關注學生發(fā)展

1、關注學生發(fā)展追求“優(yōu)效教學”16“直線與平面平行的判定”案例分析肖凌戇（510700廣東省廣州市黃埔區(qū)教育局教研室）本文發(fā)表在中國數(shù)學教育（高中版）2010年第1 - 2期P39-44.高中數(shù)學“優(yōu)效教學”的案例研究，是筆者主持的高中數(shù)學“優(yōu)效教學”的行動研究 （“廣州市中小學教學領域進一步深化素質教育”的立項課題）的重要內容.在案例研究中，我們開展“同課異構”活動，引導教師進行教學反思，提煉優(yōu)效教學的教學課例，積極推進 素質教育.現(xiàn)以“直線與平面平行的判定”為例，與同行分享.一、課例描述（一）課例1的教學過程與點評1 .引入新課師：空間中直線和平面有哪幾種位置關系？生1：直線在平面內，直線與

2、平面平行，直線與平面相交.師：根據(jù)直線與平面平行的定義來判定直線與平面平行你認為方便嗎？生2 :根據(jù)直線與平面平行的定義來判定直線與平面平行不方便.師：由于直線的無限延伸性和平面的無限伸展性，用定義判定直線與平面平行確實有困難?，F(xiàn)在我們來學習直線與平面平行的判定定理.2. 探索判定定理師：根據(jù)日常生活的觀察，同學們能舉出直線與平面平行的具體事例嗎？（教師演示：教師取出預先準備好的直角梯形板進行演示。把互相平行的一邊放在講臺 桌面上并繞這一邊所在直線轉動直角梯形板，讓學生觀察另一邊與桌面的位置關系.）生3 :另一邊與桌面平行.師：若把垂直于底邊的腰放在桌面上并轉動直角梯形板，另一腰所在直線與桌面

3、平行 嗎？（教師演示）生4 :另一腰所在直線與桌面不平行 .師：上述演示中，直線與平面位置關系為何有如此的不同？關鍵是什么因素起了作用 呢？（通過觀察感知，教師歸納，呈現(xiàn)課件.）則該直線與直線和平面平行的判定定理：平面一外一條真線與此平面內的一二條直線平行丄 此平面平行.簡單概括：線線平行=線面平行.符號表示：aHa,bua,a/b= a/a .作用：判定或證明線面平行.關鍵：在平面內找（或作）出一條直線與平面外的直線平行思想：空間問題轉化為平面問題，復雜問題轉化為簡單問題3. 定理運用教師講解例題：EF /平面例1已知空間四邊形 ABCD中，E, F分別是AB和AD的中點，求證:BCD.學生

4、思考問題.1 1變式1: E, F 一定要是中點上面結論才成立嗎？若改為“AE = AB AF = AD ”3'3呢？已知空間四邊形 ABCD中，E,F分別是AB、AD上的點，若則EF /平面BCD .（請?zhí)钌弦粋€使命題成立的條件）變式2 :如圖1，空間四邊形ABCD中，E,F,G,H分別為各邊上的中點，請找出圖中線面平行的關系變式3:在三棱錐ABCD中，E,F,G,H分別為棱AB,BC,CD,DA邊上的中點，請找出圖中線面平行的關系.變式4:設兩個全等的正方形 ABCD和ABEF相交于AB , 中點，如圖2所示，求證： MN / 平面BCE.M、N分別為AC和BF4. 鞏固練習學生演

5、練課本練習.教師引導思考:(1)在課本練習的第 2題中，如果ABCD -ABiCiDi是長方體，結論仍然成立嗎?罟 =2 ,能否在D.E上找一點F ,使得BF/平(2) 在課本練習的第2題中，如果 面AEC ?如果 DE =3,4,5呢？(3) 在課本練習的第2題中，你能在平面BBQC內畫一條直線和平面 AEC平行嗎?5. 課堂小結(1) 線面平行的判定定理：平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線與 這個平面平行.定理的符號表示：a位a,bua,a/b= alia .簡述：線線平行=線面平行.(2) 定理運用的關鍵是找(作)面內的線與面外的線平行，途徑有：取中點利用平行 四邊形或三角

6、形中位線性質等。6. 布置作業(yè)課本習題2.2A組第3題和第4題.點評：在本課例中，教師注重直線與平面平行的判定定理的運用.在例題教學時，重視規(guī)范表達解題過程，注重變式教學，但忽視文字語言、圖形語言、符號語言的轉化訓練.在直線與平面平行的判定定理的形成過程中，教師直接告知結論，忽視學生對判定定理的理性認識.(二) 課例2的教學過程與點評1. 復習回顧，弓I入新課師：空間直線與平面的位置關系有哪幾種？生：直線在平面內，直線與平面平行，直線與平面相交.(教師提出如下問題，讓學生觀察探究.)問題1:將課本的一邊緊貼桌面，轉動課本，課本的上邊緣與桌面的關系如何?問題2:將課室門打開，門上靠近把手的邊與門

7、框所在的墻面有何關系?D'ZE2. 操作確認，抽象概括(學生操作確認.)如圖3,在長方體 ABCD-A'B'C'D'中, 直線AB與直線C'D'的位置關系為 直線AB與平面A'B'C'D'的位置關系為_ 直線AB與平面DCC'D'的位置關系為 (教師抽象概括.)則該直線直線與平面平行的判定定理：若平面外一條直線與此平面內的一條直線平行, 與此平面平行.線線平行=線面平行.如圖 4.簡單概括：圖形表示：符號表示:a 區(qū) a,bua,a/b= a/a.線線平行=線面平行.簡要表述：作用：判定或證

8、明線面平行圖43. 例題講解，變式演練例 求證：空間四邊形相鄰兩邊中點的連線平行于經過另外兩邊所在的平面已知：如圖5，空間四邊形 ABCD中，E,F分別是AB和AC的中點.求證：EF /平面BCD.變式練習：C'(1)如圖6,在長方體ABCD-ABCD沖，E為棱DD '的中點.試判斷BD與平面 AEC的位置關系，并證明.圖6(2)如圖7,已知四棱錐P- ABCD的底面是梯形， AB/ CD且CD = 2AB .問：線 段PC上是否存在點F使得BF /平面PAD ?并證明你的結論.n4. 課堂小結(1) 直線與平面平行的判定方法：定義法，判定定理法.(2) 證明線線平行的常見方法

9、：三角形中位線、相似三角形、平行四邊形的性質5. 布置作業(yè)課后作業(yè)：習題2.2A組第3題.點評：在本課例中，教師注重對實物的觀察，引導學生在直觀感知、操作確認的基礎上抽象概括出判定定理，注重經歷觀察探究、操作確認、抽象概括、定理運用的過程.在操作確認上，通過長方體模型中的線線平行、線面平行關系來具體認識線面平行的判定定理的本質屬性，使學生明確判定定理的條件和結論.但是，教師直接告知結論，忽視學生對判定定理的理性認識.變式練習第(2)題的教學中，局限于用平行四邊形的性質來證明線線平行這 一預設目標，刻意從平行四邊形的角度來解決問題，忽視了對三角形中位線定理的具體操作：通過分析條件 AB/ CD

10、, CD =2AB ,可引導學生由中點聯(lián)想中位線， 進而延長CB和DA 交于點G，得到三角形，再中位線定理證明線線平行，進而推出線面平行.由于時間安排較緊，學生參與不充分，沒有充分激發(fā)學生的數(shù)學思維，未能達到預設的教學效果.(三) 課例3的教學過程與點評教學步驟教學內容學生反應教師指導復習提問1. 空間中直線和平面有哪些位置關系？2. 在上述三種位置中，直線與平 面的公共點的個數(shù)各是多少？3. 用圖形和符號是如何表示 的？1. 直線與平面平行，直線與平 面相交，直線在平面內.2. 依次是：無公共點，有且只 有一個公共點，有無數(shù)多個公 共點。引導學生溫 故知新.問題提出如何判定一條直線和一個平面

11、 平行呢？思考、討論設置疑難：定 義法難以證 明“無公共 占”八、定理導入1. 觀察：門扇的兩邊是平行的， 當門扇繞著一邊轉動時，另一邊 與門框所在平面具有什么樣的 位置關系？2. 觀察：課本的對邊是平行的， 將課本的一邊緊貼桌面，沿著這1. 平行.2. 平行.引導學生從 實例中感受 線面平行的 判定依據(jù).條邊轉動課本，課本的上邊緣與 桌面所在平面具有什么樣的位 置關系？3.拿在手上的一支筆，你如何確 保它能和桌面平行呢？ 直線與平面平行的判定定理:平 面外的一條直線與此平面內的 一條直線平行， 面平行.3.在桌面上“找” 一條直線與 之平行.定理講解則該直線與此平圖形語aa/b J定理的再認

12、識判斷：(1)若直線I平行于平面a內 的無數(shù)條直線，則I / a(2)如果a, b是兩條直線，且a/ b，那么a平行于經過b的任 何平面如圖，在長方體ABCD -ABiCiDi 中，與 AB平行的平面有；與AA平行的平面有;與AD平行的平基礎訓練面有；與AB1平行的平面。為什么?(1)錯誤.(2)錯誤.(1)平面A,BiCiDi和平面D1DCC1 ；(2 )平面D1DCC1和平面B1BCC1 ；(3)平面B1BCC1和平面Al B1C1D1;(4)平面 D1DCC1.定理說明：1. 符號語言 中的三個條 件缺一不可；2. 定理簡述為：線線平行= 線面平行.線線平行是 條件的核心， 要證明線面

13、平行，可轉化 為證明線線 平行.dLEBT*AC1CB例題講解能力提高例.求證：空間四邊形相鄰兩邊 中點的連線平行于經過另外兩 邊所在的平面。已知：如圖，空間四邊形ABCD中，E, F分別是AB, CD的中點.求證：EF /平面BCD .變式訓練：(1 )在上題中，設H為BC 的中點，連接EH .你能找出哪 個平面與EH平行嗎？(2 )已知：空間四邊形ABCD中，E,F,G,H分別是AB,AD, DC,BC 的中點.求證：BD /平面EFGH .已知：在長方體ABCD -ABiGDi 中，E 為DDi的中點.求證：BD1 /平面AEC .CAEFR圖 IE - 5證明：連接BD./ AE =

14、EB , AF = FD , EF / BD(三角形中位線的性質) EF 2 平面 BCD , BD 匚 平面BCD ,由直線和平面平行的判定定理得：EF /平面BCD .讓學生先探 索：在該長方 體中，自己構 造線段，使之 與平面AEC平行.小結1. 今天我們學習了直線與 平面平行的判定，同學們在運用 該判定定理時應注意什么？2. 在證明線面平行的問題 時，常將之轉換為線線平行問 題.讓學生先自己總結三個條件，缺 一不可； 線線平行= 線面平行. 難點：如何在 平面內“找” 出平行的直 線.布置作業(yè)1. 課本習題2. 課本習題3.在長方體2.2 A組第3題.2.2 B組第1題.ABCD -A

15、BGDi中，E、F分別是棱BC與CiDi的中點.EF / 平面BDDB BDD.Bv4. 在 正ABCD ABiGDi ，P, Q分別是AD1和BD上AP = BQ .求證：PQ /平面dCCiDi .點評：這節(jié)課的亮點是：學生的探究在前，老師的講解、點評在后，尊重學生，重視思維 訓練.不足之處有以下幾點：(1)對學生的能力估計不足.因為是借班上課，對學生的能力不 太了解，所以與學生的溝通、交流上顯得生疏.(2)忽視板書.在重視思維訓練的同時，對幾個證明題的解題過程和解題格式沒有板書.從實際來看，效果不理想.如果老師能板書解題過程，可能效果更好些.原打算請學生上臺板演，但由于時間關系沒能實施.

16、(3) 線面平行的判定定理，教師直接告知結論，忽視學生對判定定理的理性認識.二、教學反思上面三個課例存在的主要問題是：新課導入缺乏有效的問題情境；直觀感知缺少必要的.下面就直理性分析，只告知判定定理，不重視判定定理的形成過程；變式訓練不夠充分線與平面平行的判定的教學環(huán)節(jié)進行探討：1. 關于新課引入從建構主義理論來看，學生原有認知結構是新授課的基礎.本節(jié)課學生已有的認知結構包括知識儲備（直線與平面平行的定義）和方法儲備（空間問題平面化的化歸與轉化思想）.因此，在新課引入時，首先應引起認知沖突.通過復習直線與平面的位置關系及其圖形表示、符號語言，采用問題導入方式，提出如何判定直線與平面平行以引發(fā)學

17、生思考.其次，宜提供先行組織者，讓學生明確探究方法.通過回想研究異面直線所成的角的方法，指明判定直線與平面平行可采用空間問題平面化的思想方法.2. 關于判定定理的形成可采用“觀察模型-直觀感知-操作確認-抽象概括-思考探究”的方式.課本用如下問題1作為觀察的對象：問題1：將一本書平放在桌面上，翻動書的封面，封面邊緣所在直線與桌面所在平面具有什么樣的位置關系？教學時，可通過（多媒體）演示翻書過程，讓學生直觀感知直線與平面平行的條件.再通過長方體中線線、線面平行關系的分析，進一步強化幾何直觀，確認線面平行的三個條件 和結論.并由此抽象出探究問題 2 （抽象概括，有利于數(shù)學化）.a內的直線b，問:問

18、題2:如圖8，平面a外的直線a平行于平面圖8（1）直線a,b共面嗎?（2）直線在問題2的教學中，要引導學生講清理由3.關于判定定理的運用課本僅提供一個例題（文字敘述的證明問題） 來理解題意，進而結合圖形寫出已知和求證， 能力.在證明思路的探求中，a與平面a相交嗎?同時，要通過變式教學，強化解題技能，要引導學生分析問題，讓學生通過作圖這樣處理有利于提高學生的作圖、識圖、用圖要強化學生的目標意識，要對運用判定定理解題進行有效指導.體悟解題方法.三、改進建議高中數(shù)學優(yōu)效教學的基本理念是：于數(shù)學教育的三維目標的高效率性.側重于學生的“基礎性發(fā)展”，關注數(shù)學課堂教學的有效性，強調課堂教學的預設與生成，

19、注重教學目標的“達成”，追求課堂教學的優(yōu)質高效；“優(yōu)效的數(shù)學教學”的“優(yōu)”是指“優(yōu) 效”與“長效”，致力于學生的“發(fā)展性發(fā)展”，強調理性思維的培養(yǎng)和數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展，注 重“數(shù)學文化價值”的發(fā)揮，關注“數(shù)學思維方式”的教學，關注學生“數(shù)學活動經驗”的 獲得，關注學生創(chuàng)新意識的發(fā)展.展示過程，變式探究，提煉方法 課堂教學目標應當強調“準確”優(yōu)效教學是提高教學效率的活動，強調課堂教學相對“優(yōu)效的數(shù)學教學”的“效”是指“有效”和“高效”高中數(shù)學優(yōu)效教學的基本策略是：目標定向，問題驅動，.教學目標是實施優(yōu)效教學的依據(jù)，對教學具有定向作用，“具體” “有用”；問題驅動強調數(shù)學教學要創(chuàng)設問題情境;展示過程強

20、調數(shù)學教學要展示思維過程(知識的形成過程、問題的提出與探究過程、方法的建構與反思過程)；變式探究即通過“問題變式”弓I領學生提出問題、發(fā)現(xiàn)結論；提煉方法 強調在數(shù)學教學中要重視數(shù)學思想方法的教學.1上述三個課例是我區(qū)三位青年教師講課比賽一等獎的教學實錄.基于優(yōu)效教學的追求和上述課例的反思，下面給出“直線與平面平行的判定”的教學設計的改進方案.教學目標：引導學生經歷直線與平面平行的判定定理的直觀感知和操作確認過程；在直線與平面平行的判定定理的運用過程中， 讓學生掌握線面平行的判定方法， 體悟空間問題平 面化的化歸思想，享受解題成功的喜悅，提高空間想像能力.教學重點：直線和平面平行的判定定理及其應

21、用 .教學難點：直線和平面平行的判定定理的探索過程及其應用.教學過程設計見下表：教學教學程序設計意圖環(huán)節(jié)(師生活動)問題情境：(1) 直線和平面有哪幾種位置關系？能用圖形或 符號來表示嗎？(2) 在課室中，門扇的對邊是平行的。當門扇繞 著一邊轉動時，門扇轉動的一邊所在直線與門框所在 平面具有什么樣的位置關系？(3) 將課本平放在桌面上，翻動書的封面，封面 邊緣所在直線與桌面所在平面具有什么樣的位置關 系？(學生獨立思考，合作交流，回答上述問題) 教師：由于判斷直線與平面公共點的個數(shù)較為困 難，所以，我們需要找一種比較實用的直線與平面平 行的判定方法.在研究異面直線所成的角時，我們通過平移，喚起

22、學生對已有知識 的回憶，為新課做鋪墊利用教室實物，吸引 學生注意力.從實際背景出發(fā)，直 觀感知直線與平面平行的 位置關系.引起認知沖突.提供先行組織者.讓學生觀察、猜想、 探究.問題轉化為研究兩條相交直線所成的角，即采用空間問題平面化的方法來解決問題.能否把線面平行的判 定轉化為線線平行來解決呢？觀察猜想： 在長方體 ABCD ABCjDj中，回答如下問題:(1)直線AB與直線AiBi的關系為直線AB與平面A1B1C1D1的關系是(2)直線AC與直線AG的關系為直線AC與平面A1B1C1D1的關系是(3)提出猜想:自主探究：如圖，平面a外的直線a平行于平面a內的直(1)線b，問:直線a, b共

23、面嗎?直線a與平面a相交嗎?(2)抽象概括：若平面外一條直線與此平面內的一條直線平行， 則該直線與此平面平行.(直線與平面平行的判定定理)(1) 用文字語言表述直線與平面平行的判定定理(2) 用圖形語言表述直線與平面平行的判定定理(3) 用符號語言表述直線與平面平行的判定定理(aH a ,b u a , a / b a / a )簡記為：線線平行=線面平行.教師強調：(1) 直線與平面平行的判定定理中的三個條件缺 一不可.(2) 直線與平面平行的判定定理提供了證明直線 與平面平行的一種方法，即化歸為判斷直線與直線平 行(空間問題平面化).例題講評：求證：空間四邊形相鄰兩邊中點的連線平行于經 過

24、另外兩邊所在的平面.(課本例題)D引導學生根據(jù)已有知 識進行推理.通過三種語言表述定 理，讓學生感受判定定理 的條件與結論.適時歸納知識與方 法，讓學生進一步理解知 識，形成認知結構.在學生學完定理后， 安排應用定理的例題，可 加深學生對定理的理解.通過平面四邊形沿對 角線折起的動態(tài)演示，加 深學生對空間四邊形的認 識.同時，在動態(tài)演示的過 程中，體會線面平行判定 定理的應用.式18已知：如圖，空間四邊形 ABCD中，E,F分別是AB和AC的中點.求證：EF /平面BCD.證明：略.指導學生規(guī)范答題 強調定理的三個條件，讓 學生感悟定理的三個條件 缺一不可.以例題的變式為切入 口，引導學生進一步熟悉 定理、應用定理。因為一 個定理的靈活應用是離不 開“反復操作”的.引導學生尋找適當?shù)?輔助線，為運用定理創(chuàng)造 條件.變式訓練：變式1：已知空間四邊形 ABCD中，E、F分別是AB和AD上的點