五年級最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)

1、一、根本概念和知識1 .公約數(shù)和最大公約數(shù)幾個數(shù)公有的約數(shù),叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個,叫做 這幾個數(shù)的最大公約數(shù).例如：12的約數(shù)有：1, 2, 3, 4, 6, 12;18 的約數(shù)有：1 , 2, 3, 6, 9, 18.12和18的公約數(shù)有：1, 2, 3, 6.其中6是12和18的最大公約數(shù), 記作(12, 18) =6.2.公倍數(shù)和最小公倍數(shù)幾個數(shù)公有的倍數(shù),叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個,叫做 這幾個數(shù)的最小公倍數(shù).例如：12 的倍數(shù)有：12, 24, 36, 48, 60, 72, 84,18 的倍數(shù)有：18, 36, 54, 72, 90,12和18的公倍數(shù)有：

2、36, 72,.其中36是12和18的最小公倍數(shù), 記作12, 18=36.3.互質(zhì)數(shù)如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1,那么這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù).二、例題例1用一個數(shù)去除30、60、75,都能整除,這個數(shù)最大是多少分析二.要求的數(shù)去除30、60、75都能整除,丁要求的數(shù)是30、60、75的公約數(shù).又;要求符合條件的最大的數(shù),丁就是求30、60、75的最大公約數(shù).5|30 60 753|6 12 15解：:一(30, 60, 75) =5X 3=15這個數(shù)最大是15.例2 一個數(shù)用3、4、5除都能整除,這個數(shù)最小是多少分析由題意可知,要求的數(shù)是3、4、5的公倍數(shù),且是最小的公倍數(shù).解：V 3, 4, 5

3、 =3X 4X 5=60,用3、4、5除都能整除的最小的數(shù)是60.例3有三根鐵絲,長度分別是120厘米、180厘米和300厘米,現(xiàn)在要把 它們截成相等的小段,每根都不能有剩余,每小段最長多少厘米 一共可 以截成多少段分析二要截成相等的小段,且無剩余,每段長度必是120、180和300的公約數(shù).解；：30|120 180 3002| 46102 35又每段要盡可能長,要求的每段長度就是120、180和300的最大公約數(shù).(120, 180, 300) =30X 2=60:每小段最長60厘米.120+ 60+180 60+30CR 60=2+ 3+ 5=10 (段)答：每段最長60厘米,一共可以截

4、成10段.例4加工某種機器零件,要經(jīng)過三道工序.第一道工序每個工人每小時可 完成3個零件,第二道工序每個工人每小時可完成 10個,第三道工序每 個工人每小時可完成5個,要使加工生產(chǎn)均衡,三道工序至少各分配幾個 工人分析 要使加工生產(chǎn)均衡,各道工序生產(chǎn)的零件總數(shù)應是 3、10和5的公 倍數(shù).要求三道工序“至少要多少工人,要先求 3、10和5的最小公倍 數(shù).解；T 5 | 35 1.3213, 10, 5 =5X 3X 2=30 .各道工序均應加130個零件.30+ 3=10 人30+ 10=3 人30+ 5=6 人答：第一道工序至少要分配10人,第二道工序至少要分配3人,第 三道工序至少要分配6

5、人.例5 一次會餐供有三種飲料.餐后統(tǒng)計,三種飲料共用了 65瓶；平均每2 個人飲用一瓶A飲料,每3人飲用一瓶B飲料,每4人飲用一瓶C飲料. 問參加會餐的人數(shù)是多少人分析 由題意可知,參加會餐人數(shù)應是 2、3、4的公倍數(shù).解：2 , 3, 4=12 參加會餐人數(shù)應是12的倍數(shù).又12+2+12+ 3+12+4=6+4+3=13瓶, 可見12個人要用6瓶A飲料,4瓶B飲料,3瓶C飲料,共用13 瓶飲料.又65+13=5, 參加會餐的總?cè)藬?shù)應是12的5倍,12X5=60人.答：參加會餐的總?cè)藬?shù)是60人.例6 一張長方形紙,長2703厘米,寬1113厘米.要把它截成假設干個同樣 大小的正方形,紙張不

6、能有剩余且正方形的邊長要盡可能大 .問：這樣的 正方形的邊長是多少厘米分析 由題意可知,正方形的邊長即是2703和1113的最大公約數(shù).在學校, 我們已經(jīng)學過用短除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù),但有時會遇到類似此題情 況,兩個數(shù)除了 1以外的公約數(shù)一下不好找到.但又不能輕易斷定它們是 互質(zhì)數(shù).怎么辦在此,我們以例6為例介紹另一種求最大公約數(shù)的方法.對于例6,可做如以下圖解：111311131 5915弓 lis159111311134774774774772703從圖中可知：在長2703厘米、寬1113厘米的長方形紙的一端,依次 裁去以寬1113厘米為邊長的正方形2個.在裁后剩下的長1113厘米,

7、寬477厘米的長方形中,再裁去以寬477厘米為邊長的正方形2個. 然后又在裁剩下的長方形長477厘米,寬159厘米中,以159厘米為 邊長裁正方形,恰好裁成3個,且無剩余.因此可知,159厘米是477厘 米、1113厘米和2703厘米的約數(shù).所以裁成同樣大的,且邊長盡可能長 的正方形的邊長應是159厘米.所以,159厘米是2703和1113的最大公 約數(shù).讓我們把圖解過程轉(zhuǎn)化為計算過程,即：2703 1113,商 2 余 477;1113+ 477,商 2 余 159;477 159,商 3 余 0.或者寫為2703=2X 1113+477,1113=2X 477+159,477=3X 159

8、.當余數(shù)為0時,最后一個算式中的除數(shù)159就是原來兩個數(shù)2703和 1113的最大公約數(shù).可見,477=159X 3,1113=159X 3X 2+159=159X 7,2703=159X 7X2+477=159X7X2+159X 3=159X 17.又; 7和17是互質(zhì)數(shù),.159是2703和1113的最大公約數(shù).我們把這種求最大公約數(shù)的方法叫做輾轉(zhuǎn)相除法.輾轉(zhuǎn)相除法的優(yōu)點 在于它能在較短的時間內(nèi)求出任意兩個數(shù)的最大公約數(shù).例7用輾轉(zhuǎn)相除法求4811和1981的最大公約數(shù).解：v 4811=2X 1981+849,1981=2X 849+283,849=3X 283,(4811, 1981)

9、 =283.補充說明：如果要求三個或更多的數(shù)的最大公約數(shù),可以先求其中任 意兩個數(shù)的最大公約數(shù),再求這個公約數(shù)與另外一個數(shù)的最大公約數(shù), 這 樣求下去,直至求得最后結(jié)果.也可以直接觀察,依次試公有的質(zhì)因數(shù).例8求1008、1260、882和1134四個數(shù)的最大公約數(shù)是多少解：V ( 1260, 1008) =252,(882, 1134) =126,又(252, 126) =126,( 1008, 1260, 882, 1134) =126.求兩個數(shù)的最小公倍數(shù),除了用短除法外,是否也有其他方法呢請 看例9.例9兩個數(shù)的最大公約數(shù)是4,最小公倍數(shù)是252,其中一個數(shù)是28,另 一個數(shù)是多少解；

10、設要求的數(shù)為K,那么有；41 28 y ?. .x=4X y28=4X7,.28x=4XyX4X7又; 4是x和28的最大公約數(shù),(y, 7) =1,4XyX7是x和28的最小公倍數(shù). .xX28=4X 252. x=4X252+ 28=36要求的數(shù)是36.通過例9的解答過程,不難發(fā)現(xiàn)：如果用a和b表示兩個自然數(shù),那 么這兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)關系是：(a, b) x a , b=a x b.這樣,求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的問題,即可轉(zhuǎn)化成先求兩個數(shù)的最大 公約數(shù),再用最大公約數(shù)除兩個數(shù)的積,其結(jié)果就是這兩個數(shù)的最小公倍 數(shù).例10求21672和11352的最小公倍數(shù).解：v ( 21

11、672, 11352) =1032(1032可以用輾轉(zhuǎn)相除法求得)21672 , 11352=21672X 11352 1032=238392答：21672和11352的最小公倍數(shù)是 238392.習題三1 .甲數(shù)是乙數(shù)的三分之一,甲數(shù)和乙數(shù)的最小公倍數(shù)是54,甲數(shù)是多少乙數(shù)是多少2 .一塊長方形地面,長120米,寬60米,要在它的四周和四角種樹, 每兩棵之間的距離相等,最少要種樹苗多少棵每相鄰兩棵之間的距離是 多少米3 .兩個自然數(shù)的積是5766,它們的最大公約數(shù)是31.求這兩個自 然數(shù).4 .兄弟三人在外工作,大哥6天回家一次,二哥8天回家一次,小弟 12天回家一次.兄弟三人同時在十月一日回家, 下一次三人再見面是哪一 天?5 .將長25分米,寬20分米,高15分米的長方體木塊鋸成完全一樣 的盡可能大的立方體,不能有剩余,每個立方體的體積是多少 一共可鋸 多少塊6 .一箱地雷,每個地雷的重量相同,且都是超過1的整千克數(shù),去掉 箱子后地雷凈重201千克,拿出假設干個地雷后,凈重183千克.求一個地 雷的重量習題三解答1 .甲數(shù)是18,乙數(shù)是54.2 .每兩棵