高等數(shù)學課件167;8.8微分幾何應(yīng)用

1、8.8.18.8.1 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面xyz zomm0lt8.88.8 微分法的幾何應(yīng)用微分法的幾何應(yīng)用設(shè)空間曲線為 l：)()()(tzztyytxx，且)(tx、)(ty、)(tz可微。 當tt及ttt時，l 上對應(yīng)的兩點為 ),(zyxm，及),(zzyyxxm， 則割線mm的方程為 zzzyyyxxx上式分母除以t，得tzzztyyytxxx， 切線的方向向量)( ),( ),(tztytxa。當點mm 時，有0t，對上式取極限，得 )()()(tzzztyyytxxx 故曲線處的法平面方程在點 ml為 . 0)()( )(zztzyytyxxtx 例 1

2、求螺旋線 2sin2cos2 tztytx上對應(yīng)于 4t的點 m 處的切線 與法平面方程。 解：解：當4t時，點 m 的坐標為)42 ,2 ,2( 。 ttxsin2)(，ttycos2)(，2)( tz， 2)4( x， 2)4( y， 2)4( z， 螺旋線在點 m 處的切線方程為 2422222zyx，即1421212zyx； 螺旋線在點 m 處的法平面方程為 0)42(2)2(2)2(2zyx， 即02444zyx。注注： （1）只要與)( ),( ),(tztytx成比例的向量均 可作為切線的方向向量。 （2）若曲線方程為)(xyy ，)(xzz ，則以為 x 參數(shù)，曲線),(zyx

3、m處的切線方程為 )()(1xzzzxyyyxx。 例 2求曲線 l：221216xzxy在對應(yīng)于21x的點處 m 的切線方程與法平面方程。 解：以為 x參數(shù)，得曲線 l 的參數(shù)方程：221216 xzxyxx， 當21x時，點 m 的坐標為)3 , 4 ,21(。 1)21( x，16)21( y，12)21( z， 曲線在點 m 處的切線方程為123164121zyx； 法平面方程為0)3(12)4(16)21(zyx，即020124322zyx。例 3求拋物柱面2xz 及圓柱面122 yx相交所成的 空間曲線在)259,54,53(m處的切線方程和法平面方程。解：曲線的參數(shù)方程為2cos

4、 sin coszyx，則sin)(x，cos)(y，cossin2)(z，點m對應(yīng)于53arccos，故54)(x，53)(y，2524)(z，故切線方程為252425953545453zyx， 法平面方程為0)259(2524)54(53)53(54zyx，即025216241520zyx。即24259354453zyx。定義定義 2 若曲面上過 點m的任意一條光滑 曲線處的在點m 切線 都在同一個平面上，則 稱該平面為 曲面在點 m處的切平面切平面，過點 m且垂直于切平面的直線稱為曲面處的在點m 法線法線。 mtnxyzolo8.8.2曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線 )()()(t

5、zztyytxx， tt) , ,(zyxm。由于 l 在曲面上，故0)(),(),(tztytxf， 0)(),(),(tttztytxfdtd， 設(shè)曲面的方程為0),(zyxf，) , ,(zyxm， 并設(shè)函數(shù)),(zyxf的偏導數(shù)在該點連續(xù)且不同時為零。 過點 m任作一條位于上的光滑曲線 l，設(shè)其方程為 即0)()()()()()(tzmftymftxmfzyx，令)(),(),(mfmfmfnzyx， )(),(),(tztytxa， 則0 an，故an。 由于mla 在點為曲線處的切線的方向向量，而曲線 l 是 曲面上任意一條m 過點的曲線，因此上式表明， m 過點的任一位于 曲面上

6、的曲線m 在點的切線都與 n垂直，因而它們都在為以過點 nm法向量的同一平面 內(nèi)，該平面即為處在點曲面 m的切平面，且其方程為 曲面在點) , ,(zyxm處的法線方程為 mzmymxfzzfyyfxx 。 若曲面方程由顯函數(shù)) ,(yxfz給出， 令zyxfzyxf) ,(),(，于是 0) ,(),(zyxfzyxf， xxff，yyff，1zf，0)()()(zzfyyfxxfmzmymx， 曲面在點) , ,(zyxm處的切平面方程為 )( ,()( ,(yyyxfxxyxfzzyx， 曲面在點) , ,(zyxm處的法線方程為 1) ,() ,(zzyxfyyyxfxxyx 。 把方

7、程改寫成 yyxfxyxfzzyx) ,() ,(， 得全微分的幾何意義： 函數(shù)),(yxfz 在點),(yx處的全微分，在幾何上表示曲面),(yxfz 在點),(zyx處的切平面上點的豎坐標的增量。例 4求圓錐面22yxz在點（3，4，5）處的 切平面及法線方程。 解：設(shè)22y) ,(yxxfz， 則22) ,(yxxyxfx， 22) ,(yxyyxfy， 53)4 , 3(xf， 54)4 , 3(yf， 圓錐面在點（3，4，5）處的切平面方程為 )4(54)3(535yxz，即0543zyx。 圓錐面在點（3，4，5）處的法線方程為 15544533zyx， 即554433zyx。 02121bcfacfbcfacfan， an，故曲面上各點的法向量總垂直于常向量 , ,cbaa。證明：設(shè)),(),(bzcyazcxfzyx， 則曲面在任一點處的法向量為 , , , ,2131bfafcfcfnzyx， 所求切線的方向向量1 , 9 ,1621nna， 切線方程為1191161zyx， 法平面方程為0) 1() 1(9) 1(