利用一次函數(shù)與不等式進行方案設計

1、利用一次函數(shù)與不等式進行方案設計不等式與一次函數(shù)原本是屬于不同性質(zhì)的兩個數(shù)學知識， 但在我們的生活實 踐中卻存在著許多的問題， 若能巧妙地構(gòu)造出一次函數(shù)， 再運用綜合運用不等式 的知識求解，往往能顯得十分簡捷，現(xiàn)以 2008 年中考試題為例說明如下：例1 （南充市）某乒乓球訓練館準備購買 10副某種品牌的乒乓球拍，每副 球拍配x（x3個乒乓球，已知A, B兩家超市都有這個品牌的乒乓球拍和乒乓球 出售，且每副球拍的標價都為 20元，每個乒乓球的標價都為 1 元，現(xiàn)兩家超市 正在促銷，A超市所有商品均打九折（按原價的 90%付費）銷售，而B超市買1 副乒乓球拍送 3個乒乓球，若僅考慮購買球拍和乒乓

2、球的費用， 請解答下列問題：（1）如果只在某一家超市購買所需球拍和乒乓球，那么去 A超市還是B超 市買更合算？（2）當x= 12時，請設計最省錢的購買方案.分析（ 1）分別求出 A， B 兩家超市購買所需費的表達式，再進行分類討論 求解.（2）當x= 12時，即購買10副球拍應配120個乒乓球，由此可通過適當 計算進行比較求解 .解（1）去A超市購買所需費用 yA= 0.9（20 W+10x） = 9x+180,去B超市購買所需費用 yB = 20%0+10（x 3） = 10x+170.當 yAV yB 時，即 9x+180v 10x+170，解得 x 10,當 yA= yB 時，即 9x+

3、180 =10x+170,解得 x= 10，當 yAyB時，即 9x+180 10x+170，解得 xv 10，綜上所述：當x 10時，去A超市購買更合算；當x= 10時，去A超市或B 超市購買一樣；當3$10 = 281 （元）因為281V 288,所以最佳方案為：只在B超市購買10副球 拍，同時獲得送30個乒乓球，然后去A超市按九折購買90個乒乓球.說明 這是一道方案設計問題， 意在全面考查同學們應用不等式、 一次函數(shù) 解決生活實際問題的能力 .例2 （湘潭市）我市花石鎮(zhèn)組織10輛汽車裝運完A、B、C三種不同品質(zhì)的湘蓮共100噸到外地銷售，按計劃10輛汽車都要裝滿，且每輛汽車只能裝同 一種

4、湘蓮，根據(jù)下表提供的信息，解答以下問題：湘蓮品種ABC每輛汽車運載量（噸）12108每噸湘蓮獲利（萬元）342（1）設裝運A種湘蓮的車輛數(shù)為x，裝運B種湘蓮的車輛數(shù)為y，求y與x 之間的函數(shù)關系式；（2） 如果裝運每種湘蓮的車輛數(shù)都不少于2輛，那么車輛的安排方案有幾 種？并寫出每種安排方案；（3）若要使此次銷售獲利最大，應采用哪種安排方案？并求出最大利潤的值分析（1）依題意，每種車型的裝載量和總載重可得一個等式：12x+10y+8（10 x-y）= 100，即可整理得y與x的關系.（2）由裝運每種湘蓮的車輛數(shù)都不少 于2輛，由此得到裝運A種湘蓮的車輛數(shù)的不等式組，即確定出x的取值范圍， 再根據(jù)

5、x是正整數(shù)，決定方案.（3）依題意，可列出此次銷售的一次函數(shù)表達式， 再利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解.解（1）因為裝A種為x輛，裝B種為y輛，裝C種為10 x y輛，x 2，10 2x 2.則根據(jù)題意，得 12x+10y+8（10x y）= 100，所以 y= 10 2x.(2)10 x y= 10 x (10 2x) = x,故裝 C 種車也為 x 輛.所以解得2強=4 x為整數(shù)，所以x= 2，3, 4.故車輛有3種安排方案，方案如 下：方案一：裝A種2輛車，裝B種6輛車，裝C種2輛車；方案二：裝A種 3輛車，裝B種4輛車，裝C種3輛車；方案三：裝A種4輛車，裝B種2輛 車，裝C種4輛車.（3）設

6、銷售利潤為 W（萬元），貝U W = 3X12X+4X10N10 2x）+2 8x = 28x+400，故W是x是的一次函數(shù)，且x增大時，W減少.故x= 2時，W的最大值=400 282= 344 （萬元）.說明 本題著重考查同學們根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型的能力.求解時可運用不等式組解決方案設計問題，利用一次函數(shù)的性質(zhì)確定最大利潤問題例3 （梅州市） 一方有難，八方支援”在抗擊“5.12汶川特大地震災害中， 某市組織20輛汽車裝運食品、藥品、生活用品三種救災物資共100噸到災民安置點.按計劃20輛汽車都要裝運，每輛汽車只能裝運同一種救災物資且必須裝 滿根據(jù)表中提供的信息，解答下列問題：物資種類

7、食品藥品生活用品每輛汽車運載量（噸）654每噸所需運費（兀/噸）120160100（1）設裝運食品的車輛數(shù)為X，裝運藥品的車輛數(shù)為y.求y與x的函數(shù)關系 式；（2）如果裝運食品的車輛數(shù)不少于 5輛，裝運藥品的車輛數(shù)不少于 4輛， 那么車輛的安排有幾種方案？并寫出每種安排方案；（3） 在（2）的條件下，若要求總運費最少，應采用哪種安排方案？并求出 最少總運費.分析（1）由于裝運食品、藥品、生活用品之和等于100，由此可以得出一個關于x與y的方程，即得到y(tǒng)與x的函數(shù)關系式.（2）利用 裝運食品的車輛數(shù) 不少于5輛，裝運藥品的車輛數(shù)不少于 4輛”，列出不等式組，從而確定了裝運 食品、藥品、生活用品的

8、車輛數(shù).（3）構(gòu)造出一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的性質(zhì)即 可求解.解（1）根據(jù)題意，裝運食品的車輛數(shù)為 X，裝運藥品的車輛數(shù)為y，那么裝運生活用品的車輛數(shù)為（20x y），則有6x+5y+4（20x y） = 100， 整理，得y = 202 x.（2）由（1）知，裝運食品，藥品，生活用品三種物資的車輛數(shù)分別為x，20 2x， x，x 5則由題意，得x 5解這個不等式組，得50=820 2x 4.因為x為整數(shù)，所以x的值為5，6，7，8.所以安排方案有4種：方案一：裝運食品5輛、藥品10輛，生活用品5輛；方案二：裝運食品6 輛、藥品 8 輛，生活用品 6 輛；方案三：裝運食品 7 輛、藥品 6 輛，生活用品 7 輛；方案四：裝運食品 8 輛、藥品 4 輛，生活用品 8 輛 .(3)設總運費為 W (元)，則 W= 6xX 120+5(202) 160+4xX100= 16000 480