廣義傳播矩陣法分析分層各向異性材料對電磁波的反射與透射_百度

1、廣義傳播矩陣法分析分層各向異性材料對電磁波的反射與透射X鄭宏興 葛德彪(西安電子科技大學(xué)物理系,西安 710071(2000年1月3日收到;2000年3月19日收到修改稿X在實驗室坐標(biāo)系下由M axw ell 旋度方程出發(fā)構(gòu)造了橫向場的狀態(tài)矢量和耦合矩陣,討論了各向異性介質(zhì)中的特征波.通過引入橫向場的傳播矩陣,進(jìn)而得到分層各向異性介質(zhì)的反射系數(shù)和透射系數(shù)的解析表達(dá)式.該式可以適用于一般情況,包括分層單軸各向異性材料和回旋介質(zhì),以及半空間各向異性介質(zhì)的反射和透射問題.關(guān)鍵詞:廣義傳播矩陣,各向異性介質(zhì),反射與透射PACC:4110H,5170,52101 引言近年來分層各向異性介質(zhì)如碳纖維復(fù)合材

2、料以其很高的強度重量比為主要特點,作為金屬材料的替代品在航空工業(yè)等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用,在隱身技術(shù)中也受到重視.研究它的電磁波傳播特性越來越引起人們的興趣17.Lin 等分析了石墨/環(huán)氧樹脂或硼/環(huán)氧樹脂復(fù)合材料的電磁兼容特性25,他們采用波透射鏈矩陣8本文將分層各向同性介質(zhì)的傳播矩陣方法9加以推廣,利用在介質(zhì)界面上電場和磁場的切向分量為連續(xù)這一特點,在實驗室坐標(biāo)系下由M axw ell 旋度方程出發(fā)構(gòu)造了橫向場的狀態(tài)矢量和耦合矩陣,引入了橫向場的傳播矩陣.與文獻(xiàn)9中定義的2 分層介質(zhì)中的狀態(tài)矢量和本征波考慮各向異性介質(zhì),它的相對介電常數(shù)E =E ij 和相對磁導(dǎo)率L =L ij (i,j =x ,y

3、 ,z 均為二階張量,即本構(gòu)關(guān)系為D =E 0E #E ,B =L 0L #H .設(shè)z 軸垂直于分層介質(zhì)界面.為了便于在介質(zhì)界面上匹配邊界條件,將算子$和場量分解為$=$t +z 99z,第49卷第9期2000年9月1000-3290/2000/49(09/1702-05物 理 學(xué) 報A CT A PHY SICA SI NICAV ol.49,No.9,September ,2000n 2000Chin.P hys.Soc.H =H t +H z ,E =E t +E z ,本構(gòu)參數(shù)E 和L 也分解為E =E t E t zE z t E z ,L = L t L t zL z t L z

4、,其中E t 和L t 是22階的矩陣,E t z 和L t z 是21階的矩陣,E z t 和L z t是12階的矩陣,E z 和L z 是標(biāo)量元素,式中下標(biāo)t表示對z 軸的橫向部分.k t 為波矢量的橫向分量,在各分層中均相同(相位匹配,由入射波矢量的橫向分量確定.設(shè)入射波為平面波,時諧因子為exp(i X t,E ,H W exp(i k t #r t +i k z z ,將$t 用i k t 代替,注意到E 和L 僅為z 的函數(shù),由 M axw ell 方程得到d d z E t =-i L zz L t z #k t -i E zz k t E z t #E t+-i XL 0z L

5、 t #+i X L 0L z z L t z #L z t #-i X E 0E z z k t k t H t ,(1dd z H t=i X E 0z E t #-i X E 0E zz E t z #E z t #+i XL 0L z z k t k t E t+-i E zz E t z #k t -i L zz k t L z t #H t ,(2其中z為z 方向的單位矢量.212 本征方程及其解將(1和(2式表示為d d zV =C #V .(3(3式稱為本征方程.其中V T=E t H t T=E x E y H x H y T 稱為狀態(tài)矢量,是一個四元列矢量,T 在這里表示轉(zhuǎn)

6、置.C 為44階矩陣,稱為耦合矩陣.從C 矩陣的具體結(jié)構(gòu)可以看出,當(dāng)入射面與坐標(biāo)面x oz (或yoz 重合時,入射波的k x (或k y 分量為0,C 矩陣的簡化很明顯,特別是當(dāng)單軸介質(zhì)的主軸位于坐標(biāo)面內(nèi),C 矩陣的很多元素變?yōu)?,這就比采用文獻(xiàn)10的方法計算量小得多.(3式是一個本征值問題,其通解為V (z =a #exp (i K z #B ,(4其中a =a 1 a 2 a 3 a 4是一個44矩陣,叫做本征矩陣,a j (j =1,2,3,4,(下同則是對應(yīng)于第j 個本征值的本征矢量.按照矩陣冪的定義,ex p (i K z 是一個對角陣,其對角元素為exp (i K 1z ,ex

7、p (i K 2z ,exp (i K 3z ,ex p (i K 4z ,K j 是C 的第j 個本征值.它與Ñ型波或Ò型波波矢量的z 分量相對應(yīng).本征值的排列應(yīng)使ex p(i K z 的前兩行元素對應(yīng)于上行波(z 軸正向,而后兩行元素對應(yīng)于下行波(z 軸負(fù)向.由于k t 由入射波決定,因此,Ñ型波和Ò型波的波矢量便得到確定.B 是包含B j 的列矢量,它代表了上行和下行的Ñ型和Ò型波的幅值.一般來說,C 不是對稱的或厄米型的矩陣,故a j 也不是相互正交的.狀態(tài)矢量由四個本征解組合而成,這四個解分別對應(yīng)沿正、負(fù)z 方向傳播的

8、09;型波和Ò型波.3 廣義傳播矩陣平面波在分層介質(zhì)內(nèi)的傳播特性可以表述為V (z =P (z ,z c #V (z c ,(5其中P (z ,z c 稱為傳播矩陣,它描述了分層介質(zhì)中兩點z 和z c 處狀態(tài)矢量(場量的傳播特性.以下分別考慮z 和z c 位于同一層內(nèi)以及跨越介質(zhì)界面時傳播矩陣的具體形式.圖1 分層各向異性介質(zhì)(圖中的k i ,k r 和k t 分別表示入射、反射和透射波的波矢量首先,當(dāng)z 和z c 位于同一均勻?qū)觾?nèi),如圖1中第l 層,將(4式改寫為V l (z =a l #exp (i K l (z -z c #a l-l#a l#exp (i K 1z c #B

9、l =P l (z ,z c #V l (z c ,(6因而P l (z,z c =a l #ex p (i K l (z -z c #a l-1(7為第l 層內(nèi)從z c 到z 點的傳播矩陣.其次,考慮z 和z c 跨越介質(zhì)界面的情形.如圖1中第l 層和第l +1層界面z =z 1,點U 和N 分居界面兩側(cè),z U =z +l ,z n =z -l .根據(jù)E t 和H t 在界面處為切向分量應(yīng)當(dāng)連續(xù)的邊界條件,有Vl +1(z N 17039期鄭宏興等:廣義傳播矩陣法分析分層各向異性材料對電磁波的反射與透射=V l (z U .由(6式,V l (z U =P l (z U ,z W #V l

10、 (z W ,即V l+1(z N =P l (z U ,z W #V l (z W .(8當(dāng)W y U 時,z U -z W y 0.所以,跨越介質(zhì)界面時的傳播矩陣是單位矩陣,即P b (z U ,z N =I .(9因此,整個分層各向異性介質(zhì)區(qū)(圖1中區(qū)域2的總的傳播矩陣為V n (z n =P n (z n ,z n-1#V n (z n-1=P n (z n ,z n-1#P n-1(z n-1,z n-2#V n-1(z n-2s =F 1l=nP l (z l ,z l -1 #V 1(z 0,(10其中z l ,z l -1為第l 層上下界面的坐標(biāo).上式表明,整個分層介質(zhì)板的傳播

11、矩陣等于各層傳播矩陣的乘積,即P (z n ,z 0=F 1l=nP l (z l ,z l-1.(11各層的傳播矩陣P l (z ,z c 如(7式所示.4 分層介質(zhì)的反射與透射系數(shù)在圖1中,設(shè)區(qū)域1和3分別為均勻各向異性介質(zhì),區(qū)域2的傳播矩陣已經(jīng)由(11求出.由(4式,把區(qū)域1和3中的狀態(tài)矢量分別表示為沿z 軸正向和負(fù)向傳播兩部分V j (z =a j #ex p (i K j z #B j =a j+#exp (i K j+z #B j+a j-#exp (-i K j -z #B j-,(12其中a j -=a 3j a 4j ,a j +=a 1j a 2j 均為42矩陣,B j +

12、=B 1j B 2j,B j -=B 3j B 4j ,exp (i K j +和exp (-i K j -分別是對角線上包含沿z 軸正向和負(fù)向傳播的兩個對角矩陣,均為22矩陣,j 分別等于1和3.注意到B 代表了上行和下行的Ñ型和Ò型波的幅值.定義整個分層介質(zhì)的反射系數(shù)R 和透射系數(shù)T (均為22矩陣分別為B 1+=R #B 1-,B 3-=T #B 1-,(13其中R =R Ñ,ÑR Ñ, ÒR Ò,ÑR Ò,Ò,T =T Ñ,ÑT Ñ ,ÒT

13、0;,ÑTÒ,Ò, (14它們各自的四個元素反映了反射(透射波中Ñ型波和Ò型波的耦合關(guān)系.例如R Ñ,Ò表示Ñ型波入射時反射為Ò型波的反射系數(shù),T Ñ,Ò則表示Ñ型波入射時透射為Ò型波的透射系數(shù).為了使R 和T 的定義是唯一的,將本征矢量a j (j =1,2,3,4歸一化.Ñ型波和Ò型波的k 矢量在界面上切向分量為連續(xù)(相位匹配條件.根據(jù)E t 和H t 在界面上連續(xù)的條件,在z =0的界面兩側(cè),V 1(0=V 2(0,由(12,(13,(14

14、式得V 2(z n =P 2(z n ,0#V 2(0=P 2(z n ,0#a 1#R I#B 1-.(15因為區(qū)域3只有透射波,V 3(z =a 3-#ex p (-i K 3-(z -z n #T #B 1-=a 3#ex p (-i K 3(z -z n #0T #B 1-,(16在z =z n 的界面,V 3(z n =V 2(z n .由(15和(16式,得到0T=a -13#P 2(z n ,0#a 1#R I.(17由(3式求出區(qū)域1和區(qū)域3的本征矢量矩陣a 1和a 3,R 和T 便可以由(17式解出.(17式也可以用來求解半空間反射和透射問題.當(dāng)z n =z 0=0時,P 2

15、退化為單位矩陣,a 3即為a 2.當(dāng)然,也適用于求解各向同性分層介質(zhì)問題.由于在分層各向同性介質(zhì)情況下TE 波和TM 波無耦合,R 和T 是對角陣,處理過程要比各向異性介質(zhì)簡單得多.5 例子下面討論兩個半空間問題.例1 設(shè)界面兩側(cè)均為各向同性介質(zhì),介質(zhì)參數(shù)分別為L 1,E 1和L 2,E 2,入射面為xoz 面.C 矩陣簡化為C 14=XL -k 2x /(X E ,C 23=-XL ,C 32=-X E -k 2x /(XL ,C 41=X E ,其余元素為0,其本征值為K =?k z .把這些參數(shù)代入(3和(17式,一次可得到T E 和TM 波的反射和透射系數(shù).例2 在例1中界面一側(cè)(區(qū)域

16、1為各向同性而另一側(cè)(區(qū)域2為各向異性單軸介質(zhì),磁導(dǎo)率均為L 0,并且光軸與z 軸重合.區(qū)域2的C 矩陣為1704物 理 學(xué) 報49卷C14=k0(1-E1sin2H/E+,C23=-k0,C32=-k0 (E L-E1sin2H,C41=k0E L,其余元素為0,其中k0為真空中的波數(shù),E1是區(qū)域1的介電常數(shù),E L和E+分別為區(qū)域2中介電常數(shù)張量垂直和平行于光軸的分量,H為入射角.C的本征值為K=?k0E L-E1sin2H和K=?k0E L(1-E1sin2H/E+,它們分別代表沿z軸正、負(fù)兩個方向傳播的Ñ型波和Ò型波波矢量的z分量.求出本征矢量矩陣a 后,按(17式

17、得到的反射系數(shù)和透射系數(shù)與文獻(xiàn)10的結(jié)果完全相同.這兩個例子代表了兩種典型情況,在一般分層各向異性介質(zhì)情況下,用前面的方法直接計算,需要注意的是本征值和本征矩陣的排列要按照212節(jié)中的要求去做.6結(jié)論附錄C矩陣的全部元素C11=-k x E zx/E zz+k y L yz/L zz,C12=-k x E zy/E z z+k x L yz/L zz,C13=k x k y/(X E z z+X L yx-XL yz L zx/L zz,C14=-k2x/(X E z z+XL yy-X L y z L zy/L zz,C21=-k y E zx/E zz+k y L x z/L zz,C22

18、=-k y E zy/E z z-k x L x z/L zz,C23=k2y/(X E zz-X L x x+XL x z L zx/L z z,C24=-k x k y/(X E zz-X L x y+X L x z L zy/L zz,C31=-k x k y/(X L zz-X E yx+X E yz E zx/E z z,C32=k2x/(X L zz-X E yy+X E y z E zy/E z z,C33=-k y E yz/E z z-k x L zx/L zz,C34=k x E y z/E zz-k x L zy/L zz,C41=-k2y/(E L z z+X E x

19、x-X E x z E z x/E zz,C42=k x k y/(E L z z+X E xy-X E x z E zy/E zz,C43=k y E x z/E zz-k y L zx/L zz,C44=-k x E xz/E z z-k y L zy/L zz.37(1989,219.(1993,21.Comp at.,35(1993,357.Comp at.,39(1997,332.Comp at.,40(1998,218.163.(1999,173.York,1991,p.75.New York,1986,p.60.Free Approach(M cGraw-Hill,New York,1983,p.280.17059期鄭宏興等:廣義傳播矩陣法分析分層各向異性材料對電磁波的反射與透射1706物理學(xué)報49卷ELECTROMAGNETIC WAVE REFLEC TIO N AND TRANS MISSION OF ANISOTROPIC LAYERED MEDIA BY GENERALIZEDPROPAGATION MATRIX METHO D XZ HENG H ONG-XING G E D E-B