定積分的定義92720

1、第一節(jié) 特殊和式的極限定積分的概念 主要內(nèi)容： 一、定積分概念的兩個(gè)現(xiàn)實(shí)原型二、定積分的概念三、可積條件四、定積分的性質(zhì)定積分的起源 積分思想出現(xiàn)在求面積、體積等問題中，在古中積分思想出現(xiàn)在求面積、體積等問題中，在古中國、古希臘、古巴比倫、古埃及的早期數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中國、古希臘、古巴比倫、古埃及的早期數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中都有涉及這類問題的思想和方法都有涉及這類問題的思想和方法. . 如：古希臘的如：古希臘的阿基米德阿基米德（公元前（公元前287212）用邊）用邊數(shù)越來越多的正多邊形去逼近圓的面積，稱為數(shù)越來越多的正多邊形去逼近圓的面積，稱為“窮窮竭法竭法”. . 中國魏晉時(shí)代的中國魏晉時(shí)代的劉徽劉徽在其在其九

2、章算術(shù)注九章算術(shù)注（公元（公元263年）中，對于計(jì)算圓面積提出了著名的年）中，對于計(jì)算圓面積提出了著名的“割圓割圓術(shù)術(shù)”，他解釋說：，他解釋說：“割之彌細(xì)，所失彌少割之彌細(xì)，所失彌少. .割之又割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣.”.”這些都是原始的積分思想這些都是原始的積分思想. . 16世紀(jì)以后，歐洲數(shù)學(xué)家們?nèi)匝赜冒⒒椎碌姆绞兰o(jì)以后，歐洲數(shù)學(xué)家們?nèi)匝赜冒⒒椎碌姆椒ㄇ竺娣e、體積等問題，并不斷加以改進(jìn)法求面積、體積等問題，并不斷加以改進(jìn). .天文學(xué)天文學(xué)家兼數(shù)學(xué)家家兼數(shù)學(xué)家開普勒開普勒的工作是這方面的典型的工作是這方面的典型. .他注

3、意他注意到，酒商用來計(jì)算酒桶體積的方法很不精確，他努到，酒商用來計(jì)算酒桶體積的方法很不精確，他努力探求計(jì)算體積的正確方法，寫成力探求計(jì)算體積的正確方法，寫成測量酒桶體積測量酒桶體積的新科學(xué)的新科學(xué)一書，他的方法的精華就是用無窮多小一書，他的方法的精華就是用無窮多小元素之和來計(jì)算曲邊形的面積或體積元素之和來計(jì)算曲邊形的面積或體積. . abxyo? a原型原型 （求曲邊梯形的面積）求曲邊梯形的面積）一、抽象定積分概念的兩個(gè)現(xiàn)實(shí)原型)(xfy 曲曲邊邊梯梯形形由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線軸軸與與兩兩直直線線, ,所所圍圍成成. .( )( ( )0),yf xf xxxa xb考考察察下下列列圖圖形形由由

4、哪哪些些曲曲邊邊圍圍成成. .a2022xy 00y asinyx 0 x 2x x 2y 0 x 利用元素法的思想求解曲邊梯形的面積時(shí)，利用元素法的思想求解曲邊梯形的面積時(shí)，可可概括概括“分割分割- -取近似取近似- -求和求和- -取極限取極限” ” 的步驟的步驟. .將曲邊梯形的底，即將曲邊梯形的底，即a ,b進(jìn)行分割進(jìn)行分割( (用垂直于用垂直于x軸的直線軸的直線).).第一步第一步 分割；分割；曲邊梯形的面積的解決思路：曲邊梯形的面積的解決思路：a bxyo)(xfy ix1x1 ix1 nx2x記記1.iiixxx 取出典型小區(qū)域，用矩形面積近似曲邊梯形面積取出典型小區(qū)域，用矩形面

5、積近似曲邊梯形面積. .第二步第二步 取近似；取近似；a bxyo)(xfy ()if 高高底底ix1x1 ix1 nx2xix 典型小區(qū)域面積典型小區(qū)域面積 is i ().iiisfx a bxyo)(xfy ix1x1 ix1 nx2x第三步第三步 求和；求和；i 矩形面積和與曲邊梯矩形面積和與曲邊梯形面積不相等形面積不相等1 2 1n n 11().nniiiiisfx 將每個(gè)小曲邊梯形的面積都用矩形近似，并將所將每個(gè)小曲邊梯形的面積都用矩形近似，并將所有的小矩形面積加起來有的小矩形面積加起來. .第四步第四步 取極限取極限. .當(dāng)對曲邊梯形底的分割越來越細(xì)時(shí)，矩形面積之當(dāng)對曲邊梯形底

6、的分割越來越細(xì)時(shí)，矩形面積之和越近似和越近似于于曲邊梯形面積曲邊梯形面積. .a bxyo)(xfy 0,1,2,ixinmax0ix 11()nniiiiiasfx 112233( )()()(),nnfxfxfxfx iniixfa )(lim10 1122330lim()()()() .nnfxfxfxfx 曲曲邊邊梯梯形形面面積積的的近近似似值值為為: :曲曲邊邊梯梯形形面面積積為為當(dāng)當(dāng)即即小小區(qū)區(qū)間間的的最最大大長長度度趨趨近近于于零零時(shí)時(shí)分分割割無無限限加加細(xì)細(xì)12,max,(0),nxxx 原型原型 （求變力所做的功）（求變力所做的功）mfxabfxf 設(shè)設(shè)質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)受受力力 的的

7、作作用用沿沿 軸軸由由點(diǎn)點(diǎn) 移移動動至至點(diǎn)點(diǎn) ，并并設(shè)設(shè) 平平行行于于 軸軸( (如如圖圖) ). .如如果果 是是常常量量，則則它它對對質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)所所作作的的功功為為( )fxff xaxbfmw 如如果果力力 不不是是常常量量，而而是是質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)所所在在位位置置 的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù) ， ，那那么么 對對質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn) 所所做做的的功功應(yīng)應(yīng)如如何何計(jì)計(jì)算算呢呢？mfobxa( )f xwf s ().wf bas?w 0121 , 1,nna bnaxxxxxb 在在區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)插插入入個(gè)個(gè)分分點(diǎn)點(diǎn)把把區(qū)區(qū)間間分分成成 個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間長長度度為為11 , ,1,2,;iiiiia bnxxxxxi

8、n 在在每每個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)1,iiixx 就就近近似似于于質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)從從點(diǎn)點(diǎn)位位移移到到 時(shí)時(shí)力力所所做做的的功功從從而而1()( ),iiiiifxmxxf xw 11()nniiiiiwwfx 解決思路：解決思路：obxam( )f xix1x1 ix1 nx2xix 分割分割以恒力代以恒力代變力變力求和求和( )()if xf 當(dāng)當(dāng)即即小小區(qū)區(qū)間間的的最最大大長長度度趨趨近近于于分分割割無無限限零零細(xì)細(xì)時(shí)時(shí)，加加12,max,(0)nxxx 01lim().niiiwfx fm對對質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)所所做做的的功功取極限取極限似曾相識似曾相識定積分定積分 設(shè)設(shè)是是定定義義在在區(qū)

9、區(qū)間間上上的的有有界界函函數(shù)數(shù) 用用點(diǎn)點(diǎn)將將區(qū)區(qū)間間任任意意分分割割成成 個(gè)個(gè)子子區(qū)區(qū)間間這這些些子子區(qū)區(qū)間間及及其其長長度度均均記記作作在在每每一一子子區(qū)區(qū)間間上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)作作 個(gè)個(gè)乘乘積積的的和和式式012111( ) , ,. , ,(1,2,.),(1,2,., ).,()nniiiiiiiiif xa baxxxxxba bnxxixxxinxnfx 二、 定積分的定義1().niiifx 定義定義以直代曲以直代曲求和求和被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式 , a b 為為積積分分區(qū)區(qū)間間積分上限積分上限積分下限積分下限 如如果果當(dāng)當(dāng)同同時(shí)時(shí)最最大大子子區(qū)區(qū)間間的的長長度度

10、時(shí)時(shí) 和和式式并并且且其其極極限限值值與與的的分分割割法法以以及及 的的取取法法無無關(guān)關(guān) 則則該該極極限限值值稱稱為為函函數(shù)數(shù)區(qū)區(qū)間間在在上上的的定定積積分分 記記作作的的極極限限存存在在1,max0, , , , ()(,:)niiiiifxf xnxa ba b 1(0)( )lim()nbiianif xxfx d d積分變量積分變量積分和積分和( )f xx取極限取極限即即注意：注意：( )baxfx d d( )baf t t d d( )baf u u d d(2).i 在在定定義義中中區(qū)區(qū)間間的的分分法法和和 的的取取法法是是任任意意的的(1),.積積分分值值僅僅與與被被積積函函

11、數(shù)數(shù)及及積積分分區(qū)區(qū)間間有有關(guān)關(guān) 而而與與積積分分變變量量的的字字母母無無關(guān)關(guān)(3)( ) , ,( ) , f xa bf xa b當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上的的定定積積分分存存在在時(shí)時(shí)稱稱在在區(qū)區(qū)間間上上可可積積. .xtuxtu01(1)( )0 , ( ) , ,lim( ).niiif xa byf xa bwfxy 連連續(xù)續(xù)曲曲線線 在在構(gòu)構(gòu)成成的的曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積為為函函數(shù)數(shù) 在在上上的的定定積積分分即即總結(jié)原型和01(2)( ),lim().niiixf xmxabwfx 在在方方向向平平行行于于 軸軸的的連連續(xù)續(xù)變變力力作作用用下下 質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)沿沿 軸軸從從點(diǎn)點(diǎn)

12、位位移移到到點(diǎn)點(diǎn) 所所做做的的功功為為定積分的幾何意義定積分的幾何意義( ).baf x x d d( ).baf x x d d, 0)( xf( )baf x xa d d曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xfd d( )baf x xa 曲邊梯形的面積的負(fù)值曲邊梯形的面積的負(fù)值1234( )baf xxaaaa d d 定積分的幾何意義3a4a2a1a abyxo幾何意義( ),;xf xxa xbxx 它它是是介介于于軸軸、函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形及及兩兩條條直直線線之之間間的的各各部部分分面面積積的的代代數(shù)數(shù)和和在在軸軸上上方方的的面面積積取取正正號號 在在軸軸下下方方的的面面積積

13、取取負(fù)負(fù)號號 _ _abyxo例例1利利用用定定積積分分的的幾幾何何意意義義計(jì)計(jì)算算下下列列積積分分d dd d11200.(1);(2)1.x xxx 解解d d，10(1)x x 表表示示由由及及 軸軸圍圍成成的的三三角角形形面面積積. .0,1,xxyxx 100 x 1x 0y ayx d d10 x x 11 12 1.2d d120(2)1,xx 表表示示由由及及 軸軸圍圍成成的的圓圓面面積積. .20,1,114xxyxx 100 x 1x 0y d d1201xx 1.4 yx a2114 定理定理 （可積的充分條件）（可積的充分條件）定理定理 （可積的必要條件）（可積的必要條

14、件）三、可積條件可導(dǎo)必連續(xù)可導(dǎo)必連續(xù),連續(xù)必可積連續(xù)必可積,可積必有界可積必有界.若若函函數(shù)數(shù)在在上上可可積積 則則在在上上有有界界( ) , ,( ) , .f xa bf xa b 若若是是閉閉區(qū)區(qū)間間上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù) 或或者者是是上上的的單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù) 或或者者是是上上只只有有有有限限個(gè)個(gè)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的有有界界函函數(shù)數(shù) 則則在在上上可可積積. .( ) , , , , , ,( ) , f xa ba ba bf xa b定理定理101li)m()nniiiiiifkfxx 01lim( )niiikfx 01( )lim( )nbiaif x xfx 且且d d( ) ,

15、,( ) ,( )( ).,bbaaf xa bkkf xkffaxbxxkx 若若在在上上可可積積為為常常數(shù)數(shù) 則則在在上上d dd d也也可可積積 且且證證( ) , f xa b在在上上可可積積01lim( )niifx 存存在在( ).bakf xx 所所以以d d四、定積分的性質(zhì),( )( ) , f xkf xa b 對對任任意意分分割割 函函數(shù)數(shù)在在上上的的積積分分和和為為用定積分的定義證明用定積分的定義證明ba k( )f xxd d( )( )baf xg xx d d0011lim()lim()nniiiiiifxgx( )( ).bbaaf xxg xxdddd證證01l

16、im( ( )( )niiiifgx 定理定理( ) , ,( )( ) , ,( ( )( )( )( ).bbbaaaf xg xxf xa bf xgfbx xg x xxa 若若在在上上可可積積 則則在在上上也也可可積積且且 d dd dd d( )( )baf xg xx d d用定積分定義證明用定積分定義證明補(bǔ)充：補(bǔ)充：不論不論 的相對位置如何的相對位置如何, 上式總成立上式總成立.cba,定理定理 （積分區(qū)間的可加性）（積分區(qū)間的可加性）d dd dd d323002( )( )( ),f xxf xxf xx d dd dd d363006( )( )( ),f x xf x

17、xf x x 有有界界函函數(shù)數(shù)在在上上都都可可積積的的充充要要條條件件是是在在上上也也可可積積 且且 dddddd ( ) , , , ( ) , ( )( )( ),.bcbaacf xxf xxff xa cc bf xaxxb266032 063 2abcsacscbsabd dd d1.bbaaxxba 定理定理d d203 x d d2033.2x 對定積分的補(bǔ)充規(guī)定對定積分的補(bǔ)充規(guī)定:(1),( )0.baabf xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 令令d d當(dāng)當(dāng)且且d d 存存在在時(shí)時(shí)令令d dd d(2)( ),( )( ).ababababf x xf x xf x x 定理定理（保序性保序性）

18、推論（保號性）推論（保號性）( )( )( )( ) , ,( ), , ,( ).bbaaf xg xa bg xf xg xxf xxbxa 設(shè)設(shè)與與為為定定義義在在上上dddd的的兩兩個(gè)個(gè)可可積積函函數(shù)數(shù)若若則則( )0, , (,)0 .baf xxf xxa b d d若若則則ab( )g x( )f x定理定理 （有界性）（有界性）ab( )f x,( ) ,()( )().( ) , ,bam mf xa bf xm baf x xm baa b 設(shè)設(shè)分分別別是是在在上上的的最最小小值值和和最最大大值值若若在在上上可可積積 則則 d d . .例例2解解利利用用定定積積分分的的有有界界性性估估計(jì)計(jì)下下列列定定積積分分的的值值d dd d4201.(1)sin;(2)(1).x xxx d d，0(1)sin x x 0sin1,0, ,xx d d0sin x x 0 1, d d0sin x x 0 .0asinyx 0y 1y d d421(2)(1),xx 21yx 4122117,1,4 ,xx d d421(1)xx 2 (41) 17 (41) , d d4216(1)51