第三章隨機(jī)抽樣和抽樣分布

1、第三章隨機(jī)抽樣和抽樣分布在前兩章的討論中，我們知道了隨機(jī)現(xiàn)象常常通過隨機(jī)變量及其概率分布和數(shù)字特征來 描述，然而，在實際問題中，要準(zhǔn)確知道概率分布和數(shù)字特征，有時是很困難的。例如，我 們要以藥丸的崩解時間或藥片的溶解速度為指標(biāo)來考察某一批藥品的質(zhì)量。若把這批藥品全部進(jìn)行一下試驗，其分布函數(shù)及其有關(guān)的數(shù)字特征都可求出。但是，由于測定這些指標(biāo)的試驗，一般是破壞性的，報廢了全部藥品即使求出了有關(guān)指標(biāo)也無意義。還有一些檢驗指標(biāo)， 如蜜丸的重量、體積等，對它們的檢驗雖不是破壞性的，但要成批逐個檢驗，無論從人力還是物力上都會受到條件限制。事實上，人們總是通過對部分產(chǎn)品的試驗結(jié)果作分析， 推斷出全部產(chǎn)品的情

2、況。這就是數(shù)理統(tǒng)計研究的一個主要問題。本章先討論樣本和統(tǒng)計量等基本概念，然后討論常見的幾種抽樣分布，為進(jìn)一步討論統(tǒng)計推斷方法打下必要的理論基礎(chǔ)。§ 3-1 隨3-1.1總體與樣本總體與樣本是數(shù)理統(tǒng)計中兩個主要概念。單元稱為個體?？傮w可以包含有限個個體，也可以包含無限多個個體。某個總體是有限的， 但在個體相當(dāng)多的情況下，往往把它作為無限總體來對待。在數(shù)理統(tǒng)計中，我們不籠統(tǒng)地研究所關(guān)心的對象，只考察它的某一種數(shù)值指標(biāo)，例如，考察某批中成藥丸的質(zhì)量時，可以考 察崩解時間、溶解速率、丸重等項指標(biāo)。這里，如果我們只需注意藥丸的重量，當(dāng)然，每一 丸都有一個確定的重量如：6g, 6.1g , 6.

3、01g , 5.9g，。我們就把所有這些丸重數(shù)值當(dāng)成丸重的總體；每個丸重值就是一個個體。這樣，丸重X實際上是一個隨機(jī)變量，它的取值的全體是一個總體，每一個可能取值就是它的個體?？傮w是指研究對象的全體，組成總體的每個由于隨機(jī)變量是用其概率分布F(x)(或密度函數(shù)f(x)來刻畫，所以若 X具有分布函數(shù)F(X)，則稱這一總體為具有分布函數(shù)F(X)的總體。這就得出樣本的概念。為了研究總體，需在總體中抽取若干個個體，定義1在一個總體X中抽取n個個體Xi, X2,，這n個個體稱為總體 X的一個容量為n的樣本。樣本容量n是指樣本中含有個體的數(shù)目，也稱樣本的大小。由于Xi, X2,，是從總體中隨機(jī)抽出來的，可

4、以看成是n個隨機(jī)變量。取后，它們都是具體的數(shù)值，記作X1,X 2,，Xn,稱為樣本值。由于兩次各抽取抽樣，得到的兩批樣本值一般是不同的，因此，在不至引起混亂的情況下有時也用Xn，表示n個隨機(jī)變量，以此泛指一次抽取后的結(jié)果。時，常有雙重含義：一是指某一次抽樣的具體數(shù)值可能結(jié)果，就表示 n個隨機(jī)變量。這樣，每當(dāng)提到一個容量為Xi , X2,-但在一次抽n個個體的X1,X 2, n的樣本 Xn ；有時是泛指一次抽出的3-1.2隨機(jī)抽樣因而很自然地要研究該怎樣從總體中抽取 既要考慮抽樣結(jié)果的代表性，又要考使用的統(tǒng)計推斷方法 總體的抽樣的目的在于對總體的統(tǒng)計規(guī)律進(jìn)行推斷， 樣本，使其盡可能地反映總體的特

5、征。因此在抽樣時， 慮抽樣本身的可行性，簡便性。抽樣方法很多，對于不同的抽樣方法，也將不同，這里主要討論簡單隨機(jī)抽樣。所謂簡單隨機(jī)抽樣是指在抽取樣本單位時， 每一個可能的樣本被抽中的概率相同。定義2樣本X , X2,，兀相互獨立且與總體 X有相同的分布函數(shù)，這樣的樣本稱為 簡單隨機(jī)樣本。本書主要討論簡單隨機(jī)樣本，以下簡稱樣本。由以上定義可見，簡單隨機(jī)樣本是滿足下述兩點要求的樣本：其一，抽樣隨機(jī)，總體中每個個體被抽到的機(jī)會均等。例如，在檢查藥品質(zhì)量指標(biāo)時，有意識地選優(yōu)，就違反了隨機(jī)性原則，所得指標(biāo)必然不能反映總體的質(zhì)量情況，不具代表性；其二，樣本X1, X2,，對于無限總 但實際應(yīng)5%也可看具有

6、獨立性，即抽取一個個體后，總體成分不變。例如，從一小批產(chǎn)品中，抽樣檢查合格品， 要求有放回地抽樣， 可滿足獨立性條件； 若無放回地抽樣則不滿足獨立性條件。 體，由于抽出的一個樣品放回與否不改變總體成分，可看作不影響抽樣的獨立性。用中，即使總體個數(shù) N有限，只要被抽取的個體數(shù) n較小，比如不超過總體的 作近似滿足獨立性條件，按無放回抽樣，這樣做可簡化計算。§ 3-2樣本的數(shù)字特征3-2.1 統(tǒng)計量為此，需要根據(jù)樣本構(gòu)造出 就需要通 是統(tǒng)計推斷中最常使用 ，Xn)為一個樣本函數(shù)。數(shù)理統(tǒng)計的主要任務(wù)，是以樣本的特性去推測總體的特性。某種函數(shù)(樣本函數(shù))作為推測的基礎(chǔ)。如當(dāng)隨機(jī)變量的某些總體

7、數(shù)字特征未知時, 過樣本構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)。 不含任何未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計量， 的工具。定義1設(shè)X1, %, %為總體X的一個樣本，g(X1, X2, 如果g中不含有任何未知參數(shù)，則稱g為一個統(tǒng)計量。，X是X的一個樣本,2 2例如，設(shè)XN(u, b )，且卩為已知，b為未知，X1, X2,n則S (Xi -4)2是一個統(tǒng)計量；而 送(Xi -卩)2/b2僅是樣本函數(shù)，不是統(tǒng)計量，因為其中含i 土i#有未知參數(shù)b 2。3-2.2樣本的數(shù)字特征它是估計總體數(shù)字特征的方下面我們來構(gòu)造統(tǒng)計推斷中最常使用的幾種樣本數(shù)字特征。 法之一。樣本均數(shù)-1定義2 設(shè)有容量為n的樣本X1, X2,，,則稱X=(X

8、1+X2+Xn)為樣本均數(shù)，亦n可寫為(3-1)X =£ Xi 或ny明顯地，由于容量為n的樣本是n個獨立同分布的隨機(jī)變量， 所以樣本均數(shù)也是一個隨 機(jī)變量。樣本均數(shù)的計算公式表明，它不含任何未知參數(shù)，是一個統(tǒng)計量。樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)定義3設(shè)有容量為n的樣本Xi,X2,，X則稱為樣本方差;S2S2Xi2 nX21=丄 ¥ Xi2 1 E Xin -1 irnn-12 n g 丿(3-2)SS稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差： 二稱為樣本變異系數(shù)。X樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)都是刻畫數(shù)據(jù)離散程度的指標(biāo)。和樣本均數(shù)一樣，都是隨量,同時也都是統(tǒng)計量。X與S2的運算性質(zhì)(1)若樣本值x與y有

9、如下關(guān)系:比=cx (i=1 , 2,，n)y =cX,Sy =cS<（2）若樣本值x與y有如下關(guān)系:x -a其中a,b,c為非零常數(shù)。在樣本個體數(shù)很多、 值很大的情況下，利用上述運算性質(zhì)可使 計算簡化，節(jié)省工作量。四、標(biāo)準(zhǔn)誤樣本均數(shù)是隨機(jī)變量，按樣本均數(shù)、方差的定義、性質(zhì)我們可以給出樣本均數(shù)的均數(shù)及 方差。若總體均數(shù) EX與總體方差DX存在，貝UEX=EX ,dX Jdxn(3-3)統(tǒng)計學(xué)中稱樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)誤。一般用crX來表示，因此。tn Jn在實際抽樣研究中，4DXX往往未知，這里用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S來代替，可得標(biāo)準(zhǔn)誤 sX，計算公式為(3-4)SX=濟(jì)五、其他常用的數(shù)字特征醫(yī)藥

10、科研的統(tǒng)計中，還廣泛地使用一些樣本的數(shù)字特征。關(guān)于刻畫隨機(jī)變量平均水平的還有：中位數(shù)它是累積概率分布或分布函數(shù)等于50%所對應(yīng)的變量值。換言之，隨機(jī)變量的取值大于它的概率和小于它的概率恰好相等，在概率意義上它位于正中。換言之，當(dāng)大眾數(shù)它是隨機(jī)變量的概率函數(shù)或概率密度函數(shù)最大值所對應(yīng)的變量值。 量獨立重復(fù)試驗時，樣本值較多地集中在這個值的附近。關(guān)于刻畫隨機(jī)變量分散程度的還有：極差它等于隨機(jī)變量有限個樣本中最大值與最小值之差。在計算上較標(biāo)準(zhǔn)差方便，因而受到實際工作者的歡迎。但是，它對隨機(jī)變量的分布情況畢竟只能提供少量信息，因此遠(yuǎn)不能取代標(biāo)準(zhǔn)差的重要性。d2均未知。今隨例 設(shè)某藥廠生產(chǎn)的開胸順氣丸，

11、崩解時間XN（卩，d 2），其中卩，機(jī)抽取5丸測得崩解時間如下（單位：分）：36, 40, 32, 41, 36 計算樣本均數(shù)和方差解為運算方便，可列表 3-1。（5 1is X =34225 n=5Z丿所以X=15X 185=37S2 =1511 (185 2 1=13Xi2X36129640160032102441168136128655z Xi =185送 X2 = 6897i 二i 二表3-1§ 3-3抽樣分布統(tǒng)計量都是隨機(jī)變量。數(shù)理統(tǒng)計中常要知道統(tǒng)計量的分布函數(shù)（抽樣分布），由此去推斷所研究的總體性質(zhì)。常用的統(tǒng)計量，除上節(jié)討論過的樣本均數(shù)、方差外,還有/2，t，F(xiàn)等統(tǒng)計量，

12、這節(jié)我們將討論這些統(tǒng)計量的分布。3-3.1樣本均數(shù)的分布我們先不加證明給出正態(tài)變量的如下性質(zhì):（1）兩個相互獨立的隨機(jī)變量2X1 N( 3 1,6)、X2N( 3 2,2空）的代數(shù)和X=X± X2仍服從正態(tài)分布，且有XN（ 3 1 ±2 2卩 2, 1+2)；個相互獨立的隨機(jī)變量于）的和X =送Xi仍服從正態(tài)分布，且iz1nN(S 片,i壬nZ CTi )，其中 i=1,2,，n;隨機(jī)變量 XN（ 3 , b2）的線性函數(shù)Y=aX+b仍服從正態(tài)分布，且丫N（a卩+b,其中a, b均為常數(shù);n個相互獨立的隨機(jī)變量XN（卩i,nd2）的線性組合X邁cXi仍服從正態(tài)分布,i#nn

13、且有Xn（2 CiPj, Z c2®2），其中ci是不全為零的常數(shù)。i #i#F面，我們來討論樣本均數(shù)的分布。首先考慮樣本來自正態(tài)總體時，即xN（卩，C2）。由樣本均數(shù)的定義，是n個相互獨立同分布的隨機(jī)變量的線性組合,x =4 x x，則由正態(tài)變量的性質(zhì)（4）容易推 n i二 in出:_ n 1 n 1xQ N(送一-C72)y n i £ nxU N(片吁2/n)(3-5)該分布的均數(shù)等于原總體這個結(jié)論表明：來自正態(tài)總體的樣本均數(shù)仍舊服從正態(tài)分布, 的均數(shù)，方差是原總體方差的-倍。由此可見，樣本均數(shù)這一隨機(jī)變量所服從的正態(tài)分布與n總體的正態(tài)分布相比較在分散性方面有改善，且

14、n越大，方差就越小， X就越接近總體的均數(shù)卩。再考慮樣本來自非正態(tài)總體時的情況。當(dāng)抽樣為小樣本時，問題沒有一般的確定解答; 當(dāng)抽樣為大樣本時，則由2-5.3段的中心極限定理知x _Lt Dn(0,i) 電vn(3-6)也就是說,對于大樣本，無論總體分布如何，式（3-6）總是成立的。3-3.2定義變量1設(shè)Xi, %,凡是相互獨立且同服從于N（0, 1）分布的隨機(jī)變量，則稱隨機(jī)工 2=x2+x2+x(3-7)服從參數(shù)為n的72分布，記為/2*2 （n）。當(dāng)x>0尸分布的概率密度函數(shù)是I nf(x)T22r(n) lo，其中參數(shù)n稱為自由度，它表示式（3-7）中獨立變量的個數(shù)?！白杂啥取钡暮?/p>

15、:式(3-7)中的統(tǒng)計量 卡是n個獨立的隨機(jī)變量 X的平方和，X之間沒有約束條件， 每個2X均可自由變動，故稱宇的自由度為n。又如在式(3-2)中S2=十(Xi -X)2n1 i£有n個變量Xi- X , X2- X，Xn- X，它們之間存在著惟一的約束條件。圖3-1因此，n個變量(X 1- X ) + (X 2- X)+ +(Xn- X)=X1+X2+%-n X=0X1- X , X2- X，X- X中只有n-1個可以自由變動，所以樣本方差S2的自由度為n-1。f(x)的圖形如圖(3-1)所示，是一條偏向左側(cè)的曲線。自由度越小越偏，自由度相當(dāng)大 時，接近正態(tài)分布。f分布是p分布在3

16、： =2，-討時的特例。&分布具有可加性。設(shè)隨機(jī)變量 磯尸(ni),臣 /2(n2),且它們互相獨立，則/12±駕/2(m±n2)2這個性質(zhì)也可推廣到多個獨立的人變量和或差的情形。由此性質(zhì)還可推出下列結(jié)果:若X1, X,，Xn為正態(tài)總體N(卩，/)的一個樣本，則有2(n -1)S Ic2廠(nT)(3-8)因為Xj -X、一 b丿fXi -屮-X 丫2O'；fXj - A Y fx -廠 b丿舊5丿在此式中X N(0,1)N(0,1)從而可得FXi 卩4*(1)再由/2分布的可加性，即得2匸十(n1)cn-1。這個結(jié)論表明：(n- 1)S2/cr2是一個服從

17、/2分布的隨機(jī)變量，自由度為3-3.3 t分布定義2設(shè)隨機(jī)變量UN(0,1),V*2 (n)并且U與V相互獨立，則稱隨機(jī)變量(亠 t 邑)n的t分布，記為tt(n)。服從自由度為在不至于弄錯的情況下，括號中的自由度可以省略。 t分布的概率密度函數(shù)為営其中n為自由度。f(t)的圖形如圖3-2所示。曲線關(guān)于t=0對 稱，形狀類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率密度函數(shù)的圖形。當(dāng)nfs時，它的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。但當(dāng)n較小時，對于相同的變量值，t分布的尾部比標(biāo) 準(zhǔn)正態(tài)分布的尾部有著更大的概率，它們差異較 大。圖3-2t分布是統(tǒng)計學(xué)中極為重要的分布，應(yīng)用最為廣泛。其應(yīng)用的重要依據(jù)是下面的定理。 定理1 設(shè)Xi, X

18、2,，為正態(tài)總體N（卩，b 2設(shè)X1 , X2，Xn1和丫1 ,匕，Yn2分別是從同方差的總體 N（卩1 , b ）b2）中所抽取的樣本，它們相互獨立，則（"）"七）皿7-2）的一個樣本，則證因為所以X M 弓U N(0,1) ugn又知(n- 1)S22cL 口 n-1)并且X -卩cr/Tn(n- 1)S22C相互獨立,從而由t分布的定義得X -A/(n - 1)S2廠VCT2n -1X 卩I“皿一1)定理和N（卩2,其中S2=( ni-1)Si2+(n2-1用m +n2-2Si2和S；分別是這兩個樣本的方差。證 由定理的條件可知- 一O"2 C"

19、2(X -Y)U N(氣-打,一+)mn2由已知兩個總體方差相等，則給定條件知U 衛(wèi)-Y)二忙空 N(01)(ni 1)Sl2(ni 1) ,且它們相互獨立，由X 2分布的可加性匸臣 +gl5+n2_2)bc從而，按t分布的定義得(XY) Wi2)t(ni + n2-2)十丄n23-3.4 F分布定義3設(shè)隨機(jī)變量U7 2-2V上(n 2)，并且U、V相互獨立,則稱隨機(jī)變量V/n2 Vni(n 1, n2)的 F 分布，記作 F F(n i, n2)。 F分布的概率密度函數(shù)為服從自由度為rr<ni 卄2 1 2丿ni伍F啟f(x) = G込 Ir匹 12丿12丿0,Z彳+ ni1 + XV

20、.rn十12nin2丿x>0F分布有兩個自由度，第一自由度ni為組成統(tǒng)計量由度n2為分母的隨機(jī)變量的自由度。圖3-3f(x)的圖形如圖3-3所示。不對稱的山狀曲線， 峰向左偏斜，隨著 ni與n2的同時增大，其均數(shù)趨近 于1,且f(x)的曲線趨向于對稱。F分子的隨機(jī)變量的自由度； 第二自定理3設(shè)Xi , X2，Xr為總體Ng 1再介紹一個常用的服從 F分布的隨機(jī)變量。2 2W）的樣本；丫1 , Y2，冷為總體Ng 2, CT 2）的樣本，且二樣本相互獨立，樣本方差為 Si2、s；，則q2 #2s2怙;LI F (rn 一1,n2 -1)因為2（m"S1 口 工2（口_1）所以由F

21、分布的定義,可知52-1)$ 5-1)(n 1-1)S2s2g2=(n2 -1)S；2"最后，讀者必須注意：本節(jié)中介紹的/2X 2分布、t分布、F分布都是對正態(tài)總體而言u=，貝U F（x）=（U）。c圖3-4的，就是說，這些樣本都是來自正態(tài)總體，在以后使用時，必須注意這一前提條件。§ 3-4概率紙及其應(yīng)用通過對樣本的實際觀測， 能夠獲知一個變量的頻率分布情況。 如果觀測次數(shù)足夠多， 樣 本頻率將接近總體概率， 這時該變量的頻率分布（統(tǒng)計分布）接近概率分布（理論分布）。為驗 證一個隨機(jī)變量的理論分布，可使用概率紙方法。3-4.1正態(tài)概率紙利用正態(tài)概率紙可判斷一組數(shù)據(jù)是否取自正

22、態(tài)總體。正態(tài)概率紙的原理2X 卩 I I設(shè) X Ng, /)，那么-U N(0,1)，令表,中,軸,因為U是X的線性函數(shù)，在坐標(biāo) x-u中，U對X的圖形是一條直線(圖3-4)，通過值 把縱軸刻度上的U值改寫成對應(yīng)的 (U)值，即F(x)值。這樣一來，在坐標(biāo)系F(x)對X的圖形仍是那一條直線。于是，以普通均勻尺X為橫軸，就構(gòu)成了正態(tài)概率紙，如圖x-F(x)以函數(shù)尺-1 (F)為縱3-5。正態(tài)概率紙的使用方法(1)把樣本數(shù)據(jù)X從小到大排隊，并計算對應(yīng)的累積頻率F(x);在正態(tài)概率紙上描出點列(x,F(x);若點列能擬合一條直線，則變量X近似服從正態(tài)分布N(卩，/);9.990BCHI5tJnn0.

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30、6 (或 C? =X0.84 -X 0.50 , 或 C? = (x 0.84 -X 0.16)。2例1山東中醫(yī)學(xué)院對六味地黃丸進(jìn)行顯微定量研究。為探討丸劑中熟地的某種特征物（棕色核狀物）數(shù)目是否服從正態(tài)分布，鏡檢了67組載玻片中熟地的特征物數(shù)目，得到累積頻率分布如表3-2所示。表3-2累積頻率分布表特征物數(shù)頻數(shù)累積頻數(shù)累積頻率11特征物數(shù)頻數(shù)累積頻數(shù)累積頻率56110.0156513400.59757120.030667470.70159240.060674510.76160370.104685560.83661290.134696620.925625140.209702640.955635

31、190.284711650.970648270.403722671.000利用正態(tài)概率紙描點，由于散點能擬合一條直線（圖3-6）。說明六味地黃丸中熟地所含該種特征物的數(shù)目近似服從正態(tài)分布。從圖上可求出均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的估計值R = X0.50 = 64.8直=Xo.84 x0.50 = 68.2 - 64.8 = 3.43-4.2對數(shù)正態(tài)概率紙在藥劑學(xué)、藥理學(xué)等領(lǐng)域常可遇見一些不服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，如乳劑中油珠直徑的分布，劑量-反應(yīng)曲線等，其一般特征是其概率密度曲線偏向左側(cè)而顯出長尾狀。這類隨5S Ui fil M fifi tiH M IJ 14 76 TJi圖3-6機(jī)變量的對數(shù)服從正態(tài)分布

32、，稱其服從對數(shù)正態(tài)分布。判斷隨機(jī)變量是否服從對數(shù)正態(tài)分布，可以對所得樣本資料取對數(shù)后借助正態(tài)概率紙來完成。為免去取對數(shù)的工 作，也可將正態(tài)概率紙的橫軸改為對數(shù)坐標(biāo)，構(gòu)成對數(shù)正態(tài) 概率紙（圖37）。利用這種坐標(biāo)紙，可方便地直接以樣本累積頻率F（x）對X作圖，若呈直線狀就可判斷隨機(jī)變量為對 數(shù)正態(tài)變量。至于均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的估計，宜分兩步進(jìn)行。首 先，從圖上查找 F（x）=0.50 和0.84（或0.16）所對應(yīng)的橫坐 標(biāo)值X0.50和xo.84（或X0.16），注意到橫軸為對數(shù)坐標(biāo)，讀數(shù)為a時應(yīng)為Iga，所以如果將取對數(shù)后正態(tài)分布的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差稱為對數(shù)均數(shù)和對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差，分別記為4 '和則類似

33、于 正態(tài)分布的情形。F = ig xo.5oXo.84 Tg x0.501（或 gg x。50 Tg x。16，或 *2叫84 ®0.16然后代入公式1& 二叭.。2.3"?" -1尸即得對數(shù)正態(tài)分布本身的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的估計值。(此公式的推導(dǎo)過程，讀者可參見其他詳細(xì)的數(shù)理統(tǒng)計課本3-4.3韋布爾概率紙§ 2-2中已給出韋布爾分布的概率密度函數(shù)為mmJ.f(x)=B(x-a) ex>a分布函數(shù)為(3-9)F(x)亠抒其中有三個參數(shù)a、3和m。對式(3-9)改寫后兩端取對數(shù)，mIn &_F(x)=0.010.1*9|卩1川 liHUTI

34、THir HllllHill川 llllddHIHIIHilHHfilffHHHHIl'IHltli i'i N11 f IJ m f i ttil 11 h p! liiTrni I RSl f i 11111 !j IH1111HII! I IlHlJ HuijliinjIT'i1l'T"：'1-!'!'T：L：8'1El''jj1ITJrjliL!： l：l!J !L：J. LlLn-i li .i ： _l_i_l_ Il-.'i ；_._：_一11_39920109() i30406()

35、5040-FH-ah 司 莖E7():辻社 iuliiri i 耳 If |j 屏ffEUti JJ 訂1 苗沖用 11!卩:imfiH rufft也j2050Hpgjgj豐 Wg 旦«?!土MEggggHgggg 匸；=2童s益gsaiijz;笄as益ZK SSSSsSSsSSSSaSSSsnssugHuSSss70 _ 粘 »£=±±±±±SE=Sz= =zzz =ES±=±E-si 二二二 5=?= :m 竺三= = HWHHH -uZiZ*"Z'3.Z3*"3

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38、itiiiiiiirnitiiiiiiiiiumiHH HUiiiwiiuiiiiiinumuHiwmiiiiiwiuuiiiiHiiniiiuwaiiuiiii = J H H-B. -BH M 1_ J-_ b * 亙.HH H H V 空二 一 三 _ _ -*L99.99am! 11H H i h川I HIH小川H卩“汀y I d山1L!山1m丨11川I' h HI丨J HI HI h圖3-7對數(shù)正態(tài)概率紙變號后，再取對數(shù),In -In 1-F(x)=mln(x- a )-ln 3作變量代換X=ln(x- a ),B=-In3 ,Y=In -In 1-F(x) :則有Y=mX+

39、B可以看出丫與X存在線性關(guān)系，于是，以一個隨機(jī)樣本的累積頻率代替F(x),以In -In:1-F(x) :對ln(x- a )作圖，如a =0,便以In -In : 1-F(x) :對Inx作圖。如果所得諸 點按直線排布，便可認(rèn)為該樣本來自一個服從韋布爾分布的總體。1p-3!-S-Ep«-5_r:P |0Ln AP-.' E；ini:r ：j IT-134 ?,-,-£ £亠仃1譚3匸一 T秀&oof滬GaL°$os 0導(dǎo)盞k -1-Trp一-r=_sh一|_=二占.二十 g吃=_.L .1 -'h：ijjE .E E i .ri

40、rtT :Hl I1,!. '；' F I1 . 1. « 1111J:j1 1；：! R H 1 ' HMMi "Fl11 1r-"?：rTT-rry亠.1i總T二貢mT4r- -! r5-pFn Li上E-聶悄小品I1三 y yj,CL94J Mg 口 EQS gF GE3Ln J =-i-3主sL -決聲L -需卅融？ 丁門r :;:j. -2 -Lxtrr 一： -廠 EI- h -T- 屮& 亡八J nJqTTrT ;為：1:1pi Ip ri- Il1JJI"* JF' « l:】：；-：打:

41、！*71 .學(xué).；1 :!'1 -1.4= 1 I .彳:：1:.丄:二胭觀H黠靄嶽囲豔盤Iffl"捋4+ t xh r" hpr- Lr I r. I 甘二！-三二hi*<!I-U呵二白.66IMG警宀二L-"丄生£一卿J; 11:!i-.Lil -13：_ 1 ： 3 1 B ' .la.=,!I t'1 ':117 ' '" I'；i ： IL.r u IIJ】hl. i dp, .1-r T.n：' > >I. ! 1 :E n:b.44 I -P1 *T

42、lt1v=.£圖3-8_ 11- """1 ,、：I i-IIIF二工.可訂 II1i-n-i n f *k一-r 1It-” 1!>'p" II1,1:1-,口00一口韋布爾概率紙依上述原理制作韋布爾概率紙，如圖垂直的坐標(biāo)軸，橫向 X軸，縱向丫軸。為便于作圖，在上、 刻度尺，上邊和右邊分別稱 X尺和丫尺，系普通均勻尺度，X=lnx為避免多次查取自然對數(shù),下、左、以3-8。圖上有兩條互相 右四條邊框上設(shè)有四把Y =1 n-In l- F(X ) = In In11 F(x)的數(shù)值刻線，并實際標(biāo)以 X或丫的數(shù)值; 卻是據(jù)Inx刻線；

43、左邊的稱 F(x)尺，下邊的標(biāo)x尺，名義上雖然刻以 x的數(shù)值，實際上 同樣，名義上雖標(biāo)以F(x)的數(shù)值，實際上卻是據(jù)In In刻線。1F(x)在韋布爾概率紙上，以樣本的累積頻率代替F(x)，利用左邊的F(x)尺和下邊的x尺，按如下步驟作圖估計：(1) 以F(x)對X作圖，(2) 若諸點排布接近直線，則適當(dāng)擬合一直線，尤其注意照顧 的點，使之優(yōu)先貼近直線。(3) 若諸點排布呈曲線狀，則沿曲線趨勢延伸，與x軸交點的數(shù)值作為以F(x)對3-9)。曲線：直線：F(x)在 30%至 70%£圍內(nèi)a的初步估計值，x- a作圖。如此反復(fù)修改，直到選定一個較好的a作為位置參數(shù)的估計值為止 (圖F(x)對X作圖。F(x)對X- a作圖。越:曲線與橫軸交點。(4) 在F(x)對x- &所作的圖上擬合一直線，由X=1和丫=0的交點(稱m點)作平行于該直線的平行線，查出它和丫軸交點在 丫尺上投影的讀數(shù)，不計正負(fù)號即得m的估計值(圖3-10)。2)圖