《橢圓及其標準方程》說課稿(附教學設(shè)計)

1、橢圓及其標準方程說課稿、教材分析及目標設(shè)定本節(jié)課是圓錐曲線的第一課時它是在學生學習了直線和圓的方程的基礎(chǔ) 上，進一步學習用坐標法研究曲線 橢圓的學習為后面研究雙曲線、 拋物線提供 了基本模式和理論基礎(chǔ)， 因此這節(jié)課有承前啟后的作用， 是本節(jié)和本章的重點內(nèi) 容本節(jié)課的重點是橢圓的定義及其標準方程，標準方程的推導是本節(jié)課的難 點橢圓的定義是通過描述橢圓的形成過程而生成的，是一種發(fā)生性定義它既 揭示了橢圓的本質(zhì)屬性， 又是橢圓標準方程的基礎(chǔ)， 理應作為本節(jié)的重點 同時， 橢圓的標準方程作為研究橢圓性質(zhì)的根本依據(jù)， 也應成為另一個重點 由于學生 對用坐標法求方程還沒落實到位， 對含有根式的方程的化簡存

2、在一定的障礙， 所 以本節(jié)課的難點定為標準方程的推導本節(jié)內(nèi)容是在學生已學習了直線和圓的方程， 并初步學習了求曲線方程的一 般方法和步驟的學情下， 讓學生進一步體會坐標法研究曲線的方法， 熟練此法的 過程，有助于提高學生的計算能力，培養(yǎng)學生進行數(shù)學的觀察思考和歸納的能 力同時對學生思維和能力訓練有很重要的作用基于以上分析，本節(jié)課的教學目標如下：（一）知識目標：掌握橢圓的定義，能正確推導橢圓的標準方程二） 能力目標：通過引導學生親自動手嘗試畫橢圓、 發(fā)現(xiàn)橢圓的形成過程進而歸納出橢圓的定義 , 培養(yǎng)學生的動手能力、 合作學習能力及運用所學知識解 決實際問題的能力三）情感目標通過橢圓定義的獲得培養(yǎng)學生

3、探索數(shù)學的興趣 通過橢圓標準方程的推導培養(yǎng)學生求簡意識并能懂得欣賞數(shù)學的“簡潔美”通過師生、生生的合作學習，增強學生團隊協(xié)作能力的培養(yǎng)，增強主動與他人合作交流的意識 .二、教學分析新的教學理念的核心是“以人為本”，強調(diào)“以學生發(fā)展為核心”.因此要求教師在備課上，不僅要熟練教材， 研究教材，更要深入了解和掌握學生的學 情，弄清在本課的學習過程中，學生存在哪些知識、思維、能力上的障礙，這樣 教師才能在學生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)做好做足文章，教學才更具有針對性和時效 性，教學效果才能突出.本節(jié)課既有概念的教學，又有橢圓標準方程的推導和應用.在概念學習上, 學生可能會受傳統(tǒng)教學方式的影響， 忽略對概念本質(zhì)

4、的深入學習，忽視對概念的 理解，導致學生在處理相關(guān)問題時出現(xiàn)偏差，也使得學生的數(shù)學思維的發(fā)展受到 限制.在橢圓標準方程的推導中，按坐標法求曲線方程的過程，學生存在一定的 障礙，具體表現(xiàn)為：如何建立合適的坐標系，學生在認知上還不是很到位；對于 含兩個根號的式子的化簡，平時接觸不多，方程中字母超過三個，且次數(shù)高，項數(shù)多，計算量較大，學生沒有信心和能力自我解決這一難題；方程中字母b的引 入，學生更是較難想到.基于以上情況，我在教學上作了以下設(shè)計:(1) 在橢圓定義的教學上我花了大量時間，課前精心準備了實驗教具，課 上讓學生親自動手實驗，感受橢圓的形成過程，并鼓勵學生總結(jié)橢圓上點的運動 規(guī)律.當學生定

5、義不準確、不嚴謹時，不是否定學生，而是保護學生的自尊心,“在最近發(fā)展區(qū)”繼續(xù)設(shè)計問題，引導學生不斷探索.通過這樣的實踐， 學生對條件22c的理解水到渠成.這樣，不僅完善了橢圓的定義，也有助于學生能 力的培養(yǎng).(2) 如何建立坐標系？對這一問題，教師并不是急于給出坐標系，而是給學生時間和機會，放手給學生做.又通過折橢圓，展示橢圓的對稱性.再借助圓 來說明(在求圓的方程式，若把圓心作為坐標原點建系時，得出的方程比另外的不把圓心作為原點得出的方程簡潔美觀).啟發(fā)引導學生找出最好的建系方案， 讓學生明白哪種坐標系更合適，這樣，不用老師叮囑，在以后的建系中，學生自 然會注意到平衡對稱對簡化問題的作用.(

6、3) 無理方程的化簡這是一難點，但也是學生利用坐標法求曲線方程必經(jīng)的過程，所以我放手并鼓勵學生自我完成，教師巡視指導，然后投影展示學生 推導化簡結(jié)果.這樣，各個層次的學生都有自己的收獲， 學習才會變得既有趣又有意義.b的引入.主要是結(jié)合著圖形，由學生觀察圖形直觀獲得a，c的幾 何意義，進而自然引進b .過渡自然，并為下節(jié)課學習橢圓幾何性質(zhì)打下基礎(chǔ).三、教法特點為體現(xiàn)新的教學理念，更好地培養(yǎng)學生自主學習的能力，提高學生的綜合素 質(zhì)，在本節(jié)課的教學中我主要采用了探究式的教學方法.本節(jié)課我給學生提供了 以下4個自主探究的機會：探究1:橢圓定義的得出.通過親自動手實驗，觀察思考，總結(jié)歸納出橢圓 的定義

7、;探究2:如何建立適當直角坐標系.積極鼓勵學生用不同建系方法，讓他們充分暴露自然思維，通過比較，自己得出最簡潔的方案，而不是被動地接受課本 或老師所給的方案；探究3:標準方程的推導.先放手給學生組內(nèi)討論解決，教師協(xié)從指導，師 生共同完成;探究4:鞏固應用.對例題的處理，不是傳統(tǒng)的教師一講到底，而是學生自 主分析，相互討論，形成解題思路方法.新的教學理念教學形式倡導學生自主學習， 合作探究，要求教師成為學生學 習的引導者、組織者、合作者和促進者，使教學過程成為師生交流、積極互動、 共同發(fā)展的過程.因此，教師創(chuàng)設(shè)和諧、愉悅的環(huán)境進行引導，用激發(fā)興趣、自主探究的講解、討論相結(jié)合，使學生始終處于問題探

8、索研究狀態(tài)之中，促進學生 說、想、做，鼓勵學生發(fā)現(xiàn)問題，大膽分析問題和解決問題，從而形成主動探究 學習，師生互動的教學氛圍.在教學中教師捕捉住學生發(fā)言中的閃光點和思維的 火花，對學生的積極表現(xiàn)都給予鼓勵和肯定.四、教學效果分析本節(jié)課的實施從整體上說是比較順利的， 學生的思維活動在教師的引導下展 開得比較充分，課堂上認真參與，積極探索，學習熱情較高.在概念的理解、方 程的認識、基本思想的體會、以及動手合作、觀察歸納等方面的能力都有較大的 提高.具體表現(xiàn)為:1. 學生對橢圓定義中的關(guān)鍵詞：和、常數(shù)、2aA2c有非常清晰的理解，對 橢圓的標準方程及其標準方程中a，b，c的關(guān)系有了深刻的認識.2. 橢

9、圓標準方程的推導，加強了學生代數(shù)運算能力的培養(yǎng)， 使學生更深層次的體驗了類比發(fā)現(xiàn)法、化歸、分類討論等數(shù)學思想方法，為下一節(jié)雙曲線的定義 及其標準方程的學習打下了堅實的基礎(chǔ).3. 三個例題，學生都能通過自己的分析思考，獨立完成，體驗到了成功的喜悅，增強了學習的信心.橢圓及其標準方程教學設(shè)計一、教學目標1.知識目標:掌握橢圓的定義，能正確推導橢圓的標準方程.2.能力目標:通過引導學生親自動手嘗試畫橢圓，讓學生發(fā)現(xiàn)橢圓的形成 過程進而歸納出橢圓的定義，培養(yǎng)學生的動手能力、合作學習能力以及運用所 學知識解決實際問題的能力.3.情感目標(1)通過橢圓定義的獲得培養(yǎng)學生探索數(shù)學的興趣(2)通過橢圓標準方程

10、的推導培養(yǎng)學生求簡意識并能懂得欣賞數(shù)學的“簡 潔美”通過師生、生生的合作學習，增強學生團隊協(xié)作能力的培養(yǎng)，增強主動與他人合作交流的意識.、重點、難點重點：掌握橢圓的定義及標準方程，理解坐標法的基本思想.難點：橢圓標準方程的推導與化簡.三教學方法：探究式教學法，即教師通過問題誘導-啟發(fā)討論-探索結(jié)果, 引導學生直觀觀察-歸納抽象-總結(jié)規(guī)律， 使學生在獲得知識的同時，能夠掌握 方法、提升能力.四. 教具準備：多媒體課件和自制教具：呼啦圈，繪圖板、圖釘、細繩.五、教學過程（一）創(chuàng)設(shè)情境，認識橢圓.材料1:對橢圓的感性認識.通過演示課前準備的生活中有關(guān)橢圓的實物和 圖片，讓學生從感性上認識橢圓.材料2

11、: “嫦娥一號”模擬軌道圖.2007年10月24日，我國第一顆探月衛(wèi)星“嫦娥一號”發(fā)射成功，開始了舉世矚目的太空之旅，流傳了幾千年的飛天神話，變成了現(xiàn)實，這標志著我國“嫦娥一號”繞地球航天事業(yè)又上了一個新臺階，這是中國人的驕傲.請問: 飛行的運行軌道是什么？(課件演示軌道圖)引入課題：橢圓及其標準方程.(設(shè)計意圖：利用多媒體，展示學生常見的橢圓形狀的物品，讓學生從感性 上認識橢圓：通過“嫦娥一號”的軌道錄像，讓學生感受現(xiàn)實，激發(fā)學生的學習 興趣，培養(yǎng)愛國思想.)(二) 動手實驗，親身體會.1. 教師演示，弓I出研究思路.教師將一圓形的呼啦圈朝一方向用力壓或拉， 變成一橢圓形狀的呼啦圈，以 說明

12、圓和橢圓的密切關(guān)系，點明可以像學習圓一樣來學習橢圓.思考：在上一章圓的學習中我們知道：平面內(nèi)到一定點的距離為定長的點的 軌跡是圓.那么，到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡又是什么呢？(設(shè)計意圖：對于生活中、數(shù)學中的圓，學生已經(jīng)有一定的認識和研究，但 對橢圓，學生只停留在直觀感受，基于它倆的關(guān)系，引導學生用上一章所學，來 研究橢圓.)2. 學生分組試驗.(1) 取一條細繩;把細繩的兩端用圖釘固定在板上的兩點Fi、F2;(3) 用鉛筆尖(M )把細繩拉緊，在板上慢慢移動觀察畫出的圖形是什么?(教師巡視指導，展示學生成果)3. 分析實驗，得出規(guī)律.(1) 在畫出一個橢圓的過程中，細繩的兩端的位置是固

13、定的還是運動的?(2) 在畫橢圓的過程中，繩子的長度變了沒有？說明了什么？ 在畫橢圓的過程中，繩子長度與兩定點距離大小有怎樣的關(guān)系?（4）改變繩子長度與兩定點距離的大小，軌跡又是什么?學生總結(jié)規(guī)律：|MFi 1+ |MF2 |>|FiF2 I軌跡為橢圓;|MFi 1+ |MF2 |= I FiF2 I 軌跡為線段；|MFi |+ |MF2 |<|FiF2 |軌跡不存在.（設(shè)計意圖：在本環(huán)節(jié)中并不是急于向?qū)W生交待橢圓的定義，而是設(shè)計一個 實驗，一來是為了給學生一個動手實驗的機會，讓學生體會橢圓上點的運動規(guī)律;二是通過實踐思考，為進一步上升到理論做準備.）（三）總結(jié)歸納，形成概念.定義

14、：平面內(nèi)，到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于IF）的點 的軌跡叫做橢圓.（在歸納橢圓定義的過程中，教師根據(jù)學生回答的情況，不斷引導他們逐步加深理解并完善橢圓的定義，在引導中突出體現(xiàn)“常數(shù)”及“常數(shù)”的范圍等關(guān)鍵詞與相應的特征.）冋：橢圓定義還可以用集合語言如何表示?MFi| +|MF2=2a(2a > 2c).（設(shè)計意圖：通過學生觀察、思考、討論，概括出橢圓的定義，讓學生全程參與概念的探究過程，加深理解，提高概括能力和數(shù)學語言的表達能力.）（四）合理建系，推導方程.1. 復習求曲線的方程的基本步驟： 建系；設(shè)點；列式；化簡;（5）證明（可省略）（由學生回答，不正確的教師給予糾正

15、.）2. 如何選取坐標系?【學情預設(shè)】學生可能會建系如下幾種情況:方案一:Fi、方案二:Fi、F2建在X軸上，以F2建在X軸上，以FiF2的中點為原點;Fi為原點；方案三:Fi、F2建在x軸上，以FiF2與x軸的左交點為原點;Fi、F1F2的中點為原點;F2建在y軸上，以教師折橢圓，學生觀察橢圓的幾何特征（對稱性），如何建系能使方程更簡方案四:潔？學生討論，經(jīng)過比較確定方案一.（設(shè)計意圖：積極鼓勵學生用不同建系方法，讓他們充分暴露自然思維，通 過比較，得出最簡潔的方案，而不是被動地接受教材或老師強加給的方法.）3. 推導標準方程.選取建系方案，讓學生動手，嘗試推導.立平面直角坐標系.設(shè)按方案一

16、：以過Fi、F2的直線為x軸，線段FiF2的垂直平分或線為y軸，建F1F2I = 2c（c > 0），點M（X, y）為橢圓上任意一點,MFi|+|MF2|=2a（稱此式為幾何條件），得J（X -cf +y2 + J（x+cY + y2 =2a （實現(xiàn)集合條件代數(shù)化），（想一想：下面怎樣化簡？）（1）教師為突破難點，進行引導設(shè)問:我們怎么化簡帶根式的式子？對于本式是直接平方好還是整理后再平方好呢？化簡，得(a2 -c2)x2+a2y2 =a2(a2-C2).X（2）b的引入.由橢圓的定義可知，2a>2c,a2-c2>"0 .直觀獲得a，c的幾何意義，進而自然引進b，

17、此時設(shè)讓點M運動到y(tǒng)軸正半軸上（如圖2），由學生觀察圖形b2 =a2 -c2，于是得 b2x2 +a2y2 =a2b2，兩邊同時除以 a2b2，2 2得到方程：務(wù)+ y =1 （a A b > 0 ）（稱為橢圓的標準方程）.a b（3）建立焦點在y軸上的橢圓的標準方程.要建立焦點在y軸上的橢圓的標準方程，又不想重復上述繁瑣的化簡過程, 如何做?方法1:按步驟列出方程，利用兩方程結(jié)構(gòu)的異同（結(jié)構(gòu)相同，只是字母 X，y交換了位置），直接得到方程.方法2:（視情況決定講與否（預設(shè)）借助于化歸思想，抓住圖1 （前面方程 推導時用過）與圖3的聯(lián)系（關(guān)于直線y = x對稱）即可化未知為已知，將已知的

18、焦點在x軸上的橢圓的標準方程轉(zhuǎn)化為焦點在 y軸上的橢圓的標準方程.只需將圖1沿直線y = x翻折即可轉(zhuǎn)化成圖3;教師應用多媒體，把其它建系得出的方程展示給學生，相比之下，其它 的建系方式得到的方程不夠簡潔.(設(shè)計意圖：橢圓的標準方程的導出，先放手給學生嘗試，教師協(xié)從指導.再 展示學生結(jié)果；教師對照圖形，加以引導，讓學生明白方程中字母的幾何意義，對方程的理解有很大的作用；禾用類比對稱，化歸的思想得出焦點在y軸上的標 準方程，避免重復的繁雜計算.)4. 歸納概括，掌握特征.(1)橢圓標準方程形式：它們都是二元二次方程，左邊是兩個分式的平方 和，右邊是1;(2)橢圓標準方程中三個參數(shù)a , b , c的關(guān)系：b2 = a2-c2 (a A b A 0);(3)橢圓焦點的位置由標準方程中分母的大小確定(五) 嘗試應用，范例教學.例1下列哪些是橢圓的方程，如果是，判斷它的焦點在哪個坐標軸上？并 指明a、 b，寫出焦點坐標.9x2 - 25y2 - 225 = 02 2(n94注意：分母哪個大，焦點就在哪個坐標軸上，反之亦然.（設(shè)計意圖：進一步鞏固對橢圓標準方程形式的掌握.）例2寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：兩個焦點的坐標分別是（-4,0）、（4 ,），橢圓上一點到兩焦點距離的和等于10.變式一：將上題焦點改為