小學(xué)數(shù)學(xué)解題方法解題技巧之最值問題

1、小學(xué)數(shù)學(xué)解題方法解題技巧之最值問題【最小值問題】例 1 外賓由甲地經(jīng)乙地、丙地去丁地參觀。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中點(diǎn)，原來就各有一位民警值勤。為了保證安全，上級決定在沿途增加值勤民警，并規(guī)定每相鄰的兩位民警（包括原有的民警）之間的距離都相等。現(xiàn)知甲乙相距5000米，乙丙相距8000 米，丙丁相距4000 米，那么至少要增加位民警。（中華電力杯少年數(shù)學(xué)競賽決賽第一試試題）講析：如圖，現(xiàn)在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各處中點(diǎn)各有一位民警，共有 7 位民警。他們將上面的線段分為了2 個 2500米， 2個 4000米， 2 個 2000米?，F(xiàn)要在他們各自的中間插入若干名民警，要求

2、每兩人之間距離相等，這實(shí)際上是要求將2500、 4000、 2000分成盡可能長的同樣長的小路。由于2500、 4000、 2000 的最大公約數(shù)是500，所以，整段路最少需要的民警數(shù)是（5000+ 8000+ 4000） +500+ 1=35 （名）。例2在一個正方體表面上，三只螞蟻分別處在 A、R C的位置上，如圖所示，它們爬行的速度相等。若要求它們同時(shí)出發(fā)會面，那么，應(yīng)選擇哪點(diǎn)會面最省時(shí)？（湖南懷化地區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克預(yù)賽試題）講析： 因?yàn)槿晃浵佀俣认嗟?，要想從各自的地點(diǎn)出發(fā)會面最省時(shí)，必須三者同時(shí)到達(dá)，即各自行的路程相等。我們可將正方體表面展開，如圖，則 A、R C三點(diǎn)在同一平面上。

3、這樣，便將問題 轉(zhuǎn)化為在同一平面內(nèi)找出一點(diǎn) O,使O到這三點(diǎn)的距離相等且最短。所以，連接A和C,它與正方體白一條棱交于 O;再連接OB不難得出AO=OC=OB故，O點(diǎn)即為三只螞蟻會面之處?！咀畲笾祮栴}】例1有三條線段a、b、c,并且a<b<c。判斷：圖的三個梯形中，第幾個圖形面積最大？（全國第二屆“華杯賽”初賽試題）講析：三個圖的面積分別是：三個面積數(shù)變化的部分是兩數(shù)和與另一數(shù)的乘積，不變量是 （ a b c） 的和一定。其問題實(shí)質(zhì)上是把這個定值拆成兩個數(shù)，求這兩個數(shù)為何值時(shí)，乘積最大。由等周長的長方形面積最大原理可知，（a+b） Xc這組數(shù)的值最接近。故圖（3）的面積最大。例 2

4、 某商店有一天，估計(jì)將進(jìn)貨單價(jià)為90 元的某商品按100 元售出后，能賣出 500個。已知這種商品每個漲價(jià)1 元，其銷售量就減少10 個。為了使這一天能賺得更多利潤，售價(jià)應(yīng)定為每個元。（臺北市數(shù)學(xué)競賽試題）講析：因?yàn)榘疵總€100 元出售，能賣出500 個，每個漲價(jià)1 元，其銷量減少10 個，所以，這種商品按單價(jià)90 元進(jìn)貨，共進(jìn)了600 個?，F(xiàn)把 600 個商品按每份10 個， 可分成 60 份。 因每個漲價(jià)1 元， 銷量就減少1 份 （即10個）；相反，每個減價(jià)1 元，銷量就增加1 份。所以，每個漲價(jià)的錢數(shù)與銷售的份數(shù)之和是不變的（為60），根據(jù)等周長長方形面積最大原理可知，當(dāng)把60 分為兩

5、個30 時(shí)，即每個漲價(jià)30 元，賣出30 份，此時(shí)有最大的利潤。90 30=120（元）時(shí)，這一天能獲得最大利潤。42、最值規(guī)律【積最大的規(guī)律】（D多個數(shù)的和一定（為一個不變的常數(shù)），當(dāng)這幾個數(shù)均相等時(shí)，它們的積最 大。用字母表示，就是如果 &+2+an=b （b為一常數(shù)），那么，當(dāng)ai=a2=&時(shí)，aix a?xx an有最大值。例如，a+a=10,1+9=1g 1 x 9=9；2+8=1g 2X8=16;3+7=1g 3X7=21;4+6=1g 4X6=24;+=1g x =；5+5=1g 5X5=25;+=1g x =；9+1=1g 9X1=9;由上可見，當(dāng)日、a?兩數(shù)的

6、差越小時(shí)，它們的積就越大；只有當(dāng)它們的差為0,即&=a時(shí)，它們的積就會變得最大。三個或三個以上的數(shù)也是一樣的。由于篇幅所限，在此不一一舉例。由“積最大規(guī)律”，可以推出以下的結(jié)論：結(jié)論 1 所有周長相等的n 邊形，以正n 邊形（各角相等，各邊也相等的n 邊形）的面積為最大。例如，當(dāng)n=4 時(shí)，周長相等的所有四邊形中，以正方形的面積為最大。例題：用長為24 厘米的鐵絲，圍成一個長方形，長寬如何分配時(shí)，它的面積為最大？解 設(shè)長為 a 厘米，寬為b 厘米，依題意得（a+b） X 2=24即 a+b=12由積最大規(guī)律，得a=b=6 （厘米）時(shí)，面積最大為6X6=36 （平方厘米）。（注：正方形是

7、特殊的矩形，即特殊的長方形。）結(jié)論 2 在三度（長、寬、高）的和一定的長方體中，以正方體的體積為最大。例題：用12 米長的鐵絲焊接成一個長方體，長、寬、高如何分配，它的體積才會最大？解 設(shè)長方體的長為a 米，寬為b 米，高為c 米，依題意得(a+b+c) x 4=12a+b+c=3由積最大規(guī)律，得a=b=c=1 （米）時(shí)，長方體體積為最大。最大體積為1 x 1 x 1=1 （立方米）。（2）將給定的自然數(shù)N,分拆成若干個（不定）的自然數(shù)的和，只有當(dāng)這些自然數(shù)全是 2 或 3，并且2 至多為兩個時(shí)，這些自然數(shù)的積最大。例如， 將自然數(shù)8 拆成若干個自然數(shù)的和，要使這些自然數(shù)的乘積為最大。怎么辦呢

8、？我們可將各種拆法詳述如下：分拆成8 個數(shù)，則只能是8 個“1”，其積為 1。分拆成7 個數(shù)，則只能是6 個“1”，1 個“ 2”，其積為2。分拆成 6 個數(shù)，可得兩組數(shù)：（1，1，1，1，1，3）；（1，1， 1， 1，2，2）。它們的積分別是3 和 4。分拆成 5 個數(shù)，可得三組數(shù)：（1，1，1， 1，4）；（1，1，1，2，3）；（1，1，2， 2， 2）。它們的積分別為4， 6， 8。分拆成 4 個數(shù)，可得5 組數(shù)：（ 1， 1， 1， 5）；（1， 1， 2， 4）；（1， 1， 3， 3）；（1，2，2，3）；（2，2，2，2）。它們的積分別為5，8，9，12，16。分拆成 3 個

9、數(shù)，可得5 組數(shù)：（1，1，6）；（1，2，5）；（1，3，4）；（2， 2，4）；（2， 3， 3）。它們的積分別為6， 10， 12， 16， 18。分拆成 2 個數(shù)，可得4 組數(shù)：（1，7）；（2，6）；（3，5）；（4，4）。它們的積分別為7， 12， 15， 16。分拆成一個數(shù)，就是這個8。從上面可以看出，積最大的是18=3X 3X2?？梢姡仙厦嫠鲆?guī)律。用同樣的方法，將6、7、14、25分拆成若干個自然數(shù)的和，可發(fā)現(xiàn)6=3+3時(shí)，其積3X3=9為最大；7=3+2+2時(shí)，其積3X2X2=12為最大；14=3+3+3+3+2寸，其積 3X3X3X 3X2=162為最大；由這些例子

10、可知，上面所述的規(guī)律是正確的。【和最小的規(guī)律】幾個數(shù)的積一定，當(dāng)這幾個數(shù)相等時(shí)，它們的和相等。用字母表 達(dá)，就是如果a1 x a2 x x an=c （c為常數(shù)），那么，當(dāng) a1=a2h.=an時(shí)，a+&+曰有最小值。例如，a1 x a2=9,1X9=9- 1+9=10;3X3=9- 3+3=6;由上述各式可見，當(dāng)兩數(shù)差越小時(shí)，它們的和也就越小；當(dāng)兩數(shù)差為 0時(shí)，它們的 和為最小。例題：用鐵絲圍成一個面積為16平方分米的長方形，如何下料，材料最省?解 設(shè)長方形長為a分米，寬為b分米，依題意得axb=16要使材料最省，則長方形周長應(yīng)最小，即a+b 要最小。根據(jù)“和最小規(guī)律”，取a=b=4

11、 （分米）時(shí)，即用16 分米長的鐵絲圍成一個正方形，所用的材料為最省。推論 由“和最小規(guī)律”可以推出：在所有面積相等的封閉圖形中，以圓的周長為最小。例如，面積均為4 平方分米的正方形和圓，正方形的周長為8 分米；而的周長小于正方形的周長?！久娣e變化規(guī)律】在周長一定的正多邊形中，邊數(shù)越多，面積越大。為x 6=（平方分米）。方形的面積。推論 由這一面積變化規(guī)律，可以推出下面的結(jié)論：在周長一定的所有封閉圖形中，以圓的面積為最大。例如，周長為4 分米的正方形面積為1 平方分米；而周長為4 分米的圓，于和它周長相等的正方形面積。【體積變化規(guī)律】在表面積一定的正多面體（各面為正n 邊形，各面角和各二面角相

12、等的多面體）中，面數(shù)越多，體積越大。例如，表面積為8平方厘米的正四面體S ABC（如圖），它每一個面均為正三角形，每個三角形面積為2 平方厘米，它的體積約是立方厘米。而表面積為8 平方厘米長約為厘米，體積約為立方厘米。顯然，正方體體積大于正四面體體積。推論 由這一體積變化規(guī)律，可推出如下結(jié)論：在表面積相等的所有封閉體中，以球的體積為最大。例如， 表面積為8 平方厘米的正四面體，體積約為立方米；表面積為8 平方厘米的正六面體（正方體），體積約為立方厘米；而表面積是8 平方厘米的球，體積卻約有立方厘米?？梢娚厦娴慕Y(jié)論是正確的。【排序不等式】對于兩個有序數(shù)組：ai < a2< <

13、an 及 bi & b2& bn,則 ab+a2b2+&b 拍 n （同序）T> aib 拍 1+a2b 拍 2+&b 拍 n （亂序）>aibn+a2bn-1 +a>nbi國序）（其中b拍1、b拍2、b拍n為bi、b、bn的任意一種排列（順序、倒序排列在外），當(dāng)且僅當(dāng)ai=a2=- -=an,或bi=b=bn時(shí)，由這一不等式可知，同序積之和為最大，倒序積之和為最小。 例題：設(shè)有i0 個人各拿一只水桶，同時(shí)到一個水龍頭下接水。水龍頭注滿第一、第二、九、十個人 的桶，分別需要i、2、3、9、i0分鐘。問：如何安排這i0個人的排隊(duì)順序，可 使每個人

14、所費(fèi)時(shí)間的總和盡可能少？這個總費(fèi)時(shí)至少是多少分鐘？解 設(shè)每人水桶注滿時(shí)間的一個有序數(shù)組為：i, 2, 3,，9, i0o打水時(shí)，等候的人數(shù)為第二個有序數(shù)組，等候時(shí)間最長的人數(shù)排前，這樣組成i, 2, 3,，9, i0o根據(jù)排序不等式，最小積的和為倒序，即i x i0+2x 9+3X 8+4x 7+5X 6+6x 5+7X 4+8x 3+9X 2+i0x i=(1X 10+2X 9+3X 8+4X 7+5X 6) X 2=（10+18+24+28+30 X 2=220（分鐘）其排隊(duì)順序應(yīng)為：根據(jù)注滿一桶水所需時(shí)間的多少，按從少到多的排法。43、最優(yōu)方案與最佳策略【最優(yōu)方案】例 1 某工廠每天要生

15、產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，按工藝規(guī)定，每件甲產(chǎn)品需分別在A、 B、C、D四臺不同設(shè)備上加工2、1、4、0小時(shí)；每件乙產(chǎn)品需分別在 A、B、C、D四臺不 同設(shè)備上加工2、 2、 0、 4 小時(shí)。已知A、 B、 C、 D 四臺設(shè)備，每天最多能轉(zhuǎn)動的時(shí)間分別是12、 8、 16、 12 小時(shí)。生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品該廠得利潤200 元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品得利潤300元。問：每天如何安排生產(chǎn)，才能得到最大利潤？（中國臺北第一屆小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）講析：設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品a件，乙產(chǎn)品b件。由于設(shè)備A的轉(zhuǎn)動時(shí)間每天最多為 12小時(shí)，則有：（2a+ 2b）不超過12。又（a+2b）不超過8,4a不超過16,4b 不超過12。由以上

16、四個條件知，當(dāng)b 取1 時(shí)，a 可取1、2、3、4；當(dāng)b 取2 時(shí)，a 可取1、2、3、4；當(dāng)b取3時(shí)，a可取1、2。這樣，就是在以上情況下，求利潤 200a+ 300b的最大值?？闪斜砣缦拢核?，每天安排生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品，2件乙產(chǎn)品時(shí)，能得到最大利潤1400元。例2甲廠和乙廠是相鄰的兩個服裝廠。它們生產(chǎn)同一規(guī)格的成衣，每個廠的人員 和設(shè)備都能進(jìn)行上衣和褲子生產(chǎn)。由于各廠的特點(diǎn)不同，甲廠每月用1的時(shí)間生產(chǎn)上衣，5的時(shí)間生產(chǎn)褲子，每月生產(chǎn)900套成衣；乙廠每月用彳的時(shí)間生產(chǎn)上衣，年的時(shí)間生產(chǎn)褲子，每月生產(chǎn)1200套成衣?，F(xiàn)在兩廠聯(lián)合生產(chǎn)，盡量發(fā)揮各自的特長多生產(chǎn)成衣。那么現(xiàn)在比過去每月能多生產(chǎn)成衣

17、#0（1989年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題）講析：甲廠每月用（即意）的時(shí)間生產(chǎn)上衣；乙廠每月用”（即帶）535135的時(shí)間生產(chǎn)上衣。所以，甲廠長于生產(chǎn)褲子，乙廠長于生產(chǎn)上衣。如果甲廠全月生產(chǎn)褲子，則可生產(chǎn)如果乙廠全月生產(chǎn)上衣，則可生產(chǎn)把甲廠生產(chǎn)的褲子與乙廠生產(chǎn)的上衣配成 2100套成衣，這時(shí)甲廠生產(chǎn)150條褲子 的時(shí)間可用來生產(chǎn)成套的成衣故現(xiàn)在比過去每月可以多生產(chǎn) 60套。【最佳策略】例1 A、B二人從A開始，輪流在1、2、3、1990這1990個數(shù)中劃去一個數(shù)，直到最后剩下兩個數(shù)互質(zhì)，那么B 勝，否則A 勝。問：誰能必勝？制勝的策略是什么？（中華電力杯少年數(shù)學(xué)競賽試題）講析：將這1990個

18、數(shù)按每兩個數(shù)分為一組；（1、2） , （3、4） , （5、6）, （ 1989、 1990）。當(dāng) A 任意在括號中劃去一個時(shí)，B 就在同一個括號中劃去另一個數(shù)。這樣B 就一定能獲勝。例 2 桌上放有1992根火柴。 甲乙兩人輪流從中任取，每次取得根數(shù)為1 根或 2根，規(guī)定取得最后一根火柴者勝。問：誰可獲勝？（ 1992年烏克蘭基輔市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）講析：因?yàn)閮扇溯喠鞲魅∫淮魏?，可以做到只? 根。誰要搶到第1992 根，誰就必須搶到第1989根，進(jìn)而搶到第1986、1983、1980、6、3根。誰搶到第3 根呢？自然是后取的人。即后取的可以獲勝。后者獲勝的策略是，當(dāng)先取的人每取一次火柴梗時(shí)

19、，他緊接著取一次，每次取的根數(shù)與先取的加起來的和等于3。例 3 有分別裝球73個和 118個的兩個箱子，兩人輪流在任一箱中任意取球，規(guī)定取得最后一球者為勝。問：若要先取者為獲勝，應(yīng)如何?。浚ㄉ虾Ｊ袛?shù)學(xué)競賽試題）講析： 先取者應(yīng)不斷地讓后者在取球之前，使兩箱的球處于平衡狀態(tài)，即每次先取者取之后，使兩箱球保持相等。這樣，先取者一定獲勝。44、直接思路“直接思路”是解題中的常規(guī)思路。它一般是通過分析、綜合、歸納等方法，直接 找到解題的途徑。【順向綜合思路】從已知條件出發(fā)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系先選擇兩個已知數(shù)量，提出可以解決的問題；然后把所求出的數(shù)量作為新的已知條件，與其他的已知條件搭配，再提出可以解決的問題

20、；這樣逐步推導(dǎo)，直到求出所要求的解為止。這就是順向綜合思路，運(yùn)用這種思路解題的方法叫“綜合法”。例 1 兄弟倆騎車出外郊游，弟弟先出發(fā)，速度為每分鐘200米，弟弟出發(fā)5分鐘后， 哥哥帶一條狗出發(fā)，以每分鐘250 米的速度追趕弟弟，而狗以每分鐘300 米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，見到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，這時(shí)狗跑了多少千米？分析（按順向綜合思路探索）：（ 1）根據(jù)弟弟速度為每分鐘200 米，出發(fā)5 分鐘的條件，可以求什么？可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追趕弟弟的距離。（ 2）根據(jù)弟弟速度為每分鐘200 米，哥哥速度為每分鐘250 米，可以求什么？可以求出哥哥

21、每分鐘能追上弟弟多少米。（ 3） 通過計(jì)算后可以知道哥哥追趕弟弟的距離為1000 米， 每分鐘可追上的距離為50 米，根據(jù)這兩個條件，可以求什么？可以求出哥哥趕上弟弟所需的時(shí)間。（ 4）狗在哥哥與弟弟之間來回不斷奔跑，看起來很復(fù)雜，仔細(xì)想一想，狗跑的時(shí)間與誰用的時(shí)間是一樣的？狗跑的時(shí)間與哥哥追上弟弟所用的時(shí)間是相同的。（ 5）已知狗以每分鐘300 米的速度，在哥哥與弟弟之間來回奔跑，直到哥哥追上弟弟為止，和哥哥追上弟弟所需的時(shí)間，可以求什么？可以求出這時(shí)狗總共跑了多少距離？這個分析思路可以用下圖（圖）表示。例 2 下面圖形（圖）中有多少條線段？分析（仍可用綜合思路考慮）：我們知道，直線上兩點(diǎn)間

22、的一段叫做線段，如果我們把上面任意相鄰兩點(diǎn)間的線段叫做基本線段，那么就可以這樣來計(jì)數(shù)。（ 1）左端點(diǎn)是A 的線段有哪些？有 AB AC AD AE AF AG共 6 條。（ 2）左端點(diǎn)是B 的線段有哪些？有 BC、BD. BE BF、BG# 5 條。（3）左端點(diǎn)是C的線段有哪些？有 CD CE CR CG# 4 條。（4）左端點(diǎn)是D 的線段有哪些？有 DEDRDG# 3 條。（5）左端點(diǎn)是E 的線段有哪些？有EF、EG共2條。（6）左端點(diǎn)是F 的線段有哪些？有FG共1條然后把這些線段加起來就是所要求的線段?！灸嫦蚍治鏊悸贰繌念}目的問題入手，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，找出解這個問題所需要的兩個條件，然后把其

23、中的一個（或兩個）未知的條件作為要解決的問題，再找出解這一個（或兩個）問題所需的條件；這樣逐步逆推，直到所找的條件在題里都是已知的為止，這就是逆向分析思路，運(yùn)用這種思路解題的方法叫分析法。例1兩只船分別從上游的A地和下游的B地同時(shí)相向而行，水的流速為每分鐘 30米，兩船在靜水中的速度都是每分鐘600 米，有一天，兩船又分別從A、 B 兩地同時(shí)相向而行， 但這次水流速度為平時(shí)的2 倍， 所以兩船相遇的地點(diǎn)比平時(shí)相遇點(diǎn)相差60 米，求 A、 B 兩地間的距離。分析（用分析思路考慮）：（ 1）要求A、 B 兩地間的距離，根據(jù)題意需要什么條件？需要知道兩船的速度和與兩船相遇的時(shí)間。（ 2）要求兩船的速

24、度和，必要什么條件？兩船分別的速度各是多少。題中已告之在靜水中兩船都是每分鐘600 米， 那么不論其水速是否改變，其速度和均為（600+600）米，這是因?yàn)轫標(biāo)贋椋捍?水速，逆水船速為：船速- 水速，故順?biāo)倥c逆水船速的和為：船速+水速+船速- 水速 =2個船速（實(shí)為船在靜水中的速度）（ 3）要求相遇的時(shí)間，根據(jù)題意要什么條件？兩次相遇的時(shí)間因?yàn)榫嚯x相同，速度和相同，所以應(yīng)該是相等的，這就是說，盡管水流的速度第二次比第一次每分鐘增加了30 米，仍不會改變相遇時(shí)間，只是改變了相遇地點(diǎn)：偏離原相遇點(diǎn)60米，由此可知兩船相遇的時(shí)間為 60+30=2 （小時(shí)）。此分析思路可以用下圖（圖）表示：

25、例 2 五環(huán)圖由內(nèi)徑為4， 外徑為 5 的五個圓環(huán)組成，其中兩兩相交的小曲邊四邊形（陰影部分）的面積都相等（如圖），已知五個圓環(huán)蓋住的總面積是，求每個小曲邊四邊形的面積（圓周率冗?。┓治觯ㄈ杂媚嫦蚍治鏊悸诽剿鳎海?1）要求每個小曲邊四邊形的面積，根據(jù)題意必須知道什么條件？曲邊四邊形的面積，沒有公式可求，但若知道8 個小曲邊四邊形的總面積，則只要用 8 個曲邊四邊形總面積除以8，就可以得到每個小曲邊四邊形的面積了。（ 2）要求8 個小曲邊四邊形的總面積，根據(jù)題意需要什么條件？8 個小曲邊四邊形恰好是圓環(huán)面積兩兩相交重疊一次的部分，因此只要把五個圓環(huán)的總面積減去五個圓環(huán)蓋住的總面積就可以了。（

26、3）要求五個圓環(huán)的總面積，根據(jù)題意需要什么條件？求出一個圓環(huán)的面積，然后乘以5，就是五個圓環(huán)的總面積。（ 4）要求每個圓環(huán)的面積，需要什么條件？已知圓環(huán)的內(nèi)徑（4）和外徑（5），然后按圓環(huán)面積公式求就是了。圓環(huán)面積公式為：S圓環(huán)=兀（R2-r2）=兀（R+ r） （ R r）其思路可用下圖（圖）表示：【一步倒推思路】順向綜合思路和逆向分析思路是互相聯(lián)系，不可分割的。在解題時(shí)，兩種思路常常協(xié)同運(yùn)用，一般根據(jù)問題先逆推第一步，再根據(jù)應(yīng)用題的條件順推，使雙方在中間接通，我們把這種思路叫“一步倒推思路”。這種思路簡明實(shí)用。例 1 一只桶裝滿10 千克水，另外有可裝3 千克和 7 千克水的兩只空桶，利用

27、這三只桶，怎樣才能把10 千克水分為5 千克的兩份？分析（用一步倒推思路考慮）：（ 1）逆推第一步：把10 千克水平分為5 千克的兩份，根據(jù)題意，關(guān)鍵是要找到什么條件？因?yàn)橛幸恢豢裳b3 千克水的桶，只要在另一只桶里剩2 千克水，利用3 2=5，就可以把水分成5 千克一桶，所以關(guān)鍵是要先倒出一個2 千克水。（ 2）按條件順推。第一次：10 千克水倒入7 千克桶，10 千克水桶剩3 千克水，7千克水倒入3 千克桶，7 千克水桶剩4 千克水， 3 千克水桶里有水3 千克；第二次：3千克桶的水倒入10 千克水桶，這時(shí) 10 千克水桶里有水6 千克， 把 7 千克桶里的4 千克水倒入 3 千克水桶里，這

28、時(shí)7 千克水桶里剩水1 千克， 3 千克水桶里有水3 千克；第三次： 3 千克桶里的水倒入10 千克桶里，這時(shí)10 千克桶里有水9 千克， 7 千克桶里的1千克水倒入3 千克桶里，這時(shí)7 千克桶里無水，3 千克桶里有水1 千克；第四次：10千克桶里的9 千克水倒入7 千克桶里，10 千克水桶里剩下2 千克水， 7 千克桶里的水倒入 3 千克桶里（原有1 千克水），只倒出2 千克水，7 千克桶里剩水5 千克， 3 千克桶里有水3 千克，然后把3 千克桶里的3 千克水倒10 千克桶里，因?yàn)樵? 千克水，這時(shí)也正好是5 千克水了。其思路可用下圖（圖和圖）表示：問題：例2今有長度分別為1、2、39厘

29、米的線段各一條，可用多少種不同的方法，從中選用若干條線段組成正方形？分析（仍可用一步倒推思路來考慮）：（ 1）逆推第一步。要求能用多少種不同方法，從中選用若干條線段組成正方形必須的條件是什么？根據(jù)題意，必須知道兩個條件。一是確定正方形邊長的長度范圍，二是每一種邊長有幾種組成方法。（ 2）從條件順推。因?yàn)榫艞l線段的長度各不相同，所以用這些線段組成的正方形至少要7 條， 最多用了 9條，這樣就可以求出正方形邊長的長度范圍為（1+2+當(dāng)邊長為7 厘米時(shí)，各邊分別由1+6、2+5、3+4 及7組成，只有一種組成方法。當(dāng)邊長為8 厘米時(shí)， 各邊分別由1+7、 2+6、 3+5 及 8 組成， 也只有一種

30、組成方法。當(dāng)邊長為9 厘米時(shí)，各邊分別由1+8、2+7、3+6及9；1 8、27、4+5及9；27、36、4+5及9；18、36、45及9；18、2+7、36及45共 5種組成方法。當(dāng)邊長為10 厘米時(shí)，各邊分別由1+9、2 8、 37 及4 6 組成，也只有一種組成方法。當(dāng)邊長為11 厘米時(shí)，各邊分別由2+9、3 8、 4 7 及 5+6 組成，也只有一種組成方法。將上述各種組成法相加，就是所求問題了。此題的思路圖如下（圖）：問題:【還原思路】從敘述事情的最后結(jié)果出發(fā)利用已知條件，一步步倒著推理，直到解決問題，這種解題思路叫還原思路。解這類問題，從最后結(jié)果往回算，原來加的用減、原來減的用加，

31、原來乘的用除，原來除的用乘。運(yùn)用還原思路解題的方法叫 “還原法”。例 1 一個數(shù)加上2，減去3，乘以4，除以5 等于 12，你猜這個數(shù)是多少？分析（用還原思路考慮）：從運(yùn)算結(jié)果12逐步逆推，這個數(shù)沒除以5時(shí)應(yīng)等于多少？沒乘以4時(shí)應(yīng)等于多少？不減去 3 時(shí)應(yīng)等于多少？不加上2 時(shí)又是多少？這里分別利用了加與減，乘與除之間的逆運(yùn)算關(guān)系，一步步倒推還原，直找到答案。其思路圖如下（圖）：條件：例 2 李白街上走，提壺去打酒；遇店加一倍，見花喝一斗，三遇店和花，喝光壺中酒。試問酒壺中，原有多少酒？分析（用還原思路探索）：李白打酒是我國民間自古以來廣為流傳的一道用打油詩敘述的著名算題。題意是：李白提壺上街

32、買酒、喝酒， 每次遇到酒店，便將壺中的酒量增添1 倍， 而每次見到香花，便飲酒作詩，喝酒1 斗。這樣他遇店、見花經(jīng)過3 次，便把所有的酒全喝光了。問：李白的酒壺中原有酒多少？下面我們運(yùn)用還原思路，從“三遇店和花，喝光壺中酒”開始推算。見花前有 1 斗酒。第三次：見花后壺中酒全喝光。第三次：遇店前壺中有酒半斗。第一次：見花前壺中有酒為第二次遇店前的再加1 斗。遇店前壺中有酒為第一次見花前的一半。其思路圖如下【假設(shè)思路】在自然科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，一些重要的定理、法則、公式等，常常是在“首先提出假設(shè)、猜想，然后再進(jìn)行檢驗(yàn)、證實(shí)”的過程中建立起來的。數(shù)學(xué)解題中，也離不開假設(shè)思路，尤其是在解比較復(fù)雜的題目時(shí)，如

33、能用“假設(shè)”的辦法去思考，往往比其他思路簡捷、方便。我們把先提出假設(shè)、猜想，再進(jìn)行檢驗(yàn)、證實(shí)的解題思路，叫假設(shè)思路。例 1 中山百貨商店，委托運(yùn)輸隊(duì)包運(yùn)1000只花瓶，議定每只花瓶運(yùn)費(fèi)元，如果損壞一只，不但不給運(yùn)費(fèi)，而且還要賠償損失元。結(jié)果運(yùn)輸隊(duì)獲得運(yùn)費(fèi)元。問：損壞了花瓶多少只？分析（用假設(shè)思路考慮）：（ 1）假設(shè)在運(yùn)輸過程中沒有損壞一個花瓶，那么所得的運(yùn)費(fèi)應(yīng)該是多少？X 1000=400 （元）。（ 2）而實(shí)際只有元，這當(dāng)中的差額，說明損壞了花瓶，而損壞一只花瓶，不但不給運(yùn)費(fèi)， 而且還要賠償損失元，這就是說損壞一只花瓶比不損壞一只花瓶的差額應(yīng)該是多少元？ =（元）（ 3）總差額中含有一個元，

34、就損壞了一只花瓶，含有幾個元，就是損壞了幾只花瓶。由此便可求得本題的答案。例 2 有 100 名學(xué)生在車站準(zhǔn)備乘車去離車站600 米的烈士紀(jì)念館搞活動，等最后一人到達(dá)紀(jì)念館45 分鐘以后，再去離紀(jì)念館900 米的公園搞活動?，F(xiàn)在有中巴和大巴各一輛，它們的速度分別是每分鐘300 米和 150 米，而中巴和大巴分別可乘坐10 人和25 人，問最后一批學(xué)生到達(dá)公園最少需要多少時(shí)間？分析（用假設(shè)思路思索）；假設(shè)從車站直接經(jīng)烈士紀(jì)念館到公園，則路程為（600 900）米。把在最后1 人到達(dá)紀(jì)念館后停留45 分鐘，假設(shè)為在公園停留45 分鐘，則問題將大大簡化。（ 1）從車站經(jīng)烈士紀(jì)念館到達(dá)公園，中巴、大巴

35、往返一次各要多少時(shí)間？中巴：（ 600+900） +300X2=10 （分鐘）大巴：（600+900） + 150 X 2=20 （分鐘）（ 2）中巴和大巴在20 分鐘內(nèi)共可運(yùn)多少人？中巴每次可坐10 人，往返一次要10 分鐘，故20 分鐘可運(yùn)20 人。大巴每次可坐25 人，往返一次要20 分鐘，故20 分鐘可運(yùn)25 人。所以在 20 分鐘內(nèi)中巴、大巴共運(yùn)45 人。（3）中巴和大巴20分鐘可運(yùn)45人，那么40分鐘就可運(yùn)45X 2=90 （人）,100 人運(yùn)走 90 人還剩下10 人，還需中巴再花10 分鐘運(yùn)一次就夠了。（ 4）最后可求出最后一批學(xué)生到達(dá)公園的時(shí)間：把運(yùn)90 人所需的時(shí)間，運(yùn)10

36、 人所需的時(shí)間，和在紀(jì)念館停留的時(shí)間相加即可?！鞠ニ悸贰繉τ谝髢蓚€或兩個以上未知數(shù)的數(shù)學(xué)題，我們可以想辦法將其中一個未知數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而消去一個未知數(shù)，使數(shù)量關(guān)系化繁為簡，這種思路叫消去思路，運(yùn)用消去思路解題的方法叫消去法。二元一次方程組的解法，就是沿著這條思路考慮的。例 1 師徒兩人合做一批零件，徒弟做了6 小時(shí)，師傅做了8 小時(shí)，一共做了312個零件， 徒弟 5 小時(shí)的工作量等于師傅2 小時(shí)的工作量，師徒每小時(shí)各做多少個零件？分析（用消去思路考慮）：這里有師、徒每小時(shí)各做多少個零件兩個未知量。如果以徒弟每小時(shí)工作量為1份， 把師傅的工作量用徒弟的工作量來代替，那么師傅8 小時(shí)的工作量相

37、當(dāng)于這樣的幾份呢？很明顯，師傅 2 小時(shí)的工作量相當(dāng)于徒弟5 小時(shí)的工作量，那么 8 小時(shí)里有幾個2 小時(shí)就是幾個5 小時(shí)工作量，這樣就把師傅的工作量換成了徒弟的工作量，題目里就消去了師傅工作量這個未知數(shù)；然后再看312 個零件里包含了多少個徒弟單位時(shí)間里的工作量， 就是徒弟應(yīng)做多少個。求出了徒弟的工作量，根據(jù)題中師博工作量與徒弟工作量的倍數(shù)關(guān)系，也就能求出師傅的工作量了。例 2 小明買 2 本練習(xí)本、2 枝鉛筆、 2 塊橡皮，共用元，小軍買4 本練習(xí)本、3 枝鉛筆、 2 塊橡皮，共用去元，小慶買5 本練習(xí)本、4 枝鉛筆、 2 塊橡皮，共用去元，問練習(xí)本、鉛筆、橡皮的單價(jià)各是多少錢？分析（用消

38、去法思考）：這里有三個未知數(shù)，即練習(xí)本、鉛筆、 橡皮的單價(jià)各是多少錢？我們要同時(shí)求出三個未知數(shù)是有困難的。應(yīng)該考慮從三個未知數(shù)中先去掉兩個未知數(shù)，只留下一個未知數(shù)就好了。如何消去一個未知數(shù)或兩個未知數(shù)？一般能直接消去的就直接消去，不能直接消去，就通過擴(kuò)大或縮小若干倍，使它們之間有兩個相同的數(shù)量，再用加減法即可消去，本題把小明小軍、小慶所購買的物品排列如下：小明2本2枝2塊元小軍4本3枝2塊元小慶5本4枝2塊元現(xiàn)在把小明的各數(shù)分別除以2，可得到1 本練習(xí)本、1 枝鉛筆、1 塊橡皮共元。接著用小慶的各數(shù)減去小軍的各數(shù)，得1 本練習(xí)本、1 枝鉛筆為元。再把小明各數(shù)除以2 所得的各數(shù)減去上數(shù)，就消去了

39、練習(xí)本、鉛筆兩個未知數(shù)，得到 1 塊橡皮元，采用類似的方法可求出練習(xí)本和鉛筆的單價(jià)?！巨D(zhuǎn)化思路】解題時(shí)， 如果用一般方法暫時(shí)解答不出來，就可以變換一種方式去思考，或改變思考的角度，或轉(zhuǎn)化為另外一種問題，這就是轉(zhuǎn)化思路。運(yùn)用轉(zhuǎn)化思路解題就叫轉(zhuǎn)化法。各養(yǎng)兔多少只？分析（用轉(zhuǎn)化思路思索）：題中數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，兩個分率的標(biāo)準(zhǔn)量不同，為了簡化數(shù)量關(guān)系，只呢？這時(shí)兩人養(yǎng)的總只數(shù)該是多少只呢？假設(shè)后的數(shù)量關(guān)系，兩人養(yǎng)的總只數(shù)應(yīng)是：100-16X3=52 （只）分析（用轉(zhuǎn)化思路分析）：本題求和，題中每個分?jǐn)?shù)的分子都是1，分母是幾個連續(xù)自然數(shù)的和，好像不能把每個分?jǐn)?shù)分成兩個分?jǐn)?shù)相減，然后相加抵消一些數(shù)。但是只

40、要我們按等差數(shù)列求和公式，求出分母就會發(fā)現(xiàn)，可將上面各分?jǐn)?shù)的分母轉(zhuǎn)化為兩個連續(xù)自然數(shù)積的形式。所以例題可以轉(zhuǎn)化為：然后再相加，抵消中間的各個分?jǐn)?shù)即可?！绢惐人悸贰款惐染褪菑囊粋€問題想到了相似的另一個問題。例如從等差數(shù)列求和公式想到梯形面積公式，從矩形面積公式想到長方體體積公式等等；類比是一個重要的思想方法，也是解題的一種重要思路。例 1 有一個掛鐘，每小時(shí)敲一次鐘，幾點(diǎn)鐘就敲幾下，鐘敲6 下， 5 秒鐘敲完；鐘敲 12 下，幾秒敲完？分析（用類比思路探討）：有人會盲目地由倍數(shù)關(guān)系下結(jié)淪，誤認(rèn)為10 秒鐘敲完，那就完全錯了。其實(shí)此題只要運(yùn)用類比思路，與植樹問題聯(lián)系起來想一想就通了：一條線路植樹分

41、成幾段（株距） ，如果不包括兩個端點(diǎn)，共需植（n-1 ）棵樹，如果包括兩個端點(diǎn)，共需植樹（n 1）棵，把鐘點(diǎn)指數(shù)看作是一棵棵的樹，把敲的時(shí)間看作棵距，此題就迎刃而解了。例 2 從時(shí)針指向4 點(diǎn)開始，再經(jīng)過多少分鐘，時(shí)針正好與分鐘重合。分析（用類比思路討論）：本題可以與行程問題進(jìn)行類比。如圖， 如果用時(shí)針1 小時(shí)所走的一格作為路程單位，那么本題可以重新敘述為：已知分針與時(shí)針相距4 格，分如果分針與時(shí)針同時(shí)同向出發(fā)，問： 分針過多少分鐘可追上時(shí)針？這樣就與行程問題中的追及問題相似了。4 為距離差，速度差為，重合的時(shí)間，就是追上的時(shí)間?！痉诸愃悸贰堪岩粋€復(fù)雜的問題，依照某種規(guī)律，分解成若干個較簡單的

42、問題，從而使問題得到解決，這就是分類思路。這種思路在解決數(shù)圖形個數(shù)問題中經(jīng)常用到。例 1 如圖，共有多少個三角形？分析（用分類思路考慮）：這樣的圖直接去數(shù)有多少個三角形，要做到能不重復(fù)，又不遺漏，是比較困難的。怎么辦？可以把圖中所有三角形按大小分成幾類，然后分類去數(shù)，再相加就是總數(shù)了。本題根據(jù)條件，可以分為五類（如圖）。例 2 如圖，象棋棋盤上一只小卒過河后沿著最短的路走到對方“將”處，這小卒有多少種不同的走法？分析（運(yùn)用分類思路分析）：小卒過河后，首先到達(dá)A點(diǎn)，因此，題目實(shí)際上是問：從 A點(diǎn)出發(fā)，沿最短路徑有多少種走法可以到達(dá)“將”處，所謂最短，是指不走回頭路。因?yàn)椤皩ⅰ敝苯酉嗤ǖ氖荘點(diǎn)和K

43、點(diǎn)，所以要求從A點(diǎn)到“將”處有多少種走法， 就必須是求出從A到P和從A到K各有多少種走法。分類。一種走法：A到B、C、D E、F、G都是各有一種走法。二種走法：從A到H有兩種走法。三種走法：從A到M及從A到I各有三種走法。其他各類的走法：因?yàn)閺?A到M至ij I各有3種走法，所以從A到N就有3+3=6 種走法了，因?yàn)閺腁到I有3種走法，從A到D有1種走法，所以從A到J就有3+1=4 種走法了； P與N、J相令口，而A到N有6種走法，A到J有4種走法，所以從A到P 就有6+4=10種走法了；同理K與J、E相令口，而A到J有4種走法，至ij E有1種走法， 所以A到K就有4+1=5種走法。再求從A到“將”處共有多少種走法就非常容