利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提高競(jìng)賽數(shù)學(xué)的趣味性

1、利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提高競(jìng)賽數(shù)學(xué)的趣味性1 .問(wèn)題的提出競(jìng)賽數(shù)學(xué)，俗稱奧數(shù)，是我國(guó)數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)強(qiáng)項(xiàng)，無(wú)論是普及程度還是競(jìng)賽水平都位居世界前列，我國(guó)選在歷屆參賽的國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（IMO）中，都有優(yōu)異的表現(xiàn)。但是，近年來(lái)受功利主義的驅(qū)動(dòng)， “奧數(shù)”出現(xiàn)了泛化的趨勢(shì)，連小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽都被冠以“奧數(shù)”的頭銜，出現(xiàn)了“全民奧數(shù)”的不正?，F(xiàn)象， 引起許多人對(duì)奧數(shù)的批判和反思。批評(píng)者認(rèn)為：奧數(shù)并不教給學(xué)生科學(xué)研究的方法，而只是一味追求偏、難、怪的解題技巧，舍棄了數(shù)學(xué)最核心，也是最有用的數(shù)學(xué)思想方法；還有人對(duì)我國(guó)獲得IMO 獎(jiǎng)牌的選手進(jìn)行了追蹤調(diào)查，發(fā)現(xiàn) “這些公認(rèn)的數(shù)學(xué)尖子基本上沒(méi)有在數(shù)學(xué)研究上做出突出成就的

2、， 甚至鮮有喜歡數(shù)學(xué)的”，由此認(rèn)為奧數(shù)一無(wú)是處，更有甚者宣稱“奧數(shù)已成公害，對(duì)學(xué)生危害堪比黃、賭、毒”。與我國(guó)相比，國(guó)外的奧數(shù)則顯得非常冷清。比如日本，雖然奧數(shù)教育也很成功， 但日本只有6%作用的中小學(xué)生有過(guò)奧數(shù)學(xué)習(xí)的經(jīng)歷，或者正在學(xué)習(xí)奧數(shù)。美國(guó)也類似，中小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)感興趣的不多，但對(duì)數(shù)學(xué)感興趣的人，則會(huì)非常投入。這些學(xué)生由于興趣支撐，發(fā)展后勁很大。對(duì)于這一點(diǎn)，我國(guó)奧數(shù)教育家熊斌老師在談對(duì)國(guó)內(nèi)外IMO 選手的對(duì)比時(shí)也感慨的說(shuō)： “相對(duì)國(guó)內(nèi)的 IMO 選手而言，國(guó)外選手盡管也有相當(dāng)強(qiáng)的競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)，但在日常積累的過(guò)程中操練的成分更少一些。而且，相對(duì)而言，他們將數(shù)學(xué)抽象思維與生活場(chǎng)景結(jié)合的能力更強(qiáng)?！?/p>

3、其實(shí)奧數(shù)的教育價(jià)值早已經(jīng)被世界各國(guó)教育界肯定，所謂 IMO 獎(jiǎng)牌獲得者后來(lái)的成就普遍不大，在世界范圍內(nèi)根本就不成立。之所以出現(xiàn)前面所述的種種弊端， 主要是因?yàn)槲覀兇蠖嘤靡环N急功近利的心態(tài)去對(duì)待奧數(shù)，教師都大多采用“超前學(xué)習(xí)知識(shí)， 枯燥題海訓(xùn)練”的應(yīng)試教育模式進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生對(duì)奧數(shù)甚至數(shù)學(xué)產(chǎn)生了恐懼和厭煩，即使少數(shù)同學(xué)能堅(jiān)持學(xué)下去，也多數(shù)是為了獲得升學(xué)加分或保送的獎(jiǎng)勵(lì)。這也正是國(guó)內(nèi)的IMO 獲獎(jiǎng)選手一旦升入大學(xué)就很少選擇數(shù)學(xué)專業(yè)的主要原因。丘成桐先生一針見(jiàn)血的指出： “國(guó)外奧數(shù)考得好的學(xué)生，往往能夠成才，而我們的學(xué)生不一定能成才，因?yàn)閲?guó)內(nèi)是機(jī)械性的學(xué)數(shù)學(xué)，不是出于興趣。 ”基于以上分析，我們非常

4、有必要探討如何提高奧數(shù)學(xué)習(xí)的趣味性，使其真正成為“較高層次的基礎(chǔ)教育、開(kāi)發(fā)智力的素質(zhì)教育、生動(dòng)活潑的業(yè)余教育、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的普及教育”。 同時(shí)，為了與已被泛化的“奧數(shù)”一詞相區(qū)別，下文將在相應(yīng)的地方使用 “競(jìng)賽數(shù)學(xué)”， 同時(shí)將其限定在中學(xué)，尤其是高中范圍內(nèi)進(jìn)行討論。2 競(jìng)賽數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的是以解題為核心的比賽，因此競(jìng)賽數(shù)學(xué)的教學(xué)主要是圍繞著解題而展開(kāi)的。就內(nèi)容而言，它在廣度和深度上都對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)進(jìn)行了大幅度加深，涉及代數(shù)、幾何、初等數(shù)論、和組合等領(lǐng)域，數(shù)學(xué)的抽象、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)忍攸c(diǎn)在競(jìng)賽數(shù)學(xué)中表現(xiàn)的尤為突出。同時(shí)， 由于競(jìng)賽的需要，競(jìng)賽數(shù)學(xué)的問(wèn)題往往具有深厚的高等數(shù)學(xué)背景，并呈現(xiàn)非模式化的特點(diǎn)，靈活

5、性很強(qiáng)。學(xué)習(xí)者除了要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功，還要有更強(qiáng)的抽象思維能力和數(shù)學(xué)直覺(jué)。由于競(jìng)賽數(shù)學(xué)內(nèi)容表現(xiàn)出很強(qiáng)的抽象性，且大多遠(yuǎn)離實(shí)際生活背景(與大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)的研究有很多相似之處)， 同時(shí)， 競(jìng)賽數(shù)學(xué)教學(xué)主要占用課余時(shí)間，教學(xué)時(shí)間緊、任務(wù)重， 因此多數(shù)教師都是采用講授法進(jìn)行教學(xué)，幾乎沒(méi)有人使用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)史等教學(xué)方法。筆者認(rèn)為，競(jìng)賽數(shù)學(xué)雖然有其特殊性，但仍然應(yīng)當(dāng)遵循數(shù)學(xué)教育的一般規(guī)律。如前所述，競(jìng)賽數(shù)學(xué)同高等數(shù)學(xué)具有許多的相似之處，高等院校數(shù)學(xué)教學(xué)改革(如開(kāi)展數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等活動(dòng))表明，我們應(yīng)該，也完全可以改變以往那種一味“題海戰(zhàn)術(shù)”的教學(xué)方式。3提高競(jìng)賽數(shù)學(xué)趣味性的基本途徑3.1 數(shù)學(xué)史融

6、入競(jìng)賽數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，尤其是IMO 的試題大多具有深厚的數(shù)學(xué)史背景，甚至直接來(lái)自某些著名的定理或歷史名題。例如第一屆數(shù)學(xué)奧林匹克國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)就提供了這樣一道訓(xùn)練題：試題1設(shè)f(x)為實(shí)多項(xiàng)式，且對(duì)任何a R, f(a) 0 (即f(x)是正定的)求證：存在多項(xiàng)式 g(x),h(x),使 f(x) g2(x) h2(x)說(shuō)明：本題其實(shí)有著深厚的歷史背景。在1900 年，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特(Hilbert)在巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，即著名的Hilbert問(wèn)題， 引導(dǎo)著整個(gè)20 世紀(jì)世界數(shù)學(xué)研究的潮流。此題就來(lái)源于其中的第17 個(gè)問(wèn)題：關(guān)于xi,K xn的實(shí)系數(shù)正定有理函數(shù)是否一定

7、可表成有限個(gè)關(guān)于xi,K xn的實(shí)系數(shù)有理函數(shù)的平方和在教學(xué)中，將往屆試題的這種背景展示給學(xué)生， 可以很好的激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí) 熱情，使他們以研究的角度看待競(jìng)賽數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，而不是單純的為了應(yīng)試而學(xué)。3.2 實(shí)際應(yīng)用融入競(jìng)賽數(shù)學(xué)教學(xué)從表面上看，競(jìng)賽數(shù)學(xué)研究的對(duì)象大多遠(yuǎn)離實(shí)際應(yīng)用，以至于許多把數(shù)學(xué)競(jìng) 賽看作是純粹的智力挑戰(zhàn)。其實(shí)，與實(shí)際應(yīng)用沒(méi)有任何關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)是不存在的。 即使以往被視為“最純潔”的數(shù)論，今天也已經(jīng)廣泛運(yùn)用在了密碼等多個(gè)領(lǐng)域。 再者，人畢竟不能“不食人間煙火”，還是希望能學(xué)到“有用”的數(shù)學(xué)，因此如 果將競(jìng)賽數(shù)學(xué)與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系起來(lái)，能夠極大的激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。例如，1978 年北京市數(shù)學(xué)競(jìng)

8、賽就以著名的 Butchart-Moster定理的一個(gè)推論(定理1)為基礎(chǔ)， 設(shè)計(jì)了一個(gè)與實(shí)際應(yīng)用密切相關(guān)的競(jìng)賽題， 不過(guò)遺憾的是這類競(jìng)賽試題出現(xiàn)的還 較少。定理 1 設(shè) a La。，1,L n Q，則函數(shù) f(x) i|x a1 | L在唯一的極小值.試題2:圖一是一個(gè)化工廠的地圖，一條公路(粗線)通過(guò)這個(gè)地區(qū)，七個(gè)工廠 Ai,4,L A7分布在公路兩側(cè)，由一些小路(細(xì)線)與公路相連?，F(xiàn)在要在公路上設(shè)一個(gè)長(zhǎng)途汽車站，車站到個(gè)工廠(沿公路、小路走)的距離總和越小越好，問(wèn)：(1)這個(gè)車站設(shè)在什么地方最好？(2)證明你所做的結(jié)論；(3)如果在P的地方又建立了一個(gè)工廠，并且沿著圖上的虛線修了一條小路

9、, 那么這時(shí)車站設(shè)在什么地方好？分析：A。i 7)與P到距離之和是定值，記為S d(AB) d(A2C) d(A3D) d(A4D) d(A5E) d(A6F) d(A7F)可將公路拉直，則 R G D E、F的位置關(guān)系不變，且它們的距離之和 不變，即這個(gè)拉直變換既保序又保距，可以將該直線視為數(shù)軸.設(shè)長(zhǎng)途汽車站設(shè)在 x處，則問(wèn)題變?yōu)榍骹 (x)S | xa1| | xa2| 2 | x831| x a4| 2 | x851, 其中ai,a2,a3,a4,a5分別表示B、C、D E、F到原點(diǎn)的距離（第三問(wèn)與之類似）這樣就轉(zhuǎn)化成了定理1 的形式，可以求得f （x） 的最小值點(diǎn)。2.3 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入

10、競(jìng)賽數(shù)學(xué)教學(xué)奧數(shù)學(xué)習(xí)與其它的學(xué)習(xí)一樣，是一個(gè)由直觀到抽象，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的過(guò)程。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以給學(xué)生提供豐富的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)，成為其學(xué)習(xí)抽象程度更高的數(shù)學(xué)知識(shí)的必要基礎(chǔ)。相對(duì)常規(guī)數(shù)學(xué)，競(jìng)賽數(shù)學(xué)復(fù)雜且抽象，要進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一般要借助計(jì)算機(jī)才能完成。一般來(lái)說(shuō)，我們可以將競(jìng)賽數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)分為兩大類：基于算法思想的驗(yàn)證歸納模式和基于圖形變化的模擬演示模式，下面進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹。2.3.1 驗(yàn)證歸納模式在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中，一般要首先從特殊情況入手進(jìn)行歸納，然后提出猜想，并檢驗(yàn)猜想，最后才是嚴(yán)格的推理與證明，這在競(jìng)賽數(shù)學(xué)中表現(xiàn)的尤為突出。這主要是因?yàn)?，?yīng)試教育中借助“題海戰(zhàn)術(shù)”使學(xué)生在解題時(shí)“一帆風(fēng)順”的策略在數(shù)學(xué)

11、競(jìng)賽中是不可能成功的，競(jìng)賽數(shù)學(xué)的問(wèn)題解決者更像一個(gè)研究者，要完整的經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的各個(gè)階段。由于競(jìng)賽數(shù)學(xué)的問(wèn)題一般涉及“無(wú)限”或大數(shù)字（如數(shù)論） ，手工計(jì)算進(jìn)行驗(yàn)證、 歸納往往難度較大，使用計(jì)算機(jī)可以將學(xué)生從繁瑣的機(jī)械計(jì)算中解放出來(lái)，將精力集中在算法的設(shè)計(jì)和尋找證明的等更富創(chuàng)造性的活動(dòng)上。本類型的數(shù)學(xué)的關(guān)鍵是設(shè)計(jì)相應(yīng)的算法，并使用高級(jí)程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)之。試題3： 確定是否存在滿足下列條件的正整數(shù)n ， 使得 n 恰好能被2000 個(gè)互補(bǔ)相同的質(zhì)數(shù)整除，且2n 1能夠被n整除.（2000年第41屆IMO）2.3.2 模擬演示模式平面幾何是競(jìng)賽數(shù)學(xué)的一個(gè)基本模塊，此外許多代數(shù)問(wèn)題也需要借助數(shù)形結(jié)合思

12、想從 “形” 的角度進(jìn)行研究。本類型的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)主要是借助幾何畫(huà)板、Matlab等專業(yè)軟件，直觀演示相關(guān)量的運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程，揭示其規(guī)律，進(jìn)而解決問(wèn)題。試題4:給定凸四邊形ABCD , BC=AD ,且BC不平行于AD.設(shè)點(diǎn)E和F分別在 邊BC和AD內(nèi)部，滿足BE=DF。直線AC和BD相交于P,直線BD和EF相 交于Q,直線EF和AC相交于Ro求證：當(dāng)E、F變動(dòng)時(shí)，PQR的外接圓除經(jīng)過(guò)P外還過(guò)另一個(gè)定點(diǎn).分析：在幾何畫(huà)中根據(jù)題設(shè)構(gòu)建相應(yīng)模型，如圖三所示，線段a為標(biāo)記量，改變其長(zhǎng)度，則E、F也會(huì)相應(yīng)的在 BC和AD上移動(dòng)。在此過(guò)程中，觀察PQR的外接圓，可以發(fā)現(xiàn)它除一定過(guò)P外，還總過(guò) PDC內(nèi)一點(diǎn)，由此大膽猜想： 該定點(diǎn)為完全四邊形 APBGDC的Moqueil點(diǎn)。在幾 何畫(huà)板中構(gòu)造該點(diǎn)，并重復(fù)前述變化過(guò)程，可發(fā)現(xiàn) 猜想成立，證明略.3.結(jié)束語(yǔ)筆者堅(jiān)信，作為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育的一個(gè)分支，競(jìng)賽數(shù)學(xué)必須要遵循數(shù)學(xué)教學(xué) 的一般規(guī)律。在目前數(shù)學(xué)改革的背景下，競(jìng)賽數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)當(dāng)與時(shí)俱進(jìn)的進(jìn)行教 學(xué)方法的改革，決不能再使用那種“超前學(xué)習(xí)，題海訓(xùn)練”的填鴨式教學(xué)方法。 同時(shí)，競(jìng)賽數(shù)學(xué)的教材也應(yīng)當(dāng)進(jìn)行相應(yīng)的改革， 盡量增加教材的趣味性，便于教 和學(xué)。當(dāng)然，凡事過(guò)猶不及。首先，競(jìng)賽數(shù)學(xué)的一個(gè)目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生更強(qiáng)的（相 對(duì)非奧數(shù)學(xué)習(xí)者）抽象思維能力和空間想象能力，過(guò)度強(qiáng)調(diào)增加數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)實(shí)