如此，還要善于根據(jù)題目條件，將推理與計(jì) 算相結(jié)合，靈活巧妙

30、地選擇合理的簡捷的算法解決問題，從而提高 運(yùn)算能力，發(fā)展思維的敏捷性與靈活性.1.括號(hào)的使用在代數(shù)運(yùn)算中，可以根據(jù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律，去掉或者添上括號(hào)，以此來改變運(yùn)算的次序，使復(fù)雜的問題變得較簡單.例1計(jì)算：CD47-(1875)X2j-2)3x &lwe(4FJ分析 中學(xué)數(shù)學(xué)中，由于負(fù)數(shù)的引入，符號(hào)“+”與“-”具有了雙重涵義，它既是表示加法與減法的運(yùn)算符號(hào)，也是表示正數(shù)與負(fù) 數(shù)的性質(zhì)符號(hào).因此進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算時(shí)，一定要正確運(yùn)用有理數(shù)的 運(yùn)算法則，尤其是要注意去括號(hào)時(shí)符號(hào)的變化.-|47 - 37 + (318-1一14解 CD 原式=幻4650=注= 20.523(-8)-12 -2)

31、原式二一廠斗巴一 -x -4 44 44025163=5=46=40X25= 255注意 在本例中的乘除運(yùn)算中，常常把小數(shù)變成分?jǐn)?shù)，把帶分?jǐn)?shù)變成 假分?jǐn)?shù)，這樣便于計(jì)算.例2計(jì)算下式的值：211X555+445X789+555X789+211X445.分析直接計(jì)算很麻煩，根據(jù)運(yùn)算規(guī)則，添加括號(hào)改變運(yùn)算次序，可使計(jì) 算簡單.本題可將第一、第四項(xiàng)和第二、第三項(xiàng)分別結(jié)合起來計(jì)算.解 原式=(211X555+211X445)+(445X789+555X789)=211X(555+445)+(445+555)X789=211X1OOO+1OOOX 789=1000X(211+789)=1 OOO OOO.

32、說明 加括號(hào)的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數(shù)巧算中的 常用技巧.例3在數(shù)1,2,3,，1998前添符號(hào)“+”和“-”，并依次運(yùn)算，所得可能的最小非負(fù)數(shù)是多少?(-85+12x4分析與解 因?yàn)槿舾蓚€(gè)整數(shù)和的奇偶性，只與奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)，所以在1,2,3,，1998之前任意添加符號(hào)“+”或“-”，不會(huì) 改變和的奇偶性.在1,2,3,，1998中有1998-2個(gè)奇數(shù)，即 有999個(gè)奇數(shù),所以任意添加符號(hào)“+”或“-”之后,所得的代數(shù) 和總為奇數(shù),故最小非負(fù)數(shù)不小于1.現(xiàn)考慮在自然數(shù)n,n+1,n+2,n+3之間添加符號(hào)“+”或“-” 顯然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0.這啟發(fā)我們將

33、1,2,3,，1998每連續(xù)四個(gè)數(shù)分為一組，再 按上述規(guī)則添加符號(hào),即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1.所以,所求最小非負(fù)數(shù)是1.說明 本例中,添括號(hào)是為了造出一系列的“零”,這種方法可使計(jì) 算大大簡化.2.用字母表示數(shù)我們先來計(jì)算(100+2)X(100-2)的值:(100+2)X(100-2)=100X100-2X100+2X100-4= 1002-22.這是一個(gè)對具體數(shù)的運(yùn)算，若用字母a代換100,用字母b代換2, 上述運(yùn)算過程變?yōu)?a+b)(a-b)二a2-ab+ab-b2=a2-b2于是我們得到了一個(gè)重要的計(jì)算

34、公式(a+b)(a-b)=a2-b2，這個(gè)公式叫平方差公式，以后應(yīng)用這個(gè)公式計(jì)算時(shí)，不必重復(fù)公式的證明過程，可直接利用該公式計(jì)算.例4計(jì)算3001X2999的值.解3001X2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999.例5計(jì)算103X97X10 009的值.解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919.例 6 計(jì)算：24 69012 3462-12 345x12 347分析與解 直接計(jì)算繁.仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)分母中涉及到三個(gè)連續(xù)整數(shù)：12 345，12 346，12 347 .

35、可設(shè)字母 n=12 346，那 么 12345=n-1 , 12 347=n+1,于是分母變?yōu)?n2-(n-1)(n+1).應(yīng) 用平方差公式化簡得n2-(n2-12)=n2-n 2+1=1 ,即原式分母的值是 1，所以原式=24 690 .例 7 計(jì)算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1).分析 式子中 2, 22, 24,每一個(gè)數(shù)都是前一個(gè)數(shù)的平方，若在(2+1)前面有一個(gè)(2-1)，就可以連續(xù)遞進(jìn)地運(yùn)用(a+b)(a-b)=a2-b2了.解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)X(216+1)(232+1)=(22-1)(22

36、+1)(24+1)(28+1)(216+1)X(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=(232-1)(232+1) =264-1例 8 計(jì)算:分析 在前面的例題中，應(yīng)用過公式(a+b)(a-b)二a2-b2這個(gè)公式也可以反著使用，即a2-b2=(a+b)(a-b).本題就是一個(gè)例子.=卜+凱1一卜一曰x（j +首）（一#）（萄（1-韻=（“趴1T4V）卜+萄解原式321175*4H209丿10 11一4一9通過以上例題可以看到，用字母表示數(shù)給我們的計(jì)算帶來很大的益處.下面再看一個(gè)例題，從中可以看到用字母表示一個(gè)式子，也可使計(jì)算簡化.分祈四個(gè)括號(hào)中均包含

37、一個(gè)共同部分、卜+巨抑我們用一個(gè)字母表示它以簡化計(jì)算.fiSLS-A_ = + 三1998原式一(A+G 十小入亠1點(diǎn)jA1.觀察算式找規(guī)律例10某班20名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績?nèi)缦拢堄?jì)算他們的總分與平均分.87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86,89,92,95,88.分析與解 若直接把20個(gè)數(shù)加起來，顯然運(yùn)算量較大，粗略地估計(jì)一下， 這些數(shù)均在90上下， 所以可取90為基準(zhǔn)數(shù)， 大于90的 數(shù)取“正”，小于90的數(shù)取“負(fù)”，考察這20個(gè)數(shù)與90的差，這 樣會(huì)大大簡化運(yùn)算.所以總分為90X20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-

38、1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)= 1800-1 = 1799,平均分為90+(-1)-20=89.95.例11計(jì)算1+3+5+7+1997+1999的值.F -1999分析 觀察發(fā)現(xiàn)：首先算式中，從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)減前項(xiàng)的差 都等于2；其次算式中首末兩項(xiàng)之和與距首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和 都等于2000，于是可有如下解法解 用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+ 1997+1999.再將S各項(xiàng)倒過來寫為S=1999+1997+1995+3+1.將，兩式左右分別相加，得2S=(1 + 1999)+(3+1997)+(1997+3)+(

39、1999+1)=2000+2000+ +2000+2000(1000個(gè)2000)=2000X1000.從而有S=1000 000說明 一般地，一列數(shù)，如果從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都相等(本題3-仁5-3=7-5二= 1999-1997,都等于2)，那么，這列數(shù)的求 和問題，都可以用上例中的“倒寫相加”的方法解決例13計(jì)算1+5+52+53+599+5100的值.分析 觀察發(fā)現(xiàn),上式從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)都是它前面一項(xiàng)的5倍如果 將和式各項(xiàng)都乘以5,所得新和式中除個(gè)別項(xiàng)外,其余與原和式中的項(xiàng)相 同,于是兩式相減將使差易于計(jì)算S=1+5+52+599+5100,所以5S=5+52+53+5100+

40、5101.一得4S=5101-1,5ni-1所咬說明 如果一列數(shù)，從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比都相等（本例中是都等于5），那么這列數(shù)的求和問題，均可用上述“錯(cuò)位相減”法來解決.例14計(jì)算:1 I I I 1I I11X2十2X3十30133十十199SX 1999 分析一般情況下，分?jǐn)?shù)計(jì)算是先通分.本題通分計(jì)算將很 繁，所以我們不但不通分，反而利用如下一個(gè)關(guān)系式丄_1_1応匚応+巧 化+ h來把每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，然后再計(jì)算，這種方法叫做拆項(xiàng)法.解由于1 _1_1 1 _ 1 1 1 _ 1 _ 11X2 = 1一可2 X 3 = 2 33X 4=3 43所以原式=百壬)+(mm_l19981

41、999J一1 1999 1999說明 本例使用拆項(xiàng)法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項(xiàng)，這種方法在有理數(shù)巧算中很常用.練習(xí)1.計(jì)算下列各式的值:(1)-1+3-5+7-9+11-1997+1999;(2) 11 + 12-13-14+15+16-17-18+99+100;(3)1991X1999-1990X2000;4726342+472 6352-472 633X472 635-472 634X472 636;(6)1+4+7+244;11+=+* =1 1 11 =300011 1 11三C 831-+ - 一-+ - 一31 N2030-422.某小組20名同學(xué)的數(shù)學(xué)測驗(yàn)成績?nèi)?/p>

42、下,試計(jì)算他們的平均分.81,72,77,83,73,85,92,84,75,76,91,86,78,74,85.(.5；III1 X 3+3X5 + 5X711997X 199963,76,97,80,90,第四章 歸納與發(fā)現(xiàn)歸納的方法是認(rèn)識(shí)事物內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律性的一種重要思考方法，也是 數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)命題與發(fā)現(xiàn)解題思路的一種重要手段這里的歸納指的是常用 的經(jīng)驗(yàn)歸納，也就是在求解數(shù)學(xué)問題時(shí)，首先從簡單的特殊情況的觀察入 手，取得一些局部的經(jīng)驗(yàn)結(jié)果，然后以這些經(jīng)驗(yàn)作基礎(chǔ)，分析概括這些經(jīng) 驗(yàn)的共同特征，從而發(fā)現(xiàn)解題的一般途徑或新的命題的思考方法下面舉 幾個(gè)例題，以見一般例1如圖2-99，有一個(gè)六邊形點(diǎn)

43、陣，它的中心是一個(gè)點(diǎn)，算作第一層；第二層每邊有兩個(gè)點(diǎn)（相鄰兩邊公用一個(gè)點(diǎn)）;第三層每邊有三個(gè)點(diǎn)， 這個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有n層，試問第n層有多少個(gè)點(diǎn)？這個(gè)點(diǎn)陣共有多少個(gè) 點(diǎn)？分析與解 我們來觀察點(diǎn)陣中各層點(diǎn)數(shù)的規(guī)律，然后歸納出點(diǎn)陣共有 的點(diǎn)數(shù) 第一層有點(diǎn)數(shù)：1；第二層有點(diǎn)數(shù)：1X6;第三層有點(diǎn)數(shù)：2X6;第四層有點(diǎn)數(shù)：3X6；第n層有點(diǎn)數(shù)：（n-1）X6.因此，這個(gè)點(diǎn)陣的第n層有點(diǎn)（n-1）X6個(gè).n層共有點(diǎn)數(shù)為例2在平面上有過同一點(diǎn)P,并且半徑相等的n個(gè)圓，其中任何兩個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn)，任何三個(gè)圓除P點(diǎn)外無其他公共點(diǎn)，那么試問：(1)這n個(gè)圓把平面劃分成多少個(gè)平面區(qū)域？(2)這n個(gè)圓共有多少個(gè)交點(diǎn)？

44、分析與解(1)在圖2-100中，設(shè)以P點(diǎn)為公共點(diǎn)的圓有1，2，3，4，5個(gè)(取這n個(gè)特定的圓)，觀察平面被它們所分割成的平面區(qū)域有多少個(gè)？ 為此，我們列出表181由表181易知S2-S1=2，53- S2=3,54- S3=4,55- S4=5,由此，不難推測Sn-Sn-1=n把上面(n-1)個(gè)等式左、右兩邊分別相加，就得到Sn-Si=2+3+4+ +n,因?yàn)镾i=2，所以F面對Sn-Sn-1二n，即Sn=Sn-1+n的正確性略作說明因?yàn)镾n-1為n-1個(gè)圓把平面劃分的區(qū)域數(shù)，當(dāng)再加上一個(gè)圓，即當(dāng)n個(gè)圓過定點(diǎn)P時(shí)，這個(gè)加上去的圓必與前n-1個(gè)圓相交，所以這個(gè)圓就被 前n-1個(gè)圓分成n部分，加在

45、Sn-1上，所以有Sn=Sn-1+n.(2)與(1)一樣，同樣用觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的方法來解決為此，可列出表18.2.由表182容易發(fā)現(xiàn)ai=1,a2-ai=1,a3-a2=2,a4-a3=3,a5-a4=4,an-1-an-2=n-2，an-an-1=n-1n個(gè)式子相加注意 請讀者說明an=an-1(n-1)的正確性例3設(shè)a,b,c表示三角形三邊的長，它們都是自然數(shù)，其中abc,如果b=n(n是自然數(shù))，試問這樣的三角形有多少個(gè)？分析與解 我們先來研究一些特殊情況：(1)設(shè)b=n=1，這時(shí)b=1，因?yàn)閍b2,由于a+b=2，那 么a+b不大于第三邊c,這時(shí)不可能由a,b,c構(gòu)成三角形，可見，當(dāng)

46、b=n=1時(shí)，滿足條件的三角形只有一個(gè).(2)設(shè)b=n=2,類似地可以列舉各種情況如表18.3.這時(shí)滿足條件的三角形總數(shù)為：(3)設(shè)b=n=3，類似地可得表18通過上面這些特例不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)b=n時(shí)，滿足條件的三角形總數(shù)為：1+2=34這時(shí)滿足條件的三角形總數(shù)為：123=6這個(gè)猜想是正確的.因?yàn)楫?dāng)b=n時(shí)，a可取n個(gè)值(1,2,3, 對應(yīng)于a的每個(gè)值，不妨設(shè)a=k(1kn).由于bcva+b，即n+k,所以c可能取的值恰好有k個(gè)(n,n+1,n+2，n+k-1)當(dāng)b=n時(shí)，滿足條件的三角形總數(shù)為：例4設(shè)1x2x3x-xn縮寫為n!(稱作n的階乘)，試化簡:+2! x2+3!X3+ +n!Xn.分

47、析與解 先觀察特殊情況：，n)，n0,試比較代數(shù)式X3和x2+x+2的值的大小.分析與解 本題直接觀察，不好做出歸納猜想，因此可設(shè)x等于某些 特殊值，代入兩式中做試驗(yàn)比較，或許能啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)解題思路為此， 設(shè)x=0，顯然有x3vx2+x+2.設(shè)x=10，則有x3=1000,x2+x+2=112，所以x3 x2+x+2.設(shè)x=100,則有x3x2+x+2.觀察、比較，兩式的條件和結(jié)論，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x值較小時(shí)，x3vx2+x+2；當(dāng)x值較大時(shí)，x3x2+x+2那么自然會(huì)想到：當(dāng)x二？時(shí)，x3=x2+x+2呢？如果這個(gè)方程得解，則 它很可能就是本題得解的“臨界點(diǎn)”.為此，設(shè)x3=x2+x+2，貝 S

48、x3-x2-x-2=0,(x3-x2-2x)+(x-2)=0，(x-2)(x2+x+1)=0因?yàn)閤0,所以x2+x+10,所以x-2=0,所以x=2.這樣(1)當(dāng)x=2時(shí)，x3=x2+x+2；(2)當(dāng)0vxv2時(shí),因?yàn)閤-2V0,X2+X+20,所以(X-2)(X2+X+2)V0,即x3-(x2+x+2)V0，所以x3Vx2+x+2.(3)當(dāng)X 2時(shí)，因?yàn)閤-20，x2+x+20， 所以(x-2)(x2+x+2)0，即x3-(x2+x+2)0，所以x3x2+x+2綜合歸納(1)，(2)，(3)，就得到本題的解答 練習(xí)七1試證明例7中：2平面上有n條直線，其中沒有兩條直線互相平行相交)，也沒有三

49、條或三條以上的直線通過同一點(diǎn)試求：(1)這n條直線共有多少個(gè)交點(diǎn)？(2)這n條直線把平面分割為多少塊區(qū)域？然后做出證明.)3求適合x5=656356768的整數(shù)x(提示：顯然x不易直接求出， 但可注意其取值范圍：v605，所以502vxv602.)第五章 生活中的數(shù)學(xué)（儲(chǔ)蓄、保險(xiǎn)與納稅）儲(chǔ)蓄、保險(xiǎn)、納稅是最常見的有關(guān)理財(cái)方面的數(shù)學(xué)問題，幾乎人人都 會(huì)遇到，因此，(即每兩條直線都505v656356768我們在這一講舉例介紹有關(guān)這方面的知識(shí)，以增強(qiáng)理財(cái)?shù)?自我保護(hù)意識(shí)和處理簡單財(cái)務(wù)問題的數(shù)學(xué)能力1儲(chǔ)蓄銀行對存款人付給利息，這叫儲(chǔ)蓄存入的錢叫本金一定存期（年、月或日）內(nèi)的利息對本金的比叫利率本金加

50、上利息叫本利和利息二本金X利率X存期，本利和二本金X（1 +利率經(jīng)X存期）.如果用p，r，n，i，s分別表示本金、利率、存期、利息與本利和，那么有i=prn，s=p（1+rn）.例1設(shè)年利率為0.0171，某人存入銀行2000元，3年后得到利息多 少元？本利和為多少元？解i=2000 x0.0171x3=102.6（元）.s=2000 x（1+0.0171x3）=2102.6（元）.答 某人得到利息102.6元，本利和為2102.6元.以上計(jì)算利息的方法叫單利法，單利法的特點(diǎn)是無論存款多少年，利 息都不加入本金.相對地，如果存款年限較長，約定在每年的某月把利息 加入本金，這就是復(fù)利法，即利息再

51、生利息.目前我國銀行存款多數(shù)實(shí)行 的是單利法.不過規(guī)定存款的年限越長利率也越高.例如，1998年3月 我國銀行公布的定期儲(chǔ)蓄人民幣的年利率如表22.1所示.用復(fù)利法計(jì)算本利和，如果設(shè)本金是p兀，年利率是r,存期是n年，那么若第1年到第n年的本利和分別是S1，S2,，Sn，則s1=p(1+r)，s2=s1(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r)2，S3=S2(1+r)二p(1+r)2(1+r)二p(1+r)3,.,Sn二p(1+r)n.例2小李有20000元，想存入銀行儲(chǔ)蓄5年，可有幾種儲(chǔ)蓄方案， 哪種方案獲利最多？解 按表221的利率計(jì)算( 1 )連續(xù)存五個(gè)1年期，則5年期滿的本利和為

52、20000(1+0.0522)525794(元).(2)先存一個(gè)2年期，再連續(xù)存三個(gè)1年期，則5年后本利和為20000(1+0.0558X2)(1+0.0522)325898(元).(3)先連續(xù)存二個(gè)2年期，再存一個(gè)1年期，則5年后本利和為20000(1+0.0558X2)2(1+0.0552)26003(元).(4 )先存一個(gè)3年期，再轉(zhuǎn)存一個(gè)2年期，則5年后的本利和為20000(1+0.0621X3)(1+0.0558X2)26374(元).(5)先存一個(gè)3年期，然后再連續(xù)存二個(gè)1年期，則5年后本利和為20000(1+0.0621X3)(1+0.0522)226268(元).(6)存一個(gè)5

53、年期，則到期后本利和為20000(1+0.0666X5)26660(元).顯然，第六種方案，獲利最多，可見國家所規(guī)定的年利率已經(jīng)充分考 慮了你可能選擇的存款方案，利率是合理的.2.保險(xiǎn)保險(xiǎn)是現(xiàn)代社會(huì)必不可少的一種生活、生命和財(cái)產(chǎn)保護(hù)的金融事 業(yè).例如，火災(zāi)保險(xiǎn)就是由于火災(zāi)所引起損失的保險(xiǎn)， 人壽保險(xiǎn)是由于人 身意外傷害或養(yǎng)老的保險(xiǎn)， 等等.下面舉兩個(gè)簡單的實(shí)例.例3假設(shè)一個(gè)小城鎮(zhèn)過去10年中，發(fā)生火災(zāi)情況如表22.2所示.試問：( 1 )設(shè)想平均每年在1000家中燒掉幾家？(2)如果保戶投保30萬元的火災(zāi)保險(xiǎn)，最低限度要交多少保險(xiǎn)費(fèi)保險(xiǎn) 公司才不虧本？解(1)因?yàn)?+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11(家)，365+371+385