數(shù)學(xué)建模作業(yè)_實(shí)驗1

1、數(shù)學(xué)建模作業(yè)實(shí)驗 1學(xué)院：軟件學(xué)院：學(xué)號：班級：軟件工程2015級GCT班2016年 5月 10日基本實(shí)驗1 .椅子放平問題依6K 1.2.1節(jié)中的“椅子問題”的方法，將假設(shè)中的“四腿長相 同并且四腳連線呈正方形”，改為“四腿長相同并且四腳連線呈長方 形”，其余假設(shè)不變，問椅子還能放平嗎？如果能，請證明；如果不 能，請舉出相應(yīng)的例子。答：能放平，證明如下:如上圖，以椅子的中心點(diǎn)建立坐標(biāo)， 。為原點(diǎn)，A B C、D為椅 子四腳的初始位置，通過旋轉(zhuǎn)椅子到 A'、B'、C'、D',旋轉(zhuǎn) 的角度為,記A、B兩腳，C、D兩腳距離地面的距離為f( %) 和g( % ),由于

2、椅子的四腳在任何位置至少有 3腳著地，且f( % )、 g(%)是的連續(xù)函數(shù)，則f( %)和g( %)至少有一個的值為0,即 f( % )g( %)=0, f( a) > 0 , g( a) >0,若 f(0) >0, g(0)=0 ,則一定存在0 J 0 ( 0,兀)，使得f( % '尸 g( % '尸0令 =兀(即椅子旋轉(zhuǎn)180° ,AB邊與CM互換)，則f(兀)=0 , g(兀)> 0定義h( %尸f( % ) -g( % ),得到h(0)=f(0)-g(0)>0h(兀)=f(兀)-g(兀)<0根據(jù)連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理，則存在&

3、#39; 6(0,兀)，使得h( % ' )= f(r)-g( % '尸0結(jié)合條件f( % ' ) g( % ' )=0,從而得到f( %'尸g(%' )=0,即四腳著地，椅子放平。2 . 過河問題依照 1.2.2 節(jié)中的 “商人安全過河”的方法，完成下面的智力游戲：人帶著貓、雞、米過河，船除需要人劃之外，至多能載貓、雞、米之一，而當(dāng)人不在場時，貓要吃雞、雞要吃米，試設(shè)計一個安全過河的方案，并使渡河的次數(shù)盡量的少。答： 用 i =1, 2, 3, 4分別代表人，貓，雞，米。xi1在此岸，xi0在對岸，sx 1, x2 , x3 , x4 此岸狀態(tài)

4、，D 1 x1,1 x2 ,1 x 3,1 x4 對 岸狀態(tài)。安全狀態(tài)集合為5SSS5SS5SSJ- Tlllooooo111OO11O o ollollool o oo o oolollll = = = = = = = = = = qqdddddddd # I J J J J J J J * lollolooloooololollloolololo 1 1O 1 o o Olli o 1乘船方案，記作UUi,U2,U3,U4 ,當(dāng)i在船上時記Ui1,否則記Ui 0,允許決策集合為U 1,1,0,0, 1,0,1,0 , 1,0,0,1 , 1,0,0,0因為乘船k為奇數(shù)時船從此案駛向彼岸，k

5、為偶數(shù)時船由彼岸駛向此岸，所以狀態(tài)Sk隨決策5變化的規(guī)律為SS1k 1 k1kUk，設(shè)計安全過河方案歸結(jié)為求決策U1,U2,UnU,使?fàn)顟B(tài)Sk S按轉(zhuǎn)移律由初始狀態(tài)S11,1,1,1經(jīng)有限步n到達(dá)狀態(tài)Sn 10,0,0,0根據(jù)題設(shè)條件：影響安全渡河的元素是貓、雞、米，這 3個元素 中取2個元素的組合一共有4=3種，分別為貓+雞，貓+米，雞十米。 其中“貓+雞”和“雞十米”組合不安全，而“貓+米”的組合是安全 的。第一次渡河需帶3個元素中的1個元素，另外2個元素留在岸上, 而留在岸上的3種組合中只有“貓+米”的組合是安全的，可見第一 次渡河只能帶雞，即安全方案只有 U=(1, 0, 1, 0),

6、第二次將米或者貓帶到對岸，把雞帶回，第三次將貓或者米帶到對岸，第四次將雞帶過河，至此，貓、雞、米均安全過河。具體有 2種執(zhí)行方案如下：k1234567國li) bOj o(1,1.0.1)(0,1,0,0)(1.1,1. 0)S, 0. L 0)(L 0,1*0)(0, 0, 0, 0)5(1.0, L0)LQA 0)(1,0.0, 1)(L0, L0)(L hO, 0)(L0. 0. 0)(L 0, lP0)k12345678條(1, h 1,1)(0P 1,0,1)(1,1,0,1)(0, 0,仇 1)(1,0,1, 1)(0, 0, L 0)(1,0, 1,0)(o, a 0i o)lK

7、(1.0. U0)(L 0)(LLO. 0)(L0. U0)(1.0,0, 1)(L0, d 0)(L & I, 0)上述方案直觀表示如下:次數(shù)萬案（岸上成艮為該次運(yùn)送結(jié)束后的狀態(tài)）燦右素2（岸上成員為該次運(yùn)送結(jié)束后的狀態(tài)）工甲峽E肥上地因皮枝肥力l°J兩星E陽上敗閃及溟崩打舊一對FF厥Ri貓十米人+雞 .大，雞1貓母人叫人十鴻2人*貓人雞-大瓶十米人鴻3貓人十米人十榭米3米F人刊苜八十猴十雞4人喇雞人璘米大力鴻+米人網(wǎng)狼5戲人十瞄.人嗡咪5洲人咪人嘛米6人+雞人 賽來S人例.大物米7結(jié)克人*雞人曲4注集7大雞小貓卜師米h3.購房貸款問題（續(xù)）在1.2.3節(jié)“購房貸款”的問題

8、中，我們討論了小王夫婦借貸還貸的方式。現(xiàn)進(jìn)一步討論此問題。某借貸公司的廣告稱，對于貸款期在20年以上的客戶（利率仍按06%/月計算），他們幫你提前3年還清貸款。但條件如下：（1）每半個月付款一次，但付款額不增加，即一次付款額是原付給銀行還款額的1/2;（2）因為增加必要的檔案、文書等管理工作，因此，要預(yù)付給借貸公司貸款總額10%勺傭金。試分析，小王夫婦是否要請這家借貸公司幫助還款。答：設(shè)每月還款額為x,利率r,貸款額A0,總還款月數(shù)為N,總還款額為X。若貸款20萬，20年期，則：/10r(1 + r)N 200000 X 0,006(1 + 0,006)240X=tT+r)-l=(1 + 0,

9、0065240-1=1574.7 元X=xXN=1574.7X 240=377928 元若請這家借貸公司還款，則還款總額 X1=x(N-3Xl2)+ 10%A0=1574.7X 204+20000=341238.8 元 但小王夫婦預(yù)付給借貸公司20000元的傭金，如果把這20000元作為 首付，則小王夫婦只需貸款18萬，則總還款額：X2=X(1-10%)=340135.2 元還款月數(shù)：N2=長 +x=340135.2 + 1574.7=216 月=18 年X1>X2,小王夫婦不需用借貸公司還款。4 .冷卻定律按照Newton冷卻定律，溫度為T的物體在溫度為T0(T0<T)的環(huán) 境中

10、冷卻的速度與溫差 T-T0成正比。用此定律建立相應(yīng)的微分方程 模型。如果空氣的溫度是20C,且沸騰的水在20分鐘冷卻到60C,那 么水溫降低到30c需要多長時間？答：首先，牛頓冷卻定律為溫度為 T(t)的物體在溫度的環(huán)境中冷卻的速 度與溫度差丁 丁口成正比。所以，得出微分方程k為比例常數(shù)。任意時刻t ,物體的溫度為丁二丁0十C陰,C為常數(shù)根據(jù)已知條件，T0=20C,記t=0時刻，初始水溫T (0) =100C, 20分鐘后 水溫 T (20) =60 C。則：;T(0) = 20 += 1007(20) = 20 + Cek + 20 = 60求解函數(shù)得，k=-0.034657 , C=80,

11、即T(t) = 20 + 80 * e'0 0346574 f當(dāng)水溫降低到 30c 時,t=-ln (30-20) +80) + 0.034657=60 分鐘。5 .鍛煉想象力、洞察力和判斷力的問題(只簡單回答出理由即可)(1)某人早8時從山下旅店出發(fā)沿一條山路上山，下午 5時到達(dá)山 頂并留宿，次日8時沿同一山路下山，下午5時回到酒店。該人比在 兩天中的同一時刻經(jīng)過路徑中的同一地點(diǎn)，為什么？答：題中人記作A,假定有另一個人B,第二天復(fù)制A第一天的上山過 程(即任何時刻的足跡均相同)，那么問題相當(dāng)于A B兩人分別從一 段路的兩端同時出發(fā)，相向行走，同時到達(dá)另一端。則A、B二人必然會在路途

12、中相遇，相遇點(diǎn)即為A在兩天中的同一時刻經(jīng)過路徑中的 同一地點(diǎn)。也可用下圖加以說明，兩條曲線分別為上山和下山的曲線， 兩天都是同一時刻出發(fā)，同一時刻到達(dá)，無論曲線如何變化，總會有 一個相交點(diǎn)，相交點(diǎn)即為為A在兩天中的同一時刻經(jīng)過路徑中的同一 地點(diǎn)(2)甲乙兩站之間有汽車相通，每隔10分鐘甲乙兩站相互發(fā)一趟車， 但發(fā)車時刻不一定相同，甲乙兩站之間有一中間站丙，某人每天在隨 機(jī)時刻到達(dá)丙站，并搭乘最先經(jīng)過丙站的那趟車，結(jié)果發(fā)現(xiàn)100天中 約有90天到達(dá)甲站，大約有10天到達(dá)乙站。問開往甲乙兩站的汽車 經(jīng)過丙站的時刻是如何安排的？答：由題意可知，搭乘乙站開往甲站的車概率是 90%搭乘甲站開往 乙站的車

13、概率是10%說明90%勺時間等來的是乙站開往甲站的車， 10%勺時間等來的是甲站開往乙站的車，而發(fā)車時間間隔是10分鐘，進(jìn)而說明：10分鐘有9分鐘等來的是乙站開往甲站的車，有 1分鐘 等來的是甲站開往乙站的車。因此可以得出結(jié)論：乙站開往甲站的車到站后1分鐘，甲站開往乙站的車到站。開往甲乙兩站的汽車經(jīng)過丙站的時刻可表示如下(H0為乙站開往甲站的首班車時刻)：H0H0+1 甲乙HO+10 乙甲H0+11 甲乙H0+15 乙甲H0+16 甲"4乙(3)先生家住在A市，在B市工作，每天下班后他乘城際火車于18:00 抵達(dá)A市火車站，他妻子駕車至火車站接他回家。一日他提前下班，乘早一班火車于1

14、7:30抵達(dá)A市火車站，隨即步行回家，他妻子像往 常一樣駕車前來，在半路相遇將他接回家。到家時先生發(fā)現(xiàn)比往常提 前了 10分鐘，問先生步行了多長時間？答：先生從火車站比往常早出發(fā)30分鐘，早到家10分鐘，則其步行 路段用時比往常多了 20分鐘。他妻子從家出發(fā)時間不變，早到家 10 分鐘，則其少行駛了 10分鐘的路程，即先生步行路段的往返路程，那么先生步行路段的單程行車時間為 5分鐘。先生步行的時間應(yīng)為比往常多用的時間和步行路段的單程行車時間之和，即 25分鐘。(4) 一男孩和一女孩分別在距家2公里和1公里且方向相反的兩所學(xué)校上學(xué)，每天同時放學(xué)后分別以每小時 4公里和每小時2公里的速 度步行回家

15、。一小狗以每小時6公里的速度由男孩處奔向女孩， 又從 女孩處奔向男孩，如此往返直至回到家中。問小狗奔波了多少路程。如果男孩和女孩上學(xué)時，小狗也往返奔波在他們中間，問他們到達(dá)學(xué) 校時小狗在何處？答：由于他們到家的用時都是 2 + 4=0.5小時，所以小狗奔波的路程 為6X 0.5=3公里。上學(xué)過程是放學(xué)過程的逆向過程，所以在他們到 達(dá)學(xué)校時小狗的位置為放學(xué)時的起始位置，即男孩所在的學(xué)校。加分實(shí)驗（公平投票問題）某部門推出一專項基金目的在于培養(yǎng)優(yōu)秀人才，根據(jù)評比結(jié)果確 定資助的額度。許多單位的優(yōu)秀者都申請了該基金， 于是該基金的委 員會聘請了數(shù)名專家，按照如下規(guī)則進(jìn)行評比。1 .為了公平性，評委對

16、本單位選手不給分；2 .每位評委對每位參與申請的人（除本單位選手外）都必須打分， 且不打相同的分；3 .評委打分方法為給參加申請的人排序，根據(jù)優(yōu)劣分別記1分、2分、以此類推。4 .評判結(jié)束后，求出各選手的平均分，按平均分從低到高排序， 依次確定本次評比的名次，即平均分最低者獲得資助最高，依次類推。本次基金申請中，甲所在單位有一名評委，這位評委將不參加對 選手甲的評判，其他選手沒有類似情況，評審結(jié)束后選手甲覺得這種 評比規(guī)則對他不公平。問選手甲的抱怨是否有道理？若不公平， 能否 做出修正來解決選手甲的抱怨？答：令評審個數(shù)為n,根據(jù)評分規(guī)則，在一般情況下評委給出的評分K 1+&+ 網(wǎng)分別為%,及2,所以該選手的平均得分為=由于回避規(guī)則，甲的單位不得為甲評分，則甲的得分與一般選手V _ "1 + % + + % - 1 Sft