《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》概率論(2)

1、.第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望2 方差方差3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)4 矩、協(xié)方差矩陣矩、協(xié)方差矩陣.1、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望2、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望3、隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式、隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式4、兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的期望、兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的期望5、期望的有關(guān)性質(zhì)、期望的有關(guān)性質(zhì) 1 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望. 在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量布，如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的的全部概率特征也就

2、知道了全部概率特征也就知道了. 然而，在實(shí)際問(wèn)題中，概率分布一般是較難然而，在實(shí)際問(wèn)題中，概率分布一般是較難確定的確定的. 而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了數(shù)字特征就夠了. 例如例如, 在評(píng)定某一地區(qū)的糧食產(chǎn)量的水平時(shí)在評(píng)定某一地區(qū)的糧食產(chǎn)量的水平時(shí), 在許多場(chǎng)合只要知道該地區(qū)的平均產(chǎn)量在許多場(chǎng)合只要知道該地區(qū)的平均產(chǎn)量; 又如在又如在研究水稻品種優(yōu)劣時(shí)研究水稻品種優(yōu)劣時(shí), 時(shí)常是關(guān)心稻穗的平均稻時(shí)常是關(guān)心稻穗的平均稻谷粒數(shù)谷粒數(shù); 再如檢查一批棉花的質(zhì)量時(shí)再如

3、檢查一批棉花的質(zhì)量時(shí), 即需要注意即需要注意纖維的平均長(zhǎng)度纖維的平均長(zhǎng)度, 又需要注意纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)又需要注意纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的偏離程度度的偏離程度. 因此因此, 與隨機(jī)變量的有關(guān)數(shù)值與隨機(jī)變量的有關(guān)數(shù)值, 能能夠描述隨機(jī)變量的重要特征夠描述隨機(jī)變量的重要特征. 因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的字特征是重要的 .在這些數(shù)字特征中，最常用的是在這些數(shù)字特征中，最常用的是數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù).一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 1、概念的引入：、概念的引入：我們來(lái)看一個(gè)引

4、例我們來(lái)看一個(gè)引例. 例例1 某車間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察某車間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察. 車工車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量. 如何定如何定義義X的平均值呢？的平均值呢？我們先觀察小張我們先觀察小張100天的生產(chǎn)情況天的生產(chǎn)情況.若統(tǒng)計(jì)若統(tǒng)計(jì)100天天, 32天沒(méi)有出廢品天沒(méi)有出廢品;30天每天出一件廢品天每天出一件廢品;17天每天出兩件廢品天每天出兩件廢品;21天每天出三件廢品天每天出三件廢品;3230172101231.27100100100100 可以得到這可以得到這100天中天中 每天的平均廢品數(shù)為每天的平均廢品數(shù)為這個(gè)數(shù)能否作為這個(gè)數(shù)能

5、否作為X的平均值呢？的平均值呢？（假定小張每天至多出（假定小張每天至多出現(xiàn)三件廢品現(xiàn)三件廢品 ）.可以想象，若另外統(tǒng)計(jì)可以想象，若另外統(tǒng)計(jì)100天，車工小張不出廢品，天，車工小張不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的100天一般天一般不會(huì)完全相同，這另外不會(huì)完全相同，這另外100天每天的平均廢品數(shù)也不天每天的平均廢品數(shù)也不一定是一定是1.27.n0天沒(méi)有出廢品天沒(méi)有出廢品;n1天每天出一件廢品天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品天每天出三件廢品.03120123nnnnnnnn 可以得到可以得到n天中每天的平均

6、廢品數(shù)為天中每天的平均廢品數(shù)為(假定小張每天至多出假定小張每天至多出三件廢品三件廢品) 一般來(lái)說(shuō)一般來(lái)說(shuō), 若統(tǒng)計(jì)若統(tǒng)計(jì)n天天 ,.這是這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均以頻率為權(quán)的加權(quán)平均03120123nnnnnnnn 當(dāng)當(dāng)n很大時(shí)，頻率接近于概率，很大時(shí)，頻率接近于概率，所以我們?cè)谇髲U品數(shù)所以我們?cè)谇髲U品數(shù)X的平均值時(shí)，用概率代替的平均值時(shí)，用概率代替頻率，得平均值為頻率，得平均值為01230123pppp 這是這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均以概率為權(quán)的加權(quán)平均這樣得到一個(gè)確定的數(shù)這樣得到一個(gè)確定的數(shù). 我們就用這個(gè)數(shù)作為我們就用這個(gè)數(shù)作為隨機(jī)變隨機(jī)變量量X 的平均值的平均值 .例：例： 一射手進(jìn)行打靶

7、練習(xí)一射手進(jìn)行打靶練習(xí), 規(guī)定射入?yún)^(qū)域規(guī)定射入?yún)^(qū)域e2得得2分分, 射入?yún)^(qū)域射入?yún)^(qū)域e1得得1分分, 脫靶脫靶, 即射入?yún)^(qū)域即射入?yún)^(qū)域e0, 得得0分分. 射手射手一次射擊得分?jǐn)?shù)一次射擊得分?jǐn)?shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量.e0e1e2.設(shè)設(shè)X的分布律為的分布律為PX=k=pk, k=0,1,2.現(xiàn)在射擊現(xiàn)在射擊N次次, N是一個(gè)很大的數(shù)是一個(gè)很大的數(shù), 也可能是一百也可能是一百, 也可能是一萬(wàn)也可能是一萬(wàn), 等等等等. 其中得其中得0分的有分的有a0次次, 得得1分的分的有有a1次次, 得得2分的有分的有a2次次, a0+a1+a2=N.射擊這射擊這N次得分總和為次得分總和為a0 0+a1

8、1+a2 2. 于是平均于是平均一次射擊的得分?jǐn)?shù)為一次射擊的得分?jǐn)?shù)為20120012.kkaaaakNN .這里這里, ak/N是事件是事件X=k的頻率的頻率. 當(dāng)當(dāng)N很大時(shí)很大時(shí), ak/N將近將近似為事件似為事件X=k的概率的概率pk. 就是說(shuō)就是說(shuō),220020,/.kkkkkkXkaNkpkpX在試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí) 隨機(jī)變量 的觀察值的算術(shù)平均近似等于我們稱為隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望或均值20120012.kkaaaakNN .定義定義 設(shè)設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它的分布率是是離散型隨機(jī)變量，它的分布率是: PX=xk=pk , k=1,2,請(qǐng)注意請(qǐng)注意 :離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收離

9、散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)的和斂的級(jí)數(shù)的和.數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望，又稱為均值。數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望，又稱為均值。1()kkkE Xx p若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)1kkkx p絕對(duì)收斂，絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù)則稱級(jí)數(shù)1kkkx p()E X即為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為的數(shù)學(xué)期望，記為 ,.例例12,XX甲、乙二人進(jìn)行打靶，所得分?jǐn)?shù)分別記為它們的分布率分別為 0 1 2 00.2 0.8 0 1 20.6 0.3 0.11Xkp2Xkp12XX解：我們先來(lái)算和的數(shù)學(xué)期望，12()0 0 1 0.22 0.81.8()0 0.6 1 0.32 0.10.5(E XE X 分）分）.到站時(shí)刻到站時(shí)

10、刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6一旅客一旅客8:20到車站到車站,求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望. 例例 按規(guī)定按規(guī)定,某車站每天某車站每天8:009:00,9:0010:00都恰有一輛客車到站都恰有一輛客車到站,但到站時(shí)刻是隨機(jī)的但到站時(shí)刻是隨機(jī)的,且兩者且兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立。其規(guī)律為：到站的時(shí)間相互獨(dú)立。其規(guī)律為： .重要分布的數(shù)學(xué)期望：重要分布的數(shù)學(xué)期望：1、兩點(diǎn)分布：設(shè)隨機(jī)變量、兩點(diǎn)分布：設(shè)隨機(jī)變量X取值于取值于0,1，其分布律，其分布律為為PX=1=p，PX=0=1-p=q，則它的期望為，則它的期望為

11、E(X)=p;2、二項(xiàng)分布：設(shè)、二項(xiàng)分布：設(shè)XB(n,p)，則，則E(X)=np;3、泊松分布：設(shè)、泊松分布：設(shè)X()，則，則E(X)= 。.例：設(shè)例：設(shè)X的取值為的取值為 ，對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)12( 1)(1,2,.)kkkxkk 12kkp 則它的期望為？則它的期望為？概率分布為概率分布為 ，.例例 在一群體中普查某種疾病在一群體中普查某種疾病, 為此要抽檢為此要抽檢N個(gè)人的血個(gè)人的血, 可以用兩種方法進(jìn)行可以用兩種方法進(jìn)行. (1)將每個(gè)人的血分別去驗(yàn)將每個(gè)人的血分別去驗(yàn), 這就需要驗(yàn)這就需要驗(yàn)N次次. (2)按按k個(gè)人一組進(jìn)行分組個(gè)人一組進(jìn)行分組, 把從把從k個(gè)人抽來(lái)的血混合在個(gè)人抽來(lái)的血混合

12、在一起進(jìn)行檢驗(yàn)一起進(jìn)行檢驗(yàn), 如果這混合血液呈陰性反應(yīng)如果這混合血液呈陰性反應(yīng), 就說(shuō)明就說(shuō)明k個(gè)人的血都呈陰性反應(yīng)個(gè)人的血都呈陰性反應(yīng), 這樣這樣k個(gè)人的血就只需要驗(yàn)個(gè)人的血就只需要驗(yàn)一次一次. 若呈陽(yáng)性若呈陽(yáng)性, 則再對(duì)這則再對(duì)這k個(gè)人的血液分別進(jìn)行化驗(yàn)個(gè)人的血液分別進(jìn)行化驗(yàn). 這樣這樣, k個(gè)人的血總共要化驗(yàn)個(gè)人的血總共要化驗(yàn)k+1次次. 假設(shè)每個(gè)人化驗(yàn)假設(shè)每個(gè)人化驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為呈陽(yáng)性的概率為p, 且這些人的試驗(yàn)的反應(yīng)是相互獨(dú)且這些人的試驗(yàn)的反應(yīng)是相互獨(dú)立的立的. 試說(shuō)明當(dāng)試說(shuō)明當(dāng)p較小時(shí)較小時(shí), 取適當(dāng)?shù)娜∵m當(dāng)?shù)膋按第二種方法可按第二種方法可減少化驗(yàn)的次數(shù)減少化驗(yàn)的次數(shù), 并說(shuō)明并說(shuō)

13、明k取什么值時(shí)最適宜取什么值時(shí)最適宜.解解 各人的血呈陰性反應(yīng)的概率為各人的血呈陰性反應(yīng)的概率為q=1 p. 因而因而k個(gè)人的混合血呈陰性反應(yīng)的概率為個(gè)人的混合血呈陰性反應(yīng)的概率為qk及呈陽(yáng)性反及呈陽(yáng)性反應(yīng)的概率為應(yīng)的概率為1 qk.設(shè)以設(shè)以k個(gè)人為一組時(shí)個(gè)人為一組時(shí), 組內(nèi)每人平均化驗(yàn)次數(shù)為組內(nèi)每人平均化驗(yàn)次數(shù)為X, 則則X是一隨機(jī)變量是一隨機(jī)變量, 其分布律為其分布律為111kkkkXkkpqq.X的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為111()1(1)1kkkE Xqqqkkk 11.kNqkN個(gè)人平均需化驗(yàn)的次數(shù)為個(gè)人平均需化驗(yàn)的次數(shù)為由此可知由此可知, 只要選擇只要選擇k使使111kqk則則N個(gè)人

14、平均需化驗(yàn)的次數(shù)個(gè)人平均需化驗(yàn)的次數(shù)0, 常數(shù)常數(shù)), 求求W的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望.四、兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的期望四、兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的期望 ,(, )()ZX YZg X Yg設(shè) 是隨機(jī)變量的函數(shù)是連續(xù)函數(shù)Z則 也是隨機(jī)變量且(1)(, ),( , ),X Yf x y若是二維連續(xù)型 概率密度為則有()( )( , )( )( )( , )( ) (, )( , ) ( , )XYE Xxfx dxxf x y dxdyE Yyfy dyyf x y dxdyE ZE g X Yg x y f x y dxdy .這里假定上兩式右邊的積分或級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂(2)(, ),( ,1,2)ijijX

15、YP Xx Yyp i j若是二維離散型 概率分布為則有11( ) (, )( ,)ijijjiE ZE g X Yg x yp.例例9 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度的概率密度3231,1.2( , )0,.1( ),.yx xx yxf x yE YEXY其它求數(shù)學(xué)期望.例例 已知二維隨機(jī)變量（已知二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為）的分布律為 XY01210.10.20.120.30.10.2求求E(X),E(2X+3Y),E(XY). 五、數(shù)學(xué)期望的有關(guān)性質(zhì)五、數(shù)學(xué)期望的有關(guān)性質(zhì) 1. 設(shè)設(shè)C是常數(shù)，則是常數(shù)，則E(C)=C; 4. 設(shè)設(shè)X、Y 相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則 E(X

16、Y)=E(X)E(Y); 2. 若若C是常數(shù)，則是常數(shù)，則E(CX)=CE(X); 3. 11:()nniiiiEXE X推廣11:()nniiiiEXE X推廣（諸（諸Xi相互獨(dú)立時(shí)）相互獨(dú)立時(shí)）請(qǐng)注意請(qǐng)注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 獨(dú)立獨(dú)立()()( );E XYE XE Y.例例 設(shè)設(shè)X和和Y均為隨機(jī)變量，且均為隨機(jī)變量，且E(X2)和和E(Y2)都存在，都存在，證明柯西證明柯西-斯瓦茲不等式：斯瓦茲不等式：E(XY)2E(X2)E(Y2)例例 設(shè)設(shè)X和和Y相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布N(,2)，求求（1）Emax(X,Y); (2)Emin(X,Y).例例11 一民航送客車載有一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出位旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出, 旅客旅客有有10個(gè)車站可以下車個(gè)車站可以下車