平均分與正多邊形 - 成長博客

1、從“平均分”談起任景業(yè)有人說數(shù)學是整理宇宙秩序的科學，說到“整理”，談到“秩序”，一定離不了規(guī)則。人們稱之為基礎知識的定義，定律，法則，公式都體現(xiàn)了數(shù)學各種不同的規(guī)則。它們對于數(shù)學來說尤如一座大廈的基石。有了它們，我們才會看到數(shù)學大廈的壯觀和美麗。一堆東西幾個人分，不能誰想要多少就拿多少，人們常常是把這些東西“平均分”。把這一堆東西分成若干份，每一份分得數(shù)量都相等。這“平均分”體現(xiàn)的就是一種分配時的“平等”的規(guī)則?！捌骄帧保屛覀兝斫饬顺ㄟ\算和分數(shù)的意義。數(shù)學是研究數(shù)和形的學問，“數(shù)”中的平均分，是我們很熟知的，那么“形”中的平均分呢？ 我們先從等分圓、正多邊形作圖說起。等分圓與作正多邊形

2、是一致的。畫一個圓，在圓上任取一點，半徑不變在圓周上依次畫弧，得到六個點，順次連接這六個點，便得到正六邊形。間隔連接三個點，便得到正三角形。作兩條互相垂直的直徑，在圓上得到四個點，順次連接這四個點，又得到正四邊形。五邊形的作法步驟多一些，限于篇幅，在此從略。希臘時代的數(shù)學家已經(jīng)知道如何用“尺規(guī)”作出正3、4、5、6、8、10、15邊形的方法，在已做出的正多邊形的基礎上，利用尺規(guī)很容易再構(gòu)造出邊數(shù)是原來正多邊形邊數(shù)的兩倍的正多邊形。但是在高斯之前，人們始終沒有利用尺規(guī)做出7、9、11、13邊形。高斯對前人的工作做了歸納，發(fā)現(xiàn)人們做出的多邊形的邊數(shù)都是2（n2,3,4），2·3,2

3、83;5, 2·15,（n1,2,3,）上面這四種情形中，只出現(xiàn)了質(zhì)數(shù)2,3,5以及它們的乘積。于是高斯推斷能用尺規(guī)做出的圖形應當與質(zhì)數(shù)有關，或著是某些特殊的質(zhì)數(shù)，或者是這些質(zhì)數(shù)的乘積。但是7是質(zhì)數(shù)，為什么人們用尺規(guī)做不出呢？他突然意識到，探討正多邊形作法不能限于幾何領域，要考慮邊數(shù)，對數(shù)字進行分析，于是他越過了幾何，想到了費馬數(shù)。費馬曾斷言：形如1（n0,1,2,3,）的數(shù)是質(zhì)數(shù)。但歐拉發(fā)現(xiàn)費馬錯了。當n5時，12641×6700417，不是質(zhì)數(shù)。在人們都認為費馬數(shù)沒有什么價值的時候，高斯意識到費馬數(shù)可能是能用尺規(guī)做出的正多邊形的邊數(shù)，他由此產(chǎn)生了靈感，將注意力跳過7,9

4、,11,放在第二個費馬數(shù)17,研究正17邊形的作圖問題。1796年3月30日，離他19歲生日還有整整一個月，他成功地用尺規(guī)把圓十七等分，作出了漂亮的正十七邊形！這一天，他做出決定，終生獻于數(shù)學！高斯在正十七邊形作圖的基礎上，又給出了解決這一類問題的結(jié)果高斯定理：一個正多邊形可以用圓規(guī)和沒有刻度的直尺作圖的充分必要條件是，它的邊數(shù)等于2p p p,這里m0,1,2,，p ，p， p是形如1的費馬數(shù)。并創(chuàng)造性地把幾何問題與代數(shù)問題統(tǒng)一起來，開創(chuàng)了對“等分圓周”的研究，求出了分圓方程x1=0的17個解，得出分圓方程的一些重要結(jié)論 解恩澤，徐本順主編世界數(shù)學家思想方法，山東教育出版社，1993。在高斯

5、探討正七邊形的作圖中，我們看到一個一個的規(guī)則，尺規(guī)作圖，直尺不能有刻度；費馬數(shù)，在1形式下，符合這一規(guī)則的一族數(shù)；畫正十七邊形，需要等分圓周，使多邊形符合各邊都相等，各角都相等，諸多規(guī)則造就了數(shù)學令人神往而敬畏的大廈，也吸引了那么多人如此癡迷和狂熱。高斯在等分圓周、作出正十七邊形的過程中，追求數(shù)學解決方法的統(tǒng)一性，總是由一個問題的解決，促進一大類問題的解決，找到統(tǒng)一的方法，處理一批問題。而這里的統(tǒng)一，分類，無不也是在一個明確的分類規(guī)則下進行，都是從“平均分”的規(guī)則引發(fā)的。當然，高斯與別人的高明處還在于，他不是對一些規(guī)則的死守，他從這些規(guī)則的變通中找到解決問題的通途，幾何與代數(shù)，質(zhì)數(shù)與費馬數(shù)，幾

6、何作圖與代數(shù)方程，他竟然能沖破這么多規(guī)則的限制和束縛，引我們看到數(shù)學嚴謹后的精彩畫卷！曲線形的“圓”與“平均分”讓我們看到了數(shù)學的精彩。直線，以及二維的正方形，三維的立方體與平均分的“聯(lián)袂”將上演怎么的一幕？我想到度量單位。用一條線段為標準去度量一個物體的長度時，如果經(jīng)過有限次的度量不能量盡，得到的值不是這條線段的整數(shù)倍，那么我們會把這一條作標準的線段平均分，如平均分為十份，用更小的單位去量，如果仍然不能得到更小單位的整數(shù)倍，那么，我們還需要將平均分之后的線段再平均分，。這是長度單位的發(fā)展。如下圖：用一個正方形為標準去度量一個物體的面積時，如果經(jīng)過有限次的度量不能量盡，得到的值不是這個正方形的

7、整數(shù)倍，那么我們會把這作標準的正方形平均分，如平均分為十份，用更小的單位去量，如果仍然不能得到更小單位的整數(shù)倍，那么，我們還需要將平均分之后的小正方形再平均分，。這是面積單位的發(fā)展。以一個小立方體為標準度量一個三維空間的體積與上面的類似。由此，我們可以看到平均分怎樣把我們從有限的世紀引向無限，從粗放引向精細在前文中，對于平均分我們主要是從分的對象，由分物抽象到數(shù)，由曲線的圓，到了直線，由一維的直線到了二維的平面，至直到三維的空間，對于分多少，我們只在平均分圓周時有過介紹，可以三等分，四等分，十七等分等。對于度量單位的說明，我們是說十等分，這是因為我們平時多是用的十進制，如果我們將規(guī)則作一調(diào)整，改為平均分為二十份也不無不可，只不過哪時的單位進制是二十進制而不是十進制了。高斯分圓我們看到高斯在規(guī)則的破與立，規(guī)則的摒棄與建立中的創(chuàng)造性，在單位的進制方面，我們同樣也不要意為天下的進制都是十進制。做一下變通也會你會有新的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造。社會沒有規(guī)則就不會安定，同樣，數(shù)學沒有了規(guī)則