文科圓錐曲線專題練習及問題詳解

1、文科圓錐曲線1.設吋2是橢圓2 2xyE ：-2. 2ab= 1(a b . 0)的左、右焦點，P為直線.F2PF1是底角為30的等腰三角形，則E的離心率為(1(A) 12【答案】C【命題意圖】本題主要考查橢圓的性質及數形結合思【解析】 F2PF1是底角為300的等腰三角形，(B)(C)丄(D)- . PF2A=600 , | PF2 冃 RF2 | = 2c , |AF2| =想，是簡單題3 e二一，42. 等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在 x軸上，C與拋物線y2=16x的準線交于A,B兩點，AB=4、3 ;則C的實軸長為(C)-(B) 2、2【命題意圖】本題主要考查拋物線的準線、直線與雙曲

2、線的位置關系，是簡單題【解析】由題設知拋物線的準線為：x = 4，設等軸雙曲線方程為：x2 - y2 =a2，將x =4代入等軸雙曲線方程解得 y=_ .16-a2 , |AB |=4、3 , 2、. 16-a2 =4.3，解得 a=2, C的實軸長為4，故選C.2 23. 已知雙曲線G :冷-爲=1(a 0,b 0)的離心率為2.若拋物線C2：x2=2py(p 0)的焦點到雙曲線 G的漸近線的 a b距離為2,則拋物線C2的方程為28 < 3216322(A) xy (B) xy (C) x =8y (D) x =16y33考點：圓錐曲線的性質解析：由雙曲線離心率為 2且雙曲線中a,

3、b, c的關系可知b = . 3a，此題應注意C2的焦點在y軸上，即(0, p/2 )到直線y二3x的距離為2，可知p=8或數形結合，利用直角三角形求解。4.橢圓的中心在原點，焦距為4，一條準線為x - -4，則該橢圓的方程為22,、xy(A)116122 2xy(B)112 82222(C) 0( D)0 丄84124【命題意圖】 本試題主要考查了橢圓的方程以及性質的運用。通過準線方程確定焦點位置，然后借助于焦距和準線求解參數a,b,c，從而得到橢圓的方程。2【解析】因為2c =4= c =2，由一條準線方程為 x -4可得該橢圓的焦點在 x軸上縣 =a2 = 4c = 8，所c222以b

4、=a -c =8-4=4。故選答案C5.已知F1、F2為雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點，點 P在C上，| PF1 2 | PF21，則cos F1PF2二1334(A ( B)( C)( D)4545【命題意圖】 本試題主要考查了雙曲線的定義的運用和性質的運用，以及余弦定理的運用。 首先運用定義得到兩個焦半徑的值，然后結合三角形中的余弦定理求解即可?！窘馕觥拷猓河深}意可知， a = yf2 = b,” c = 2，設 | PF11= 2x,| PF2 = x，則 | PF | P& |= x = 2a =2jS，故IPF.4.2,1 PF2 =2,.2，F1F2 = 4，利用余弦

5、定理可得cos/FiPF?PF； PF22 -F22PF1 PF2（4 上2）2_（2遼）2 二 422 2.2 4,26.如圖，中心均為原點 0的雙曲線與橢圓有公共焦點，M N是雙曲線的兩頂點。若 M Q N將橢圓長軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是（期 X WS）A.3 B.2 C. '.3 D. ,2【命題意圖】本題主要考查了橢圓和雙曲線的方程和性質，通過對兩者公交點求解離心率的關系【解析】設橢圓的長軸為2a，雙曲線的長軸為 2a，由M Q, N將橢圓長軸四等分，則 2a = 2 2a，即a = 2a，f 又因為雙曲線與橢圓有公共焦點，設焦距均為C，則雙曲線的離心率為 e丄

6、2，e二E，2=2=2.a a e a*7.已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點0,并且經過點 M(2, y0)。若點M到該拋物線焦點的距離為 3，則QM卜()A 2,2B 、2 .3 C 、4D、2 75解析設拋物線方程為y2=2px(p>0),則焦點坐標為(-,0 )，準線方程為x=-P,2 2v M在拋物線上， .M到焦點的距離等于到準 線的距離，即(2-；)2 y2 = .(2 2)2 =3解得：p =1, yo =2 2點M (2,24，根據兩點距離公式 有： QM 722 (2 2)2 =2 3點評本題旨在考查拋物線的定義 ：MF=d,(M 為拋物線上任意一點，F為拋物

7、線的焦點，d為點M到準線的距離).8.對于常數m、n，“ mn0”是“方程mx2 ny2 =1的曲線是橢圓”的()A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充分必要條件D 、既不充分也不必要條件【答案】B.m . 0,22【解析】方程mx +ny =1的曲線表示橢圓，常數常數m,n的取值為丿n>0,所以，由mnO得不到程n,mx2 ny2 =1的曲線表示橢圓，因而不充分；反過來，根據該曲線表示橢圓，能推出mn . 0,【點評】 本題主要考查充分條件和必要條件、 充要條件、橢圓的標準方程的理解根據方程的組成特征， 可以知道常數 m,n的取值情況 屬于中檔題2 2x V9.橢圓r 2 =1（a

8、 b 0）的左、右頂點分別是A, B,左、右焦點分別是F1, F2。若|AF1|,|F 日,戶iB|成等比數a b5 C. - D. 、5-2521列，則此橢圓的離心率為 A. B.4【解析】本題著重考查等比中項的性質，以及橢圓的離心率等幾何性質，同時考查了函數與方程，轉化與化歸思想利用橢圓及等比數列的性質解題由橢圓的性質可知：AF,=a_c，F,F2|=2c，RB-a + c.又已知AF,，F,F2，F1B成等比數列,故(a -c)(a c)二(2c)2，即 a2 -c2 = 4c2，則 a2 二 5c2.即橢圓的離心率為【點評】求雙曲線的離心率一般是通過已知條件建立有關 a,c的方程，然后

9、化為有關 a,c的齊次式方程，進而轉化為 只含有離心率e的方程，從而求解方程即可 .體現考綱中要求掌握橢圓的基本性質 .來年需要注意橢圓的長軸，短軸 長及其標準方程的求解等2 210.已知雙曲線C :篤-占=1的焦距為10，點P （2,1 ）在C的漸近線上，則 C的方程為a b2A x A.-2 2.y-=1 b. z2-V =1 C.2 20丄=1D.2 x2-L =120552080 202080【解析】設雙曲線 C:2x2 - a2計的半焦距為c，則 2c = 10,c = 5又 C的漸近線為V=bx，點P （ 2,1 ）在C的漸近線上， 1=bL2，即a=2b.aa2 2又cG2 b2

10、，a=2忌b5，C的方程為金亡=1.【點評】本題考查雙曲線的方程、雙曲線的漸近線方程等基礎知識，考查了數形結合的思想和基本運算能力，是近年 來常考題型2 211.已知雙曲線令-丄=1的右焦點為（3,0 ），則該雙曲線的離心率等于a25314包C 3 D 4423ce 即可。a分析：本題考查的知識點為圓錐曲線的性質，利用離心率23解答：根據焦點坐標（3,0）知c =3，由雙曲線的簡單幾何性質知a2 5 = 9，所以a = 2，因此e .故選C.2二、填空題2 212. 橢圓X2 - =1（a為定值，且a - , 5）的的左焦點為F，直線x = m與橢圓相交于點 A、B，FAB的周長的a 52最大

11、值是12，則該橢圓的離心率是 。【答案】-，3c 2 解析根據橢圓定義知：4a=12,得a=3 , 又；a2_c2=5. c=2,. e =a 3點評本題考查對橢圓概念的掌握程度突出展現高考前的復習要回歸課本的新課標理念2 213. ）在平面直角坐標系 xOy中，若雙曲線 -y1的離心率為.5，則m的值為 .【答案】2。m m+42 2【解析】由X y1得a= Vm, b= Jm2 +4, c=Jm + m2 +4。m m 4c 屮m +m +4 廠 亦 2二 e= ='. 5，即 m2 -4m - 4=0，解得 m=2。a . m14右圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2米，

12、水面寬4米，水位下降1米后，水面寬【解析】建立如圖所示的直角坐標系，使拱橋的頂點O的坐標為（0,0 ）,設l與拋物線的交點為 A B，根據題意，知A (-2 , -2 ), B (2, -2 )設拋物線的解析式為 y = ax2 ,拋物線的解析式為, 2 1則有- 2 = a： 2, a -2水位下降1米，則y二-3，此時有x f寧6或x -6 .此時水面寬為2、6 米.15.設P為直線y= x與雙曲線3a2x2a2斧1（a吐0）左支的交點,F1是左焦點，PF1垂直于x軸，則雙曲線的離心率e二【答塞】;4wm7ip*b*32Jr* / E解析】;由"V =X!孔塔X-_門1i4-又卩

13、百垂直于工軸，所則“ .；彳 L亠-=1V -4TI骨r_*r 護4【肴點定位】本題肴査了雙曲線的焦點、離心率，著查了兩條直線垂直的條件，考查了方程 思想.2 2 2 216.已知雙曲線G :務- / "（a 0,b0）與雙曲線C2 : -1有相同的漸近線，且C1的右焦點為a b416FC，5,0),則 a -2【解析】雙曲線的42 21漸近線為y = 2x，而冷16a2y 2bb爲=1的漸近線為y，所以有-2，b = 2a，baa2又雙曲線篤a2一爲=1的右焦點為G 5,0),所以c二5 ,又C2二ab2b2，即 5 = a2 4a2 =5a2，所以a = 1,a = 1,b =2

14、。三、解答題17.已知橢圓錯誤！未找到引用源。(a>b>0),點P (錯誤！未找到引用源。(I )求橢圓的離心率。,錯誤！未找到引用源。)在橢圓上。(II )設A為橢圓的右頂點，0為坐標原點，若 Q在橢圓上且滿足|AQ|=|AO|求直線OQ的斜率的值?！窘馕觥?I )點P(52 a)在橢圓上1 2a一 5_2a1 2a乙 1 =b2b2522ea28a28、6e =4( n )設 Q(acos n,bsin v)(0 ： v : 2：)；則 A(a,0)AQ = AO 二 a2(1cos日)2+b2 sin2 = a22二 3cos 16cos 5=0= cost13直線OQ的斜率

15、kOQ申 5acos -218.在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓G :篤篤=1( a b 0)的左焦點為 丘(-1,0),且點P(0,1)在G上.a b(1)求橢圓G的方程;2(2)設直線l同時與橢圓Ci和拋物線C2: y =4x相切，求直線I的方程【答案】 【解析】(1 )因為橢圓G的左焦點為 已(-1,0)，所以c=1，2 2 1點P(0,1 )代入橢圓篤與=1，得右=1，即b =1,a bb所以a2二b2飛2 =2，2所以橢圓G的方程為 y2 =1.2(2)直線I的斜率顯然存在，設直線 I的方程為y二kx m，'2X 2 «Q+y 二，消去 y 并整理得(1+2k2)

16、x2+4kmx+2m2 2 = 0 ,y = kx + m因為直線l與橢圓C,相切，所以厶=16k2m2 -4(1 2k2)(2m2 - 2) = 0 ,整理得2k2 m2 1 =0yj，消去y 二 kx my并整理得2 2 2k x (2km -4)x m =0。因為直線l與拋物線C2相切，所以尺=(2km-4)2 -4k2m2 =0，整理得km =1綜合，解得所以直線I的方程為y詩x Y或環(huán)二。19.【2102高考北京文19】(本小題共14分)已知橢圓C：兩點M,N(I)求橢圓C的方程()當厶AMN勺面積為-10時，求k的值3【考點定位】此題難度集中在運算，但是整體題目難度確實不大，從形式

17、到條件的設計都是非常熟悉的，相信平時對 曲線的練習程度不錯的學生做起來應該是比較容易的。a =2解得b2 .所以橢圓C的方程為-1.42解:(1 )由題意得a 2a2 =b2 c2(a> b>0)的一個頂點為 A (2,0 )，離心率為 ,直線y=k(x-1)與橢圓C交與不同的2y 二 k(x -1)(2)2222由 x2 y2 得(1 2k )x -4k x 2k 4=0.142設點M,N的坐標分別為(為孑),(x2, y2)，則十(捲1) , y2所以 |MN|=.區(qū)-xj2 - yj2 = . (1 k2)(xx?)2 -4濃24k22 , x1x2 1+2k21 2 2、(

18、1 k2)(4 6k2)二 k(X2 -1), xr X22k2 -4"1 2k2 .1 2k2| k p. 4 6k221 2k由因為點A(2,0)至煩線y二k(x -1)的距離d -|k一 , 丁1 +2k21 |k|(4 +6k2所以 AMN的面積為S | MN | d2.由-10，解得 k =1.32 1+2k220. 【2012高考湖南文21】（本小題滿分13分）1在直角坐標系xOy中，已知中心在原點，離心率為的橢圓E的一個焦點為圓 C: x2+y2-4x+2=0的圓心.2（I）求橢圓E的方程【答案】2 2 2 2【解析】（I）由 x y -4x2=o，得（x-2） y =2.故圓C的圓心為點2 2x y（2,0）,從而可設橢圓E的方程為 2 -1（a b 0）,其焦距為2c,由題設知a bC 1222c =2,e,. a=2c=4,b =a -c =12.故橢圓E的方程為：a 22 2x y 1.16 1221. 【2012高考陜西文20】（本小題滿分13分）2x 2已知橢圓G： y =1，橢圓C2以G的長軸為短軸，且與 G有相同的離心率。4（1）求橢圓C2的