《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》期末復(fù)習(xí)題（課堂PPT）

1、1l 題目類型：選擇題，填空題，計算題。提醒注意以下幾點：l 1、概率論部分中的古典概率計算只要求常見類型如抽球問題和分球入盒問題l 2、要求熟知事件關(guān)系及其運算，各種概率計算公式等；l 3、常用分布的概率計算以及性質(zhì)，數(shù)學(xué)期望與方差；l 4、一維、二維隨機變量的分布函數(shù)密度函數(shù)之間的關(guān)系以及運算,隨機變量的獨立性與相關(guān)性的關(guān)系以及判別；l 5、隨機變量數(shù)學(xué)期望與方差以及協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)與計算；l 6、掌握正態(tài)分布隨機變量的有關(guān)計算以及利用中心極限定理的計算；l 7、數(shù)理統(tǒng)計的基本概念，常用的抽樣分布以及各分布表分位點的性質(zhì)；l 8、掌握參數(shù)估計中的矩估計與極大似然估計、估計量的無偏性和

2、有效性；l 9、區(qū)間估計與假設(shè)檢驗，只考單個正態(tài)總體的兩個參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗，對于假設(shè)檢驗，要求會區(qū)分并進行單側(cè)或雙側(cè)檢驗。2 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)一、填空題一、填空題 CBA1.設(shè)設(shè)A、B、C為三事件，則事件為三事件，則事件“A發(fā)生發(fā)生B與與C都不發(fā)生都不發(fā)生”可可 表示為表示為_; 事件事件“A、B、C不都發(fā)生不都發(fā)生”可表示為可表示為_ 事件事件“A、B、C都不發(fā)生都不發(fā)生”可表示為可表示為_。CBACBA 2. 100件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有10件次品，任取件次品，任取5件恰有件恰有3件次品的概率為件次品的概率為_（只寫算式）。（只寫算式）。5100290310

3、CCC 3, 132 , 5 . 021 , 4 . 01, 0 xxxxxF3. 已知隨機變量已知隨機變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 ，則P(X=1)=_0.4 ，P(X=2.5)= 0_ 4. 設(shè)設(shè) 3 , 1 NX則則X的函數(shù)的函數(shù)Y= 31X N(0,1) 。 35.設(shè)二維隨機變量（設(shè)二維隨機變量（X,Y)的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為 121,jiyYxXP; 3 , 2 , 1i4 , 3 , 2 , 1j則則1xXP_1/3_ _15_2XD5 .1EX62EX _3_2XE_75. 3_)(XD6.已知已知，則則 7. 在假設(shè)檢驗中若原假設(shè)在假設(shè)檢驗中若原假設(shè)H0實際為真時卻拒絕

4、實際為真時卻拒絕H0 ，稱這類錯誤為稱這類錯誤為 棄真（第一類棄真（第一類)錯誤錯誤 8.設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 pnbX,4 .2EX44. 1DX則則_6_n_4 . 0_p 66 . 00 xp9.若X2(10)，則E(X)=10，D(X)=2010. P(2(11)s)=0.05,則675.19)11(250 . 0s357.080.21)12,9(1)12,9(1)9,12(.110.0595.0195.0FFF05.005.005.095.0)50()5()5(.12uttt，4213121)(,)(,)(ABPBPAP,12/7)(, 4/ 1)(BAPABP則4/3)(BAP13

5、.13.已知已知A,BA,B為兩事件，為兩事件，14.14.已知已知A A，B B為兩事件，為兩事件， 4 . 0AP6 . 0ABP16. 0ABP則15. 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X N(0,1)，Y U(0,1)，Z B(5,0.5),且且X，Y，Z獨立，獨立， 則則E(2X+3Y)(4Z-1) = 27/2 16.若若X與與Y相互獨立，則必有相互獨立，則必有X與與Y 不相關(guān)不相關(guān)5二、解答題二、解答題 1.將兩信息分別編碼為將兩信息分別編碼為A和和B傳送出去，接收站收到時，傳送出去，接收站收到時， A被誤收作誤收作B的概率為的概率為 0.02，而，而 B被誤收作被誤收作 A的概率為的概率為

6、 0.01.信息信息 A與信息信息 B傳送的頻率程度為傳送的頻率程度為2:1。 (1)若接受站收到一信息，是若接受站收到一信息，是 A的概率是多少？的概率是多少？ （2）若接受站收到的信息是）若接受站收到的信息是 A，問原發(fā)信息是，問原發(fā)信息是 A的概率是多少？的概率是多少？ 解：設(shè)解：設(shè) 21AA，分別表示發(fā)出分別表示發(fā)出A,B. 1B2B 分別表示收到分別表示收到A,B 2121111ABPAPABPAPBP01. 03198. 0326567.0 9949. 01971966567. 098. 032111111BPABPAPBAP6事件獨立性的應(yīng)用舉例事件獨立性的應(yīng)用舉例1、加法公式的

7、簡化加法公式的簡化： 若事件A1，A2，An相互獨立, 則 )()()(1)(2121nnAPAPAPAAAP2、乘法公式的簡化乘法公式的簡化：若事件A1，A2，An相互獨立, 則 )()()()(2121nnAPAPAPAAAP72. 甲、乙兩射手獨立地射擊同一目標(biāo)，他們擊中目標(biāo)的概甲、乙兩射手獨立地射擊同一目標(biāo)，他們擊中目標(biāo)的概率分別為率分別為0.90.9與與0.80.8，求在一次射擊中，求在一次射擊中( (每人各射一次每人各射一次) )目標(biāo)目標(biāo)被擊中的概率被擊中的概率。解 設(shè)A，B分別表示甲、乙射中目標(biāo)的事件， C表示目標(biāo)被擊中的事件，則P(A)=0.9，P(B)=0.8P(C)=P(A

8、B)=P(A)+P(B)-P(AB) =0.9+0.8-0.90.8=0.98另解 02. 0)8 . 01)(9 . 01 ()()()()(BPAPBAPCP98. 0)(1)(CPCP83 .甲、乙、丙三人獨立破譯一份密碼。已知甲、乙、丙三人能譯出的概率甲、乙、丙三人獨立破譯一份密碼。已知甲、乙、丙三人能譯出的概率 分別為分別為1/5，1/3，1/4。（1）求密碼能破譯的概率；）求密碼能破譯的概率；（2）求甲、乙、丙中恰有一人破譯密碼的概率。）求甲、乙、丙中恰有一人破譯密碼的概率。解解 設(shè)設(shè)A，B，C分別表示甲、乙、丙譯出的事件，分別表示甲、乙、丙譯出的事件， D表示密碼被破譯的事件，表

9、示密碼被破譯的事件， E表示恰有一人譯出的事件，則表示恰有一人譯出的事件，則53)(1)()(52)411)(311)(511 ()(*)(*)()()() 1 (DPCBAPDPCPBPAPCBAPDP3013)()()()()()()()()()()()2(CPBPAPCPBPAPCPBPAPCBACBACBAPEP恰有一人譯出的概率為94.設(shè)設(shè)X是連續(xù)型隨機變量，已知是連續(xù)型隨機變量，已知X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 00,00,)(，xxAexfx試求試求 (1)常數(shù)常數(shù)A (2)X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x) 10)(00AdxAedxdxxfxA解：解： xdxxfxF)()(，當(dāng)0

10、 x00)(xdxxF0 x當(dāng)xxxxedxedxdxxfxF10)()(000001)(xxexFx105.已知隨機變量已知隨機變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為其他021210 xxxaxxf)(求求 (1)常數(shù)常數(shù)a (2)分布函數(shù)分布函數(shù) )2321(3 XP）（4）求）求E(X),D(X) 解：解： 1212)2(1)(12110adxxaxdxdxxf）（得得a =12121)2 (1000)(21010 xxdtttdtxtdtxxFxx）（2121122102100)(22xxxxxxxxF)2321(3 XP）（43)22 (2)2 ()(231212122311212321xx

11、xdxxxdxdxxf131312421321210321102xxxdxxxdxxEX）（6741324122132131042121032xxxdxxxdxxEX6116722EXEXDX116.6. 設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過3 3盞信號燈。每盞信號盞信號燈。每盞信號燈以概率燈以概率1/21/2允許汽車通過或禁止汽車通過。以允許汽車通過或禁止汽車通過。以X表示汽車首次表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數(shù)停下時，它已通過的信號燈的盞數(shù)( (各信號燈工作相互獨立各信號燈工作相互獨立) )。求。求X的分布律、分布函數(shù)以及概率的分布律、分布函數(shù)以及

12、概率),2523(),23(XPXP解解 設(shè)設(shè)p為每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則為每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則 P(X=k)=p(1-p)k，k=0,1,2；P(X=3)=(1-p)3，故，故X的分布律為：的分布律為：)32( XPX0123P1/21/41/81/8X的分布函數(shù)：的分布函數(shù)：332211000)()(81814121814121412121xxxxxxXPxF3132211000874321xxxxx127. 7. 離散型隨機變量離散型隨機變量X X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為2/122,21 ,3/211,1,0)(）（且XPxbaxaxaxxF求求a,ba,b及及X X

13、的分布律的分布律,E(X),D(X),E(X),D(X)。解解 因因P(X=2)=a+b-(2/3-a)=1/2 P(X=2)=a+b-(2/3-a)=1/2 ，a+b=1a+b=1 于是于是a=1/6,b=5/6a=1/6,b=5/6 X X的分布律為的分布律為 X -1 1 2 p 1/6 1/3 1/2138. 設(shè)連續(xù)型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 求（求（1）常數(shù)）常數(shù)A，B的值；的值； （2）P（-1X1）；）； （3）求）求X的密度函數(shù)。的密度函數(shù)。 )0(0,00,)(xxBeAxFx0, 00,1)(10)(lim1)(lim)(1 ) 1 (0 xxex

14、FBBAxFXAABeAFxxxx故以分布函數(shù)是連續(xù)的，是連續(xù)型隨機變量，所因解eFFXP1) 1() 1 () 11() 2(0 x, 00 x,e)x(F)x(f )3(x/14萬公里的概率。只行駛路程不足只輪胎，試求至少有兩今從中隨機抽取其概率密度為是一個隨機變量，已知（以萬公里計）能行駛的路程設(shè)某種輪胎在損壞以前305,0, 00,101)(; 910 xxexfXx 99997. 09502. 019502. 0159502. 019502. 00513059502. 01101)(3030415030300310PedxedxxfXPx萬公里的概率為駛路程不足只輪胎中至少有兩只行）

15、（萬公里的概率為程不足解一只輪胎能行駛的路1510.二維隨機變量（二維隨機變量（X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為其他,00 , 10,1,xyxyAyyxf(1)試確定常數(shù)試確定常數(shù)A；(2)求關(guān)于求關(guān)于X和和Y的邊緣密度函數(shù)；的邊緣密度函數(shù)；(3)判斷判斷X和和Y是否相互獨立。是否相互獨立。解：解：(1) dyyAydxdxdyyxfx 0101,112321032AdxxAxA12A 其他其他）（, 010 ,46010)1 (12,2320 xxxxdyyydyyxfxfxX其他其他010)1 (12010)1 (12),()(21yyyydxyydxyxfyfy yfxfyxf

16、YX,3）（所以 X與Y不獨立1611.二維隨機變量（二維隨機變量（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為）的聯(lián)合密度函數(shù)為 (1), 01,01( , )0,Ay xyxyf x y 其 他（1）確定常數(shù)）確定常數(shù)A （2）試問）試問X與與Y是否相互獨立？是否相互獨立？ 解：解：（1） dxdyyxf,1dxxyyAdy10101dyyxxyxA1010221AyyA474310274A dyxyydyyxfxfX174,210）（xxyyy3722121741022當(dāng)當(dāng)0 x1 dxxyydxyxfyfY174,10yyxxyx231742174102當(dāng)當(dāng)0y1. yxfyfxfYX,所以所以X與與Y不

17、獨立不獨立 17(1)求常數(shù)求常數(shù)K；(2)求聯(lián)合分布函數(shù)求聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)；(3) 求概率求概率P(X+2Y 1)。 12.12. 已知已知解解 (1)其其它它00, 0),(),(32yxKeyxfYXyx 1),(dxdyyxf00321dyKedxyx030216kdyedxeKyxK=6O xyx+2y=1(2) xydudvvufyxF),(),(其其它它00, 060 032yxdudvex yvu其它其它00, 0)1)(1 (32yxeeyx(3)10210326) 12(xyxdyeedxYXP5135. 02)1(2101032dxeexyx1813. 設(shè)二維隨機

18、變量設(shè)二維隨機變量(X,Y)具具有概率密度函數(shù)有概率密度函數(shù) 其其它它0 00y, 0 xe),()yx(xyxf(1)求求X,Y的邊緣概率密度；的邊緣概率密度；(2)問問X與與Y是否相互獨立？是否相互獨立？O xy解解 dyyxfxfX),()(其它其它0 00 xxe0)yx(dy其其它它0 00 xxexdxyxffY),()y(其它其它0 00yexey0yx(dx）由于由于f(x,y)=fX(x)fY(y) ，因此，因此X與與Y相互獨立。相互獨立。1914. 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為YX010q010p其中其中p+q=1，求相關(guān)系數(shù)，求相關(guān)系

19、數(shù)XY ，判斷判斷X,Y相相關(guān)性和獨立性。關(guān)性和獨立性。解解 由題意可得由題意可得X,Y的邊緣分布律為的邊緣分布律為X01PqpY01Pqp均為均為01分布，分布， E(X)，D(X)=pq，E(Y)=p，D(Y)=pq，所以所以Cov(X,Y)=E(XY) E(X)E(Y) =00q+010+100+11p pp =p p2=pq因此因此1)()(),(CovpqpqpqYDXDYXXY（1）X,Y正相關(guān)正相關(guān)（2) X,Y不獨立不獨立20其其它它0),(2),(Dyxyxf解解322)(010 xdyxdxXE312)(010 xydydxYE181942)(0102xdydxxXD412

20、)(010 xydyxdxXYE181912)(0210 xdyydxYD361)()()(),(CovYEXEXYEYX)()(),(CovYDXDYXXY2115.設(shè)設(shè)(X,Y)服從區(qū)域服從區(qū)域D:0 x1,0yx上的均勻分布上的均勻分布,求求X與與Y的相關(guān)系數(shù)。的相關(guān)系數(shù)。2116.16. (X,Y)的聯(lián)合分布律如下：的聯(lián)合分布律如下： 試求試求(1)X,Y的邊緣分布律。的邊緣分布律。 解解YX1234pi11/40001/421/81/8001/431/121/121/1201/441/161/161/161/161/4pj25/4813/487/483/48(1)X和和Y的邊緣分布律

21、分別為的邊緣分布律分別為X1234P1/41/41/41/4Y1234P25/48 13/487/483/48，的獨立性判斷的相關(guān)性判斷）（X)4(YX,)3(21 , 35 .1P2YX24/512/18/121 , 35 .1P2YX）（不獨立計算YXpppYDXDYXjiij,*)4()()(),cov() 3(2217.某校抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的概率論與數(shù)理統(tǒng)計成績某校抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的概率論與數(shù)理統(tǒng)計成績X近似地服從正態(tài)近似地服從正態(tài)分布分布 ,平均成績平均成績 72分，分，96分以上的占考生總數(shù)的分以上的占考生總數(shù)的2.3，求考，求考生的概率統(tǒng)計成績在生的概率統(tǒng)計成績在60

22、分至分至84分之間的概率。分之間的概率。),(2N ),72(2NX解：%3 . 272961)96(1)96(XPXP977.02422412682. 01) 1 (2) 1() 1 (127260127284)8460(XP2318 . 某車間有某車間有200臺車床，每臺車床有臺車床，每臺車床有60%的時間在開動，每臺的時間在開動，每臺車床開動期間的耗電量為車床開動期間的耗電量為1千瓦，問至少應(yīng)供應(yīng)給此車間多少電千瓦，問至少應(yīng)供應(yīng)給此車間多少電量才能以量才能以99.9%的概率保證此車間不因供電不足而影響生產(chǎn)？的概率保證此車間不因供電不足而影響生產(chǎn)？解：設(shè)至少需供給解：設(shè)至少需供給nE千瓦電

23、量千瓦電量,X為同時開動的車床數(shù)，則為同時開動的車床數(shù)，則 ) 6 . 0 ,200( BX484 . 06 . 0200)1 (,1206 . 0200pnpnp999. 0 nXP999. 04812048120nXP01. 348120999. 0)48120(nn141n24nXXX,.1921設(shè)為總體的一個樣本，總體為總體的一個樣本，總體X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為 其他,010,1xxxf其中其中 0為未知參數(shù)。為未知參數(shù)。 求：（求：（1） 的矩估計量的矩估計量 （2） 的極大似然估計量。的極大似然估計量。 解：解：(1) 1110110 xdxxdxxxfXE）（XXE1

24、)(解得矩估計量為：解得矩估計量為： XX125(2)似然函數(shù)為似然函數(shù)為 niiixfLx1)()(, 0niinniixx1111 niixnL1ln1lnln 0lnln1niixndLd解得極大似然估計為：解得極大似然估計為： niixn1lnniin1Xln2620.為了解燈泡使用時數(shù)的均值為了解燈泡使用時數(shù)的均值 及標(biāo)準(zhǔn)差及標(biāo)準(zhǔn)差 ，測量，測量10個燈泡，得個燈泡，得 hShx20,1500如果已知燈泡的使用時數(shù)服從正態(tài)分布，求如果已知燈泡的使用時數(shù)服從正態(tài)分布，求 ，的的95%的置信區(qū)間的置信區(qū)間 解解:(1)這是一個總體方差未知求這是一個總體方差未知求 的置信度為的置信度為0.

25、95的置信區(qū)間的問題的置信區(qū)間的問題 262. 2) 9 () 1(025. 02tnt20,1500,10Sxn31.1514,69 21500,1020262. 21500/) 1(,/) 1(22nSntxnSntx(2)這是一個求這是一個求 的置信度為的置信度為0.95的置信區(qū)間的問題的置信區(qū)間的問題 700. 2) 9 () 1(2975. 0221n023.19)9() 1(2025. 022n33.1333,24.189700. 2209,023.19209) 1() 1(,) 1() 1(2222122222nSnnSn的為：），的為（33.13324

26、.1892721 .某校進行教學(xué)改革，一學(xué)科學(xué)生成績某校進行教學(xué)改革，一學(xué)科學(xué)生成績X服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布， 2,均未知。均未知。現(xiàn)抽測現(xiàn)抽測19人的成績?nèi)缦拢喝说某煽內(nèi)缦拢?0 80 67 86 61 96 92 87 62 51 81 99 76 86 93 79 81 62 47問是否有理由認(rèn)為該科的平均成績大于對照組的平均成績問是否有理由認(rèn)為該科的平均成績大于對照組的平均成績70？ 05. 0解：檢驗解：檢驗 ：0H700：1H0選取統(tǒng)計量：選取統(tǒng)計量： nSXt0由題意條件得：由題意條件得： 19n023.156316.76sX，9241.10nSXt734.11805.0 t

27、故拒絕故拒絕 H0即認(rèn)為該科的平均成績大于對照組的平均成績即認(rèn)為該科的平均成績大于對照組的平均成績70。拒絕域拒絕域734. 1)18() 1(T05. 0tnt假設(shè)檢驗九種類型！假設(shè)檢驗九種類型！2822. )1 , 0( NX(X1,X2,X6)為為X的一個樣本的一個樣本求常數(shù)求常數(shù)C使得使得CY服從服從 2分布。分布。26542321)XXX()XXX(Y解解 因為因為(X1,X2X6)為為X的一個樣本的一個樣本,XiN(0,1)，i=1,26則則) 3 , 0 (N)XXX(3 , 0 (N)XXX(654321）) 1 , 0(N3XXX1 , 0(N3XXX654321）)n()3

28、XXX()3XXX(226542321所以，取常數(shù)所以，取常數(shù)C=1/3使得使得CY服從服從 2分布分布2923.設(shè)總體設(shè)總體X服從服從N(0,1)，樣本，樣本X1,X2Xn來自總體來自總體X，試求，試求常數(shù)常數(shù)c使統(tǒng)計量使統(tǒng)計量 服從服從t-分布分布.25242321)(XXXXXc3/2ct(3) 服從）（相互獨立又因為服從服從服從服從解：3/2,)3()1 ,0(,)1 ,0(2)2,0(2524232121225242325,4321121XXXXXYYXXXYNXXXNXXYNXX3024. (X1,X2,X5)為取自正態(tài)總體為取自正態(tài)總體XN(0,2)的樣本，的樣本，求統(tǒng)計量求統(tǒng)計

29、量)(2)(32524232221XXXXX的分布的分布解解), 0(2NXi)5 , 2 , 1(i) 1 , 0(0NXXii)2(22221XX) 3(2252423XXX)3 , 2(322524232221FXXXXX)3 , 2()(2)(32524232221FXXXXX3125. 25. 設(shè)離散型隨機變量設(shè)離散型隨機變量X有如下分布律，試求隨機有如下分布律，試求隨機變量變量Y=(X- -3)2+1的分布律的分布律 X1357P0.50.1 0.15 0.25解解 Y的所有可能取值為的所有可能取值為1，5，171 . 0)3() 11)3() 1(2XPXPYP65. 015.

30、05 . 0)5() 1()51)3()5(2XPXPXPYP25. 0)7()171)3()17(2XPXPYP故，故，Y的分布律為的分布律為Y1517P0.10.650.2532設(shè)設(shè)(X1,X2,Xn)是正態(tài)總體是正態(tài)總體N(,2)的樣本，則的樣本，則 (1)nNX2,(2) 1()XX(1) 1(2n1i2i222nSn(3)X與與S2獨立獨立(4)()X(12n1i2i2n)1()5(ntnSX332626.設(shè)設(shè)X X1 1， X X2 2 ，X X2525是取自是取自N N（2121，4)4)的樣本的樣本, , 求（求（1 1）樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差；）樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差；2

31、4.021-XP)2()254,21(NX25n),4,21(NX4514. 01)6 . 0(26 . 04 . 021-X24. 021-X) 1 , 0(N0.421-X)16. 0 ,21(NXPP16. 0254)XD(,21)X(E解解：342727.設(shè)設(shè)X X1 1， ，X X1010是取自是取自N N（2 2，16)16)的樣本的樣本, , 求求a a。解：解：95. 0252 aSP 10122)(91iiXXS)9(16922 S95. 0409169140916925222aSPaSPaSP919.16)9(409250 . 0a196.75 a3528. 28. 設(shè)設(shè)X

32、 X1 1，X X2 2, , ，X X8 8 是取自是取自N(1,9)N(1,9)的樣本的樣本, ,求樣本方差求樣本方差 S S2 2的期望與方差。的期望與方差。解：解： 8122)(71iiXXS)7(9722 S7)(97)97(22 SESE9)(2 SE14)(8149)97(22 SDSD7162)(2 SD3629.29.設(shè)設(shè)X X1 1，X X2 2, , ，X X9 9 是取自是取自N(0,9)N(0,9)的樣本的樣本, ,求求解：解：)9 , 0( NXi0 SXP)8(3)(tSXSXn21031030SXPSXPSXP3730. 設(shè)總體設(shè)總體X的的k階矩存在，則不論階矩

33、存在，則不論X的分布如何，樣本的分布如何，樣本k階原點矩階原點矩nikikXnA11是總體是總體k階矩的無偏估計。階矩的無偏估計。證明證明設(shè)設(shè)X的的k階矩階矩 k=E(Xk)，k1(X1,X2,Xn)是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體X的一個樣本，則的一個樣本，則kkkiXEXE)()(ni, 2 , 1)1()(1nikikXnEAEnikiXEn1)(1knikn1)(1所以所以Ak是是k的無偏估計的無偏估計.3831. 設(shè)設(shè)XN(0,2)，證明證明 是是2無偏估計無偏估計。（2）求）求(X1,X2,Xn)是來自總體是來自總體X的一個樣本的一個樣本niiXn122122112122n1D1E11

34、EEnXnXnXnniiniinii）（解：niiXn1221是是2無偏估計。無偏估計。2n)(D)n(2122212niiniiXX）（2Dn22nnD1DD42412224122niiniiXnXn）（3932. 設(shè)設(shè)(X1,X2,Xn)是總體是總體X的一個樣本，的一個樣本，個最有效？）三個無偏估計中哪一（的無偏估計；為）證明（2X53X52,X43X41,X32X311212121的無偏估計。三個估計都是）（）（）（）（5352X53X52E4341X43X41E3231X32X31E1212121最有效。）21222212222122221X53X522513259254X53X52(

35、D85169161X43X41(D959491X32X31(2)D4033.33.設(shè)設(shè)(X,Y)(X,Y)服從服從N(1,0,9,16,-0.5)N(1,0,9,16,-0.5)分布，分布，Z=X/3+Y/2Z=X/3+Y/21)1)求求Z Z的概率密度，的概率密度，2)2)求求X X與與Z Z的相關(guān)系數(shù)，的相關(guān)系數(shù)，3) X3) X與與Z Z是否相互獨立？是否相互獨立？解解：（）：（）X XN(1,9),YN(1,9),YN(0,16),N(0,16), XYXY=-0.5=-0.5 注：注：(X,Y)(X,Y)N(N( 1 1, , 2 2, , 1 12 2, , 2 22 2, , )

36、 )，X X與與Y Y相互獨立相互獨立 X X與與Y Y不相關(guān)。不相關(guān)。其中其中 =cov(X,Y)=cov(X,Y)。（2 2）cov(X,Z)=cov(X,X/3+Y/2)=cov(X,X/3)+cov(X,Y/2)cov(X,Z)=cov(X,X/3+Y/2)=cov(X,X/3)+cov(X,Y/2)=(1/3)cov(X,X)+(1/2)cov(X,Y)=(1/3)D(X)+(1/2)(-6)=0=(1/3)cov(X,X)+(1/2)cov(X,Y)=(1/3)D(X)+(1/2)(-6)=0643)5 . 0()()(),cov( YDXDYXxy 3120312)(3)()23()( YEXEYXEZE3)6(61241699)2,3cov(24)(9)()23()( YXYDXDYXDZD(3) X(3) X與與Z Z相互獨立相互獨立ZN(1/3,3),4134.34.設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X XB(12,0.5),YB(12,0.5),YN(0,1),COV(X,Y)=-1,N(0,1),COV(X,Y)=-1,求求V=4X+3Y+1V=4X+3Y+1與與W=-2X+4YW=-2X+4