歷屆華杯賽決賽試題剖析--第五講(第十七屆)

1、歷屆華杯賽決賽試題剖析 5華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽決賽試題（小學組）真題嘗試感悟心得1.2.3.4.5.6.7.、填空題（每小題10分，共80分）算式 10 10.55.2 14.69.2 5.2 5.4 3.7 4.6 1.5 的 值箱子里已有若干個紅球和黑球，放入一些黑球后，紅球占全部球數(shù)的四分之一；再放入一些紅球后，紅球的數(shù)量是黑球的三分之二.若放入的黑球和紅球數(shù)量相同，則原來箱子里的紅球與黑球數(shù)量之比有兩個體積之比為5:8的圓柱，它們的側面的展開圖為相同的長方形，如果把該長方形的長和寬同時增加 6,其面積增加了 114.那么這個長方形的面積為甲、乙兩個糧庫原來各存有整袋的糧食，如果從甲

2、糧庫調90袋到乙糧庫，則乙糧庫存糧的袋數(shù)是甲糧庫的 2倍.如果從乙糧庫調若干袋到甲糧庫，則甲糧庫存糧的袋數(shù)是乙糧庫的 6倍.那么甲糧庫原來最少存有現(xiàn)有211名同學和四種不同的巧克力,每種巧克力的數(shù)量都超過633顆.規(guī)定每名同學最多拿三顆巧克力，也可以不拿.若按照所拿巧克力的種類和數(shù)量都是否相同分組，則人數(shù)最多的一組至少有名同學.張兵1953年出生，在今年之前的某一年，他的年齡是9的倍數(shù)并且是這一年的各位數(shù)字之和，那么這一年他右圖是一個五棱柱的平面展開圖，圖中的正方形邊長都為2.按圖所示數(shù)據(jù)，這個五棱柱的體積等于真題嘗試感悟心得8.在乘法算式草綠花紅了春光明媚中,漢字代表非零數(shù)字,不同漢字代表不

3、同的數(shù)字,那么春光明媚所代表的四位數(shù)最小是二、解答下列各題（每題10分，共40分,要求寫出簡要過程）9.如右圖，ABCD是平行四邊形，E為AB延長線上一點，K為AD延長線上一點連接BK, DE相交于一點0.問:四邊形ABOD與四邊形ECKO的面積是否相等？請說明理由.10.能否用500個右圖所示的1 2的小長方形拼成一個5 200的大長方形,使得5 200的長方形的每一行、每一列都有偶數(shù)個星？請說明理由.11.將一個2n位數(shù)的前n位數(shù)和后n位數(shù)各當成一個n位數(shù)，如果這兩個n位數(shù)之和的平方正好等于這個2n位數(shù),則稱這個2n位數(shù)為卡布列克(Kabulek)怪數(shù)，例如，(30 25)23025 ,所

4、以3025是一個卡布列克怪數(shù).請問在四位數(shù)中有哪些卡布列克怪數(shù) ？12.已知98個互不相同的質數(shù)Pi, P2,p98 ,問：N被3除的余數(shù)是多少?三、解答下列各題(每小題15分,共30分，要求寫出詳細過程)13.小李和小張在一個圓形跑道上勻速跑步,兩人同時同地出發(fā)，小李順時針跑，每72秒跑一圈；小張逆時針跑,每80秒跑一圈.在跑道上劃定以起點為中心的丄圓弧區(qū)間，那么兩人同時在劃定的區(qū)間內所持續(xù)的4時間為多少秒？14.把一個棱長均為整數(shù)的長方體的表面都涂上紅色，然后切割成棱長為1的小立方塊，其中，兩面有紅色的小立方塊有 40塊,一面有紅色的小立方塊有66塊，那么這個長方體的體積是多少？第十七屆華

5、羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽決賽筆試試題A參考答案（小學高年級組）、填空（每題10分，共80分）二、解答下列各題（每題10分，共40分,要求寫出簡要過程）題號12345678答案9.31:240153718743969.答案：是.解答.連接AC.則所以SeckbS cebS CEBS ACES BCKS BCAS EADSeckbS obe因此SeckoSabod 即四邊形ABOD的面積=四邊形ECKO的面積.10.答案:解答.首先構造5 4的長方形如下：令*令令令然后用50個5 4的即可拼成5 200的長方形.11.答案：2025, 3025, 9801.解答.設一個四位卡布列克怪數(shù)為100xy,

6、其中10 x 99,0 y 99.則由題意知2100x y (x y),兩邊模99得y (x2y) (mod99),因此 99|(x y)(x y 1),故xy 1中有一個能被9整除，也有一個能被11整除（可能是同一個數(shù)）,且有102(x y)2100x y 1002，即10 x y 100.( *)若x y能被99整除,由（*）知x y只能是99,滿足條件的四位數(shù)是9801 ;若x能被99整除，由（*）,顯然沒有滿足條件的四位數(shù);此外，可設xy = 9m, x y11n,則有 9m-11 n=1.由（*） , m和n均為小于12的正整數(shù)，故得到m = 5, n=4,x y只能是45,滿足條件

7、的四位數(shù)是2025;反之，可設x y 1 = 9m,x y = 11n，滿足條件的四位數(shù)是3025.故四位數(shù)中有三個卡布列克怪數(shù)，它們分別為2025, 3025和9801.12.答案：1或2解答.對于質數(shù)3,32被3整除.其余的質數(shù),要么是3k1型的數(shù)，要么是3k 2型的數(shù).由于2(3k1) 9k 6k213(3k2k) 1,被3除余1,且(3k 2)2 9k2 12k43(3k24k 1) 1,被3除也余1.因此有(1)若這98個質數(shù)包含3時，N被3除的余數(shù)等于97被3除的余數(shù)，等于1.(2)若這98個質數(shù)不包含3時,N被3除的余數(shù)等于98被3除的余數(shù),等于2.三、解答下列各題(每題15分，

8、共30分,要求寫出詳細過程)13.答案：3,9,11,18解答.設起跑時間為0秒時刻，則小李和小張在劃定區(qū)間跑的時間段分別為0,9, 72k9,72k 9, k 1,2,3,0,10, 80m 10,80m10, m 1,2,3,其中a, b表示第a秒時刻至第b秒時刻.顯然0,9即前9秒里兩類時間段的公共部分此外，考慮72k9,72k9和80m10,80m10的公共區(qū)間，k,m為正整數(shù)，分兩種情況:1) 72k80m,即小李和小張分別跑了定區(qū)域跑了 18秒.k圈和m圈同時回到起點，他們二人同時在劃2) 72k80m,例如72i-9go 用10ED眈+ 1072 k 9 80m 10 72k 9

9、 80m 10180m 72k 19.兩人同時在劃定區(qū)域內跑了 72k9(80m 10)19(80m 72k).由知80m 72k8, 16.于是兩人同時在劃定區(qū)域內跑持續(xù)時間為11秒或3秒.其它情況類似可得同樣結果.綜上，答案為3,9,11,18.14.答案:150解答.設立方體的長，寬，高分別為乙y, X,其中x y z,且為整數(shù).注意，兩面有紅色的小立方塊只能在長方體的棱上出現(xiàn)如果x 1, y 1,則沒有兩面為紅色的立方塊，不符合題意.如果x 1, y 1,則沒有只有一面為紅色的立方塊，不符合題意.因此 x 2.此時兩面出現(xiàn)紅色的方塊只能與長方體的棱共棱 . 一面出現(xiàn)紅色的方塊只1）與立方體的面共面. 有下面的式子成立(x2) (y 2) (z 2) 40,由（ 1）得到由（ 2）得到由（ 3）足（ 3）足條件 .2 (x2)(y2)(x 2)(zxyxy xz2) (y 2)(z 2) 66.z 16,yz 85.2）4）可得， x22,3,4,則由（ 5 ）則由（ 5）則由（ 5 ）z286 ，這樣(x得到得到得到5時, 由（5）得到 （5(2(3(41 x, y,z 9. 由( 4)得到2y)(x z) 85 x2.y)(2y)(3y)(4y)(5 z)如果 x 6,