推理與證明.板塊一.合情推理與演繹推理.學生版

1、大家網(wǎng),全球第一學習門戶!無限精彩在大家 .www.T opS 題型一:合情推理【例 1】迄今為止,人類已借助 “ 網(wǎng)格計算 ” 技術找到了 630萬位的最大質(zhì)數(shù)。小王發(fā)現(xiàn)由 8個質(zhì)數(shù)組成的數(shù)列 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97的一個通項公式, 并根據(jù)通項公式得出數(shù)列的后幾項,發(fā)現(xiàn)它們也是質(zhì)數(shù)。 小王欣喜萬分,但小 王按得出的通項公式,再往后寫幾個數(shù)發(fā)現(xiàn)它們不是質(zhì)數(shù)。他寫出不是質(zhì)數(shù)的 一個數(shù)是 ( A . 1643 B . 1679 C . 1681 D . 1697【例 2】下面給出了關于復數(shù)的四種類比推理: 復數(shù)的加減法運算可以類比多項式的加減法運算法則; 由向

2、量 A 的性質(zhì) |A |2=A 2類比得到復數(shù) z 的性質(zhì) |z |2=z 2; 方程 , , (02R c b a c bx ax =+有兩個不同實數(shù)根的條件是 042>-ac b 可以類比得到:方程 , , (02C c b a c bz az =+有兩個不同復數(shù)根的條件是042>-ac b ; 由向量加法的幾何意義可以類比得到復數(shù)加法的幾何意義 .其中類比錯誤的是 ( A. B. C. D. 【例 3】定義 A D D C C B B A *, , , 的運算分別對應下圖中的 (1、 (2、 (3、 (4,那么下圖中的 (A 、 (B 所對應的運算結(jié)果可能是 ( ( 1 (2

3、 (3 (4 (A (B A. D A D B *, B. C A D B *, C. D A C B *, D. D A D C *,典例分析板塊一 . 合情推理與演繹推理大家網(wǎng),全球第一學習門戶!無限精彩在大家 .www.T opS【例 4】在平面幾何里,有勾股定理:“ 設 A BC 的兩邊 A B , A C 互相垂直,則A B 2+AC 2=BC 2” 拓展到空間, 類比平面幾何的勾股定理, “ 設三棱錐 A BC D 的 三個側(cè)面 A BC 、 A C D 、 AD B 兩兩相互垂直,則可得 ” ( (AAB2+AC2+ AD2=BC2+ CD2 + BD2 (BBCD ADB AC

4、D ABC S S S S =2222(C2222BCD ADB ACD ABCS S S S =+ (DAB2×AC 2×AD 2=BC2 ×CD 2 ×BD 2【例 5】已知 2( (1 , (11( 2f x f x f f x +=+ *x N ( ,猜想 (f x 的表達式為 ( A. 4( 22xf x =+ B. 2( 1f x x =+ C. 1( 1f x x =+ D. 2( 21f x x =+【例 6】觀察下列數(shù) :1,3,2,6,5,15,14,x ,y,z,122, 中 x ,y,z 的值依次是 ( (A 42,41,123;

5、 (B 13,39,123; (C24,23,123; (D28,27,123.【例 7】觀察下列數(shù)的特點1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 中 , 第 100項是 ( (A 10 (B 13 (C 14 (D 100【例 8】設221 (+=xx f ,利用課本中推導等差數(shù)列前 n 項和公式的方法,可求得6( 5( 0( 4( 5(f f f f f +-+- 的值為( A 、 2B 、 22C 、 32D 、 42【例 9】平面上有 n 個圓,其中每兩個都相交于兩點,每三個都無公共點,它們將平面分成 (n f 塊區(qū)域,有 8 3(, 4 2(, 2 1(=f f f

6、 ,則 (n f 的表達式為 ( A 、 n 2 B 、 22+-n n C 、 3(2(1(2-n n n n D 、 410523-+-n n n【例 10】在數(shù)列 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 中,第 25項為( A . 25 B . 6C . 7 D . 8大家網(wǎng),全球第一學習門戶!無限精彩在大家 .www.T opS【例 11】如圖 , 橢圓中心在坐標原點 , F 為左焦點 , 當 FB AB 時 , 2此類橢圓被稱為 “ 黃金橢圓 ”. 類比 “ 黃金橢圓 ”, 可推算出 ” 黃金雙曲線 ” 的離心率 e 等于 ( A.12 B.12 1 1+【例 1

7、2】觀察式子:474131211, 3531211, 23211222222<+<+<+, , 則可歸納出式子為 ( A 、 121131211222-<+n nB 、 121131211222+<+n nC 、 nn n12131211222-<+D 、 122131211222+<+n n n【例 13】公比為 4的等比數(shù)列 n b 中,若 n T 是數(shù)列 n b 的前 n 項積,則有304020301020, , T T T T T T 也成等比數(shù)列,且公比為 1004;類比上述結(jié)論,相應地在公差為 3的等差數(shù)列n a 中, 若 n S 是 n

8、a 的前 n 項和, 則數(shù)列 ,且公差為 ?！纠?14】考察下列一組不等式:, 525252, 525252, 52525232235533442233+>+>+>+.將上述不等式在左右兩端仍為兩項和的情況下加以推廣, 使以上的不等式成為 推廣不等式的特例,則推廣的不等式可以是 _.【例 15】如下圖,第(1個多邊形是由正三角形 “ 擴展 “ 而來,第(2個多邊形是由正四邊形 “ 擴展 ” 而來, 如此類推 . 設由正 n 邊形 “ 擴展 ” 而來的多邊形的邊數(shù)為n a ,則 6a =345991111a a a a += .大家網(wǎng),全球第一學習門戶!無限精彩在大家 .www

9、.T opS【例 16】古希臘數(shù)學家把數(shù) 1, 3, 6, 10, 15, 21, 叫做三角數(shù),它有一定的規(guī)律性,第 30個三角數(shù)與第 28個三角數(shù)的差為 ?！纠?17】數(shù)列 n a 是正項等差數(shù)列,若 nna a a a b nn +=32132321,則數(shù)列 n b 也為等差數(shù)列 . 類比上述結(jié)論,寫出正項等比數(shù)列 n c ,若 n d ,則 數(shù)列 n d 也為等比數(shù)列 .【例 18】在一次珠寶展覽會上 , 某商家展出一套珠寶首飾 , 第一件首飾是 1顆珠寶 , 第二件首飾是由 6顆珠寶構(gòu)成如圖 1所示的正六邊形 , 第三件首飾是由 15顆珠寶構(gòu) 成如圖 2所示的正六邊形 , 第四件首飾是

10、由 28顆珠寶構(gòu)成如圖 3所示的正六邊 形 , 第五件首飾是由 45顆珠寶構(gòu)成如圖 4所示的正六邊形 , 以 后 每件 首 飾都 在 前 一 件上 , 按 照 這 種規(guī) 律 增加 一 定數(shù) 量 的珠 寶 , 使 它 構(gòu) 成更 大 的正 六 邊形 , 依 此 推 斷 第 6件首飾上應有 _顆珠寶 ; 則前 n 件 首 飾所 用 珠 寶 總數(shù) 為 _顆 .(結(jié)果用 n 表示 【例 19】在平面上, 我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個角, 那么截下的一個直角三角形,按圖所標邊長,由勾股定理有:. 222b a c +=設想正方形換成正方體, 把截線換成如圖的截面,這時從正方體上截下三條側(cè) 棱兩兩垂直

11、的三棱錐 O LMN , 如果用 321, , s s s 表示三個側(cè)面面積, 4s 表示截 面面積,那么你類比得到的結(jié)論是 .圖 1 圖 2圖 3大家網(wǎng),全球第一學習門戶!無限精彩在大家 .www.T opS 【例 20】對于平面幾何中的命題 “ 如果兩個角的兩邊分別對應垂直 , 那么這兩個角相等或互補 ”, 在立體幾何中 , 類比上述命題 , 可以得到命題 : 。【例 21】依次有下列等式:222576543, 3432, 11=+=+=,按此規(guī)律下去,第 8個等式為 。【例 22】在等差數(shù)列 n a 中,若 010=a ,則有等式n a a a +21 , 19(1921+-<+=

12、N n n a a a n 成立,類比上述性質(zhì),相應地:在等比數(shù)列 n b 中,若 19=b ,則有等式 .【例 23】 將楊輝三角中的奇數(shù)換成 1,偶數(shù)換成 0,得到如圖所示的 0-1三角數(shù)表.從上往下數(shù), 第 1次全行的數(shù)都為 1的是第 1行,第 2次全行的數(shù)都為 1的是第 3行, , 第 n 次全行的數(shù)都為 1的是第 _行; 第 61行中 1的個數(shù)是 _.第 1行 1 1 第 2行 1 0 1 第 3行 1 1 1 1 第 4行 1 0 0 0 1 第 5行 1 1 0 0 1 1 【例 24】在平面幾何里,可以得出正確結(jié)論:“ 正三角形的內(nèi)切圓半徑等于這正三角形的高的 13” 。拓展到

13、空間,類比平面幾何的上述結(jié)論,則正四面體的內(nèi)切球半徑等于這個正四面體的高的 。【例 25】已知:23150sin 90sin 30sin 222=+ ; 23125sin 65sin 5sin 222=+ 通過觀察上述兩等式的規(guī)律,請你寫出一般性的命題: _=23 ( * 并給出( * 式的證明?！纠?26】觀察以下各等式:223sin 30cos 60sin 30cos 604+= 223sin 20cos 50sin 20cos 504+=223sin 15cos 45sin 15cos 454+=, 分析上述各式的共同特點, 猜想出反映一般規(guī)律的等式,并對等式的正確性作出證明。【例 27

14、】在 ABC 中, 若 C=90°, AC=b,BC=A, 則 ABC 的外接圓的半徑 222b a r+=,把上面的結(jié)論推廣到空間,寫出相類似的結(jié)論?！纠?28】請你把不等式 “ 若 12, a a 是正實數(shù), 則有22121221a a a a a a +” 推廣到一般情形,并證明你的結(jié)論?！纠?29】二十世紀六十年代,日本數(shù)學家角谷發(fā)現(xiàn)了一個奇怪現(xiàn)象:一個自然數(shù),如果它是偶數(shù)就用 2除它,如果是奇數(shù),則將它乘以 3后再加 1,反復進行這樣兩 種運算,必然會得到什么結(jié)果,試考查幾個數(shù)并給出猜想。【例 30】圓的垂徑定理有一個推論:平分弦(不是直徑的直徑垂直于弦,這一性質(zhì)能推廣到橢

15、圓嗎?設 AB 是橢圓0(12222>>=+b a by ax 的任一弦, M 是 AB 的中點,設 OM 與 AB 的斜率都存在, 并設為 K OM 、 K AB , 則 K OM 與 K AB 之間有何關系? 并證明你的結(jié)論?！纠?31】已知橢圓 C :12222=+by ax 具有性質(zhì):若 M 、 N 是橢圓 C 上關于原點對稱的兩點,點 P 是橢圓 C 上任意一點, 當直線 PM 、 PN 的斜率都存在, 并記為 KPM 、 KPN 時, 那么 KPM 與 KPN 之積是與點 P 位置無關的定值。 試對雙曲線 12222=-by ax 寫出具有類似特性的性質(zhì),并加以證明?！?/p>

16、例 32】觀察下面由奇數(shù)組成的數(shù)陣,回答下列問題:( 求第六行的第一個數(shù). ( 求第 20行的第一個數(shù). ( 求第 20行的所有數(shù)的和.135791113151719【例 33】(2004年上海春招高考題在 DE F 中有余弦定理:DFE EF DF EFDFDE-+=cos 2222. 拓展到空間,類比三角形的余弦定理,寫出斜三棱柱 ABC-111C B A 的 3個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成二面角 之間的關系式,并予以證明 .【例 34】已知數(shù)列 3021, , , a a a ,其中 1021, , , a a a 是首項為 1,公差為 1的等差數(shù)列;201110, , , a a a

17、是公差為 d 的等差數(shù)列; 302120, , , a a a 是公差為 2d 的等差數(shù)列(0d.(1若 4020=a ,求 d ;(2試寫出 30a 關于 d 的關系式,并求 30a 的取值范圍;(3續(xù)寫已知數(shù)列, 使得 403130, , , a a a 是公差為 3d 的等差數(shù)列, ,依次 類推,把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列 . 提出同(2類似的問題(2 應當作為特 例 ,并進行研究,你能得到什么樣的結(jié)論?【例 35】 已知橢圓具有性質(zhì):若 MN, 是橢圓 C 上關于原點對稱的兩個點, 點 P 是橢圓 上任意一點,當直線 PMPN, 的斜率都存在,并記為 PM k 、 PN k 時,那么 P

18、M k 與PNk 之積是與點 P 的位置無關的定值.試對雙曲線22221x y ab-=寫出具有類似特性的性質(zhì),并加以證明【例 36】 已知數(shù)列 n a (n 為正整數(shù) 的首項為 1a ,公比為 q 的等比數(shù)列. 求和:012122232a C a C a C -+; 012313233343a C a C a C a C -+-. 由 的結(jié)果,概括出關于正整數(shù) n 的一個結(jié)論,并加以證明.題型二:演繹推理【例 37】由 正方形的對角線相等; 平行四邊形的對角線相等; 正方形是平行四邊 形,根據(jù) “ 三段論 ” 推理出一個結(jié)論,則這個結(jié)論是 (A 正方形的對角線相等 (B 平行四邊形的對角線相

19、等(C 正方形是平行四邊形 (D其它【例 38】下列表述正確的是( 。 歸納推理是由部分到整體的推理; 歸納推理是由一般到一般的推理; 演繹推理是由一般到特殊的推理; 類比推理是由特殊到一般的推理; 類比推理是由特殊到特殊的推理。(A ; (B ; (C ; (D ?！纠?39】有這樣一段演繹推理是這樣的 “ 有些有理數(shù)是真分數(shù),整數(shù)是有理數(shù),則整數(shù) 是真分數(shù) ” 結(jié)論顯然是錯誤的,是因為( 。A. 大前提錯誤 B. 小前提錯誤 C. 推理形式錯誤 D. 非以上錯誤【例 40】(4 有一段演繹推理是這樣的:“ 直線平行于平面 , 則平行于平面內(nèi)所有直線; 已知直線 b /平面 ,直線 a平面

20、,直線 b 平面 ,則直線 b 直線 a ” 的結(jié)論顯然是錯誤的,這是因為 ( 。A. 大前提錯誤 B. 小前提錯誤 C. 推理形式錯誤 D. 非以上錯誤 【例 41】小王、小劉、小張參加了今年的高考,考完后在一起議論。小王說:“ 我肯定考上重點大學。 ”小劉說:“ 重點大學我是考不上了。 ”小張說:“ 要是不論重點不重點,我考上肯定沒問題。 ”發(fā)榜結(jié)果表明,三人中考取重點大學、一般大學和沒考上大學的各有一個,并 且他們?nèi)齻€人的預言只有一個人是對的,另外兩個人的預言都同事實恰好相 反?？梢?(A 小王沒考上,小劉考上一般大學,小張考上重點大學(B 小王考上一般大學,小劉沒考上,小張考上重點大學

21、(C 小王沒考上,小劉考上重點大學,小張考上一般大學(D 小王考上一般大學,小劉考上重點大學,小張沒考上【例 42】已知直線 l 、 m ,平面 、 ,且 l , m ,給出下列四個命題:(1若 ,則 l m ; (2若 l m ,則 ;(3若 ,則 l m ; (4若 l m ,則 ;其中正確命題的個數(shù)是(A 1(B 2 (C 3(D 4【例 43】給出下列三個命題: 若 bb aa b a +-11, 1則; 若正整數(shù) n m 和 滿足n m ,則 2(n m n m -; 設 9: , (22111=+y x O y x P 為圓 上任意一點,圓 2O 以 , (b a Q 為圓心且半徑為 1。 當 1 ( (2121=-+-y b x a 時, 圓 21O O 與圓 相切。其中假命題的個數(shù)是( (A 0 (B 1 (C 2 (D 3【例 44】