三角高考數(shù)學(xué)題的常規(guī)解題途徑

1、 三角高考數(shù)學(xué)題的常規(guī)解題途徑由于三角問題公式繁、題型雜、技巧多，學(xué)生在做這類題時(shí)，往往盲目探索，超時(shí)失分現(xiàn)象較為嚴(yán)重。若將各種題型技巧全部強(qiáng)化訓(xùn)練，又會(huì)陷入題海。如何解決這一矛盾？筆者認(rèn)為：三角高考題都有比較明確的解題方向，只要在復(fù)習(xí)中讓學(xué)生從整體上加以把握，掌握其常規(guī)的解題途徑，就能獲得事半功倍的效果。 途徑1：化成“三個(gè)一” “三個(gè)一”是指一個(gè)角的一種三角函數(shù)一次方的形式。這種方法的解題步驟是：運(yùn)用三角公式，把所求函數(shù)變換成“三個(gè)一”的形式，即等形式，再根據(jù)已知條件及其性質(zhì)深入求解。一般求三角函數(shù)的性質(zhì)問題，如對稱性、單調(diào)性、周期性、最值、值域、作圖象等問題均可用此法。這類題在高考中每年

2、都作重點(diǎn)考查。 例1. （2004年全國）求的最小正周期、最大值和最小值。 分析：本題屬于求三角函數(shù)性質(zhì)問題，故使用途徑1。 簡解： 所以 評注：由于解題思路方向明確，避免了盲目探索，使解題過程簡明流暢。 途徑2：化成“兩個(gè)一” 若某些問題化不成“三個(gè)一”，也可只化成一個(gè)角一種三角函數(shù)n次方的形式，或一個(gè)角的兩種三角函數(shù)一次方的形式，即只能達(dá)到“兩個(gè)一”的要求。此時(shí)可通過配方、求導(dǎo)、解方程、設(shè)輔助角等手段進(jìn)一步求解。 例2. （2004年廣東）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最值為（ ） A. B. C. 2D. 4 分析1：本題為求最值問題，則考慮用途徑1，根據(jù)函數(shù)的齊次特征，化成，卻無法變成一次方形式，則走途

3、徑2。 ，選（D）。分析2：本題若用降冪公式變形為，也只能實(shí)現(xiàn)“兩個(gè)一”。此時(shí)可將函數(shù)進(jìn)一步變形為，利用輔助角，得函數(shù)，變成了“三個(gè)一”的形式。再利用其有界性，求得。 途徑3：邊角轉(zhuǎn)換 若已知三角形的某些邊或角的關(guān)系，而求另一些邊或角或判斷三角形形狀時(shí)，可運(yùn)用正（余）弦定理或面積公式，把邊都化為角，或把角都化為邊，然后通過解方程求之。 例3. 在中，分別為角A、B、C的對邊，且，（1）求角B；（2）若，求a的值。 簡解1（邊化角）： 簡解2（角化邊）： （2）因?yàn)椋?所以， 得或3 評注：有些學(xué)生把條件變形為后，便思路受阻，顯示他們對三角題的常規(guī)解法不熟。 途徑4：三角變換 三角變換就是運(yùn)用各

4、種三角公式（倍、半、和差、誘、萬能等），通過切弦互化、變角、變名、變次等技巧，將一個(gè)三角式恒等變形為另一種形式的方法。 例4. （2002年全國）已知，求的值。 分析：本題是由角的余弦求角的余弦，故用角變換。因?yàn)?，而的正、余弦值可用二倍角公式求出，則本題獲解。 簡解： 因?yàn)椋?所以 故 評注：本題解法很多，每種方法都要經(jīng)歷復(fù)雜的三角變換，以及討論角的范圍。 途徑5：等價(jià)轉(zhuǎn)化 有些問題無法直接選用前4種途徑，而需先轉(zhuǎn)化后選用。即先將各已知條件轉(zhuǎn)化為三角形式，然后從前4種途徑中擇一求解。這類高考題處于知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)上，易發(fā)揮考查數(shù)學(xué)能力的功效，故必是高考常見的命題形式，需重點(diǎn)留意。 例5. （2004年廣東）已知成公比為2的等比數(shù)列（），且也成等比數(shù)列，求的值。 分析：本題處于三角與數(shù)列的交匯點(diǎn)上，數(shù)