07第三章第7節(jié)曲率

1、第七節(jié)曲率一、弧微分二、曲率及其計(jì)算公式三、曲率圓與曲率半徑四、小結(jié)問題：如何定量描述曲線的霜程度?基點(diǎn):A(x0,j0),M(x,j)為任意一點(diǎn),-、弧微分設(shè)函數(shù)門兀)在區(qū)間(a,) 內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).規(guī)定：曲線的正向與兀增大的方向一致;(2) AM = s,當(dāng)A舫的方向與曲線正向一致時(shí),s取正號(hào)相反時(shí)，取負(fù)號(hào).單調(diào)增函數(shù)s =s(x).設(shè)N（兀+ Ar+3），如圖,MN< <MT + NT 當(dāng)山:->0時(shí)，Xo X工+心 X|MV| = J(Arr +(3)2 = ji + (魯)22 t Jl + y,2禺, 麻=|As| T処 MT = A/(Jx)2 + (Jy)2

2、= Jl + y,2 dx,NT = lAv dy T 0，故 |凋= l + yf2dx.弧微分公式 S = S（兀）為單調(diào)增函數(shù)，故ds = ；l + yf2dx.、曲率及其計(jì)算公式1 曲率的定義曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的量。（1）當(dāng)弧長(zhǎng)相同時(shí), 轉(zhuǎn)角越大曲線彎曲程 度越大。（2）轉(zhuǎn)角相同 時(shí)弧段越短彎曲 程度越大弧段佩r的平均曲率為k = |.曲線C在點(diǎn)M處的曲率K = limW&to| As I在lim學(xué)二字存在的條件下，k = |卿 公to As asds |;主意(1)直線的曲率處處為零。(2)上各點(diǎn)處的曲率等于半徑的倒數(shù)，且半徑越小曲率越大.如圖所示，有As =

3、 R&aK = limAct可見：R愈小，則愈大,RR愈大，則愈小2 曲率的計(jì)算公式ds設(shè)y = /（兀）二階可導(dǎo)，I tana = g有 a = arctan yy"da=R必'*: ds -y'2(bc設(shè)二階可導(dǎo),b =必)，.的腫),rfy 二 0(/)卩”(/) 一礦，(/)”(/) dx 卩'(/) dx2 瀘(/).|0(/)鴨"(/)一0'(/)肖'(/)| K 302(/) + y/2(°F例1求y =ax3(a>0)在點(diǎn)(0,0)及點(diǎn)(1皿)處的曲率解：T yf = 3ax2, yfr = 6

4、axyytf6a xT _I(1 + *)(1 + 9«2x4V.在點(diǎn)(0,0)處 K = 0.在點(diǎn)(l，a)處(l + 9a2p例2拋物線y =ax2+bx + c上哪一點(diǎn)的曲率最大? 解 yf = 2ax + b, yf, = 2ay=3 l + (2ax+b)2Y顯然，當(dāng)兀時(shí)，農(nóng)最尢lah 萬(wàn) 2 4/廠又打蘭)為拋物線的頂點(diǎn)2a 4a拋物線在頂點(diǎn)處的曲報(bào)大.、曲率圓與曲率半徑定義設(shè)曲線J=/(X)在點(diǎn) M(工)處的曲率為k(k 0) 在點(diǎn)M處的曲線的法線上 在凹的一側(cè)取一點(diǎn)D,使QM| = t = P以D為圓心，卩為半徑 k 作圓(如圖)，稱此圓為曲線在點(diǎn)M處的曲率圓D曲率中

5、心，P曲率半徑注意:1曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線在該點(diǎn)處的 曲率互為倒數(shù)即 £ =k = k p2曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑越大，曲線在該點(diǎn) 處的曲率越?。ㄇ€越平坦）;曲率半徑越小,曲 率越大（曲線越彎曲）3曲線上一點(diǎn)處的曲率圓弧可近似代替該點(diǎn)附近曲線?。ǚQ為曲線在該點(diǎn)附近的二次近似）.例3證明曲線:x2+2xj-8j2 + 2x + 14j-3 = 0必為直線. 證明：隱函數(shù)求導(dǎo)2x + 2y + 2xyf-16yyf + 2 + 14yf = 0f x+v + 1y =8j-x-7“(8j-x-7)(1 + jr)-(x + j +1)(» -1)y =(8j-x-7)

6、2將/代入得n _ 9(* + 2xy 8j2 + 2x +14j 3) _y 二(8J-X-7)2二k =-r =0d+y2)1所以曲線必為直爼四、小結(jié)運(yùn)用微分學(xué)的理論,研究曲線和曲面的性 質(zhì)的數(shù)學(xué)分支微分幾何學(xué).III基本概念：弧微分，曲率，曲率圓. 曲線彎曲程度的描述曲率； 曲線弧的近似代替曲率圓（弧）習(xí)題3 7片751,3,4,7總習(xí)題三好804,5,6,8,10(1,2,4),11 ,13,15,17,19思考題橢圓兀=2cost些點(diǎn)處曲率最大?y = 3 sin/ 上哪思考題解答k_ 腫61 + (jr)22(4sin21 + 9cos21)26=3(4 + 5cosh)23要使R

7、最大，必有(4 + 5cos21)2最小, => t = -,西此時(shí)k最大，2 2練習(xí)題一、填空題：1、曲率處處為零的曲線為;曲率處處相等的曲線為2、拋物線y = x2-4x + 3在(2, -1)處的曲率為;曲率半徑為3、曲線丿=ln(x + a/1+x2)在(0, 0)處的曲率為二、求曲線J = ln(secx)在點(diǎn)(兀)處的曲率及曲率半徑.x = a cos31,.3祖f處的曲率y = asm txy2四、證明曲線ymcosh-在任何一點(diǎn)處曲率半徑為aa五、六、曲線弧j=sinx (0<x<k)±哪一點(diǎn)處的曲率半 徑最?。壳蟪鲈擖c(diǎn)處的曲率半徑 -、亠+出 曲線上曲率最大的點(diǎn)稱為此曲線的頂點(diǎn)，試求指 豔囂亶常頂點(diǎn)，并求在該點(diǎn)處的曲率半徑